Matematica RESUMÃO

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Matemática – AG3
Considere a reta real:
· 
 
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos
|4| = 4
Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:
|-2| = 2
Outros exemplos:
|3| = 3
|-7| = 7
|0| = 0
|-1| = 1
Vamos generalizar:
Qual é o módulo de um número qualquer x?
|x| = ?
A resposta é: depende!
Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).
Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
Ou:
	|x|={x,se x≥0-x,se x<0
Propriedades do Módulo
1) |a| = |-a|, para todo a real
Não é difícil constatar isso. Observe:
|2| = 2
|10| = 10
|-5| = 5
|-2| = 2
|-10| =10
|5| = 5
2) |x2|=|x|2 = x2, para todo x real
Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.
a) para x = 5
52 = 25
|5|2 = 52 = 25
|52|=|25|= 25
b) para x = 0
02 = 0
|0|2 = 02 = 0
|02|=|0|= 0
c) para x = -3
(-3) 2 = 9
|-3|2 = 32 = 9
|(-3) 2|=|9|= 9
Associada a essa propriedade está o fato de que 
x2=|x|
CUIDADO! É errado pensar que 
x2=x
Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.
Veja:
Para x = 7
	x2=72=49=7=x
Para x = -2
	x2=-22=4=2≠x
3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais
Veja:
a) a e b positivos
a = 3 e b = 5
|3 . 5|= |15|= 15
|3|.|5|= 3 . 5 = 15
b) a e b de sinais opostos
a = -2 e b = 4
|-2 . 4|= |-8|= 8
|-2|.|4|= 2 . 4 = 8
c) a e b negativos
a = -7 e b = -10
|-7 . (-10)|= |70|= 70
|-7|.|-10|= 7 . 10 = 70
4) |a + b|≤|a|+|b|, para quaisquer a e b reais
a) a e b positivos
a = 6 e b = 5
|6 + 5|= |11|= 11
|6|+|5|= 6 + 5 = 11
|6 + 5|=|6|+|5|
b) a e b de sinais opostos
a = -5 e b =1
|-5 + 1|= |-4|= 4
|-5|+|1|= 5 + 1 = 6
|-5 + 1|<|-5|+|1|
c) a e b negativos
a = -8 e b = -3
|-8 + (-3)|= |-11|= 11
|-8|+|-3|= 8 + 3 = 11
|-8 + (-3)|= |-8|+|-3|
5)||a|-|b||≤|a - b|, para quaisquer a e b reais
d) a e b positivos
a = 4 e b = 1
||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3
|4 - 1|= |3|= 3
||4|-|1||=|4 - 1|
e) a e b de sinais opostos
a = -1 e b =9
||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8
|-1 - 9|= |-10|= 10
||-1|-|9||<|-1 - 9|
f) a e b negativos
a = -10 e b = -3
||-10|-|-3||=|10 - 3|= |7|= 7
|-10 - (-3)|= |-7|= 7
||-10|-|-3||=|-10 - (-3)|
g) a e de sinais opostos
a = 4 e b = -3
||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1
|4 - (-3)|= |7|= 7
||4|-|-3||<|4 - (-3)|
Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a|, para quaisquer a e b reais.
Exercícios resolvidos
1) Calcular:
a) |6|+ 1 = 6 + 1 = 7
b) |-5|+ 9 = 5 + 9 = 14
c) |-10|- 1 = 10 -1 = 9
d) |-6|- |-2| = 6 - 2 = 4
e) |0,2 - 0,9|= |-0,7|= 0,7
f) 
|2-5|=-2-5=5-2,pois 2-5<0
g) |3 - x|, para x = -3
|3 - x|= |3 - (-3)|= |6|= 6
h) 
|1-2|+|1+2|
Note que 
1-2<0
. Assim:
	|1-2|+|1+2|=-1-2+1+2=2-1+1+2=22
2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:
a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer
· 
 
 
b) |x - 6|, com x > 6
Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva.
Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6.
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3
Como x > 3, as duas expressões são positivas.
Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x - 3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:
a) x = | - 1|
Resposta: x = 1
b) |x|= 1
Resposta: x = 1 ou x = -1, pois |1|= |-1|= 1
c) |x|= -1
Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.
d) X2 = 36
Resposta: x = 6 ou x = -6
e) |x|= |-2|
Resposta: x = -2 ou x = 2, pois |2|= |-2|= 2
O módulo é deste jeito.
Brincadeiras à parte, o módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.
Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.
Se x for um número real negativo o módulo de x será o oposto de x, ou seja, será -x, resultando portanto em um valor positivo.
Apenas sendo x igual a 0, o módulo de x também será 0.
Em resumo temos:
Embora não seja um conceito complexo, vamos ver alguns exemplos. Inicialmente vejamos exemplos bem simples:
Exemplo de Módulo de Números Reais
Módulo de um Número Real Positivo
|17|
Neste exemplo temos um número positivo, já que 17 > 0, então o |17| é igual ao próprio 17, pois , logo:
Módulo de um Número Real Negativo
|-17|
Neste outro exemplo temos um número negativo, já que -17 < 0, então o |-17| é igual ao oposto ou simétrico de -17, que é 17, pois :
Módulo de um Número Real Nulo
|0|
Como , então .
Ou por outro lado, como , então .
Agora vamos ver alguns exemplos um pouco mais complexos:
|x - 5|
Para obtermos o valor do |x - 5| precisamos identificar quando x - 5 ≤ 0 e quando x - 5 ≥ 0.
Ora, se x - 5 ≥ 0 então:
Logo para x ≥ 5 temos x - 5 ≥ 0, portanto segundo a definição do módulo temos:
Já para x ≤ 5 temos x - 5 ≤ 0, de onde concluímos que:
Resumindo temos:
Para finalizarmos os exemplos vamos analisar a sentença |x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2, para x ≥ 5 e para 2 ≤ x ≤ 5:
|x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2
Como temos x ≤ 2, então x - 2 ≤ 0, pois para ser maior que 0, seria necessário que x fosse maior que 2.
Analogamente temos x - 5 < 0, pois como x ≤ 2 o maior valor que podemos obter para x - 5 é -3.
Em função disto o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será -(x - 2).
Então temos:
|x - 5| + |x - 2| para x ≥ 5
Neste outro exemplo como x ≥ 5, então x - 5 ≥ 0 e x - 2 > 0.
Então |x - 5| será x - 5 e o |x - 2| será x - 2.
O que resulta em:
|x - 5| + |x - 2| para 2 ≤ x ≤ 5
Neste último exemplo temos x - 5 ≤ 0, pois x pode ser no máximo ser igual a 5 e x - 2 ≥ 0, pois o valor mínimo de x é 2.
Temos então que o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será x - 2.
E portanto:
Propriedades do Módulo de Números Reais
Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:
Para a e b reais temos as seguintes propriedades:
para 
Para 
Para 
Para 
Conceituando Geometricamente o Módulo de um Número Real
Em termos geométricos o módulo de um número real representa a distância deste número à origem de uma reta real.
Na reta desta figura o ponto 0 representa a sua Origem. Cada ponto nesta reta é um número real.
Como podemos observar, 3 tanto é a distância do ponto -3 até a origem,quanto é a distância do ponto 3 também até a origem.
A distância dos pontos em questão é igual a 3 nos dois casos, não importando se o ponto está à direita ou à esquerda da origem. O valor absoluto ou módulo de -3 é igual a 3, assim como o módulo de 3 também o é.
Inequação Modular
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Por Robison Sá
O módulo de um número é igual a sua distância até zero. Sendo a grandeza distância sempre positiva, conclui-se que o módulo de um número é sempre positivo. Para encontrar o módulo de um número x, por exemplo, siga essa regra prática:
Por exemplo: |6| = 6, pois 6 > 0. Já |– 6| = – (– 6) = 6.
Agora que já relembramos o conceito de módulo, vamos ingressar nas inequações modulares.
Inequação modular
Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos:
· |x| > 6
· |x| ≤ 4
· |x + 3| > 7
· |4x + 1| ≥ 3
Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação:
· |x| > a        →     x < – a ou x > a.
· |x| < a        →     – a < x < a.
· |x| ≤ a        →     – a ≤ x ≤ a.
· |x| ≥ a        →     x ≤ – a ou x ≥ a.
· |x – a| ≤ b →    – b ≤ x – a ≤ b       →      a – b ≤ x ≤ a + b
Resolução de inequações modulares
Agora que você já conhece o conceito sobre inequações modulares e suas propriedades resolutivas, é hora de colocar a mão na massa. Antes de analisar as resoluções, tente resolver, utilizando as propriedades explanadas anteriormente, os modelos de inequações modulares acima. Veja asresoluções a seguir:
|x| > 6
x < – 6 ou x > 6
S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6}
|x| ≤ 4
– 4 ≤ x ≤ 4
S = {x ∈ R | – 4 ≤ x ≤ 4}
|x + 3| > 7
x + 3 < – 7 ou x + 3 > 7
Se x + 3 < – 7, então:
x < – 7 – 3
x < – 10
Se x + 3 > 7, então:
x > 7 – 3
x > 4
S = {x ∈ R | x < – 10 ou x > 4}
|4x + 1| ≥ 3
4x + 1 ≤ – 3 ou 4x + 1 ≥ 3
Se 4x + 1 ≤ – 3, então:
4x ≤ – 3 – 1
4x ≤ – 4
x ≤ – 1
Se 4x + 1 ≥ 3, então:
4x ≥ 3 – 1
4x ≥ 2
x ≥ ½
S = {x ∈ R | x ≤ – 1 ou x ≥ ½}
Equação Modular
o conceito de equação modular, antes será necessário entender o conceito de módulo.
Módulo é a distância entre um número e zero. Como a grandeza distância é sempre positiva, o módulo de um número é sempre positivo.
Veja que |a| = a e que |-a| = a. Portanto, um número e o seu oposto, em módulo, têm o mesmo valor.
Definição de módulo
Dado um número real x, o módulo de x, representado por |x|, é igual a x, se x ≥ 0, e igual a -x, se x < 0.
Em termos gerais, temos:
Exemplo: Encontre o módulo de 4 e de – 4.
De acordo com a definição, |x| = x, se x ≥ 0. Como 4 > 0, fazemos: |4| = 4.
No segundo caso, ainda de acordo com a definição, |x| = – x, se x < 0. Sendo – 4 < 0, fazemos: |– 4| = – (– 4) = 4. 
Veja que, a partir da análise do gráfico divulgado anteriormente, percebe-se que |a| = a e que |– a| = – (– a) = a.
Equação modular
Definição: Equação modular é toda equação cuja incógnita se apresenta em módulo.
Dessa forma, são equações modulares:
· |– 2x + 5| = x
· |3x – 1| = 4
· |10 – 2x| = 2x – 5
Resolução de equações modulares
A resolução de equações modulares baseia-se na definição de módulo, mostrada no início deste texto.
Módulo 
Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: o que muda ao inserirmos um módulo à função?
Módulo
Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13. 
Vejamos alguns outros exemplos:
|-4| = 4
|690| = 690
|23,41| = 23,41
|-log2| = log2
|78| = 78
|-π| = π
Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:
|x| = x, se x for positivo. 
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 
|x| = x, se x>0 
|x| = -x, se x<0
Exemplo
Resolva a equação |x² - 6x| = 9.
*Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. 
Módulo ou Valor Absoluto 
7º ano, Ensino Fundamental 2, Listas, Matemática Básica 
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto. 
O valor modular de um número sempre será positivo, pois como sabemos não existe distância negativa.
Exemplos:
· A distância do ponto 5 à origem é 5. Dizemos que o módulo de 5 é igual a 5, representamos | 4 | =  4
· Da mesma forma, a distância do ponto -4 à origem é 4, ou seja, o módulo de -4 é 4. Assim: | - 4 | = 4
PROPRIEDADES
1) | a | = | -a |, para todo a real
Ex:    | 2 | = | - 2 | = 2
2) | x2 |=| x |2 = x2, para todo x real
Ex:    | 2² | = | 2 |²  =>  | 4 | = 2²  => 4 = 4
3) | a . b | = | a | . | b |, para quaisquer a e b reais
Ex:    | 2 . 3 | = | 2 | . | 3 | => | 6 | = 2 . 3 => 6 = 6
4) | a + b | ≤ | a | + | b |, para quaisquer a e b reaisE
Ex:    | 2 + 3 | ≤ | 2 | + | 3 | => | 5 | ≤ 2 + 3 => 5 ≤ 5
5) | | a | - | b | | ≤ | a - b |, para quaisquer a e b reais
Ex:    | | 2 | - | 3 | | ≤ | 2 - 3 | => | 2 - 3 | ≤ | - 1| => | - 1 | ≤ 1 =>  1 ≤ 1
EQUAÇÃO MODULAR:
Equação modular resolve-se normalmente, porém temos que ter o cuidado ao analisar o valor dentro do módulo. O valor ali contido pode ter sua forma negativa ou positiva em relação ao resultado.
Exemplo:
| x – 3 | + 4x = 7
Primeiramente vamos deixar o módulo sozinho de um lado da balança (equação).
| x -3 | = 7 - 4x
Agora temos que x + 3 ( o que há dentro do módulo) pode ser igual a 7 - 4x ou - (7 - 4x). Pois pode ser positivo ou negativo.
Resolvendo o primeiro caso, temos:
x - 3 = 7 - 4x                                      ou                   x - 3 = - ( 7 - 4x)
x + 4x = 7 + 3                                                             x - 3 = -7 + 4x     
5x = 10                                                                           4 = 3x
x = 10/5 = 2                                                                    x = 4/3
Valor absoluto ou módulo
A distância que vai de um ponto à origem designa-se por Valor absoluto ou módulo e representa-se por duas barras verticais.
Exemplo: |+3| = 3
|-3| = 3
Exercícios Resolvidos de Equação Modular
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Questão 1: Resolva as seguintes equações modulares:
a) | x+3 | = 7
b)  |3x-8 | = 13
Questão 2: Encontre o conjunto solução da equação | 3x+2 | = x+1
Questão 3: Resolva a equação | 3x+1 | = | x-3 |
Questão 4: O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x2  é:    b) 1               c) 2     
 Questão 5: As raízes reais da equação |xl 2 + |x| – 6 = 0 são tais que:a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.
Resolva cada uma das seguintes condições:
	
3.  
	
4.  
Resolução:
1.
2.
3.
4.
· Questão 1
Dada a função modular f(x) = |2 – x| – 2, escreva a função sem utilizar módulo nas sentenças.
· Questão 2
Esboce o gráfico da função modular definida por f(x) = |4x² + 8x – 5|:
· Questão 3
(Fuvest) Seja f(x) = |2x² – 1|, x  . Determine os valores de x para os quais f(x) < 1.
· Questão 4
(Puc – MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:
a) duas semirretas de mesma origem
b) duas retas concorrentes
c) duas retas paralelas
d) uma única reta que passa pelo ponto (0,2)
Respostas
· Resposta Questão 1
Pela definição de função modular, temos que f(x) = |x| equivale a . A função dada no enunciado apresenta o módulo |2 – x|, com o qual faremos:
2 – x = 0
– x = – 2
x = 2
Agora vamos analisar a função:
	x ≥ 2
2 – x ≥ 0
f(x) = |2 – x| – 2
f(x) = 2 – x – 2
f(x) = – x
 
	x < 2
2 – x < 0
f(x) = |2 – x| – 2
f(x) = – (2 – x) – 2
f(x) = – 2 + x – 2
f(x) = x – 4
Podemos representar essa função sem o utilizar o módulo da seguinte forma:
· Resposta Questão 2
Vamos determinar alguns pontos principais do gráfico da função f(x) = |4x² + 8x – 5| e verificar quais são os valores de x para os quais temos f(x) = 0. Nesse momento, podemos desconsiderar o módulo para resolver a equação 4x² + 8x – 5 = 0. Através da fórmula de Bhaskara, temos:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 8² – 4.4.(– 5)
Δ = 64 + 80
Δ = 144
x = – b ± √Δ
       2.a
x = – 8 ± √144
      2.4
x = – 8 ± 12
      8
	x1 = – 8 + 12
        8
x1 = 4
       8
x1 = 1
        2
	x2 = – 8 – 12
      8
x2 = – 20
        8
x2 = – 5
        2
Temos então que a função toca o eixo x nos pontos (1/2, 0) e (– 5/2, 0). Podemos determinar o vértice da parábola através do cálculo de máximo e mínimo:
Xv = – b
        2a
Xv = – 8
        2.4
Xv = – 1
Yv = – Δ
        4a
Yv = – 144
         4.4
Yv = – 9
O vértice da parábola da função f(x) = 4x² + 8x – 5 é nos pontos (– 1, – 9). Mas como essa função é modular, ela não pode ter pontos com valores de y negativos. Dessa forma, essa parte da função será “refletida” de modo que o vértice da parábola da função f(x) = |4x² + 8x – 5| seja no ponto (– 1, 9). Observe na figura a seguir o gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5| em vermelho. A parte do gráfico compreendida entre – 5/2 < x < 1/2 foi refletida para cima do eixo x. Se a função não fosse modular, utilizaríamos a curva da cor cinza.
Gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5|
· Resposta Questão3
Para determinar os valores de x para os quais temos f(x) < 1, resolveremos a seguinte inequação modular:
|2x² – 1| < 1
– 1 < 2x² – 1 < 1
– 1 + 1 < 2x² < 1 + 1
0 < x² < 2
2           2
√0 < x < √1
0 < x < ±1
Portanto, temos dois intervalos possíveis que correspondem aos valores de x tais que f(x) < 1, são eles – 1 < x < 0 e 0 < x < 1. Outra forma de mostrar essa solução é através da reta numérica:
Representação dos valores de x para os quais temos f(x) < 1
· Resposta Questão 4
Para responder à questão, vamos verificar como é o gráfico da função modular f(x) = |x| + 2:
Gráfico da função modular f(x) = |x| + 2
Na figura acima, podemos observar duas funções. Na cor cinza, temos o gráfico da função modular f(x) = |x|, mas como estamos trabalhando com a função f(x) = |x| + 2, basta “elevá-la” duas unidades para conseguir o gráfico procurado, que está na cor vermelha. Observe que esse gráfico é constituído por duas semirretas com origem no ponto (0,2). Portanto, a alternativa correta é a letra a.
Definição: seja x um número real qualquer, denomina-se módulo ou valor absoluto de x e representa-se por |x|, o número real não negativo, tal que:
|x| = x, se x ≥ 0
ou
|x| = - x, se x < 0
Assim:
O módulo de um número será ele mesmo se este número for maior ou igual a zero.
O módulo de um número será o simétrico dele se este número for negativo.
O módulo de um número será sempre um positivo.
Exemplo 1.
a) | 34 | = 34 b) | -5 | = 5 c) | 0 | = 0 d) | -13 | = 13 e) |-√2|= √2
Identidade importante:
Exemplo 2. Calcule o valor da expressão |5 – 12,3|
Solução: temos que
|5 – 12,3| = | - 7,3 | = 7,3
Exemplo 3. Simplifique a fração:
Solução: Temos que
| x + 5 |= x + 5, se x + 5 ≥ 0, ou x ≥ - 5.
ou
| x + 5 | = - (x+5), se x + 5 < 0 ou x < -5.
Assim, teremos duas possibilidades:
Exemplo 4. Resolva a equação
Solução: Temos que
Então,
| x | = 36 → que é uma equação modular.
De uma forma geral, se k é um número real positivo, temos:
| x| = k → x = k ou x = - k
Daí,
| x | = 36 → x = 36 ou x = -36
Portanto, S = {-36, 36}
Exemplo 5. Resolva a equação |x + 5| = 12
Solução: Temos que
|x + 5| =12 → x + 5 = 12 ou x + 5 = -12
Segue que
x + 5 = 12 → x = 12 – 5 → x = 7
ou
x + 5 = -12 → x = -12 – 5 → x = -17
Portanto, S = {-17, 7}
· Questão 1
Resolva a equação modular |3x – 1| = |2x + 6|.
· Questão 2
Determine quais números compõem o conjunto solução da equação modular a seguir:
|4x + 3| = – 3x + 7
· Questão 3
Encontre o conjunto solução da equação modular |x + 1| + |2x – 1| = 3.
· Questão 4
(PUC – SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:
a) S = {0, 2/3}
b) S = {0, 1/3}
c) S = Ø
d) S = {0, – 1}
e) S = {0, 4/3}
· Questão 5
(UEPA) O conjunto solução da equação |x|² – 2|x| – 3 = 0 é igual a:
a) S = {– 1, 3}
b) S = {– 3, 3}
c) S = {– 1, 1}
d) S = {– 3, 1}
e) S = {1, 3}
· Questão 6
(Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x² – x – 2| = 2x + 2 é:
a) 1
b) 3
c) – 2
d) 2
e) – 3
Respostas
· Resposta Questão 1
Para resolver a equação modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte propriedade:
De acordo com essa propriedade, podemos montar as duas seguintes equações:
	3x – 1 = 2x + 6
3x – 2x = 6 + 1
x = 7
	3x – 1 = – (2x + 6)
3x – 1 = – 2x – 6
3x + 2x = – 6 + 1
5x = – 5
x = – 1
Temos então o seguinte conjunto solução: S = {– 1, 7}.
· Resposta Questão 2
A propriedade básica de módulo afirma que . Sendo assim, temos duas resoluções possíveis para essa equação modular:
	4x + 3 = – 3x + 7
4x + 3x = 7 – 3
7x = 4
x = 4
      7
	4x + 3 = – (– 3x + 7)
4x + 3 = 3x – 7
4x – 3x = – 7 – 3
x = – 10
Portanto, o conjunto solução da equação é dado por S = {– 10, 4/7}.
· Resposta Questão 3
Para resolver essa equação modular, dividiremos a análise dos módulos em etapas:
I) |x + 1|
	|x + 1| = x + 1, se x + 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x ≥ – 1
|x + 1| = x + 1, se x ≥ – 1
	|x + 1| = – (x + 1), se x + 1 < 0
x + 1 < 0
x < – 1
|x + 1| = – x – 1, se x < – 1
II) |2x – 1|
	|2x – 1| = 2x – 1, se 2x – 1 ≥ 0
2x – 1 ≥ 0
x ≥ ½
|2x – 1| = 2x – 1, se x ≥ ½
	|2x – 1| = – (2x – 1), se 2x – 1 < 0
2x – 1 < 0
x < ½
|2x – 1| = – 2x + 1, se x < ½
Observe no quadro a seguir como se comportam as soluções:
Faremos agora o estudo de cada caso:
	– 3x = 3
x = 3
   – 3
x' = – 1
	x + 2 = 3
x = 3 – 2
x'' = 1
	3x = 3
x = 3
      3
x'' = 1
Vamos substituir os valores encontrados (x' = – 1 e x'' = 1) na equação:
	|x + 1| + |2x – 1| = 3
|– 1 + 1| + |2.(– 1) – 1| = 3
0 + |– 2 – 1| = 3
|– 3| = 3
3 = 3
A igualdade é verdadeira!
	|x + 1| + |2x – 1| = 3
|1 + 1| + |2.1 – 1| = 3
|2| + |2 – 1| = 3
|2| + |1| = 3
2 + 1 = 3
3 = 3
A igualdade é verdadeira!
Portanto, o conjunto solução dessa equação é S = {– 1, 1}.
 
· Resposta Questão 4
Como o módulo |2x – 1| não pode ser negativo, precisamos que x – 1 seja maior ou igual a zero.
x – 1 ≥ 0
x ≥ 1
Resolvendo a equação modular |2x – 1| = x – 1, podemos estabelecer outras duas igualdades:
	2x – 1 = x – 1
2x – x = – 1 + 1
x = 0
	2x – 1 = – (x – 1)
2x – 1 = – x + 1
2x + x = 1 + 1
3x = 2
x = 2/3
Portanto, o conjunto solução seria S = {0, 2/3}, mas pela condição inicial, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores do que 1. Portanto, a solução correta é S = Ø, e a alternativa que indica a resposta adequada é a letra c.
· Resposta Questão 5
Para resolver equações modulares quadradas, o ideal é substituir o módulo da variável por uma incógnita qualquer. Sendo assim, faremos |x| = y, com y ≥ 0, pois o módulo não pode ser negativo. Chegaremos à seguinte equação do 2° grau:
y² – 2y – 3 = 0
Para resolver essa equação, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Δ = (– 2) – 4.1.(– 3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
y = –(– 2) ± √16
       2.1
y = 2 ± 4
     2
y' = 2 + 4 = 6 = 3
   2       2
y'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
 2        2
Encontramos dois valores para y: y' = 3 e y'' = – 1. Mas como y ≥ 0, a solução adequada é apenas y' = 3. Voltemos agora à equação modular |x| = y. Se , então |x| = 3 ↔ x' = 3 e x'' = – 3.
O conjunto solução correto é o indicado na alternativa b.
· Resposta Questão 6
Sabendo que o módulo |x² – x – 2| não pode ser negativo, temos a condição inicial de que 2x + 2 deve ser maior ou igual a zero. Logo:
2x + 2 ≥ 0
2x ≥ – 2
x ≥ – 2
      2
x ≥ – 1
Resolvendo a equação modular |x² – x – 2| = 2x + 2, podemos criar duas equações do 2° grau, que resolveremos através da fórmula de Bhaskara:
	x² – x – 2 = 2x + 2
x² – x – 2x – 2 – 2 = 0
x² – 3x – 4 = 0
Δ = (– 3)² – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
x = – (– 3) ± √25
    2.1
x = 3 ± 5
     2
x' = 3 + 5 = 8 = 4
    2       2
x'' = 3 – 5 = – 2 = – 1
 2        2
	x² – x – 2 = – (2x + 2)
x² – x – 2 = – 2x – 2
x² – x + 2x – 2 + 2 = 0
x² + x = 0
Δ = 1² – 4.1.0
Δ = 1
x = – 1 ± √1
      2.1
x = – 1 ± 1
      2
x' = – 1 + 1 = 0 = 0
      2       2
x'' = – 1 – 1 = – 2 = – 1
  2         2
Portanto, o conjunto solução é S = {– 1, 0, 4}. Todos os valores encontrados pertencem à solução, pois a condição inicial estabelece que x ≥ – 1. No entanto, o enunciado pede o valor da soma dos valores de x, logo, – 1 + 0 + 4 = 3. Sendo assim, a alternativa correta é a letra b.
Questão - Construa o gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|.
Para formular esse gráfico, podemos tomar como parâmetro o gráfico de f(x) = |x – 1|, que na imagem abaixo está retratado com a cor rosa. Esse gráfico toca o eixo x no ponto (1,0), pois |x – 1| = 0 se, e somente se, x = 1. Basta então “subir” o gráfico duas unidades. Dessa forma, podemos obter o gráfico de f(x) = 2 + |x – 1|, que na figura está representado com a cor vermelha:
Gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|