Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

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COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS
EDSON VARGAS
Abstract. Discutimos duas mudanças de variáveis importantes para o cálculo
de integrais triplas, são as coordenadas ciĺındricas e esféricas. Também calcu-
lamos uma integral tripla usando essas duas coordenadas o que permite assim
melhorar a compreensão das mesmas.
1. Coordenadas ciĺındricas
Coordenas ciĺındricas são muito úteis no cálculo de integrais em regiões do espaço
limitadas por ciĺındricos ou quando o integrando é uma função que depende apenas
da distância a um eixo. Na sua forma mais comum as coordenadas ciĺındricas no
espaço R3 são três variáveis que denotamos por ρ, θ e z. A variável z é a mesma
da coordenadas cartesianas e ρ é a distância de um ponto a um eixo (aqui estamos
supondo que seja o eixo Oz), θ é um ângulo medido a partir do semi-plano y = 0
e x ≥ 0. As coordenadas cartesianas x, y e z e as coordenadas ciĺındricas ρ, θ e z
estão relacionadas pelas equações abaixo:
(1.1) Φ :

x = ρ cos θ, ρ ≥ 0
y = ρ sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
z = z, z ∈ R
Observe que nas Coordenadas Ciĺındricas (1.1) verifica-se que x2 + y2 = ρ2 e
portanto:
(i) O cilindro x2 + y2 = 9 corresponde à equação ρ = 3.
(ii) O parabolóide z = x2 + y2 corresponde à equação z = ρ2.
(iii) O hiperbolóide de duas folhas z2 − 1 = x2 + y2 corresponde à equação
z2 − 1 = ρ2.
(iv) O hiperbolóide de uma folha z2 + 1 = x2 + y2 corresponde à equação
z2 + 1 = ρ2.
(v) Para b > 0, o cone x2 + y2 = b z2 corresponde à equação ρ2 = b z2.
(vi) A esfera x2 + y2 + z2 = 4 corresponde à equação ρ2 + z2 = 4.
(vii) O plano z = constante permanece com a mesma equação mas planos da
forma z = a x+ b y corresponde a z = a ρ cos θ + b ρ sen θ, mais complexa.
(viii) Uma função w = f(x, y, z) da forma w = g(x2 + y2, z), em coordenadas
ciĺındricas se transforma em w = g(ρ2, z) que depende apenas de duas
variáveis. Por exemplo: w =
√
x2 + y2 + z se transforma em w = ρ+ z.
De modo geral um termo da forma x2+y2 presente na definição de uma superf́ıcie
ou uma função se torna mais simples em coordenadas ciĺındricas.
2010 Mathematics Subject Classification. Primary .
Key words and phrases. integral dupla, integral tripla .
1
2 EDSON VARGAS
A matriz Jacobiana da mudança de variável Φ (coordenadas ciĺındricas) é: cos θ sen θ 0−ρ sen θ ρ cos θ 0
0 0 1

e o seu determinante é:
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, z)
= ρ. Isto implica que o elemento de volume, em
coordenadas ciĺındricas, expressa-se como ρ dρ dθ dz.
Veja abaixo exemplos sobre a descrição de um sólido em coordenadas ciĺındricas:
Exemplo 1. Seja S o sólido dado pelas desigualdades z2 ≥ 2x2 + 2 y2 e x2 +
y2 + z2 ≤ 9. Observe que S é o sólido interno a um cone e interno a uma esfera
e é a união de duas partes, uma parte S+ contida no semi-espaço z ≥ 0 e outra
S− no semi-espaço z ≤ 0. As desigualdades que determinam S, em coordenadas
ciĺındricas, se transformam em z2 ≥ 2 ρ2 e ρ2 + z2 ≤ 9, respectivamente. Dessa
forma, S+ se transforma em S+ρθz e S
− se transforma em S−ρθz e podem ser descritos
pelas desigualdades abaixo:
(1.2) S+ρθz :

√
2 ρ ≤ z ≤
√
9− ρ2
0 ≤ ρ ≤
√
3
0 ≤ θ ≤ 2π
e
(1.3) S−ρθz :

−
√
9− ρ2 ≤ z ≤ −
√
2 ρ
0 ≤ ρ ≤
√
3
0 ≤ θ ≤ 2π
Compare a descrição de S em coordenadas ciĺındricas acima e sua descrição em
coordenadas esféricas na Seção 3.
Exemplo 2. Seja S o sólido dado pelas desigualdades x2 + y2 + z2 ≤ 4 e z2 +
1 ≤ x2 + y2. Essas desigualdades, em coordenadas ciĺındricas, se transformam em
ρ2 +z2 ≤ 4 e z2 +1 ≤ ρ2, respectivamente. Dessa forma podemos descrever o sólido
pelas desigualdades abaixo:
(1.4) Sρθz :

√
1 + z2 ≤ ρ ≤
√
4− z2
−
√
3
2 ≤ z ≤
√
3
2
0 ≤ θ ≤ 2π
2. Integrais em coordenadas ciĺındricas
Se w = f(x, y, z) é uma função cont́ınua em um aberto que contém o sólido S,
então vale a seguinte igualdade:∫∫∫
S
f(x, y, z) dx dy dz =
∫∫∫
Sρθz
f(ρ cos θ, ρ sen θ, z) ρ dρ dθ dz,
sempre que essas duas integrais existirem.
COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 3
Como exemplo vamos calcular a integral
∫∫∫
S
x2 dx dy dz, onde S é o sólido do
Exemplo 1 acima. Nas Coordenadas Ciĺındricas (1.1), essa integral se transforma
na soma de integrais abaixo:∫∫∫
S+ρθz
ρ3 cos2 θ dρ dθ dz +
∫∫∫
S−ρθz
ρ3 cos2 θ dρ dθ dz.
Aplicando o Teorema de Fubini resulta em∫ 2π
0
∫ √3
0
∫ √9−ρ2
√
2 ρ
ρ3 cos2 θ dz dρ dθ +
∫ 2π
0
∫ √3
0
∫ −√2 ρ
−
√
9−ρ2
ρ3 cos2 θ dz dρ dθ =
= 2
∫ 2π
0
∫ √3
0
ρ3
(√
9− ρ2 −
√
2 ρ
)
cos2 θ dρ dθ =
= 2
∫ 2π
0
∫ √3
0
ρ3
√
9− ρ2 cos2 θ dρ dθ − 2
√
2
∫ 2π
0
∫ √3
0
ρ4 cos2 θ dρ dθ =
=
∫ 2π
0
∫ 6
9
(u− 9)
√
u cos2 θ du dθ − 2
√
2
5
∫ 2π
0
9
√
3 cos2 θ dθ =
=
∫ 2π
0
(
2u5/2
5
− 6u3/2
)6
9
cos2 θ dθ − 18
√
6
5
π =
=
324− 108
√
6
5
∫ 2π
0
cos2 θ dθ − 18
√
6
5
π =
324− 126
√
6
5
π.
3. Coordenadas esféricas
Coordenas esféricas são muito úteis no cálculo de integrais em regiões do espaço
limitadas por esferas, cones ou quando o integrando é uma função que depende
apenas da distância a uma origem. Na sua forma mais comum as coordenadas
esféricas no espaço R3 são três variáveis que denotamos por ρ, θ e ϕ. A variável
ρ é a distância de um ponto à origem O, θ é um ângulo medido a partir do semi-
plano y = 0 e x ≥ 0 e ϕ é um ângulo medido a partir do semi-eixo Oz positivo.
As coordenadas cartesianas x, y e z e as coordenadas esféricas ρ, θ e ϕ estão
relacionadas pelas equações abaixo:
(3.1) E :

x = ρ cos θ sen ϕ, ρ ≥ 0
y = ρ sen θ sen ϕ, 0 ≤ θ ≤ 2π
z = ρ cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π
Observe que nas Coordenadas Esféricas (3.1) verifica-se que x2 + y2 = ρ2 sen 2 ϕ
e x2 + y2 + y2 = ρ2 e portanto:
(i) O cilindro x2 + y2 = 9 corresponde à equação ρ2 sen 2 ϕ = 9.
(ii) Para b > 0, o cone x2 + y2 = b z2 corresponde às duas equações: sen ϕ =√
b cos ϕ e sen ϕ = −
√
b cos ϕ cujas soluções são da forma ϕ = ϕ0 ∈
(0, π/2) e ϕ = π − ϕ0.
(iii) A esfera x2 + y2 + z2 = 4 corresponde à equação ρ2 = 4.
(iv) Em geral as equações de planos em coordenadas esféricas são mais com-
plexas do que em coordenadas cartesianas mas os planos da forma a x−b y =
4 EDSON VARGAS
0 são simples, correspondem a a cos θ = b sen θ que possui duas soluções,
θ0 e θ0 + π.
(v) Uma função w = f(x, y, z) da forma w = g(x2 + y2 + z2), em coordenadas
esféricas se transforma em w = g(ρ2) que depende apenas de da variável ρ.
Por exemplo: w =
√
1 + x2 + y2 + z2 se transforma em w =
√
1 + ρ2 .
De modo geral um termo da forma x2 + y2 + z2 presente na definição de uma
superf́ıcie ou uma função se torna mais simples em coordenadas esféricas. Mas é
bem comum que situações envolvendo ciĺındros e esferas sejam mais simples quando
vistas em coorcenadas ciĺındricas ao invés de esféricas, Veja o Exemplo 3 abaixo.
A matriz Jacobiana da mudança de variável E (coordenadas esféricas) é: cos θ sen ϕ sen θ sen ϕ cos ϕ−ρ sen θ sen ϕ ρ cos θ sen ϕ 0
ρ cos θ cos ϕ ρ sen θ cos ϕ −ρ sen ϕ

e o seu determinante é:
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, z)
= −ρ2 sen ϕ. Isto implica que o elemento de
volume, em coordenadas esféricas, expressa-se como ρ2 sen ϕdρ dθ dϕ.
Veja abaixo exemplos sobre a descrição de um sólido em coordenadas esféricas:
Exemplo 3. Seja S o sólido dado pelas desigualdades z2 ≥ 2x2 + 2 y2 e x2 + y2 +
z2 ≤ 9. Lembre-se que S já foi analisado em coordenadas ciĺındricas no Exemplo 1 e
possui uma parte S+ contida no semi-espaço z ≥ 0 e outra S− no semi-espaço z ≤ 0.
As desigualdades que determinam S, em coordenadas esféricas, se transformam em
cos2 ϕ ≥ 2 sen 2 ϕ e ρ ≤ 3, respectivamente.
Extraindo a raiz quadrada na equação cos2 ϕ = 2 sen 2 ϕ obtemos cos ϕ =√
2 sen ϕ que possui uma solução ϕ0 ∈ (0, π/2) e cosϕ = −
√
2 sen ϕ que pos-
sui a solução π − ϕ0. Então a desigualdade cos2 ϕ ≥ 2 sen 2 ϕ se transforma
em 0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 (que corresponde à parte do cone no semi-plano z ≥ 0) ou
π − ϕ0 ≤ ϕ ≤ π (que corresponde à parte do cone no semi-plano z ≤ 0).
Dessa forma, S+ se transforma em S+ρθϕ e S− se transforma em S−ρθϕ e podem
ser descritos pelas desigualdades abaixo:
(3.2) S+ρθϕ :

0 ≤ ρ ≤ 3
0 ≤ ϕ ≤ ϕ0
0 ≤ θ ≤ 2π
e
(3.3) S−ρθϕ :

0 ≤ ρ ≤ 3
π − ϕ0 ≤ ϕ ≤ π
0 ≤ θ ≤ 2π
Compare a descrição de S em coordenadas esféricas acima e sua descrição em
coordenadas ciĺındricas na Seção 1. Parece claro que nesse caso a descrição em
coordenadas esféricas é bem mais simples.
Problema. Descreva o sólido do Exemplo 2 em coordenadas esféricas e compare
com a descrição em coordenadas ciĺındricas que obtivemos antes.
COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 5
4. Integrais em coordenadas esféricas
Se w = f(x, y, z) é uma função cont́ınua em um aberto que contém o sólido S,
então vale a seguinte igualdade:
∫∫∫
S
f(x, y, z) dx dy dz =
=
∫∫∫
Sρθϕ
f(ρ cos θ sen ϕ, ρ sen θ sen ϕ, ρ cos ϕ) ρ2 sen ϕdρ dθ dϕ,
sempre que essas duas integrais existirem.
Como exemplo vamos calcular a integral
∫∫∫
S
x2 dx dy dz, onde S é o sólido do
Exemplo 1 acima. Já fizemos esse cálculo nas coordenadas ciĺındricas em (1.1) e
agora vamos fazê-lo nas coordenadas esféricas em (3.1). A integral é a soma das
integrais abaixo:∫∫∫
S+ρθϕ
ρ4 cos2 θ sen 3 ϕdρ dθ dϕ+
∫∫∫
S−ρθϕ
ρ4 cos2 θ sen 3 ϕdρ dθ dϕ.
Aplicando o Teorema de Fubini resulta em∫ 2π
0
∫ ϕ0
0
∫ 3
0
ρ4 cos2 θ sen 3 ϕdρ dϕdθ +
∫ 2π
0
∫ π
π−ϕ0
∫ 3
0
ρ4 cos2 θ sen 3 ϕdρ dϕdθ =
=
243
5
∫ 2π
0
∫ ϕ0
0
cos2 θ sen 3 ϕdϕdθ +
243
5
∫ 2π
0
∫ π
π−ϕ0
cos2 θ sen 3 ϕdϕdθ =
=
243
5
[∫ 2π
0
cos2 θ
(
cos3 ϕ
3
− cos ϕ
)ϕ0
0
dθ +
∫ 2π
0
cos2 θ
(
cos3 ϕ
3
− cos ϕ
)π
π−ϕ0
dθ
]
=
= 2
243
5
(
cos3 ϕ0
3
− cos ϕ0 +
2
3
)∫ 2π
0
cos2 θ dθ = 2
243
5
(
cos3 ϕ0
3
− cos ϕ0 +
2
3
)
π
Para chegar a um resultado final observamos que ϕ0 satisfaz a equação cos
2 ϕ0 =
2sen 2 ϕ0 que implica que 1 = 3 sen
2ϕ0 e portanto sen ϕ0 =
√
3
3
e cos ϕ0 =
√
6
3
.
Assim sendo
cos3 ϕ0
3
− cos ϕ0 =
2
√
6
27
−
√
6
3
= −7
√
6
27
e o valor da integral é:
2
243
5
(
cos3 ϕ0
3
− cos ϕ0 +
2
3
)
π =
324− 126
√
6
5
π,
que é o mesmo valor que obtemos antes usando coordenadas ciĺındricas.
Observação. Podemos definir coordenadas ciĺındricas em ralação ao eixo Ox ou
o eixo Oy ao invés do o eixo Oz como fizemos em (1.1).
Nas Coordenadas Esféricas (3.1) medimos o ângulo ϕ à partir do semi-eixo Oz
positivo mas dependendo da situação podemos medir esse ângulo a partir dos semi-
eixos Ox ou Oy positivos.
6 EDSON VARGAS
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