4. Convertir las siguientes coordenadas a) Dadas las coordenadas rectangulares (????, ????, ????) = (−3√3, −3, 5) obtener las coordenadas cilíndricas b)...

a) Para converter as coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas, usamos as seguintes fórmulas: r = √(x² + y²) θ = arctan(y / x) z = z Substituindo os valores fornecidos, temos: r = √((-3√3)² + (-3)²) = √(27 + 9) = √36 = 6 θ = arctan((-3) / (-3√3)) = arctan(1/√3) = 30° z = 5 Portanto, as coordenadas cilíndricas são (6, 30°, 5). b) Para converter as coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares, usamos as seguintes fórmulas: x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) z = z Substituindo os valores fornecidos, temos: x = 2 * cos(3√4) = 2 * (√3/2) = √3 y = 2 * sin(3√4) = 2 * (1/2) = 1 z = 5 Portanto, as coordenadas retangulares são (√3, 1, 5). c) Para converter as coordenadas retangulares para coordenadas esféricas, usamos as seguintes fórmulas: ρ = √(x² + y² + z²) θ = arctan(y / x) φ = arccos(z / ρ) Substituindo os valores fornecidos, temos: ρ = √(2² + (-2√3)² + 3²) = √(4 + 12 + 9) = √25 = 5 θ = arctan((-2√3) / 2) = arctan(-√3) = -60° φ = arccos(3 / 5) = arccos(0.6) ≈ 53.13° Portanto, as coordenadas esféricas são (5, -60°, 53.13°). d) Para converter as coordenadas esféricas para coordenadas retangulares, usamos as seguintes fórmulas: x = ρ * sin(φ) * cos(θ) y = ρ * sin(φ) * sin(θ) z = ρ * cos(φ) Substituindo os valores fornecidos, temos: x = 3 * sin(√3) * cos(√4) ≈ 3 * 0.866 * 0.894 ≈ 2.46 y = 3 * sin(√3) * sin(√4) ≈ 3 * 0.866 * 0.447 ≈ 1.29 z = 3 * cos(√3) ≈ 3 * 0.5 ≈ 1.5 Portanto, as coordenadas retangulares são (2.46, 1.29, 1.5).