Conjuntos_numericos-racionais

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PRÉ-CÁLCULO 
Conjuntos numéricos – Racionais 
SIMÉTRICO ℤ 
2 
ℤ = … , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
 
 
 Elemento 
 simétrico 
 
 
aditivo −𝒂 
𝑎 + −𝑎 = 0 
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 
 
multiplicativ
o? 
𝑎 ∙ 
𝟏
𝒂
= 1, 𝑚𝑎𝑠,
1
𝑎
 ∉ ℤ 
 
CONJUNTO ℚ 
3 
ℚ =
𝑝
𝑞
; 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ≠ 0 
 
 
Elemento 
Simétrico 
 
 
aditivo 
𝑎
𝑏
+ −
𝒂
𝒃
= 0 → 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 
multiplicativ
o 
𝑎
𝑏
 ∙ 
𝒃
𝒂
= 1 ⟶ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
4 
 
 
 
Uma parte do todo. 
 
Numerador: conjunto de partes de um ou 
vários todos. 
 
Denominador: total de partes que compõe 
um todo. 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
5 
 
 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
6 
 
 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
7 
 
 
 
Um número natural é uma fração? 
 
𝑎 = 
𝑎
1
 ∈ ℕ 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
8 
 
 
 
− 
𝒂
𝒃
 
−𝒂
𝒃
 
𝒂
−𝒃
 = = 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
9 
 
 
 
Igualdade 
 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
𝑎𝑘
𝑏𝑘
= 
𝑐
𝑑
 ⟹ 𝑎𝑘 = 𝑐 𝑒 𝑏𝑘 = 𝑑 ⟹ 𝑘 = 
𝑑
𝑏
 
𝑎 ∙ 
𝑑
𝑏
= 𝑐 ⟹ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
10 
 
 
 
Adição 
 
𝑎
𝑏
+ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
11 
 
 
 
Adição 
 
+ 
1
2
 
2
4
 
= 
2
4
 
2
4
+
2
4
 = 
4
4
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
12 
 
 
 
Adição 
 
1
2
 
4
9
 
= 
9
18
 
9
18
+
8
18
 = 
17
18
 + 
= 
8
18
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
13 
 
 
 
Subtração 
 
𝑎
𝑏
− 
𝑐
𝑑
= 
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
14 
 
 
 
Adição ou Subtração com denominadores 
iguais 
 
𝑎
𝑏
− 
𝑐
𝑏
= 
𝑎 − 𝑐
𝑏
 
𝑎 ∙
1
𝑏
 − 𝑐 ∙ 
1
𝑏
= 
1
𝑏
 ∙ 𝑎 − 𝑐 = 
𝑎 − 𝑐
𝑏
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
15 
 
 
 
Multiplicação 
 
𝑎
𝑏
∙ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
16 
 
 
 
Divisão 
 
𝑎
𝑏
÷ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
= 
𝑎
𝑏
 ∙ 
𝑑
𝑐
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
17 
 
 
 
Potência 
 
𝑎
𝑏
𝑛
= 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
18 
 
 
 
Radiciação 
 
𝑎
𝑏
𝑛
= 
𝑎𝑛
𝑏
𝑛 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
19 
 
 
 
Proporções 
 
1
𝑎 
= 𝑏 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
20 
 
 
 
Proporções 
 
𝑑 = 
𝑚
𝑣 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
21 
 
 
 
Noção de limite 
 𝒙 ⟶ +∞ 𝟏
𝒙
 
2 0,5 
5 0,2 
6 0,1666... 
10 000 0,0001 
lim
𝑥→:∞
 
1
𝑥
= 0 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
22 
 
 
 
Equivalências 
 
𝑎
𝑏
⟺ 
𝑎𝑘
𝑏𝑘
 
 
𝑎
𝑏
⟺ 
𝑎
𝑘
𝑏
𝑘
 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
23 
 
 
 
Comutatividade 
 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
= 
𝑐
𝑑
+
𝑎
𝑏
 
 
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
= 
𝑐
𝑑
∙
𝑎
𝑏
 
 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
24 
 
 
 
Associatividade 
 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
+ 
𝑒
𝑓
= 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
+ 
𝑒
𝑓
 
 
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
∙ 
𝑒
𝑓
= 
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
∙ 
𝑒
𝑓
 
 
FRAÇÕES (propriedades do ℚ) 
25 
 
 
 
Distributividade 
 
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
+
𝑒
𝑓
=
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
+
𝑎
𝑏
∙
𝑒
𝑓
 
 
 
NÚMEROS DECIMAIS 
26 
 
 
 
Todo número racional 
𝑎
𝑏
 pode ser representado por 
um número decimal, dividindo a por b. 
 
 Ou o resultado é um decimal exato, como ½ e 
27
100
; 
 
 Ou possui uma quantidade infinita de 
algarismos que se repetem periodicamente 
(dizima periódica), como 2/7 = 
0,285714285714... 
DECIMAIS → FRAÇÃO 
27 
 
 
 
Decimal exata 
 
 Numerador: numeral decimal 
 
Denominador: algarismo 1 seguido de 
tantos zeros quantos forem as casas 
decimais do número dado. 
 
 
DECIMAIS → FRAÇÃO 
28 
 
 
 
0,37 
= 
37
100
 
0,057 
= 
57
1 000
 
0,001 
= 
1
1 000
 
2,631 
= 
2631
1 000
 
53,4598 = 
534598
10 000
 
10,10 
= 
1010
100
 
DECIMAIS → FRAÇÃO 
29 
 
 
 
Decimal dízima periódica 
 
Passo 1: Chama de x a fração procurada e 
iguale à dízima periódica; 
Passo 2: Multiplique ambos os lados da 
equação por 10 (se o período conter 
apenas 1 algarismo) ou por 100 (se conter 
2 algarismos) e assim por diante. 
Passo 3: Subtraia a nova equação da 
inicial e isole x. 
DECIMAIS → FRAÇÃO 
30 
 
 
 
0,7777.
.. 𝑥 = 0,777 … 
10𝑥 = 7,77 … 
 
− 
9𝑥 = 7 
 
𝑥 = 
7
9
 
 
6,4343.
.. 𝑥 = 6,4343 … 
100𝑥 = 643,43 … 
 
− 
99𝑥 = 637 
 
𝑥 = 
637
99