Aula_-_Probabilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
AG 021 – Estatística Básica
Professor:
Paulo Roberto Ribeiro Rocha
email: paulo.rocha@ufrr.br 
Boa Vista – RR
1 2
Capítulo 2
Disponível na Biblioteca Central
Probabilidade
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É uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de
um determinado evento, atribuindo um número (valor) entre 0 e 1. Assim, se
temos a certeza de que um ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1 (ou
100%), caso contrário diremos que sua probabilidade é 0.
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Probabilidade
O conhecimento de probabilidade constrói a base que nos
permite entender como a inferência estatística e as técnicas de auxílio
de decisão são desenvolvidas, porque elas funcionam, e como as
conclusões obtidas a partir desses procedimentos podem ser
apresentados e interpretadas corretamente.
Probabilidade
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Experimentos probabilísticos ou aleatório
- O experimento qualquer processo que gere um conjunto de dados.
Um experimento pode resultar em diferentes resultados, mesmo que seja
repetido sempre da mesma maneira várias vezes, é chamado de experimento
aleatório.
Experimento se refere a um ensaio científico destinado à certificação de
um fenômeno.
Características de um experimento aleatório:
- Cada experimento pode poderá ser repetido indefinidamente sob as
mesmas condições;
- Embora não se possa afirmar que resultado particular ocorrerá, é
sempre possível descrever o conjunto de todos os possíveis
resultados de um experimento;
- Quando o experimento for realizado repetidamente os resultados
individuais parecem ocorrer de forma acidental. Contudo, se o
experimento for repetido um grande número de vezes, uma certa
regularidade surgirá.
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Exemplos de experimentos aleatórios:
- E1: Ensaiar uma lâmpada quanto a duração da vida até queimar.
- E2: Registrar as vazões num certo rio, no mesmo mês, dia e hora em anos
sucessivos.
- E3: Jogar um dado ao ar e observar a sua face superior.
- E4: Seleção de três itens ao acaso de uma linha de fabricação. Cada ítem
é inspecionado e classificado com defeituoso ou não defeituoso.
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Espaço Amostral
- O conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento estatístico é
chamado de espaço amostral e é representado pelo símbolo S ou também Ω
(Omega).
- S1 = {t | t ≥ 0}
- S2 = {q | 0≤q≤qmáx.}
- S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- S4 = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD,NDN,NND, NNN} sendo D = defeituoso e N =
não defeituoso.
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- S4 = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD,NDN,NND, NNN} sendo D = defeituoso e N =
não defeituoso.
D
N
D
N
D
N
D
N
D
N
D
N
D
N
Primeiro 
item
Segundo
item
Terceiro 
item
Ponto 
amostral
DDD
DDN
DND
DNN
NDD
NDN
NND
NNN
Espaço Amostral
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Eventos
Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Exemplos:
1. Lançamento de dado S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {sair número par} = { 2, 4, 6}
B = {sair número maior que 4} = { 5, 6}
2. S4 = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD,NDN,NND, NNN} sendo D = defeituoso e N = 
não defeituoso.
A = {número de peças defeituosas exatamente igual a 2} = {DDN, DND, NDD}
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A união de dois eventos é o evento que consiste de
todos os resultados que estão contidos em qualquer
um dos eventos originais.
Simbolicamente A U B.
A interseção de dois eventos é o evento que consiste 
de todos os resultados que estão contidos em ambos 
os eventos originais (ou seja, estão em comum).
Simbolicamente A ∩ B. 
O complemento de um evento em espaço amostral
corresponde ao conjunto de resultados que não
fazem parte do evento original.
Simbolicamente Ac ou Ā.
Diagrama de Venn
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Eventos mutuamente exclusivos:
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer
simultaneamente, isto é, A ∩ B = Ø.
Exemplo: S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Considerando os eventos associados a S3: A = {1}; B = {5, 6}; C = {2, 4, 6}.
- A e B são mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Ø.
- A e C são mutuamente exclusivos pois A ∩ C = Ø.
- B e C não são mutuamente exclusivos pois B ∩ C = {6}.
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Probabilidade de um evento
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Probabilidade varia de 0 a 1.
- 0 para eventos que nunca irão ocorrer.
- 1 para o evento que sempre irá ocorrer.
A probabilidade de um evento A é a soma das probabilidades de todos os pontos 
amostrais de A.
0 ≤ P(A) ≤1, P (Ø) = 0 e P(S) = 1
- Para eventos mutualmente exclusivos:
- Se os eventos A1, A2, A3, ... An e uma sequência de eventos mutuamente 
exclusivos, então:
- P(A1U A2 U A3U ... An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3)+ ... + P(An ) 
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Exemplos:
- Uma moeda é jogada duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos 
uma cara? 
- Espaço amostral:
K = cara
C = Coroa
S = {KK, KC, CC, CK} A = {KK, KC, CK}
P(A)= 1 + 1 + 1 = 3
4 4 4 4 
- Desse modo, modo a probabilidade do evento A, associado a um espaço amostral
finito equiprovável, é dada por:
P(A) = NCF
NCP
Sendo: NCF = Número de casos favoráveis ao evento A
NCP = Número de casos possíveis pelos que pode ocorrer 
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Exemplo: Três cavalos, A, B e C estão numa corrida. A vitória do cavalo A é duas
vezes mais provável do que de B e a vitória B é duas vezes mais provável que de C.
Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)?
Qual é a probabilidade de B ou C ganhe? (Eventos mutuamente exclusivos)
Seja P(C) = p P(B) = 2p P(A) = 4p
Somas das probabilidades = 1
p + 2 p + 4 p = 1
7p = 1
p=1/7 
P(A) = 4/7 P(B) = 2/7 P(C)=1/7
P(B U C) = P (B) + P(C)
P(B U C) = 2/7 + 1/7 = 3/7
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Exemplos:
- Seja E o experimento relativo ao lançamento de um dado honesto. Seja A o
evento ocorrência da face 6.
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- P (A) = 1
6
- Considerando ainda o mesmo experimento, seja B o evento ocorrência de uma 
face par. 
- B = {2, 4, 6}
- P (A) = 3 = 1
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Regra aditiva da probabilidade
Em união de eventos
A união de eventos é dada por todos os pontos que são comuns em pelo um dos 
eventos que estão sendo reunidos e a interseção refere-se a todos os pontos que 
são comuns a ambos o eventos. 
- P(A U B) = P (A) + P(B) estamos somando P (A ∩ B) duas vezes. Assim deve 
subtrair P (A ∩ B).
Então: P(A U B) = P (A) + P(B) - P (A ∩ B)
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A ∩ B
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Exemplo:
João vai se forma em engenharia industrial no final do semestre. Depois de ser
entrevistado por duas empresas, ele avalia que a probabilidade de conseguir uma
oferta da empresa A é de 0,8 e da empresa B é 0,6. Se, por outro lado, ele crê
que a probabilidade de conseguir uma oferta das duas empresas é de 0,5, qual a
probabilidade é a probabilidade que ele consiga uma oferta de pelo menos uma
empresa.
P(A U B) = P (A) + P(B) - P (A ∩ B)
= 0,8 + 0,6 – 0,5
= 0,9
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Em uma amostra de 260 nascimentos registrou-se o sexo e a cor 
da pelagem dos animais 
Cor Sexo Total
Macho Fêmea
Branca 32 33 65
Cinza 65 64 129
Preta 34 32 66
Total 131 129 260
Qual a probabilidade associada a cada evento? 
Eventos: P (Pelagem branca e animal macho) = 32/260
P (Pelagem preta e animal macho) = 34/260 
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Em uma amostra de 260 nascimentos registrou-se o sexo e a cor 
da pelagem dos animais 
Cor Sexo Total
Macho Fêmea
Branca 32 33 65
Cinza 65 64 129
Preta 34 32 66
Total 131 129 260
E 1 {Nascimento de fêmeas}
E 2 {Nascimento de animal com pelagem branca}
P(E1U E2) = P(E1) + P(E 2) - P(E1 ∩ E2)
P(E1U E2) = 129/260+65/260-33/260 = 161/260
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Probabilidade complementar: 
- Dois eventos são ditos complementares quanto a sua união resulta em S 
(espaço amostral) e sua interseção Ø. 
A e Ac são eventos complementares:
- P(A) + P( Ac) = 1
- P( Ac) = 1 - P(A) 
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Exemplos:
De acordo com determinada pesquisa a provável localização de computadores
pessoais em uma residência é:
-Quarto do adulto: 0,03
-Quarto de criança: 0,15
-Outro quarto: 0,14
-Escritório ou gabinete: 0,40
-Outros cômodos: 0,28 
A) Qual é a probabilidade de um computador está no quarto?
B) Qual a probabilidade de que o computador não esteja no quarto?P(Q) = 0,03 + 0,15 + 0,14 = 0,32
P(Qc) = 1 - P(Q)
P(Qc) = 1 - 0,32
P(Qc) = 0,68
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Exemplo:
Sobre a vida útil de um determinado componente eletrônico. Suponha que se saiba
que a probabilidade de que esse componente sobreviva mais que 6000 horas é
0,42. Suponha, também, que a probabilidade de que tal componente sobreviva não
mais que 4000 horas é de 0,04.
a) Qual a probabilidade de que a vida útil do componente seja menor ou igual a
6000 horas?
b) Qual a probabilidade de que a vida útil do componente seja maior que 4000
horas?
P (<6000c) = 1 - P(>6000)
P(<6000c) = 1 - 0,42
P(<6000c) = 0,58
P (>4000c) = 1 - P(<4000)
P(>4000c) = 1 - 0,04
P(>4000c) = 0,96
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Se as probabilidade de um mecânico de automóveis consertar 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 em 
qualquer dia de trabalho é 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10 e 0,07 respectivamente.
A) Qual a probabilidade de que não mais do que quatro carros sejam consertados 
pelo mecânico? 
B) Qual a probabilidade de o mecânico consertar menos de oito carros?
P(A) = P(3) + P (4)
P(A) = 0,12 + 0,19
P(A) = 0,31
P(B) = 1 – P(8)
P(B) = 1 – 0,07
P(B) = 0,93
ou 
P(B) = 0,12+0,19+0,28+0,24+0,10= 0,93 
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Probabilidade condicional
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Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. A probabilidade do evento B 
é condicionada a o ocorrência do evento A, ou seja, a probabilidade condicional de 
B dada por: 
P (B/A) = P(B ∩ A)
P(A) desde de que P(A)>0.
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Em uma amostra de 260 nascimentos registrou-se o sexo e a cor 
da pelagem dos animais 
Cor Sexo Total
Macho Fêmea
Branca 32 33 65
Cinza 65 64 129
Preta 34 32 66
Total 131 129 260
Eventos:
E 1 {Nascimento de fêmeas}
E 2 {Nascimento de animal com pelagem branca}
A probabilidade de nascer um animal com pelagem branca dado que nasceu uma 
fêmea.
P (E 2 / E 1) = P(E 2 ∩ E 1)
P(E 1)
= 33/260 = 33 
129/260 129
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Os dados abaixo referem a 200 alunos matriculados em determinado instituto
de matemática.
Curso Sexo Total
Masculino Feminino
Matemática 60 50 110
Estatística 80 10 90
Total 140 60 200
Qual seria a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida:
A) Estar matriculada em matemática?
B) Estar matriculada em matemática, dado ser do sexo masculino?
C) Ser sexo masculino?
D) Estar matriculado em matemática, dado ser do sexo feminino?
Eventos independentes
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A realização de um evento não afeta a realização do outro.
Dois eventos são independentes se somente se:
P(A∩B) = P(A).P(B) 
- Portanto, para obter a probabilidade de que ambos os eventos ocorrerão,
simplesmente determinamos o produto das duas probabilidades individuais.
Exemplo: Em uma cidade há um caminhão de bombeiros e uma ambulância
para as emergências. A probabilidade de que o caminhão de bombeiros esteja
disponível quando necessário é de 0,98 e a da ambulância é de 0,92. No caso da
ocorrência de um incêndio em um prédio, determine a probabilidade de a
ambulância e o caminhão de bombeiros estão disponíveis.
P(A∩B) = P(A).P(B)
= (0,98) . (0,92) = 0,9016 
Distribuição de Variáveis Aleatórias
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Capítulo 4. Distribuição normal ou de 
Gauss
Distribuição normal ou de Gauss
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É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo aplicada em
inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teórico da
inferência estatística.
Conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.
2
2)(
2
1
2
1
)( 

ux
exf



Notação: X~N(μ;σ2): X tem distribuição normal com média μ e variância σ2.
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Características da curva normal 
- Forma de um sino, com caudas assintóticas ao
eixo x. Teoricamente os valores podem variar de
desde -∞ até + ∞. Na prática, no entanto, utiliza-
se a curva normal com limites finitos.
- A curva é simétrica em relação à perpendicular
que passa pela média (μ) .
- A media, mediana, moda são coincidentes.
- A curva tem dois pontos de inflexão, que
correspondem a valores de x situados,
respectivamente, à distância de um desvio
padrão (σ) acima e abaixo da média.
- A área sob a curva totaliza 1 ou 100%.
- Aproximadamente 68% dos valores de x situam-
se entre os pontos (μ - σ) e (μ + σ).
- Aproximadamente 95% dos valores de x estão
entre (μ - 2σ) e (μ + 2σ).
- Aproximadamente 99,7% dos valores de x estão
entre (μ - 3σ) e (μ + 3σ)
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Curva normal padronizada ou curva normal reduzida
- μ = 0 desvio padrão σ = 1
- As áreas abaixo da curva estão tabeladas;
- Variável tabelada é denominada z, a letra x é utilizada para a variáveis do 
mundo real. 
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35
Transformação de variaríeis descontinuas ou assimétricas 
- x’ = log x 
- x’ = ln x
- x’ = √ x
- x’ = 1/x
- x’ = x2
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Exemplo 1.
1. Qual a área que corresponde a 
valores de z acima de 2,3?
- A área abaixo da curva = 1, portanto 
a área à direita é 0,5.
- Na tabela, a área entre z = 0 e z=2,3 
é 0,4893. 
- A área à direita de 2,3 é 0,5 - 0,4893 
= 0,0107.
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Exemplo 2.
2. Qual a área compreendida entre z = 
-1,5 e z = 1?
- Na tabela, a área entre z = 0 e z= -1,5 
é 0,4332
- Na tabela, a área entre z = 0 e z= 1 é 
0,3413 
- A área compreendida entre z = -1,5 
e z = 1
- = 0,4332 + 0,3413 = 0,7745.
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Exemplo 3.
Considere a área B localizada na
extremidade direita de uma curva normal
compreendendo 20% da área total. Que
valores de z limitam essa região?
- Como curva apresenta informação
sobre áreas adjacentes a 0.
A = 0,50 – B (0,20) = 0,30.
- A área tabelada mais próxima de 0,30
é 0, 2996.
- Z = 0,84 limita as áreas A e B.
- Os valores de Z que limite da área de
B são z = 0,84 e Z = + ∞
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Transformação de uma variável x em z 
As variáveis observadas na prática (x) apresentam valores cujas áreas não estão
tabeladas.
- μ e σ são a média e o desvio padrão da população.



x
z
Exemplo 
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Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando o serviço militar
em determinado quartel aqueles com estatura mínima de 180cm par forma um time
de basquete. Que percentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se
que a estatura tem distribuição normal e nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio
padrão de 6 cm?
83,0
6
175180
 180 x
0
6
175175
 175 x














x
zPara
x
zPara
41
A área entre z = 0 e z= 0,83 é 0,2967.
A área além de 0,83 é:
0,5 – 0,2967 = 0,2033
Portanto 20,33% dessa população é
constituído por indivíduos com estatura
igual ou superior a 180 cm.
42
4,247
6,25273
2736,25
20
273
28,1







x
x
x
x
x
z


Exemplo 
Em um estudo de genética do desenvolvimento da mosca-das-frutas visa
selecionar indivíduos precoces, aqueles que emergem antes dos demais. O
tempo decorrido entre a ovoposição e a emergência do adulto, é de 273 horas
em média, com desvio padrão de 20 horas. Suponha que o geneticistas deseje
selecionar 10% da população, correspondendo aos indivíduos que emergem
primeiro, para desenvolver a população precoce. Qual o tempo limite a partir do
qual os indivíduos que nascem não interessa mais o pesquisador?
0,50 - 0,10 = 0,40
z = - 1,28
Os indivíduos que levarem
mais de 247 horas para se
tornarem adultos serão
descartados.
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Exercícios:
1. Calcule:
a) P (Z<1,82)
b) P (Z<-2,03)
c) P (-2,55<Z<1,20)
d) P (Z>1,93) 
Respostas: a) 0,9656 b) 0,0212 c) 0,8795 d) 0,0268 
2. Se X~N (100, 25), 
calcule:
a) P (X>110)
b) P(95<X<105) 
Respostas: a) 0,0228 b) 0,6826
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3. O diâmetro de um cabo elétrico apresenta média 0,8 mm e variância
0,0004 mm2. Dentre de uma amostra de 1000 cabos, quantos esperamos
que tenha diâmetro:
a) Maior que 0,81 mm.
b) Entre 0,73 e 0,86 mm.
c) Menor que 0,78 mm.
Respostas: a) 308,5 b) 998,7 c) 158,7