Integrais Duplas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de Integração Dupla.
PROPÓSITO
Definir a integral dupla e suas propriedades por meio das integrais simples iteradas em coordenadas cartesianas e em
coordenadas polares, bem como a integração dupla em alguns problemas de cálculo integral com duas variáveis.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora
de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral dupla
MÓDULO 2
Calcular a integral dupla na forma polar
MÓDULO 3
Aplicar o conceito de integração dupla
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Calcular a integral dupla
INTRODUÇÃO
A integração definida, estudada no cálculo de uma variável, foi uma operação criada por meio de um somatório para
resolver problemas que envolviam determinação de áreas.
AO SE APLICAR PROCEDIMENTOS ANÁLOGOS, SERÁ DEFINIDA A INTEGRAL
DUPLA, POR MEIO DE UM SOMATÓRIO DUPLO, COM O OBJETIVO PRINCIPAL
DE CALCULAR VOLUME DE UM SÓLIDO GERADO ENTRE O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO ESCALAR DO R² E O PLANO XY
Este módulo definirá a integração dupla e ensinará a realizar o seu cálculo.
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
Você já deve ter estudado o procedimento em que se substituía a área, que se desejava calcular, por um somatório de
áreas retangulares. Esse somatório era denominado soma de Riemann.
Vamos relembrar, rapidamente, esse procedimento.
SOMA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES REAIS
Desejava-se obter a área entre uma função real f(x), isto é, de apenas uma variável real, e o eixo x, para um domínio
definido pelo intervalo [a,b], com a e b reais.
O primeiro passo foi a criação de uma partição P desse intervalo P= {u0, u1, ..., un}, que dividia [a,b] em n subintervalos
[ui − 1, ui], tal que a = u0 < u1 < ... < un − 1 < un =b.
A amplitude de cada subintervalo [ui − 1, ui] era dada por Δui = u1 − ui − 1.
Depois, em cada subintervalo [ui − 1, ui] da partição P, foi escolhido, arbitrariamente, um ponto pi. Assim, foi definida a
soma de Riemann de f(x) em relação à partição P e ao conjunto de pontos pi por meio da expressão:
∑
N
I = 1F PI ∆ UI = F P1 ∆ U1 + F P2 ∆ U2 + … + F PN ∆ UN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cada parcela f pi ∆ui pode ser analisada com a área de um retângulo de base ∆ui e altura f pi . Portanto, podia-se
cobrir toda a área por um conjunto de retângulos correspondente a cada subintervalo da partição do domínio [a,b],
conforme mostra a Figura 1.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Dessa forma, a soma de Riemann foi vista como uma boa aproximação para o valor da área desejada.
 
Fonte: O autor
 Figura 1
É óbvio que essa aproximação ficava cada vez melhor quando se diminuía a largura da base dos retângulos, por meio
do aumento do número de subintervalos da partição P. Quando esse número de retângulos tendia para infinito, tinha-se
a melhor aproximação.
COM ISSO, FOI POSSÍVEL DEFINIR A INTEGRAL DEFINIDA COMO UM LIMITE
DA SOMA DE RIEMANN PARA QUANDO O NÚMERO DE SUBINTERVALOS
TENDE AO INFINITO:
∫
B
AF ( X ) DX = LIM
N → ∞
∑
N
I = 1F PI ∆ UI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOMA DUPLA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES ESCALARES
A integral dupla será uma operação matemática definida para uma função escalar com domínio em um subconjunto do
R², isto é, dependendo de duas variáveis reais.
Seja um retângulo fechado R definido por:
R = ( X , Y ) ∈R2 / A ≤ X ≤ B E C ≤ Y ≤ D , COM A, B, C E D REAIS.
( )
{ }
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 COMENTÁRIO
De forma análoga ao realizado no caso da função de uma variável com o intervalo [a,b], vamos definir uma partição P
para o retângulo R. A diferença, agora, é que essa partição é por área, envolvendo duas dimensões.
Seja P1 :a≤x0 <x1 < … <xn=b eP2 :c≤y0 <y1 < … <ym=d partições dos intervalos [a,b] e [c,d], respectivamente. As
amplitudes dos intervalos serão definidas por ∆xi e ∆yj.
O conjunto definido por:
P = XI , YJ / 0 ≤ I ≤ N E 0 ≤ J ≤ M , I E J INTEIROS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominado de partição do retângulo R.
Para esse caso, a partição P determinará m.n retângulos, cada qual definido por:
RIJ = ( X , Y ) ∈R2 / XI - 1 ≤ X ≤ XI E YJ - 1 ≤ Y ≤ YJ
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Fonte: GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013
 Figura 2
Considere, agora, um conjunto S ⊂ R². O conjunto S será limitado se existir um retângulo R, tal que todo S está contido
nesse retângulo, isto é, S ⊂ R.
{ ( ) }
{ }
 ATENÇÃO
Agora já podemos utilizar procedimentos semelhantes e definir a soma dupla de Riemann para a função escalar com
domínio no R². Seja a função escalar f(x,y) com domínio no conjunto S ⊂ R², com S limitado. Assim, existirá um
retângulo R, tal que S está totalmente contido em R.
Seja a partição P do retângulo R, isto é, P= { (xi ,yj e 0≤j≤m}, com i e j inteiros. Para cada sub-retângulo Rij da partição
P, escolhe-se um ponto pij arbitrariamente.
PIJ=UI,VJ, COM XI-1≤UI≤XI E YJ-1≤VJ≤YJ
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DESEJAMOS DEFINIR UM SOMATÓRIO CUJAS PARCELAS SERÃO DO TIPO
F(PIJ)∆XI∆YJ. O PROBLEMA É QUE A FUNÇÃO F(X,Y) SOMENTE É DEFINIDA
PARA S, E OS PONTOS PIJ PODEM CAIR EM UMA REGIÃO DO RETÂNGULO R
QUE NÃO PERTENCE A S.
Por exemplo, na Figura 3 a seguir, o ponto p11 está contido em S, existindo, portanto f(p11). No entanto, o ponto p34, não
está contido em S, não sendo possível definir f(p34).
 
Fonte: O autor
 Figura 3
Para resolver esse problema, usaremos a seguinte definição para f(pij):
FPIJ=FPIJ, SE PIJ∈S0, SE PIJ∉S
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Agora, podemos definir a soma dupla de Riemann da função f(x,y) relativa a uma partição P e aos pontos arbitrários pij,
pela expressão:
∑I=0N∑J=0MFPIJ∆XI∆YJ
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Se o valor de fpij≥0, a parcela fpij∆xi∆yj pode ser interpretada como o volume do paralelepípedo de base no retângulo Rij
e alturafpij, conforme mostra a figura 4. Caso o valor de fpij<0, a parcela representará o volume do paralelepípedo
multiplicado por (– 1).
 ATENÇÃO
Repare que, como os pontos que não pertencem a S tem valor de função zero, as parcelas do somatório referentes a
eles serão nulas. Portanto, a soma dupla de Riemann em S será igual à soma dupla de Riemann em R.
 
Fonte: GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013
 Figura 4
Se f(x,y) ≥ 0 para todos os pontos do seu domínio S, a soma dupla de Riemann pode ser considerada uma aproximação
do volume do sólido formado entre o gráfico da função z = f(x,y) e o plano xy, para a região S definida pelo seu domínio.
Para o caso de se ter, em alguns pontos, f(x,y) < 0, a soma dupla de Riemann será a aproximação da diferença entre (o
volume do sólido formado por f(x,y) acima do plano xy) e (o volume do sólido formado por f(x,y) abaixo do plano xy).
 COMENTÁRIO
É obvio que, quanto menor for a base dos paralelepípedos definidos na partição ou quanto maior for o número deles (n e
m tendendo a infinito), melhor será a aproximação do volume do sólido pela soma de Riemann.
Portanto, a integral dupla da função f(x,y) na região S será definida por um limite da soma dupla de Riemann:
∬SFX,YDXDY=LIM∆→0 ∑I=0N∑J=0MFPIJ∆XI∆YJ
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em que ∆ → 0 representa que todas as amplitudes de ∆xi e ∆yj tendem para zero.
Se o limite existir, então a função f será integrável em S, e o valor da integral dupla será o valor obtido pelo cálculo do
limite.
De forma similar, f(x,y) será denominada de integrando, e a integral dupla terá um limite inferior e superior de integração
para cada uma das integrais.
EXEMPLO 1
Determine ∬S3 dxdy, em que S é o retânguloformado por 0≤x≤2 e 0≤y≤3.
SOLUÇÃO
∬S3DXDY=LIM∆→0 ∑I=0N∑J=0MFPIJ∆XI∆YJ
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Entretanto, fpij=3, para todos pij
∬S3DXDY=LIM∆→0 ∑I=0N∑J=0M3∆XI∆YJ
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∑I=0N∑J=0M3∆XI∆YJ=3∑I=0N∑J=0M∆XI∆YJ=3∑I=0N∆XI∑J=0M∆YJ
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Pela propriedade da soma telescópica:
∑K=0T∆ZK=ZT-Z0
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Assim:
3∑I=0N∆XI∑J=0M∆YJ=3B-AD-C=3.2-0.3-0=18
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∬S3DXDY=LIM∆→0 ∑I=0N∑J=0M3∆XI∆YJ=LIM∆→0 18=18
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DA MESMA FORMA QUE OCORREU COM O CÁLCULO DE INTEGRAIS SIMPLES,
A DETERMINAÇÃO DAS INTEGRAIS DUPLAS NÃO SERÁ FEITA PELO
CÁLCULO DO LIMITE DE SUA DEFINIÇÃO, CONFORME VISTO NO EXEMPLO
ANTERIOR. EM TÓPICO POSTERIOR, SERÁ ESTUDADO O TEOREMA DE
FUBINI, QUE NOS PERMITE CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR MEIO DO
CÁLCULO DE DUAS INTEGRAIS SIMPLES.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA
Podemos apresentar algumas propriedades para a integral dupla. A demonstração de todas elas é feita por meio de sua
definição pela soma dupla de Riemann.
Considere as funções f(x,y) e g(x,y) integráveis em S e k uma constante real:
1)
∬SF(X,Y)±G(X,Y)DXDY=∬SF(X,Y)DXDY±∬SG(X,Y)DXDY
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2)
∬SKF(X,Y)DXDY=K∬SF(X,Y)DXDY
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3) Se f(x,y) ≥ 0 em S:
∬SF(X,Y)DXDY≥0
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 ATENÇÃO
Pode-se utilizar a mesma analogia para f(x,y) ≤ 0, f(x,y) > 0 e f(x,y) < 0.
4) Se f(x,y) ≥ g(x,y) em S:
∬SF(X,Y)DXDY≥∬SG(X,Y)DXDY
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Obs.: Pode-se usar a mesma analogia para f(x,y) ≤ g(x,y), f(x,y) > g(x,y) e f(x,y) < g(x,y)
5) Seja S1 e S2, tais que S1 ∪ S2 = S e S1 ∩ S2 = ∅
 
∬SF(X,Y)DXDY=∬S1F(X,Y)DXDY+∬S2F(X,Y)DXDY
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CÁLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS
No cálculo integral de uma variável, foi estudado que era possível se calcular as integrais definidas de uma forma mais
direta, usando as integrais imediatas por meio do Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, não se necessitava
determinar as integrais pelo cálculo do limite da soma de Riemann.
Para o caso da integral dupla, o cálculo do limite da soma dupla de Riemann é ainda mais complicado. Desse modo,
buscaremos uma alternativa mais simples.
A SOLUÇÃO SERÁ CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR MEIO DE DUAS
INTEGRAIS SIMPLES, QUE SERÃO DENOMINADAS DE INTEGRAIS ITERADAS,
COM PROCEDIMENTO DEFINIDO PELO TEOREMA DE FUBINI E SEUS
COROLÁRIOS.
TEOREMA DE FUBINI
O Teorema de Fubini não será demonstrado neste Tema, mas daremos uma interpretação geométrica para o caso
de f(x,y) positivo que justificará a sua validade.
Seja f(x,y) uma função escalar, integrável, definida em S ⊂ R2. O conjunto S é um retângulo definido por
S=X,Y ∈R2/ A≤X≤B E C≤Y≤D
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com a,b,c e d reais.
Mantendo a variável y fixa, podemos integrar parcialmente f(x,y) em relação a variável x pela expressão:
AY=∫ABFX,YDX, Y∈C,D
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 ATENÇÃO
A integração apresentada segue a mesma lógica da derivada parcial, isto é, integra-se em x, mantendo a variável y
constante.
Para cada valor fixo de y, dentro do intervalo [c,d], por exemplo y0 , obteremos uma função A(y0). Para o caso de f(x,y0)
≥ 0, essa função pode ser interpretada como a área entre o gráfico da função f(x,y0) e o plano xy.
Vejamos a Figura 5 a seguir:
javascript:void(0)
 
Fonte: GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013
 Figura 5
Podemos, então, enxergar o cálculo do volume do sólido entre f(x,y) e o plano xy por meio da soma de vários prismas
com base dada por A(y) e a altura dada por dy, para c ≤ y ≤ d.
Portanto:
∬SFX,YDXDY=∫CDAYDY=∫CD∫ABFX,YDXDY
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A integral ao lado direito da expressão apresentada é denominada integral iterada. Esse nome se deve ao fato de que,
primeiro, integramos parcialmente em relação a uma variável e, depois, integraremos em relação a outra. O uso ou não
dos colchetes separando as integrais é opcional.
NA INTEGRAL INDICADA, OS VALORES A E B SERÃO OS LIMITES DA
INTEGRAL EM X, E DE C E D LIMITES DA INTEGRAL EM Y. A ORDEM DA
COLOCAÇÃO DE DX E DY DEVE SEGUIR O APRESENTADO, ISTO É, O
PRIMEIRO DIFERENCIAL SE REFERE À INTEGRAL DE DENTRO E O ÚLTIMO
DIFERENCIAL A INTEGRAL DE FORA. 
Vamos, agora, enunciar o Teorema de Fubini após ter visto uma justificativa de sua validade.
TEOREMA DE FUBINI
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no retângulo por
S=X,Y ∈R2/ A≤X≤B E C≤Y≤D
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Suponha que ∫abfx,ydx exista para todo c ≤ y ≤ d e que ∫cdfx,ydy exista para todo a ≤ x ≤ b, então:
∬SFX,YDXDY=∫CD∫ABFX,YDXDY=∫AB∫CDFX,YDYDX
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Observe que, para esse caso, tanto faz integrar parcialmente em relação à variável x e depois y, ou vice-versa. Em
certos casos, a escolha da ordem de integração pode simplificar ou complicar o cálculo da integral.
REPARE NA NOTAÇÃO QUE, DEPENDENDO DA ORDEM ESCOLHIDA, A
POSIÇÃO DE DX E DY MUDA. COMO DITO, OS LIMITES DA INTEGRAL DE
DENTRO ESTÃO RELACIONADAS AO PRIMEIRO DIFERENCIAL QUE APARECE
E DA INTEGRAL DE FORA AO SEGUNDO DIFERENCIAL
Pode ser provado que, para o caso de se ter f(x,y) = g(x)h(y), a integral dupla para quando os limites são numéricos
pode ser analisada como um produto de duas integrais simples.
∬SFX,YDXDY=∫CD∫ABGXH(Y)DXDY=∫ABGXDX∫CDHYDY
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Por exemplo:
∫CD∫AB8 XY2DXDY=∫AB8XDX∫CDY2DY
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Por fim, como a integral dupla será calculada com a determinação de duas integrais simples, é importante relembramos
as integrais simples imediatas e os métodos de integração estudados no cálculo de uma variável.
EXEMPLO 2
Determine o valor de ∬S2x2+3ydxdy, em que S é um retângulo definido por 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 4.
SOLUÇÃO
Usando as integrais iteradas:
∬S2X2+3YDXDY=∫04∫132X2+3YDXDY
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ou
∬S2X2+3YDXDY=∫13∫042X2+3Y DYDX
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Escolheremos a segunda, mas você pode realizar a primeira como exercício e verificar o mesmo resultado.
∬S2X2+3YDXDY=∫13∫042X2+3Y DYDX
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Vamos integrar parcialmente ∫042x2+3ydyy em relação à variável y, mantendo x constante. Lembremos da regra de
integração:
∫YΒ DY=YΒ+1Β+1+K, K REAL E Β≠1 E ∫K DY=Y+K, K REAL
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Então:
AX=∫042X2+3YDX=2X2Y04+3 12Y204=2X24-0+3242-02=8X2+24
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Portanto:
∬S2X2+3YDXDY=∫138X2+24DX
 
∫138X2+24DX=83X313+24X13=8333-13+243-1
 
∬S2X2+3YDXDY=83.26+24.2=2083+48=3523
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EXEMPLO 3
Calcule o volume do sólido formado por todos os pontos (x,y,z), tais que 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ y ≤ 2e e 0 ≤ z ≤ ln (xy).
SOLUÇÃO
Repare que o exercício está pedindo o cálculo do volume entre o gráfico de uma função z = f(x,y) e o plano xy. Observe
que f(x,y) ≥ 0 para todo seu domínio 1 ≤ x ≤ e,1 ≤ y ≤ e.
Esse volume pode ser obtido por meio da integral dupla:
∬SLN(XY)DXDY=∫1E∫12ELN XYDY DX=∫12E∫1ELN XYDX DY
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Resolvendo, inicialmente, em relação à variável x, mantendo a variável y constante:
∫1ELN XYDX =∫1E(LN X+LN Y)DX =∫1ELN X DX +∫1ELN Y DX 
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A segunda integral é mais rápida:
∫1ELN Y DX =LN Y ∫1EDX =LNY X1E=E-1LNY
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Na primeira integral, devemos utilizar a integração por partes:
∫1ELN X DX , ONDE U = LN X → DU=1X E DV = DX →V=X
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Assim:
∫1ELN X DX=X LN X1E-∫1EX1XDX=X LN X1E-∫1EDX=X LN X1E-X1E
 
∫1ELN X DX=(ELN E-1LN 1)-E-1=E-0-E+1=1
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Dessa forma
∫1ELN XYDX =1+E-1LN Y
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Retornando:
∬SLN(XY)DXDY=∫12E1+E-1LN Y DY
 
∫12E1+E-1LN Y DY= ∫12EDY+E-1∫12ELN Y DY
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a) ∫12edy=y12e=2e-1
b) e-1∫12eln y dy, usando a integral por partes já realizadas para o x:
∫LN Y DY=YLN Y-Y+K, K REAL
 
E-1∫12ELN Y DY=E-1Y LN Y12E-Y12E
 
E-12ELN 2E-1LN 1-[2E-1]=E-1(2ELN 2E-2E+1)
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No entanto:
LN 2E=LN2+LN E=LN 2+1
 
E-1(2ELN 2E-2E+1)=(E-1)(2ELN 2+2E-2E+1)=(E-1)(2ELN 2+1)
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Finalmente:
∬SLN(XY)DXDY=∫12E1+E-1LN Y DY=2E-1+E-12ELN2+1
 
∬SLN(XY)DXDY=2E-1+2E2LN2+E-2ELN2-1=3E-2+2E2LN2-2ELN2
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Até o momento, aplicamos o Teorema de Fubini para quando o domínio é um retângulo. Vejamos, agora, um corolário
desse teorema que permite calcular a integral dupla para qualquer domínio fechado de f(x,y).
Veremos que a única diferença em relação ao caso anterior é que, neste, os limites de integração da variável y
dependerão da variável x, ou vice-versa. A consequência disso é que não teremos mais a liberdade de escolher a ordem
das integrações.
TEOREMA DE FUBINI – COROLÁRIO 1
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no domínio S ⊂ R². Sejam c(x) e d(x) duas funções contínuas em [a,b] e tais
que c(x) ≤ d(x).
Seja o conjunto
S=X,Y ∈R2/ A≤X≤B E C(X)≤Y≤D(X)
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Então:
∬SFX,YDXDY=∫AB∫C(X)D(X)FX,YDYDX
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Observe que, como a variação de y depende de x, obrigatoriamente a integração parcial em relação à variável y deve
ser realizada primeiro.
TEOREMA DE FUBINI – COROLÁRIO 2
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no domínio S ⊂ R2. Sejam a(y) e b(y) duas funções contínuas em [c,d] e tais
que a(y) ≤ b(y).
Seja o conjunto
S=X,Y ∈R2/ A(Y)≤X≤B(Y) E C≤Y≤D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∬SFX,YDXDY=∫CD∫A(Y)B(Y)FX,YDXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma contrária, nesse caso, como a variação de x depende da variável y, a integração parcial em relação a x deve
ser feita primeiramente.
EXEMPLO 4:
Determine o valor de ∬S2x2+3ydxdy, em que
S=(X,Y)/ 0≤X≤1 E 0≤Y≤X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
Observe que, diferentemente do exemplo já resolvido para essa função, não estamos mais integrando em um retângulo,
mais, sim, em uma região, como mostra a Figura 6:
 
Fonte: O autor
 Figura 6
 ATENÇÃO
Como os limites da variável y dependerão de x, a integral parcial em y deve ser feita em primeiro lugar, uma vez que,
para um x fixo, a variável y irá variar de 0 até x.
Usando as integrais iteradas:
∬S2X2+3YDXDY=∫01∫0X2X2+3YDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar parcialmente ∫0x2x2+3ydy em relação à variável y, mantendo x constante.
AX=∫0X2X2+3YDX=2X2Y0X+3 12Y20X=2X2X-0+32X2-02=2X3+32X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∬S2X2+3YDXDY=∫012X3+32X2DX
 
∫012X3+32X2DX=24X401+32.13X301=1214-04+1213-03=12+12=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É óbvio que a região S poderia ser analisada de outra forma, escolhendo um valor de y e fazendo x variar entre 0 e y.
Assim, a integral também poderia ser resolvida como:
∬S2X2+3YDXDY=∫01∫Y12X2+3YDXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Só que, para esse caso, a integral parcial em relação à variável x deve ser feita primeiramente. Essa segunda solução
ficará como exercício para se verificar o mesmo resultado do anterior.
 ATENÇÃO
É preciso que as integrais sejam sempre separadas em regiões onde a dependência de uma variável em relação à outra
seja igual. Veja o caso representado na Figura 7 para um domínio S
 
Fonte: o Autor
 Figura 7
Repare que a variação de y em relação a x tem uma composição para a ≤ x ≤ b e outra para b ≤ x ≤ c. Dessa forma:
∬SF(X,Y)DXDY=∫AB∫C1(X)D1(X)FX,YDYDX+∫BC∫C2(X)D2(X)FX,YDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Determine o valor de ∬S2x2+3ydxdy, em que
S=(X,Y)/ 0≤X≤2 E 0≤Y≤G(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, e gx=x, 0≤x≤14, 1≤x≤2
SOLUÇÃO
Observe que, diferentemente do exemplo anterior, devemos dividir o intervalo de integração em razão de a dependência
da variação de y em relação a x ser diferente para cada intervalo.
∬S2X2+3YDXDY=∫01∫0X2X2+3YDYDX+∫12∫042X2+3YDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira integral ∫01∫0x2x2+3ydydx já foi realizada no exemplo anterior e vale 1.
Vamos resolver a segunda integral que está faltando ∫12∫042x2+3ydydx
Integrando, inicialmente, em y, ∫042x2+3ydy, mantendo a variável x constante:
∫042X2+3YDY=2X2Y04+3 12Y204=2X24-0+3242-02=8X2+24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫12∫042X2+3YDYDX=∫128X2+24DX
∫128X2+24DX=83X312+24X12=8323-13+242-1=643+48
∬S2X2+3YDXDY=1+643+48=2113
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Use a integração dupla para determinar o volume de um cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm.
SOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O VALOR DE ∫14∫02(2Y+3X) DYDX
A) 30 + 122
B) 152
C) 40
D) 54
E) 753
2. DETERMINE ∬SU SENUVDUDV, SENDO
S=U,V∈R2/ 0≤U≤1 E 0≤V≤Π2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 1+2π
B) 1-2π
C) 2π
D) 2π
E) 4-2π
3. DETERMINE O VALOR DA ∬SHU,VDUDV, EM QUE H(U,V) = 4UV² E A REGIÃO
S=U,V∈R2 / 0≤V≤2 E 2≤U≤V
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) -6415
B) -1285
C) -12815
D) -645
E) -25615
4. DETERMINE O VALOR DA ∬RFX,YDX DY, EM QUE F(X,Y) = 2LN(Y) E A REGIÃO
R=X,Y∈R2 / 1≤Y≤2 E 0≤X≤1Y
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) ln 2
B) ln 4
C) ln 8
D) (ln 4)²
E) (ln 2)²
5. DETERMINE ∬RGX,YDXDY, EM QUE G(X,Y) = X + 2Y E R É UM PARALELOGRAMO DE
VÉRTICES (0,0), (3,0), (2,2) E (5,2).
A) 27
B) 54
C) 76
D) 81
E) 98
6. DETERMINE A INTEGRAL DUPLA ∬S2XY+4X3DXDY, EM QUE S É A REGIÃO DELIMITADA
PELAS CURVAS Y = X² E X = 2 – Y, COM X ENTRE [0,2].
A) 2893
B) 2896
C) 3896
D) 5896
E) 5893
GABARITO
1. Determine o valor de ∫14∫02(2y+3x) dydx
A alternativa "C " está correta.
Como os limites de integração não dependem entre si, podemos integrar em qualquer ordem.
Integraremosparcialmente em relação ao y, mantendo a variável x constante:
∫02(2y+3x) dy=2 12y202+3x y02=22-02+3x2-0=4+6x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫14∫02(2y+3x) dydx=∫144+6xdx=4 x14+6 132x3214=4 x14+6 23x3214
 
∫14∫02(2y+3x) dydx=4 4-1+4432-132=12+444-1=12+32-4=40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine ∬Su senuvdudv, sendo
S=u,v∈R2/ 0≤u≤1 e 0≤v≤π2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Como os limites de integração não dependem entre si, podemos integrar em qualquer ordem.
∫01∫0π/2u senuvdv du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integraremos parcialmente em relação a v, mantendo a variável u constante:
∫0π/2u senuvdv=u∫0π/2 senuvdv=u 1u(-cos (uv)0π2
 
∫0π/2u senuvdv=-cosπ2u+cos 0=1-cosπ2u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫01∫0π/2u senuvdv du=∫011-cosπ2udu
 
∫011-cosπ2udu=∫01du-∫01cosπ2udu=u01-2πsenπ2u01
 
∫011-cosπ2udu=1-0-2πsenπ2-sen0=1-2π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine o valor da ∬Shu,vdudv, em que h(u,v) = 4uv² e a região
S=u,v∈R2 / 0≤v≤2 e 2≤u≤v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
∬Shu,vdudv=∫02∫2v4uv2dudv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A variação de u depende da variável v, de modo que devemos realizar a integral em relação a u primeiramente:
∫2v4uv2du=4v2∫2vudu=4v2 12u22v=2v2v2-22=2v4-8v2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∬Shu,vdudv=∫022v4-8v2dv=2 15v502-8 13v302=2525-8323
 
∬Shu,vdudv=645-643=-12815
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor da ∬Rfx,ydx dy, em que f(x,y) = 2ln(y) e a região
R=x,y∈R2 / 1≤y≤2 e 0≤x≤1y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
∬Rfx,ydx dy=∫12∫01y2 ln ydx dy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A variação de x depende da variável y, de forma que devemos realizar a integral em relação a x primeiramente:
∫01y2 ln ydx dy=2 ln y∫01ydx= 2 ln y1y-0=2y lny
 
∫12∫01y2 ln ydx dy =∫122y lny dy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição de variável:
u=ln y→du= 1y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim 2y lny=2u du
Para y = 1 → u = ln 1 = 0 e y = 2 → u = ln 2
∫122y lny dy=∫0ln22u du=u20ln 2=ln 22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine ∬Rgx,ydxdy, em que g(x,y) = x + 2y e R é um paralelogramo de vértices (0,0), (3,0), (2,2) e (5,2).
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
6. Determine a integral dupla ∬S2xy+4x3dxdy, em que S é a região delimitada pelas curvas y = x² e x = 2 – y,
com x entre [0,2].
A alternativa "B " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DE
∫01∫02(2YX+3X2) DYDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. DETERMINE O VALOR DE ∬S4XY DX EM QUE S É A REGIÃO DELIMITADA PELA RETA Y =
X E A PARÁBOLA Y = X², PARA X ENTRE [0,1].
A) 12
B) 14
C) 16
D) 23
E) 32
GABARITO
1. Determine o valor de
∫01∫02(2yx+3x2) dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
 
Como os limites de integração não dependem entre si, podemos integrar em qualquer ordem. Integraremos parcialmente
em relação ao y, mantendo a variável x constante:
∫02(2yx+3x2) dy=2x 12y202+3x2 y02=x22-02+3x22-0=4x+6x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫014x+6x2dx=4 12x201+6 13x301=21-0+21-0=2+2=4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de ∬S4xy dx em que S é a região delimitada pela reta y = x e a parábola y = x², para x entre
[0,1].
A alternativa "C " está correta.
 
Repare que os limites da variável x dependem de y, ou vice-versa. Vamos considerar o valor de x variando de [0,1] e,
assim, o valor de y irá variar entre os valores dados pela parábola e os valores dados pela reta.
Observe que, para x entre [o,1], a reta y = x sempre dará valores superiores do que a parábola y = x²
∫01∫x2x4xy dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
∫x2x4xy dy=4x 12y2x2x=2xx2-x22=2x3-2x5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫01∫x2x4xy dy dx=∫012x3-2x5dx=214x401-216x601
 
∫01∫x2x4xy dy dx=1214-1316=12-13=16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Calcular a Integral dupla na forma polar
INTRODUÇÃO
Em alguns problemas, devido à sua simetria, pode ficar mais fácil resolver a integral dupla transformando o integrando
para sua forma polar.
Este módulo apresentará o cálculo da integral dupla por meio de sua forma polar.
INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES
O sistema de coordenada polares já foi estudado para representar curvas no plano. Para definirmos esse sistema,
necessitamos de um ponto (origem) e de uma semirreta, que parte dessa origem, denominada eixo polar.
UTILIZANDO OS EIXOS CARTESIANOS X E Y, COLOCAMOS A ORIGEM DO
SISTEMA POLAR NA ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO, ISTO É, NO PONTO
O, QUE É A INTERSEÇÃO DOS DOIS EIXOS, E O EIXO POLAR SERÁ O EIXO
POSITIVO DO EIXO X.
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por ρ.
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por θ, medido no sentido anti-horário.
Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por P(ρ,θ).
 
Fonte: O autor
 Figura 08
A relação entre o sistema cartesiano (x,y) e polar (ρ,θ) será dado pelas equações:
X=Ρ COSΘY=Ρ SENΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
Ρ=X2+Y2TG Θ=YX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imaginemos, agora, a situação em que desejamos calcular a integral dupla ∬Sfx,ydxdy, na qual a região S pode ser
mais facilmente representada por sua equação polar do que sua equação retangular.
PARA ESSES CASOS, SERIA MAIS FÁCIL TERMOS UM MÉTODO DE RESOLVER
A INTEGRAL DUPLA COM A FUNÇÃO NA SUA FORMA POLAR. NO ENTANTO, A
INTEGRAL DUPLA É DEFINIDA POR MEIO DE UMA SOMA DUPLA DE RIEMANN,
QUE FOI DEFINIDA ATRAVÉS DE UMA PARTIÇÃO DO DOMÍNIO DA FUNÇÃO EM
RETÂNGULOS. DESSE MODO, TORNA-SE NECESSÁRIO, PARA O CASO DA
INTEGRAL EM COORDENADAS POLARES, RETOMARMOS À DEFINIÇÃO DA
INTEGRAÇÃO.
O desejo é obter os limites e integração determinados pelas variáveis polares ρ e θ. Assim, as partições da região S não
poderiam mais serem feitas na forma de retângulos que possuem áreas do tipo ∆x∆y , mas sim de retângulos polares,
que serão definidos por ∆ρ e ∆θ.
Portanto, a partição será dividida em sub-retângulos polares do tipo:
RIJ=ΡI,ΘJ/ΡI-1≤Ρ≤ΡI E ΘJ-1≤Θ≤ΘJ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: o Autor
 Figura 09
A área desse retângulo polar pode ser calculada pela subtração de dois setores circulares:
∆AIJ=12ΡI2∆ΘI-12ΡI-12∆ΘI=12∆ΘI(ΡI2-ΡI-12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ΡI2-ΡI-12=ΡI+ΡI-1ΡI-ΡI-1=ΡI+ΡI-1∆ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como vamos trabalhar com retângulo polares muito pequenos,pois faremos, posteriormente, o número de retângulo
tendendo a infinito ρi≈ρi-1→ρi+ρi-1=2ρi)
Assim
∆AIJ=12ΡI2∆ΘI-12ΡI-12∆ΘI=12∆ΘIΡI+ΡI-1∆ΡI=12∆ΘI2ΡI∆ΡI=ΡI∆ΘI∆ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso das coordenadas retangulares, a área de Rij era dada por ∆xi∆yi e deduzimos a soma dupla de Riemann como:
∑I=0N∑J=0MFPIJ∆XI∆YJ=∑I=0N∑J=0MFXPI,YPI∆AIJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para cada um desses sub-retângulos, será escolhido, arbitrariamente, um ponto pij, com coordenadas polares ρpi,θpj.
O valor da área infinitesimal em relação às coordenadas polares será ∆Aij=ρi∆θi∆ρi.
Assim, a soma dupla de Riemann será dada por:
∑I=0N∑J=0MFXPI,YPJ∆AIJ=∑I=0N∑J=0MFΡPICOSΘPJ,ΡPISENΘPJΡI∆ΘI∆ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da soma dupla de Riemann, temos:
∬SFX,YDXDY=∬SPFΡ COSΘ,Ρ SENΘ ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que S é o domínio da função f em coordenadas retangulares e Sp é o domínio da função f em coordenadas polares.
COMO AS INTEGRAIS SÃO CALCULADAS EM RELAÇÃO AOS LIMITES DE
INTEGRAÇÃO DIFERENTES, TORNA-SE NECESSÁRIO UM FATOR DE
CORREÇÃO NO INTEGRANDO. PARA O CASO DA TRANSFORMAÇÃO DE
COORDENADA RETANGULAR PARA POLAR, ESSE FATOR É Ρ, CONFORME
DEMONSTRAMOS PELOS NOSSOS CÁLCULOS.
Caso não fosse colocado o fator de correção ρ, os limites de integração em relação a ρ e θ não representariam uma
região de forma polar, mas, sim, um retângulo normal, não representando corretamente a região S.
 RESUMINDO
Seja f(x,y) integrável no retângulo polar definido por a≤ρ≤b e α ≤ θ ≤ β, com β- α menor do que uma volta completa, isto
é, β- α ≤ 2π. Então:
∬SFX,YDXDY=∫ΑΒ∫ABFΡ COSΘ,Ρ SENΘ ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de as variações angulares de θ dependerem da variável radial ρ, ou vice-versa, deve ser usado os
corolários do Teorema de Fubini para determinar a ordem de integração.
EXEMPLO 1
Determine o volume do cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm.
SOLUÇÃO
No item Teoria na Prática do Módulo 1, resolvemos esse exercício por meio de coordenadas retangulares, solucionando
a integral dupla:
∬SF(X,Y)DXDY=∫-33∫-9-X29-X210 DYDX=90Π CM3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, se observarmos o domínio S utilizado: x2 + y2 = 9, pela sua simetria, poderia ser representado pela curva
polar ρ = 3, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Desse modo:
∬SF(X,Y)DXDY=∫02Π∫0310 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os limites são números, podemos resolver a integrais iteradas em qualquer ordem, inicialmente, resolvendo em
relação à variável ρ:
∫0310 ΡDΡ=10∫03 ΡDΡ=1012Ρ203=532-02=45
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∬SF(X,Y)DXDY=∫02Π45 DΘ=45 Θ02Π=452Π-0=90Π CM3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Compare as duas soluções e veja como foi muito mais rápido pelo uso das coordenadas polares.
EXEMPLO 2
Determine ∬s2 cosx2+y2dxdy, sendo:
S=X,Y∈R2/X2+Y2≤1 E Y≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
A superfície S é uma semicircunferência de raio 1.
Como x2+y2=ρ2, em coordenadas polares, esta terá uma equação ρ = 1, com 0 ≤ θ ≤ π. O valor de θ foi limitado a π,
pois é apenas metade da circunferência e não ela inteira.
Convertendo a função cos(x2+y2 ) para coordenada polar, temos cos(ρ2 ).
Então:
∬S2 COSX2+Y2DXDY=∫0Π∫01COSΡ2 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, primeiramente, a integral em θ, mantendo ρ constante:
∫0ΠCOSΡ2 ΡDΘ=ΡCOSΡ2∫0ΠDΘ=ΡCOSΡ2 Θ0Π=ΠΡCOSΡ2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∫01COSΡ2 ΡDΡDΘ=∫01ΠΡ COSΡ2DΡ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a substituição u = ρ2 → du = 2ρdρ. Para ρ = 0 → u = 0 e ρ = 1 → u = 1
∫01ΠΡ COSΡ2DΡ=Π2∫01COSUDU=Π2 SEN(U)01
 
∫01ΠΡ COSΡ2DΡ=Π2 SEN(U)01=Π2SEN1-SEN(0)=Π2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Caso montássemos a integral de forma errada, como:
∫0Π∫01COSΡ2 DΡDΘ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
isto é, sem colocar o fator ρ, não estaríamos integrando em relação a um semicírculo de raio 1, mas sim em relação a
um retângulo de lados (π - 0 = π) e lado (1 – 0 = 1). Não sendo isso o que foi pedido no problema.
EXEMPLO 3
Determine o valor da integral ∬S4 ρdρdθ, em que S é uma região definida por
S=Ρ,Θ /-Π4≤Θ≤Π4 E 0≤Ρ≤2COSΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
∫-Π4Π4∫02COSΘ4 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a variação de ρ depende de θ, a integral de ρ deve ser feita primeiramente:
∫02COSΘ4 ΡDΡ=4 12Ρ202COSΘ=22 COSΘ2=8 COS2Θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
∫-Π4Π4∫02COSΘ4 ΡDΡDΘ=∫-Π4Π48 COS2Θ DΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo cos2θ=12cos (2θ)+12
∫-Π4Π48 COS2Θ DΘ=∫-Π4Π44COS 2Θ+4DΘ=4∫-Π4Π4COS (2Θ) DΘ+4∫-
Π4Π4 DΘ
 
∫-Π4Π48 COS2Θ DΘ=4 12SEN(2Θ)-Π4Π4+4 Θ)-Π4Π4=2SENΠ2-SEN-
Π2+4Π4--Π4
 
∫-Π4Π4∫02COSΘ4 ΡDΡDΘ=21+1+4Π4+Π4=4+2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este módulo apresentou apenas o caso das coordenadas polares. A análise também poderia ter sido feita com a
obtenção da expressão geral para mudança de variável em uma integral dupla, sendo a mudança de coordenadas
retangulares para polares um caso particular dessa expressão geral.
 DICA
As mudanças gerais não serão abordadas neste Tema, mas podem ser estudadas em nossa bibliografia de referência.
RESUMO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
Um reservatório de água tem a forma de um paraboloide de concavidade para baixo. Sua forma pode ser modelada por
meio de um sólido formado entre o paraboloide de equação z = 4 – x2 – y2 e o plano z = 0. Determine o volume desse
reservatório.
RESOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA CORRETAMENTE A INTEGRAL
∬S2XY DXDY, , EM QUE S É UMA SEMICOROA CIRCULAR LIMITADA PELAS EQUAÇÕES X² +
Y² = 1 E X² +Y² = 4 COM Y ≥ 0.
A) ∫02∫02πρ3 cos2θ dρdθ
B) ∫12∫0πρ3 sen2θ dρdθ
C) ∫12∫02πρ2 sen2θ dρdθ
D) ∫12∫0πρ3 cos2θ dρdθ
E) ∫02∫0πρ4 cos2θ dρdθ
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE PERMITE CALCULAR A INTEGRAL
∫0Π∫011+COS2Θ12Ρ4SEN2ΘCOS ΘDΡ DΘ POR MEIO DE SUA FORMA RETANGULAR.
A) ∫02∫-12-12x212-12x22x2y dy dx
B) ∫-11∫-12-12y212-12y24xy dy dx
C) ∫-21∫-1-2x21-2x2(x+y) dx dy
D) ∫01∫-12-12y212-12y2x2y dx dy
E) ∫01∫01-2x2(2x+y) dx dy
3. DETERMINE
∫04∫04-X2X2+2Y2DY DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
, USANDO A INTEGRAL NA FORMA POLAR.
A) π
B) 2π
C) 3π
D) 4π
E) 5π
4. DETERMINE O VOLUME DO SÓLIDO FORMADO ABAIXO DO PARABOLOIDE DE EQUAÇÃO
Z = X² + Y² E ACIMA DO DISCO X² + Y² ≤ 4.
A) 4π
B) 8π
C) 24π
D) 54π
E) 72π
5. A ÁREA DE UMA REGIÃO R PODE SER DETERMINADA PELA INTEGRAL DUPLA ∬RDXDY.
SEJA R A REGIÃO DEFINIDA POR -Π8≤Θ≤Π8 E ≤Ρ≤COS4Θ, MARQUE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA O VALOR DE SUA ÁREA.
A) π6
B) π64
C) π8
D) π32
E) π16
6. DETERMINE A INTEGRAL
∬R2(X2+Y2)DXDY
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
, ONDE R É UMA REGIÃO CONTIDA PELA FIGURA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO X² + Y² – 2X =
0.
A) π
B) 2π
C) 3π
D) 4π
E) 5π
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa corretamente a integral ∬S2xy dxdy, , em que S é uma semicoroa circular
limitada pelas equações x² + y² = 1 e x² +y² = 4 com y ≥ 0.
A alternativa "B " está correta.Usando a transformação de retangular para polar: x = ρ cosθ e y = ρ sen θ.
A circunferência x² + y² = 1 será representada por ρ² = 1 → ρ = 1.
A circunferência x² + y² = 4 será representada por ρ² = 4 → ρ = 2.
Como está limitada apenas para y ≥ 0, a variação angular será de 0 ≤ θ ≤ π.
Assim, a região S em coordenadas polares será representada por 1 ≤ ρ ≤ 2 com 0 ≤ θ ≤ π.
Por fim, f(x,y) = 2xy → f(ρ,θ) = 2ρ cosθ ρ senθ = 2ρ² cosθ senθ = ρ² sen(2θ).
Portanto
∬S2xy dxdy=∬Spfρ,θρ dρdθ
 
∬S2xy dxdy=∫12∫0πρ2 sen2θρ dρdθ=∫12∫0πρ3 sen2θ dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa correta é a letra B.
2. Marque a alternativa que permite calcular a integral ∫0π∫011+cos2θ12ρ4sen2θcos θdρ dθ por meio de sua forma
retangular.
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
3. Determine
∫04∫04-x2x2+2y2dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
, usando a integral na forma polar.
A alternativa "C " está correta.
Ao se analisar a região coberta pelos limites de integração, verifica-se que 0≤x≤4 e 0≤y≤4-x2.
Essa região corresponde a um quarto de um círculo de equação y² = 4 - x² → x² + y² = 4
Passando para coordenadas polares, a região será representada por ρ² = 4 → ρ = 2, com o valor de 0≤θ≤π2
Transformando a função x² + 2y² =(x² + y²) + y² = ρ² + (ρ senθ)² = ρ² (1 + sen²θ)
Portanto:
∫04∫04-x2x2+2y2dy dx=∫0π2∫02ρ2(1+sen2θ)ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
∫0π2∫02ρ2(1+sen2θ)ρdρdθ=∫02ρ3dρ∫0π2(1+sen2θ)dθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
* ∫02ρ3dρ=14ρ402=164=4
 
* ∫0π2(1+sen2θ)dθ=∫0π2dθ+∫0π2 sen2θdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫0π2(1+sen2θ)dθ=∫0π2dθ+∫0π212-12cos2θdθ=32∫0π2dθ-12∫0π2cos 2θdθ
 
∫0π2(1+sen2θ)dθ=32 θ0π2-12 12sen2θ0π2=3π4-14senπ-sen0=3π4
 
∫04∫04-x2x2+2y2dy dx=4. 3π4=3π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o volume do sólido formado abaixo do paraboloide de equação z = x² + y² e acima do disco x² + y² ≤
4.
A alternativa "B " está correta.
Verificando o enunciado, o sólido é definido entre um disco do plano xy e um paraboloide centrado na origem de
concavidade para cima, conforme indica a figura a seguir:
 Figura 10
Para calcular o volume do sólido, podemos considerar que o paraboloide é definido pela função z = f(x,y) = x² + y², de
modo que o volume entre o gráfico e o plano é obtido pela integral dupla:
∬Dx2+y2dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que D é o disco dado pela equação x²+ y² = 4, que é um disco centrado na origem de raio 2.
Essa integral é mais simples em coordenadas polares:
fx,y=x2+y2→fρ,θ=ρ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A região de integração, o disco de raio 2. Podemos considerar, em coordenadas polares, o seguinte limite de integração:
0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ ρ ≤ 2. Assim:
∬Dx2+y2dxdy=∫02π∫02ρ2 ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os limites de integração são números:
∫02π∫02ρ2 ρdρdθ=∫02πdθ ∫02ρ3dρ=θ02π.14ρ402=2π1424=8π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. A área de uma região R pode ser determinada pela integral dupla ∬Rdxdy. Seja R a região definida por
-π8≤θ≤π8 e ≤ρ≤cos4θ, marque a alternativa que apresenta o valor de sua área.
A alternativa "E " está correta.
A=∬Rdxdy=∬Rpρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A=∫-π8π8∫0cos4θρ dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em ρ:
∫0cos4θρ dρ=12ρ20cos4θ=12cos24θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo:
cos24θ=12+12cos8θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A=∫-π8π8∫0cos4θρ dρdθ=∫-π8π814+14cos8θdθ=14θ-π8π8+1418 sen8θ-π8π8
 
A=∫-π8π8∫0cos4θρ dρdθ=14π8--π8+132senπ-sen-π=14.π4=π16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a integral
∬R2(x2+y2)dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, onde R é uma região contida pela figura definida pela equação x² + y² – 2x = 0.
A alternativa "C " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL
∬S2X2+Y2DY DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
, EM QUE S É UM CÍRCULO CENTRADO NA ORIGEM DE RAIO 1.
A) 3π8
B) 3π4
C) π4
D) 3π5
E) 3π2
2. A ÁREA DE UMA REGIÃO R PODE SER DETERMINADA PELA INTEGRAL DUPLA ∬RDXDY.
ESTABELEÇA A ÁREA DE UMA PÉTALA DE UMA ROSÁCEA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO
-Π4≤Θ≤Π4 E ≤Ρ≤COS2Θ, MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE SUA
ÁREA.
A) π6
B) π4
C) 2π3
D) π8
E) π2
GABARITO
1. Determine o valor da integral
∬S2x2+y2dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, em que S é um círculo centrado na origem de raio 1.
A alternativa "B " está correta.
A região de integração terá equação x² + y² = 1, que será, em coordenadas polares, ρ² = 1 → ρ = 1, com 0 ≤ θ ≤ 2π
Transformando a função 2x² + y² = (x² + y²) + x² = ρ² + (ρ cosθ)² = ρ² (1 + cos²θ)
Portanto:
∬S2x2+y2dy dx=∫02π∫01ρ2(1+cos2θ)ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
∫02π∫01ρ2(1+cos2θ)ρdρdθ=∫01ρ3dρ∫02π(1+cos2θ)dθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
* ∫01ρ3dρ=14ρ401=14
 
* ∫02π(1+cos2θ)dθ=∫02πdθ+∫02π cos2θdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫02π(1+cos2θ)dθ=∫02πdθ+∫02π12+12cos2θdθ=32∫02πdθ+12∫02πcos 2θdθ
 
∫02π(1+sen2θ)dθ=32 θ02π+12 12sen2θ02π=6π2-14sen4π-sen0=3π
 
∫04∫04-x2x2+2y2dy dx= 14.3π=3π4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A área de uma região R pode ser determinada pela integral dupla ∬Rdxdy. Estabeleça a área de uma pétala de
uma rosácea definida pela equação -π4≤θ≤π4 e ≤ρ≤cos2θ, marque a alternativa que apresenta o valor de sua
área.
A alternativa "D " está correta.
 
A=∬Rdxdy=∬Rpρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A=∫-π4π4∫0cos2θρ dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em ρ:
∫0cos2θρ dρ=12ρ20cos2θ=12cos22θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo:
cos22θ=12+12cos4θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A=∫-π4π4∫0cos2θρ dρdθ=∫-π4π414+14cos4θdθ=14θ-π4π4+1414 sen4θ-π4π4
 
A=∫-π4π4∫0cos3θρ dρdθ=14π4--π4+116senπ-sen-π=14.π2=π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar o conceito de integração dupla
INTRODUÇÃO
Existem várias aplicações no cálculo diferencial e integral com duas variáveis em que a ferramenta da integração dupla
é usada. Entre tais aplicações, podemos citar: cálculo de área de superfície, densidades superficiais, momentos e centro
de massa.
Este módulo apresentará algumas dessas aplicações na resolução de alguns problemas de cálculo.
CÁLCULO DE ÁREA DE UMA REGIÃO NO PLANO
A integral dupla pode ser utilizada para se calcular área de um conjunto de pontos em um plano.
Foi visto que ∬Sfx,ydxdy representa o volume entre a função f(x,y) e o plano xy. Esse volume foi obtido dividindo-se o
domínio da função em retângulos com dimensões que tendiam a zero, desse modo, aproximando-se o volume por uma
soma de paralelepípedos com base dxdy e altura f(x,y).
Se fizermoso valor de f(x,y) = 1, o volume se converte apenas à área da base. Como estamos integrando em S, a área
do conjunto de pontos que compões a região S.
Assim, seja S ⊂ R²:
ÁREA S=∬SDS=∬SDXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Determine a área da superfície S definida por
S=X,Y∈R2 / 0≤X≤2 E 0≤Y≤EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
A área S pode ser representada pela figura a seguir:
 
Fonte: O autor
 Figura 11
Assim:
ÁREA S=∬SDS=∫02∫0EXDY DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite da variável y depende da variável x, a integral parcial em y deve ser resolvida primeiramente:
∫0EXDY =Y0EX=EX
 
ÁREA S=∫02EXDX=EX02=E2-E0=E2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, repetir a solução do exercício analisando a área S contendo uma variação de x dependendo da variável y.
 COMENTÁRIO
A resolução da integral por esse caminho é mais complexa do que a primeira solução, mas serve como exercício para
fixar o conteúdo. Esse é um bom exemplo de que, às vezes, a ordem escolhida para integração pode simplificar ou
complicar a resolução de um problema.
Para tal caso, a área S deveria ser separada em duas regiões:
S=S1∪S2
 
S1=X,Y∈R2 / 0≤Y≤E0 E 0≤X≤2
 
S2=X,Y∈R2 / E0≤Y≤E2 E LN Y≤X≤2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, se y = ex → x = ln y
A região S1 é um retângulo de área 2e0 = 2 . 1 = 2
Para região S2
ÁREA S2=∬S2DS=∫1E2∫LNY2DX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
∫LNY2DX =XLN Y2=2-LN Y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
ÁREA S2=∫1E2(2-LN Y) DY= ∫1E22DY-∫1E2LN YDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira parcela
∫1E22DY=2Y1E2=2E2-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a segunda parcela, já foi calculado, neste tema, o valor da integral por meio da integração por partes
∫LN Z DZ=ZLN Z-Z+C, C CTE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
ÁREA S2=∫1E2LN Y DY= (YLN Y-Y)1E2=(E2LN E2-E2)-(1LN 1-1)=2E2-
E2+1=E2+1
 
A ÁREA S2=2E2-2-(E2+1)=E2-3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a área S = 2 + e2 – 3 = e2 – 1, que foi o mesmo resultado obtido anteriormente.
EXEMPLO 2
Determine, por meio de uma integração dupla, a área de um círculo de 2 cm de raio.
SOLUÇÃO
Para esse caso, pela simetria de S, é mais fácil usarmos as coordenadas polares. Assim, a região S será dada por ρ = 2
e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Portanto:
ÁREA S=∬SDS=∬SDXDY=∬SΡ DΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: Essa mudança de variável na integral já foi vista no módulo anterior.
Portanto:
ÁREA S=∬SΡ DΡDΘ=∫02∫02ΠΡDΘDΡ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em θ:
∫02ΠΡDΘ=Ρ Θ02Π=Ρ 2Π-0=2ΠΡ
 
ÁREA S=∫022ΠΡ DΡ=2Π 12Ρ202=Π Ρ202=4Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA
A massa de um objeto plano pode ser definida por meio de uma função que determina a densidade superficial de massa
(δ).
Lembremos do conceito que estabelece que δ é a razão entre a massa e a área da superfície, de modo que:
Δ=LIM∆S→0 ∆M∆S=DMDS(KG/M²)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a massa se dividir igualmente em toda superfície, então δ será constante, e a massa pode ser obtida multiplicando-se
δ pela área. Entretanto, quando a superfície não é homogênea, tendo densidade superficial de massa diferente em cada
ponto, devemos usar a integração dupla para obter a massa.
Δ=DMDS→DM=ΔDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
MASSA S= ∬SΔX,YDXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Foi dado um exemplo de aplicação para densidade superficial de massa, mas ele pode ser estendido para várias
grandezas estudadas na Física, por exemplo, densidade superficial de carga, densidade superficial de corrente etc. Em
todos os casos, o valor da grandeza será obtido pelo cálculo de uma integral dupla similar à utilizada para calcular a
massa.
A Física também nos ensina que o centro de massa de um objeto plano pode ser obtido pela divisão do momento pela
massa total. Para um objeto com densidade superficial e massa dada por δ(x,y), as coordenadas do centro de massa
podem ser obtidas pelas expressões:
X-=∬SXΔX,YDXDYM E Y-=∬SYΔX,YDXDYM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
M= ∬SΔX,YDXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos fazer um exercício para verificar a aplicação das expressões.
EXEMPLO 3
Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3, 4 e 5. Este triângulo possui vértices nos pontos (0,0),
(3,0) e (0,4). Determine a massa e o centro de massa da chapa, sabendo que
δ = 5 kg/m²
SOLUÇÃO
Se tem uma chapa homogênea, m = δ Área.
Como é um triângulo retângulo de catetos 3 e 4, a área será A = 123.4=6
Logo, a massa será m = 5 . 6 = 30 kg.
Para centro de massa:
X-=∬SXΔX,YDXDYM=130∬S5X DXDY=16∬SX DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para sabermos os limites de integração, necessitamos da equação da reta que une os vértices (3,0) e (4,0), uma vez
que, fixando o valor de x, a variável y irá variar de zero até essa reta (hipotenusa do triângulo).
A geometria analítica nos ensina que a equação da reta poderá ser tirada através do determinante:
XY1301041=0→12-4X-3Y=0→Y=4-43X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, para o triângulo poderíamos definir os limites de duas formas:
i) 0≤x≤4 e 4-43x
ou
ii) 0≤y≤3 e 0≤x≤-34y
Usaremos o primeiro caso:
X-=16∬SX DXDY=16∫04∫04-43XXDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
16∫04-43XX DY=16X Y04-43X=X64-43X=23X-29X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
X-=∫0423X-29X2 DX=23 12 X204-29 13 X304=163-12827=169
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando:
Y-=∬SYΔX,YDXDYM=16∬SY DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já calculamos os limites de integração, mas usaremos a segunda configuração para esse caso:
Y-=16∬SY DXDY=16∫03∫03-34YYDX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
16∫03-34YY DX=16Y X03-34Y=Y63-34Y=12Y-18Y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Y-=∫0312Y-18Y2 DY=12 12 Y203-18 13 Y303=94-924=2524
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, as coordenadas do centro de massa serão 169,2524
EXEMPLO 4
Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3, 4 e 5. Esse triângulo possui vértices nos pontos (0,0),
(3,0) e (0,4). Determine a massa e o centro de massa da chapa sabendo que
δ(x,y) = (1 + x + y) kg/m²
SOLUÇÃO
Nesse caso, a chapa é não homogênea, de forma que:
M= ∬SΔX,YDXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os limites de integração já foram definidos no exemplo anterior.
M=∬S(1+X+Y) DXDY=∫04∫04-43X1+X+Y DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫04-43x1+x+y dy=1+xy04-43x+12 y204-43x=1+x4-43x+124-43x2
 
=4-43x+4x-43x2+8-163x+89x2=12-83x-49x2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
M=∫0412-83X-49X2 DX=12X04-83 12 X204-49 13 X304=48-643-
25627=46427KG
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para centro de massa:
X-=∬SXΔX,YDXDYM=1M∬S1+X+YX DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituiremos m apenas no fim:
X-=1M∬S(1+X+Y)X DXDY=1M∫04∫04-43XX+X2+XYDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫04-43XX+X2+XY DY=X+X2Y04-43X+ X 12Y204-43X
 
∫04-43XX+X2+XY DY=X+X24-43X+X24-43X2
 
=4X-43X2+4X2-43X3+8X-163X2+83X3=12X-83X2-49X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫0412x-83x2-49x3 dx=1212x204-83 13 x304-49 14 x404=96-5129-2569=323x3
 
x-=1m∬S(1+x+y)x dxdy=146427323=27464.323=1819
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando:
Y-=∬SYΔX,YDXDYM=1M∬S1+X+Y Y DXDY
 
Y-=1M∬S(Y+XY+Y2) DXDY=1M∫03∫03-34Y(Y+XY+Y2)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
∫03-34y(y+xy+y2)dx=y+y2x03-34y+y 12x203-34y=y+y23-34y+y23-34y2
 
=3y-34y2+3y2-34y3+92y-94y2+932y3=152y-1532y3
 
∫03152y-1532y3dy= 15212y203-153214y403=1354-1215128=3105128
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA
A MECÂNICA ESTUDA O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM OBJETO. O MOMENTO
DE INÉRCIA QUANTIFICA A DIFICULDADE DE MUDAR UM ESTADO DE
ROTAÇÃO DE UM OBJETO EM TORNO DE UM EIXO E DE UM PONTO. QUANTO
MAIOR FOR O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM OBJETO, MAIS DIFÍCIL SERÁ
GIRÁ-LO OU ALTERAR SUA ROTAÇÃO.
Considere uma partícula pontual de massa m. O momento de inércia dessa partícula em torno de um eixo é dado por
md2, em que d é a distância da partícula ao eixo.
Vamos, agora, considerar um objeto no plano com massa dada por sua densidade superficial de massa δ(x,y). Esse
objeto está definido por uma área dada por S. Estamos interessados em calcular o momento de inércia do objeto em
relação ao eixo x e ao eixo y.
Dividiremos o objeto em partículas pontuais de massa dm, localizada em um ponto (x,y). Dessa forma, o momento de
inércia em relação ao eixo x será dado por y2dm, do mesmo modo que em relação ao eixo x, será de x2dm.
Se somarmos os momentos de inércia de todas as partículas que compõem o objeto, obteremos o momento de inércia
do corpo desejado. Devemos lembrar que dm = δ dS
Assim:
IX=∬SY2DM=∬SY2Δ(X,Y)DS
 
IY=∬SX2DM=∬SX2Δ(X,Y)DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também podemos calcular o momento de inércia referente a origem, lembrando que a distância de um ponto (x,y) para
origem é dada por x2+y2. Assim, o momento de inércia em torno da origem é dado por:
IO=∬S(X2+Y2)DM=∬S(X2+Y2)Δ(X,Y)DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Determine o momento de inércia em torno da origem para o disco de 2 cm de raio e centro na origem, que apresenta
densidade superficial de massa de 4 kg/m².
SOLUÇÃO
IO=∬S(X2+Y2)Δ(X,Y)DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela simetria, é melhor trabalharmos com coordenadas cartesianas, da seguinte forma:
IO=∬SΡ2ΔΡ,Θ ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o disco é homogêneo, isto é, δ é constante e vale 4.
I0=∫02∫02ΠΡ2 4Ρ DΡDΘ=4∫02∫02ΠΡ3 DΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em θ:
4∫02ΠΡ3 DΘ=4Ρ3 2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
I0=∫028ΠΡ3DΡ=8Π14Ρ402=32Π KG CM2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
A placa de um capacitor tem a forma de um disco de 4 cm raio. Considere que a origem do sistema se encontra no
centro do disco. Sabe-se que esse disco é carregado eletricamente com uma densidade superficial de carga dada por
σ(x,y)= 2x² + x + y + 2y², medido em C/m². Determine a carga total da placa do capacitor.
RESOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
1. SEJA A REGIÃO S LIMITADA SUPERIORMENTE PELA RETA Y = X + 1 E INFERIORMENTE
PELA PARÁBOLA Y = X² - 2X + 1. DETERMINE A ÁREA DA REGIÃO S.
A) 13
B) 23
C) 12
D) 32
E) 52
2. DETERMINE A ÁREA DA REGIÃO CONTIDA ABAIXO DA PARÁBOLA Y = – 4X² + 4 E ACIMA
DA PARÁBOLA Y = 9 X² – 9.
A) 523
B) 263
C) 525
D) 4423
E) 283
3. DETERMINE A MASSA DE UM OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S
E TEM UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) = LN(X). SABE-SE QUE:
S=X,Y / 1≤X≤2 E 0≤Y≤2X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) ln 2
B) ln²2
C) ln³2
D) ln²3
E) ln³3
4. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DO EIXO Y DO OBJETO PLANAR QUE
OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) =
14X2Y. SABE-SE QUE:
S=X,Y / 0≤X≤2 E 0≤Y≤X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 64
B) 128
C) 256
D) 512
E) 1024
5. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DA ORIGEM PARA UMA LÂMINA QUE
APRESENTA UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE MASSA Δ(X,Y) = XY E QUE OCUPA UMA
ÁREA DEFINIDA POR:
R=Ρ,Θ / 0≤Θ≤Π2 E 1≤Ρ≤2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 14
B) 174
C) 294
D) 214
E) 514
6. DETERMINE A ABSCISSA DO CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA QUE TEM A FORMA
DE UM TRIÂNGULO COM VÉRTICES NOS PONTOS (0,2), (1,0) E (– 1,0). SABE-SE QUE A
DENSIDADE SUPERFICIAL DE MASSA DO OBJETO VALE Δ(X,Y)= 2X + 3Y.
A) 16
B) -16
C) -13
D) 13
E) 25
GABARITO
1. Seja a região S limitada superiormente pela reta y = x + 1 e inferiormente pela parábola y = x² - 2x + 1.
Determine a área da região S.
A alternativa "D " está correta.
A área da região S é obtida por ∬Sdxdy.
É necessário, inicialmente, obter-se a interseção entre a reta e a parábola:
 Figura 12
As equações que definem as curvas representadas na figura são:
y=x+1y=x2-2x+1→x+1=x2-2x+1→x2-3x=0→x=0 ou x=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a região S será definida por 0 ≤ x ≤ 3 e x² - 2x + 1 ≤ y ≤ x.
A=∫03∫x2-2x+1xdydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫x2-2x+1xdy=yx2-2x+1x=x-x2-2x+1=-x2+3x-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A=∫03-x2+3x-1dx=-13x303+ 32x203-x03=-273+272-3=96=32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a área da região contida abaixo da parábola y = – 4x² + 4 e acima da parábola y = 9 x² – 9.
A alternativa "A " está correta.
Achando as interseções entre as duas curvas:
y=-4x2+4y=9x2-9→13x2-13=0→x=±1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, as curvas se interceptam em x = – 1 e x = 1.
A=∫-11∫9x2-94-4x2dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando, inicialmente, em relação à variável y:
∫9x2-94-4x2dy=4-4x2-9x2-9=-13x2+13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando na variável x:
A=∫-11( -13x2+13)dx
 
A=-13 13x3-11+13 x-11=-1331--1+131--1=26-263=523
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a massa de um objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa
superficial δ(x,y) = ln(x). Sabe-se que:
S=x,y / 1≤x≤2 e 0≤y≤2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Se a densidade superficial de massa vale
δ(x,y) = ln(x)→m=∬Sln (x) dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Pela definição da região S:
m=∫12∫02xln (x) dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando em y:
∫02xln xdy=ln x y02x=2xln x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
m=∫122xln xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo u = ln(x) →du=1xdx, portanto 2xln xdx=2u du
Se x = 1 → u =ln (1) = 0 e x = 2 → u = ln (2)
m=∫0ln (2)2u du=2 12u20ln (2)=ln22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o momento de inércia em torno do eixo y do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem
densidade de massa superficial δ(x,y) = 14x2y. Sabe-se que:
S=x,y / 0≤x≤2 e 0≤y≤x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
O momento de inércia em torno do eixo y será dado por:
Iy=∬Sx2δ(x,y)dS=∬Sx2 14x2y dxdy=∬S14x4y dxdy
 
Iy=∬S14x4y dxdy=∫02∫0x14x4y dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente para variável y:
∫0x14x4y dy=14x4 12y20x=7x6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Iy=∬S14x4y dxdy=∫027x6dx=717x702=27=128
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o momento de inércia em torno da origem para uma lâmina que apresenta uma densidade
superficial de massa δ(x,y) = xy e que ocupa uma área definida por:
R=ρ,θ / 0≤θ≤π2 e 1≤ρ≤2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
6. Determine a abscissa do centro de massa de uma lâmina que tem a forma de um triângulo com vértices nos
pontos (0,2), (1,0) e (– 1,0). Sabe-se que a densidade superficial de massa do objeto vale δ(x,y)= 2x + 3y.
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A MASSA DE UMA LÂMINA QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM
UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) = X + 2Y SABE-SE QUE:
S=X,Y 1≤Y≤2 E 0≤X≤Y
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 32
B) 72
C) 65
D) 45
E) 23
2. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DO EIXO X DO OBJETO PLANAR QUE
OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL
Δ(X,Y) = 15X² 2Y . SABE-SE QUE:
S=X,Y / 0≤X≤2 E 0≤Y≤X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 613
B) 1303
C) 1603
D) 2343
E) 3193
GABARITO
1. Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa
superficial δ(x,y) = x + 2y Sabe-se que:
S=x,y 1≤y≤2 e 0≤x≤y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
 
Se a densidade superficial de massa vale
δ(x,y)=x+2y→m=∬S(x+y) dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela definição da região S:
m=∫12∫0y(x+y) dx dy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando em x:
∫0yx+ydx= 12x20y+y x0y=12y2+2y2=32y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
m=∫1232y2dy= 32 13y312=1223-13=72
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem
uma densidade de massa superficial δ(x,y) = 15x² 2y . Sabe-se que:
S=x,y / 0≤x≤2 e 0≤y≤x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
O momento de inércia em torno do eixo x será dado por:
Iy=∬Sy2δ(x,y)dS=∬Sy2 15x2y dxdy=∬S15x2y2 dxdy
 
Iy=∬S15x2y2 dxdy=∫02∫0x15x2y2 dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, para variável y:
∫0x15x2y2 dy=15x2 13y30x=5x5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Iy=∬S15x2y2 dxdy=∫025x5dx=516x602=5626=1603
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema, apresentamos e aplicamos o conceito da integral dupla de funções escalares.
No primeiro módulo, definimos a integral dupla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares.
Vimos que o Teorema de Fubini permitiu o cálculo da integral dupla por meio de duas integrais simples iteradas.
No segundo módulo, apresentamos a integral dupla em sua forma polar, permitindo o cálculo mais simples para algumas
simetrias.
Por fim, vimos exemplos de aplicação de integral dupla no cálculo de áreas, no cálculo de massa e centro de massa,
bem como no momento de inércia.
Acreditamos que você, neste momento, já saiba definir e trabalhar com a integração dupla de funções escalares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 2 ed. Estados Unidos: John Wiley & Sons, 1969. Cap. 11, p. 353-378, 392-405. Vol 2.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. Cap. 2, p. 37-48; Cap. 3, p. 49-74 e Cap. 4, p. 75-104. Vol 3.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. Cap. 16, p. 978-1019. Vol 2.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste Tema, pesquise sobre integrais duplas e suas aplicações na internet e
em nossas referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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