Livro - Matemática financeira

Prévia do material em texto

1 
 
Disciplina: Matemática Financeira 
Autora: M.e Dayane Adrielli Schneider 
Revisão de Conteúdos: M.e Monika Fritz / Esp. Cibéli Moreira Duarte 
Designer Instrucional: Sérgio Antonio Zanvettor Júnior 
Revisão Ortográfica: Esp. Juliano de Paula Neitzki 
Ano: 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Copyright © - É expressamente proibida a reprodução do conteúdo deste material integral ou de suas 
páginas em qualquer meio de comunicação sem autorização escrita da equipe da Assessoria de 
Marketing da Faculdade UNINA. O não cumprimento destas solicitações poderá acarretar em cobrança 
de direitos autorais. 
 
 
2 
 
Dayane Adrielli Schneider 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2020 
Curitiba, PR 
Faculdade UNINA 
 
 
3 
 
Faculdade UNINA 
Rua Cláudio Chatagnier, 112 
Curitiba – Paraná – 82520-590 
Fone: (41) 3123-9000 
 
 
Coordenador Técnico Editorial 
Marcelo Alvino da Silva 
 
Conselho Editorial 
D.r Alex de Britto Rodrigues / D.ra Diana Cristina de Abreu / 
D.r Eduardo Soncini Miranda / D.ra Gilian Cristina Barros / D.r 
Jefferson Zeferino / D.r João Paulo de Souza da Silva / D.ra Marli Pereira de 
Barros Dias / D.ra Rosi Terezinha Ferrarini Gevaerd / D.ra Wilma de Lara 
Bueno / D.ra Yara Rodrigues de La Iglesia 
 
Revisão de Conteúdos 
Monika Fritz / Cibéli Moreira Duarte 
 
Designer Instrucional 
Sérgio Antonio Zanvettor Júnior 
 
Revisão Ortográfica 
Juliano de Paula Neitzki 
 
Desenvolvimento Iconográfico 
Juliana Emy Akiyoshi Eleutério 
 
 
 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
SCHNEIDER, Dayane Adrielli. 
Matemática Financeira / Dayane Adrielli Schneider. – Curitiba: Faculdade UNINA, 
2020. 
62 p. 
ISBN: 978-65-990214-1-1 
1. Cálculo de Juros. 2. Expressões Financeiras. 3. Operações Bancárias. 
Material didático da disciplina de Matemática Financeira – Faculdade UNINA, 2020. 
Natália Figueiredo Martins – CRB 9/1870 
 
 
4 
 
PALAVRA DA INSTITUIÇÃO 
 
Caro(a) aluno(a), 
Seja bem-vindo(a) à Faculdade UNINA! 
 
 Nossa faculdade está localizada em Curitiba, na Rua Cláudio Chatagnier, 
nº 112, no Bairro Bacacheri, criada e credenciada pela Portaria nº 299 de 27 de 
dezembro 2012, oferece cursos de Graduação, Pós-Graduação e Extensão 
Universitária. 
 A Faculdade assume o compromisso com seus alunos, professores e 
comunidade de estar sempre sintonizada no objetivo de participar do 
desenvolvimento do País e de formar não somente bons profissionais, mas 
também brasileiros conscientes de sua cidadania. 
 Nossos cursos são desenvolvidos por uma equipe multidisciplinar 
comprometida com a qualidade do conteúdo oferecido, assim como com as 
ferramentas de aprendizagem: interatividades pedagógicas, avaliações, plantão 
de dúvidas via telefone, atendimento via internet, emprego de redes sociais e 
grupos de estudos, o que proporciona excelente integração entre professores e 
estudantes. 
 
 
 Bons estudos e conte sempre conosco! 
 Faculdade UNINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Sumário 
Prefácio....................................................................................................... 07 
Aula 1 – Juros, capitalização, equivalência de taxas e descontos .............. 08 
Apresentação da Aula 1 ............................................................................. 08 
 1.1 - Juro e capitalização simples ........................................................ 08 
 1.1.1 - Juro .......................................................................................... 09 
 1.1.2 - Capital ...................................................................................... 09 
 1.1.3 - Taxa de juros ............................................................................ 10 
 1.1.4 - Capitalização simples ............................................................... 11 
 1.2 - Capitalização composta .............................................................. 14 
 1.2.1 - Montante e valor atual para pagamento único .......................... 14 
 1.2.2 - Equivalência de taxas ............................................................... 17 
 1.3 - Descontos ................................................................................... 18 
 1.3.1 - Desconto simples ..................................................................... 19 
Conclusão da aula 1 ................................................................................... 20 
Aula 2 – Série de pagamentos e sistema de amortização ........................... 21 
Apresentação da aula 2 .............................................................................. 21 
 2.1 - Noções sobre fluxo de caixa ........................................................ 21 
 2.2 - Série de pagamentos ................................................................... 23 
 2.2.1 - Série de pagamentos iguais com termos vencidos ................... 23 
 2.2.2 - Série de pagamentos iguais com termos antecipados .............. 27 
 2.3 - Equivalência de capitais e de planos de pagamentos .................. 30 
Conclusão da aula 2 ................................................................................... 31 
Aula 3 – Avaliação de fluxo de caixa e taxa de juros ................................... 32 
Apresentação da aula 3 .............................................................................. 32 
 3.1 - Sistemas de amortização ............................................................ 32 
 3.1.1 - Sistema francês de amortização (Tabela Price) ....................... 33 
 3.1.2 - Sistema de amortização constante (SAC) ................................ 34 
 3.1.3 - Sistema de Amortização Misto (SAM) ...................................... 36 
 3.2 - Método de avaliação de fluxo de caixa ......................................... 37 
 3.2.1 - Valor presente líquido (VPL) ..................................................... 38 
 3.2.2 - Taxa interna de retorno (TIR) .................................................... 40 
 3.3 - Conceito e classificação das taxas de juros ................................. 43 
 3.3.1 - Conceito e classificação das taxas de juros .............................. 44 
 3.3.2 - Taxas equivalentes e proporcionais ......................................... 47 
 3.3.3 - Juros pagos antecipadamente .................................................. 48 
 
 
6 
 
Conclusão da aula 3 ................................................................................... 48 
Aula 4 – Taxa e prazo médio e operações de mercado ............................... 49 
Apresentação da aula 4 .............................................................................. 49 
 4.1 Taxa média e prazo médio ............................................................. 49 
 4.1.1 - Taxa média e prazo médio para operações de descontos 
simples ....................................................................................................... 
 
49 
 4.1.2 - Taxa média e prazo médio para operações com juro simples.... 51 
 4.2 - Operações financeiras realizadas no mercado ............................ 53 
 4.2.1 - Inflação e correção monetária .................................................. 53 
 4.2.2 - Indexador ................................................................................. 54 
 4.2.3 - Aplicações financeiras com renda fixa ...................................... 55 
Conclusão da aula 4 ................................................................................... 58 
Índice Remissivo ........................................................................................ 59 
Referências ................................................................................................ 627 
 
Prefácio 
 
Caro aluno. Bem-vindo à nossa disciplina de Matemática Financeira. 
Vamos aprender as operações mais importantes das finanças, começando com 
o conceito de juro e capital, seguido das operações de taxa de juros, 
capitalização simples e composta. Também vamos aprender a tornar taxas de 
períodos diferentes equivalentes e calcular operações de descontos. 
Em seguida, falaremos sobre as séries de pagamento para termos iguais 
e consecutivos, uma operação muito importante para efetuar o cálculo de 
qualquer pagamento, começando o estudo com as noções sobre fluxo de caixa 
e finalizando com as equivalências de planos de pagamento. Ao final, saberemos 
quais são as duas possíveis séries de pagamentos para termos iguais e 
sucessivos. 
Logo, estudaremos os três principais sistemas de amortização: Tabela 
Price, Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Misto 
(SAM). Aprendendo os dois métodos de avaliação de fluxo de caixa: Valor 
Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR). Também veremos que 
as taxas de juros podem ser classificadas quanto à regência e quanto ao valor 
do capital inicial. 
Por fim, vamos estudar a taxa média e o prazo médio para as operações 
de desconto bancário, juros simples e juros compostos. Em seguida será 
estudado o fenômeno da inflação, como se forma um indexador e também as 
principais aplicações financeiras de renda fixa. Após esta disciplina, você será 
capaz de se tornar um gestor financeiro e desenvolver habilidades 
imprescindíveis para qualquer negócio ou empreendimento a nível pessoal e 
profissional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Aula 1 – Juros, capitalização, equivalência de taxas e descontos 
 
Apresentação da aula 1 
 
 
Matemática financeira 
Fonte: http://www.fatosevalores.com.br/wp-content/uploads/2016/09/analise-financeira-
eficiente.jpg 
 
Olá, aluno. Seja bem-vindo à primeira aula da disciplina de Matemática 
Financeira. Nesta aula vamos estudar as operações mais básicas das finanças: 
juro, capital, taxa de juros, capitalização simples e composta, montante e valor 
atual para pagamento único, equivalência de taxas e descontos. São operações 
que precisam ser muito bem entendidas para que se consiga passar para as 
próximas aulas. 
Vamos lá? 
 
1.1 Juro e capitalização simples 
 
Todos nós, no dia a dia, precisamos calcular taxas de juros: o boleto 
bancário do aluguel, do condomínio, o seguro do carro. É uma operação 
necessária para podermos avaliar e fazer as escolhas mais corriqueiras. Vamos 
entender bem esses conceitos, para, depois, falarmos também dos juros 
compostos no contexto dos empréstimos e investimentos. 
 
 
 
9 
 
1.1.1 Juro 
 
Juro pode ser entendido de forma simplificada, como o aluguel pago pelo 
uso do dinheiro; isto é, a remuneração do capital emprestado. Quem tem dinheiro 
sobrando pode emprestá-lo e receber um “aluguel” por esse empréstimo, como 
no caso dos bancos. 
O possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar, deve avaliar qual 
“aluguel” cobrará pelo uso do seu dinheiro, ou seja, qual taxa de remuneração 
vai empregar. Os fatores a serem levados em consideração para calcular a taxa 
de remuneração são: 
 
➢ A probabilidade de quem “alugou” o dinheiro, o tomador de 
empréstimo, não devolver o dinheiro ou não pagar o juro por ele 
cobrado; 
➢ Todas as despesas operacionais para efetivar o empréstimo: 
gastos com cartórios, com impostos e contratos são despesas 
operacionais; 
➢ Índice de desvalorização do dinheiro, inflação do período do 
empréstimo; 
➢ O lucro desejado com a operação. 
 
Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as 
despesas operacionais e a inflação, além de gerar certo lucro ao seu aplicador. 
 
1.1.2 Capital 
 
Capital, no contexto da matemática financeira, é qualquer valor disponível 
em moeda em determinada época. Como exemplo de capital econômico, temos 
os imóveis; e, como exemplo de capital financeiro, temos os títulos de 
capitalização. 
 
 
 
10 
 
Curiosidade 
A notação que comumente é usada para indicar o capital nas calculadoras e nas 
expressões financeiras é PV (iniciais de present value = valor presente). 
 
1.1.3 Taxa de juros 
 
Taxa de juros é a razão entre os juros pagos ou recebidos, no final de um 
período de tempo, e o capital inicialmente empregado. A fórmula da taxa de juros 
é a seguinte: 
 
𝒊 =
𝑱
𝑷
 
 
Em que i é a taxa de juros, J o valor dos juros e P o capital inicial (também 
chamado de valor atual ou valor presente). 
 
Exemplo: qual a taxa de juros cobrada em um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser 
resgatado por R$ 1.200,00? 
 
 Importante 
Neste exemplo, descobrimos o valor do juro subtraindo o valor a ser resgatado 
do valor do empréstimo. 
 
Dados: P = 1.000,00 
 J = 1.200,00 – 1.000,00 = 200,00 
 
Solução: 𝒊 =
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎% 
 
 Portanto, a taxa de juros dessa operação é de 20%. O período de tempo 
da operação não foi especificado no exemplo. Se o período dessa operação 
 
 
11 
 
fosse de 6 meses, a taxa seria de 20% para o período de 6 meses; se fosse no 
período de um mês, seria 20% ao mês. 
 Para descobrirmos o valor dos juros em um determinado problema com o 
prazo conhecido, basta multiplicarmos o valor do capital, taxa de juros e o prazo, 
como segue: 
 
𝑱 = 𝑷 × 𝒊 × 𝒏 
 
Em que J o valor dos juros, P o capital inicial, i é a taxa de juros e n o 
prazo. 
 
Exemplo: qual o valor dos juros na aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à 
taxa de 20% ao mês, no prazo de um mês? 
 
Dados: P = 1.000 
 i = 20% = 0,2 
 n = 1 
 
Solução: 𝑱 = 𝑷 × 𝒊 × 𝒏 𝑱 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟐 × 𝟏 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
1.1.4 Capitalização simples 
 
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente 
sobre o capital inicial; como, por exemplo, o valor inicial de um empréstimo. Na 
capitalização simples, o juro acumulado não é considerado. 
Imaginemos que no exemplo anterior a taxa de juros seja de 20% ao mês. 
No período de um mês, o juro obtido sobre um capital de R$ 1.000,00 será de 
R$ 200,00. No mês seguinte, a taxa de juros será calculada sobre o mesmo 
capital inicial de R$ 1.000,00, e não sobre o valor acumulado de R$ 1.200,00 do 
período. 
A fórmula para calcular os juros obtidos em um determinado período é: 
 
𝑱 = 𝑷 × 𝒊 × 𝒏 
 
 
12 
 
 
Em que J é o valor dos juros, P o valor do capital inicial, i a taxa de juros e 
n o período de tempo. 
 
Exemplo: qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 
2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2% ao 
mês? 
 
Dados: P = 2.000 
 n = 3 meses 
 i = 2% 
 
Solução: J = 2.000 x 0,02 x 3 = R$ 120,00 
 
Para descobrirmos a taxa de juros, a fórmula é a seguinte: 
 
𝒊 = 
𝑱
𝑷 × 𝒏
 
 
Em que P é o capital inicial, J é o valor dos juros, n o período de tempo e 
i a taxa de juros. 
 
Exemplo: um capital inicial de R$ 10.000,00, aplicado durante 6 meses, rende 
juros de R$ 1.000,00. Qual a taxa de juros correspondente? 
 
Dados: P = 10.000 
 n = 6 meses 
 J = R$ 1.000 
 
Solução: 𝒊 = 
𝟏.𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 ×𝟔
 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟔 𝐨𝐮 𝟏, 𝟔𝟔 𝐚𝐨 𝐦ê𝐬 
 
Para descobrimos o prazo, a fórmula é a seguinte: 
 
 
 
13 
 
𝒏 = 
𝑱
𝑷 × 𝒊
 
 
Em que P é o capital inicial, J é o valor dos juros, n o período de tempo e 
i a taxa de juros. 
 
Exemplo: sabendo-se que os juros de R$ 12.000,00 foram obtidos com a 
aplicação de R$ 8.000,00, à taxa de 3% ao semestre, qual o prazo da operação? 
 
Dados: P = 8.000 
 J = 12.0000 
 i = 3% ao semestre 
 
Solução: 𝑛 = 12.000
8.000 ×0,03
 = 50 semestres ou 25 anos. 
 
E, por fim, para descobrirmos o capital inicial, a fórmula é a seguinte: 
 
𝑷 = 
𝑱
𝒏 × 𝒊
 
 
Em que P é o capital inicial, J é o valor dos juros, n o período de tempo e 
i a taxa de juros. 
 
Exemplo: qual o capital inicialque, à taxa de 3% ao mês, rende juros de R$ 
9.000,00 em um ano? 
 
Dados: J = 9.000 
 n = 1 ano = 12 meses 
 i = 3% ao mês 
 
Solução: 𝑃 = 
9.000
12 ×0,03
 = 25.000,00 
 
 
 
 
14 
 
1.2 Capitalização composta 
 
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o 
capital inicial, mais os juros acumulados do período. Imaginemos que em 
determinada operação a taxa de juros seja de 20% ao mês. No período de um 
mês, o juro obtido sobre um capital de R$ 1.000,00 será de R$ 200,00. No mês 
seguinte, a taxa de juros será calculada sobre o capital inicial de R$ 1.000,00, 
mais o juro de R$ 200 obtido no período, ou seja, no segundo mês a taxa de 
juros será calculada sobre R$ 1.200,00, o valor acumulado do período. Nesse 
regime de capitalização, o valor do juro cresce em função do tempo. 
Vamos agora estudar montante e valor atual para pagamento único, a fim 
de entendermos como aplicamos a fórmula e resolvemos os problemas de 
capitalização composta. 
 
1.2.1 Montante e valor atual para pagamento único 
 
Quando aplicamos um capital por certo tempo à determinada taxa, no final 
desse período temos à nossa disposição não só o valor do capital aplicado, mas 
também os juros que lhe são devidos. Montante, então, é a soma de capital e 
juros. 
Como ainda não sabemos a fórmula para descobrirmos o valor final do 
montante de uma operação de capitalização composta, vamos deduzi-la assim: 
 
Exemplo: qual o montante de um capital de R$ 2.000,00, aplicado à taxa de 2% 
ao mês, durante 6 meses? 
 
Em que S é o montante, P, o capital inicial, n, o prazo e i, a taxa. 
 
Dados: P = 2.000 
 n = 6 meses 
 i = 2% ao mês 
 
 Como ainda não conhecemos uma fórmula para solução fácil, vamos 
calcular o montante da forma mais primária possível no quadro a seguir. 
 
 
15 
 
Mês 
(t) 
Capital inicial 
(𝑷𝒕) 
Juros correspondentes ao 
mês (𝑱𝒕) 
Montante no final 
do mês (𝒔𝒕) 
1 2.000,00 2.000,00 x 0,02 = 40 2.040,00 
2 2.040,00 2.040,00 x 0,02 = 40,80 2.080,80 
3 2.080,80 2.080,80 x 0,02 = 41,60 2.122,40 
4 2.122,40 2.122,40 x 0,02 = 42,45 2.164,85 
5 2.164,85 2.164,85 x 0,02 = 43,30 2.208,15 
6 2.208,15 2.208,15 x 0,02 = 44,16 2.252,31 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
O montante no final de cada mês constitui-se do capital inicial do mês 
seguinte. Portanto, o valor do montante final do sexto mês é de R$ 2.252,31. 
Essa forma de cálculo é demorada e trabalhosa, podemos utilizar uma fórmula 
mais simples para trabalharmos no dia a dia: 
 
𝑺 = 𝑷 (𝟏 + 𝒊)𝒏 
 
Em que a expressão (1 + 𝑖)𝒏 é chamada fator de capitalização para 
pagamento simples ou único. 
 
Exemplo: qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 
meses, à taxa de 3% ao mês? 
 
Dados: P = 15.000 
 n = 6 meses 
 i = 3% ao mês 
𝑆 = 15.000 × (1 + 0,03)6 
𝑆 = 15.000 × (1,03)6 
𝑆 = 15.000 × 1,19405 
𝑆 = 17.910,78 
 
 
 
16 
 
Nota: As soluções dos problemas apresentados foram obtidas por meio de 
calculadora, utilizando-se a função de potenciação e radiciação na calculadora 
HP-12C. 
Para facilitar o trabalho cotidiano, devemos e podemos utilizar a 
calculadora HP-12C. Vamos fazer o passo a passo de um cálculo dado no 
exemplo anterior. 
 
 
Calculadora científica 
Fonte: https://fazaconta.com/calculadora-hp-12c-online.htm 
 
O passo a passo para calcular (1,03)6 na calculadora HP-12C é o 
seguinte: 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 1,03 e pressione a tecla ENTER 
Digite 6 e pressione a tecla 𝑦𝑥 
O valor do cálculo 1,19405 aparecerá na tela. 
 
Na calculadora simples, basta multiplicarmos 1,03 por 6 vezes, ou seja: 
 
(𝟏, 𝟎𝟑)𝟔 = 𝟏, 𝟎𝟑 × 𝟏, 𝟎𝟑 × 𝟏, 𝟎𝟑 × 𝟏, 𝟎𝟑 × 𝟏, 𝟎𝟑 × 𝟏, 𝟎𝟑 = 𝟏, 𝟏𝟗 
 
 
 
 
 
17 
 
1.2.2 Equivalência de taxas 
 
No nosso cotidiano é frequente nos depararmos com problemas em que 
temos os dados da operação em períodos diferentes. Por exemplo, precisamos 
descobrir qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês, ou qual a taxa mensal 
equivalente a 20% ao ano. Vale lembrar que, para o investimento obter a mesma 
capitalização, a taxa de 1% ao mês não corresponde à taxa de 12% ao ano. 
A fórmula usada para a equivalência de taxas é a seguinte: 
 
𝒊𝒒 = (𝟏 + 𝒊𝒕)
𝒒
𝒕⁄ −𝟏 
 
Em que: 
𝒊𝒒: taxa para o prazo que eu quero 
𝒊𝒕: taxa para o prazo que eu tenho 
q: prazo que eu quero 
t: prazo que eu tenho 
 
Exemplo: Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: 
𝑖83 = (1 + 0,65)
183
360⁄ − 1 
𝑖83 = (1,65)
0,51 − 1 
𝑖83 = 1,29 − 1 
𝑖83 = 0,29 
𝑖83 = 29% 
 
Exemplo: Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: 
𝑖491 = (1 + 0,05)
491
30⁄ − 1 
𝑖491 = (1,05)
16,37 − 1 
𝑖491 = 2,22264 − 1 
𝑖491 = 1,22264 
𝑖491 = 122,26% 
 
Exemplo: Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre: 
𝑖27 = (1 + 0,13)
27
90⁄ − 1 
 
 
18 
 
𝑖27 = (1,13)
0,30 − 1 
𝑖27 = 1,03735 − 1 
𝑖27 = 0,03735 
𝑖27 = 3,73% 
 
Curiosidade 
As soluções dos problemas apresentados foram obtidas por meio de 
calculadora, utilizando-se a função de potenciação da calculadora HP-12C. 
Esses cálculos não podem ser resolvidos por calculadora simples, estão no 
material, para que os alunos saibam como são operados. Nos exercícios, vamos 
informar o valor das taxas equivalentes. 
 
1.3 Descontos 
 
Realizamos a operação de desconto quando desejamos atualizar o valor 
de algum título. Um boleto com valor de R$ 100,00 e vencimento para o dia 25 
de determinado mês, por exemplo: qual seria o seu valor se quiséssemos pagá-
lo no dia 10 do mesmo mês? O desconto é a diferença entre o valor nominal de 
um título e o seu valor presente, ou seja: 
 
𝑫 = 𝑺 − 𝑷 
 
Em que D representa o valor monetário do desconto, S o valor assumido 
pelo título na data do seu vencimento e P o valor pago pelo titular. 
 
 Importante 
Enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide 
sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto a taxa do período incide 
sobre o seu montante ou valor futuro. 
 
 
 
 
 
19 
 
1.3.1 Desconto simples 
 
O desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre 
sobre o valor nominal; é o desconto que é utilizado geralmente nas chamadas 
operações de “desconto de duplicata”. 
 
Curiosidade 
O desconto simples também é conhecido como desconto de duplicata ou 
comercial. 
 
A fórmula usada para obter o desconto simples é obtida multiplicando-se 
o valor nominal pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu 
vencimento, ou seja: 
 
𝑫 = 𝑺 × 𝒅 × 𝒏 
 
Em que d é a taxa de desconto e n o prazo. Já a fórmula para obter o valor 
descontado é obtida subtraindo o valor do desconto do valor futuro do título, 
como segue: 
 
𝑷 = 𝑺 − 𝑫 
 
Em que P é o valor descontado, S o valor nominal e D o valor do desconto 
do valor futuro de um título. 
 
Exemplo: qual o valor de desconto simples de um título de R$ 1.000,00, com 
vencimento para 30 dias, à taxa de 3% ao mês? 
 
Dados: S = 1.000 
 n = 30 dias = 1 mês 
 d = 3% ao mês 
 
 
 
20 
 
Solução: 𝐷 = 1.000 × 0,03 × 1 = 30,00 
 
Exemplo: qual o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente 
ao desconto de uma duplicata no valor de R$ 8.000,00, com prazo de 60 dias, 
sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto 
de 2,5% ao mês? 
 
Dados: S = 8.000 
 d = 2,5% ao mês 
 n = 60 dias 
 
Nesse problema, a taxa é mensal e o prazo estão expressos em número 
de dias, ou seja, não estão na mesma unidade de tempo. Para compatibilizá-los, 
basta dividir um dos dois por 30, como segue: 
 
𝐷 = 8.000 ×
0,025
30
× 60 = 399,98 
 
E como 𝑃 = 𝑆 − 𝐷, tem-se: 
 
𝑃 = 8.000 − 399,98 = 7.600,02 
 
Conclusão da aula 1 
 
Chegamos ao final da nossa primeira aula. Aprendemos as operações 
mais corriqueiras da matemática financeira:calcular a taxa de juros, assim como 
calcular capitalizações e descontos, que são operações que estão no dia a dia 
de qualquer gestor. 
 
Atividade de Aprendizagem 
Escolha qualquer boleto bancário de alguma conta pessoal e analise os seus 
dados. Verifique se a conta oferece algum abatimento do valor para 
pagamento antecipado e calcule o desconto. Observe qual a taxa de juros 
cobrada. Lembre-se de que talvez será preciso calcular a equivalência de taxa 
para chega aos valores desejados. 
 
 
21 
 
Aula 2 – Série de pagamentos e sistema de amortização 
 
Apresentação da aula 2 
 
Olá, aluno. Espero que você tenha conseguido compreender bem a 
primeira aula. Agora, vamos estudar uma operação muito utilizada no contexto 
das finanças: as séries de pagamento. É um assunto que precisa ser dominado 
por qualquer gestor financeiro. Antes de entrarmos nas séries de pagamento, 
vamos começar com algumas noções sobre fluxo de caixa. 
 
2.1 Noções sobre fluxo de caixa 
 
O fluxo de caixa é uma ferramenta de gestão financeira que possibilita um 
controle detalhado sobre todas as entradas e saídas de recursos dentro de 
determinado período. Idealmente feito dia a dia, esse fluxo ajuda os gestores a 
entenderem como é a movimentação financeira da empresa de uma maneira 
geral. 
 
 
Fonte: https://i2.wp.com/capitalsocial.cnt.br/wp-content/uploads/2018/02/capa-fluxo-de-
caixa.png?fit=660%2C350&ssl=1 
 
Tecnicamente, fluxo de caixa é um conjunto de entradas e saídas em 
determinado período de tempo. É geralmente representado por um diagrama 
constituído por um eixo horizontal, que representa a linha do tempo, tendo acima 
as entradas e abaixo as saídas de caixa. 
 
 
22 
 
 Importante 
Para maior facilidade de cálculo, a unidade de tempo deve ser escolhida, sempre 
que possível, de acordo com o período de capitalização dos juros. 
 
Exemplo: um investimento no valor de R$ 10.000,00, pelo qual o investidor 
recebeu R$ 25.000,00, após seis meses será representado pelo seguinte 
diagrama: 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2019). 
 
Exemplo: um empréstimo de R$ 50.000, pelo qual o tomador de empréstimo 
pagará R$ 75.000 em 8 meses. 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2019). 
 
Exemplo: um banco concede um empréstimo de R$ 60.000 a um cliente, para 
pagamento em 6 prestações iguais de R$ 10.000. 
 
25.000
-10.000
0 1 2 3 4 5 6 meses
50.000
-75.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 meses
 
 
23 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2019). 
 
 Importante 
Do ponto de vista do banco, a orientação da entrada e da saída seria no sentido 
inverso. O banco primeiro teria uma saída de R$ 60.000, e depois entradas 
mensais de R$ 10.000. 
 
2.2 Série de pagamentos 
 
As séries de pagamentos são uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos com vencimentos sucessivos. Como, por exemplo, a simples 
compra de uma geladeira de R$ 3.000,00, em 3 parcelas de R$1.000,00, sem 
juros. 
 
2.2.1 Série de pagamentos iguais com termos vencidos 
 
A série de pagamentos iguais com termos vencidos é uma série em que 
a primeira parcela só incidirá ao final do primeiro período. No exemplo da 
geladeira, se a compra fosse feita no dia 2 de março, a primeira parcela, ou 
boleto, como popularmente dizemos, seria somente para o dia 2 de abril, a 
segunda para o dia 2 de maio e a terceira para o dia 2 de junho. 
A notação que utilizaremos para cada termo da série de pagamentos ou 
recebimentos iguais será representada por R. As demais variáveis são 
representadas por símbolos já conhecidos: taxa de juros (i), número de 
prestações (n), capital inicial (P) e valor futuro (S). 
60.000
-10.000 -10.000 -10.000 -10.000 -10.000 -10.000
0 1 2 3 4 5 6 meses
 
 
24 
 
 Saiba mais 
O capital inicial também é chamado de principal, valor atual ou valor presente. O 
valor futuro também é chamado de montante. 
 
A fórmula genérica para calcularmos uma série de pagamentos com 
termos iguais e vencidos é a seguinte: 
 
𝑺 = 𝑹 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
 
 
Em que S é o montante, R o valor de cada parcela, i a taxa de juros e n o 
prazo. 
 
Vamos começar com a resolução de um problema para entendemos 
melhor a aplicação da fórmula. 
 
Exemplo: qual o montante, ao final do sexto mês, para uma série de 6 
aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 150,00 cada uma, a 
uma taxa de 3% ao mês? 
 
Dados: R = 150 
 i = 3% ao mês 
 n = 6 
 
Solução: 𝑆 = 150 ×
(1+0,03)6−1
0,03
= 970,26 
 
Para essa operação não ficar tão trabalhosa no dia a dia, podemos isolar 
o Fator de Acumulação de Capital da fórmula genérica. 
 
Em que 
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
 é o Fator de Acumulação de Capital, representado por 
FAC (i, n). Assim temos: 
 
 
 
25 
 
𝑺 = 𝑹 ×
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
 ou 𝑺 = 𝑹 × 𝑭𝑨𝑪(𝒊, 𝒏) 
 
 Importante 
O Fator de Acumulação de Capital normalmente aparece - calculado para várias 
taxas e prazos - tabelado na maioria dos livros de matemática financeira. 
 
Quando o Fator de Acumulação de Capital é dado no problema, a solução 
fica simples, como a seguir: 
 
Exemplo: qual o valor do montante, ao final do quinto mês, para uma série de 5 
aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a 
uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que o FAC(i,n) para a taxa de 4% ao mês 
e o prazo de 5 meses é de 5,41632? 
 
Dados: R = 100 
 FAC(i,n) = 5,41632 
 
Solução: 𝑆 = 𝑅 × 𝐹𝐴𝐶(𝑖, 𝑛) 𝑆 = 100 × 5,41632 = 541,63 
 
Assim, após aplicarmos 5 prestações mensais de R$ 100,00, à taxa de 
4% ao mês, no final de 5 meses teremos um montante de R$ 541,63. 
Quando queremos descobrir o valor presente de um problema de série de 
pagamentos iguais com termos vencidos, utilizamos o Fator de Valor Atual 
(FVA), em que a fórmula genérica é a seguinte: 
 
𝑷 = 𝑹 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏 × 𝒊
 
 
Aqui também podemos isolar o Fator de Valor Atual - que é encontrado 
nas principais tabelas financeiras - para simplificarmos a operação: 
 
𝑷 = 𝑹 × 𝑭𝑽𝑨(𝒊, 𝒏) 
 
 
26 
 
Exemplo: qual o valor presente de uma série de 24 parcelas iguais, mensais e 
consecutivas no valor de R$ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% 
ao mês, sabendo-se que o Fator de Valor Atual para uma taxa de 5% ao mês e 
um prazo de 24 meses é de 13,79864? 
 
Dados: R = 3.500 
 FVA(5%, 24) = 13,79864 
 
Solução: 𝑃 = 𝑅 × 𝐹𝑉𝐴(𝑖, 𝑛) 𝑃 = 3.500 × 13,79864 = 48.295,24 
 
Quando queremos descobrir o valor da prestação de um problema de 
série de pagamentos iguais com termos vencidos, utilizamos o Fator de 
Recuperação de Capital (FRC), em que a fórmula genérica é a seguinte: 
 
𝑹 = 𝑷 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏 × 𝒊
 
 
Aqui também podemos isolar o Fator de Recuperação de Capital - que é 
encontrado nas principais tabelas financeiras - para simplificarmos a operação: 
 
𝑹 = 𝑷 × 𝑭𝑹𝑪(𝒊, 𝒏) 
 
Exemplo: um empreendedor toma um empréstimo de R$ 30.000 de uma 
instituição bancária a uma taxa de juros de 3,5% ao mês a ser liquidado em 12 
parcelas iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se o Fator de Recuperação 
de Capital para uma taxa de 3,5% ao mês e um prazo de 12 meses é de 0,10348, 
qual o valor da prestação? 
 
Dados: R = 30.000 
 FRC(i,n) = 0,10348 
 
Solução: 
𝑅 = 𝑃 × 𝐹𝑅𝐶(𝑖, 𝑛) 
𝑅 = 30.000 × 0,10348 = 3.104,40 
 
 
27 
 
Cada prestação será no valor de R$ 3.104,40. 
 
 Saiba mais 
O FRC, Fator de Recuperação de Capital, é o mais utilizado na prática. 
 
2.2.2 Série de pagamentos iguais com termos antecipados 
 
Os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período 
unitário nas séries com termos antecipados. A primeira parcela é sempre paga 
ou recebida no momento “zero”, na data do contrato do empréstimo ou de 
qualquer outra operação de pagamentos ou recebimentos de prestações. 
No exemplo da geladeira, se a compra fosse feita no dia 2 de março, a 
primeira parcela seria paga no mesmo dia 02 de março, a segunda no dia 2 de 
abrile a terceira no dia 2 de maio. É popularmente conhecida como a compra 
“com entrada”. 
Vamos perceber, com os próximos exemplos, que todos os problemas de 
série de pagamentos antecipados podem ser resolvidos a partir dos fatores 
definidos para série de pagamentos vencidos, bastando multiplicá-los ou dividi-
los por (1+i). 
Quando queremos descobrir o valor do montante de um problema de série 
de pagamentos iguais com termos antecipados, utilizamos o Fator de 
Acumulação de Capital (FAC), em que a fórmula genérica é a seguinte: 
 
𝑺 = 𝑹 × (𝟏 + 𝒊) {
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
} 
 
Aqui também podemos isolar o Fator de Acumulação de Capital (FAC), 
que é encontrado nas principais tabelas financeiras, para simplificarmos a 
operação: 
 
𝑺 = 𝑹 × (𝟏 + 𝒊) × 𝑭𝑨𝑪(𝒊, 𝒏) 
 
 
 
28 
 
Exemplo: calcule o montante resultante da aplicação de 5 parcelas iguais, 
mensais e consecutivas de R$ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a 
primeira aplicação é feita hoje (data do contrato). Considere que o Fator de 
Acumulação de Capital para uma taxa de 4% ao mês e um prazo de 5 meses é 
de 5,41632. 
 
Dados: R = 100,00 
 n = 5 
 i = 4% ao mês 
 FAC(4, 5) = 5,41632 
 
Solução: 
𝑆 = 𝑅 × (1 + 𝐼) × 𝐹𝐴𝐶(𝑖, 𝑛) 
𝑆 = 100 × (1 + 0,04) × 5,41632 
𝑆 = 100 × 1,04 × 5,41632 = 563,30 
 
Quando queremos descobrir o valor atual de um problema de série de 
pagamentos iguais com termos antecipados, utilizamos o Fator de Valor Atual 
(FVA), em que a fórmula genérica é a seguinte: 
 
𝑺 = 𝑹 × (𝟏 + 𝒊) ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏 × 𝒊
 
 
Aqui também podemos isolar o Fator de Valor Atual (FVA), que é 
encontrado nas principais tabelas financeiras, para simplificarmos a operação: 
 
𝑺 = 𝑹 × (𝟏 + 𝒊) × 𝑭𝑽𝑨(𝒊, 𝒏) 
 
Exemplo: calcule o valor de um bem financiado em 5 prestações iguais de R$ 
5.054,03, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 4% ao mês e que a 
primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato. Considere que o 
Fator de Valor Atual para uma taxa de 4% ao mês e um prazo de 5 meses é de 
5,41632. 
 
 
 
29 
 
Dados: R = 5.054,03 
 i = 4% ao mês 
 n = 5 
 FVA(4, 5) = 5,41632 
 
Solução: 
𝑆 = 𝑅 × (1 + 𝑖) × 𝐹𝑉𝐴(𝑖, 𝑛) 
𝑆 = 5.054,03 × (1 + 0,04) × 5,41632 
𝑆 = 5.054,03 × 1,04 × 5,41632 = 28.469,21 
 
Quando queremos descobrir o valor da prestação de um problema de 
série de pagamentos iguais com termos antecipados, utilizamos o Fator de 
Recuperação de Capital (FRC), em que a fórmula genérica é a seguinte: 
 
𝑹 = 𝑷 ×
𝟏
(𝟏 + 𝒊)
{
(𝟏 + 𝒊)𝒏 × 𝒊
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
} 
 
Aqui também podemos isolar o Fator de Recuperação de Capital (FRC), 
que é encontrado nas principais tabelas financeiras, para simplificarmos a 
operação: 
 
𝑹 = 𝑷 ×
𝑭𝑹𝑪(𝒊, 𝒏)
(𝟏 + 𝒊)
 
 
Exemplo: calcule o valor de cada prestação de um apartamento que é colocado 
à venda por R$ 180.000,00 em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira 
prestação paga na data do contrato, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é 
de 34% e o Fator de Valor Atual para uma taxa de 34% ao ano e um prazo de 
10 prestações bimestrais é de 0,12950. 
 
Dados: P = 180.000,00 
 n = 10 prestações bimestrais 
 i = 34% ao ano 
 FRC(34, 10) = 0,12950 
 
 
30 
 
Equivalência de taxas: 
𝑖𝑏 = (1 + 𝑖𝑎)
1
6⁄ − 1 = (1,34)
1
6⁄ − 1 = 1,05 − 1 = 5% 
 
Solução: 
𝑅 = 𝑃 ×
𝐹𝑅𝐶(𝑖, 𝑛)
(1 + 𝑖)
 
𝑅 = 180.000 ×
0,12950
(1 + 0,05)
 
𝑅 = 180.000 ×
0,12950
1,05
 
𝑅 = 180.000 × 0,123333 = 22.200,00 
 
2.3 Equivalência de capitais e de planos de pagamentos 
 
Em certas situações, vamos querer saber se os valores de dois capitais 
iniciais diferentes resultarão no mesmo valor depois de passado certo período 
de tempo e com uma determinada taxa de juros. Para equivalência de capitais e 
planos de pagamento, é necessário, sempre que queremos, transformar formas 
de pagamento ou recebimentos, o que possibilita comparar as duas alternativas. 
Nós podemos utilizar a equivalência sempre que as taxas forem iguais, a 
equivalência valerá para qualquer prazo. Para qualquer outra taxa, será 
necessário fazer um novo cálculo de equivalência. 
A forma para essa operação é a seguinte: 
 
𝑽𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒕𝟏
=
𝑽𝟐
(𝟏 + 𝒊)𝒕𝟐
 
 
Em que i representa a taxa periódica de juros, t o prazo e V o valor do 
capital. 
 
Exemplo: dado um capital de R$ 15.208,13, vencível de hoje a 5 meses, à taxa 
de 4% ao mês; e outro capital de R$ 17.107,13, vencível de hoje a 8 meses, à 
taxa de 4% ao mês. Verificar se são equivalentes na data de hoje. 
 
 
 
31 
 
Dados:𝑽𝟏 = 𝟏𝟓. 𝟐𝟎𝟖, 𝟏𝟑 
𝑽𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟎𝟕, 𝟏𝟑 
𝒕𝟏 = 𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
𝒕𝟐 = 𝟖 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
𝒊 = 𝟒% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
 
Solução: 
𝑉1
(1 + 𝑖)𝑡1
=
𝑉2
(1 + 𝑖)𝑡2
 
 
15.208,13
(1 + 0,04)5
=
17.107,13
(1 + 0,04)8
 
 
Efetuando os cálculos, temos: 
 
𝟏𝟓. 𝟐𝟎𝟖, 𝟏𝟑
𝟏, 𝟐𝟏𝟔𝟔𝟓
= 𝟏𝟐. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝟏𝟕. 𝟏𝟎𝟕, 𝟏𝟑
𝟏, 𝟑𝟔𝟖𝟓𝟕
= 𝟏𝟐. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Portanto, esses dois capitais são equivalentes. 
 
 Importante 
Uma vez provado que dois capitais são equivalentes para uma determinada taxa, 
esses capitais serão equivalentes para qualquer prazo. Para outra taxa qualquer, 
a equivalência não existirá. 
 
Conclusão da aula 2 
 
Chegamos ao final desta aula. Vocês perceberam que existem duas 
possíveis séries de pagamentos para termos iguais e sucessivos: com termos 
vencidos ou antecipados. A principal diferença, como estudado, é em relação à 
primeira prestação, se ela vende ao final do primeiro período é com termo 
 
 
32 
 
vencido, e, se ela vence no dia do contrato ou compra, é com termo antecipado. 
Por último, estudamos as equivalências de planos de pagamento. 
 
Atividade de Aprendizagem 
Pesquise nos seus documentos pelo menos 3 operações em que você tenha 
utilizado série de pagamentos com termos iguais e sucessivos no último ano. 
Pode ser a compra de qualquer bem de consumo, como uma geladeira, um 
celular, ou até mesmo um tênis. Depois, coloque as informações no papel, 
descreva se foi uma série de pagamentos iguais com termos vencidos ou uma 
série de pagamentos iguais com termos antecipados. 
 
 
 
 
Aula 3 – Avaliação de fluxo de caixa e taxa de juros 
 
Apresentação da aula 3 
 
Caros alunos, prontos para a nossa terceira aula? Agora vamos estudar 
três formas de pagamentos de empréstimos: Tabela Price, Sistema de 
Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Misto (SAM). Também 
vamos aprender dois métodos de avaliar fluxo de caixa: o Valor Presente Líquido 
(VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR). 
Vamos estudar também as taxas de juros, que podem ser classificadas 
de cinco formas diferentes: elas podem ser simples ou compostas; e a sua taxa 
pode ser nominal, efetiva ou real. 
 
3.1 Sistemas de amortização 
 
As formas de pagamentos dos empréstimos são chamadas de sistemas 
de amortização. Existem vários sistemas de amortização, com pagamento único 
ou parcelamento. Quando o sistema de amortização tem prestações, tanto o 
devedor quanto o credor querem saber, a cada período de tempo, o estado da 
dívida, isto é, a criação de um controle para saber do estado da dívida, desde o 
 
 
33 
 
valor total até as parcelas mensais. Um exemplo de sistema de amortização seria 
um empréstimo bancário para a compra de uma casa, ou apartamento. 
 
 Saiba mais 
O Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), no Brasil, é o mais utilizado 
em todos os setores financeiros e de capitais. Enquanto o Sistema de 
Amortização Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Misto (SAM) são 
mais utilizados pelo Sistema Financeiro de Habitação, principalmente nas 
operações de financiamento para aquisição da casa própria. 
 
3.1.1 Sistema Francês de amortização (Tabela Price) 
 
Esse sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em 
prestações periódicas, iguais e sucessivas, em que o valor de cada prestação, 
ou pagamento, é compostopor duas parcelas distintas: uma de juros e outra de 
capital. O valor das prestações é determinado com base na mesma fórmula 
utilizada para série de pagamentos com termos vencidos e o Fator de 
Acumulação de Capital. O famoso financiamento “Minha Casa, Minha Vida” do 
governo, por exemplo, já utilizou o sistema de amortização da Tabela Price para 
calcular as parcelas e o total da dívida dos seus clientes. 
 
Curiosidade 
A denominação de “Tabela Price” deve-se ao nome do matemático, filósofo e 
teólogo inglês Richard Price, que viveu no século XVIII, na França, e 
desenvolveu esse sistema de amortização. 
 
Exemplo: calcule os valores das parcelas de juros e amortização referentes à 
primeira prestação, de um empréstimo de R$ 8.530,20, à taxa de 3% ao mês, 
para ser liquidado em 10 prestações iguais, sabendo-se que FRC (3%, 10) é 
igual a 0,11723. 
 
Dados: P (montante) = 8.530,20 
 
 
34 
 
 i = 3% ao mês 
 n = 10 
 FRC (3%, 10) = 0,11723 
 
➢ Valor da prestação: 
 
𝑅 = 𝑃 × 𝐹𝑅𝐶(𝑖, 𝑛) 
𝑅 = 8.530,20 × 0,11723 = 1.000,00 
 
➢ Valor da parcela de Juros (J): 
 
𝐽 = 𝑖 × 𝑃 
𝐽 = 0,03 × 8.530,20 = 255,91 
 
➢ Valor da parcela de amortização (A): 
 
𝐴 = 𝑅 − 𝐽 
𝐴 = 1000 − 255,91 = 744,09 
 
3.1.2 Sistema de amortização constante (SAC) 
 
Nesse sistema de amortização não são as parcelas iguais como no 
sistema Price, mas, sim, as amortizações incluídas em cada prestação. Esse 
sistema é utilizado em financiamentos de longo prazo e deduz os juros nas 
parcelas amortizadas. O sistema SAC normalmente é utilizado em 
financiamentos habitacionais, como a compra da casa ou apartamento próprio. 
Como n, amortizações iguais devem saldar a dívida PV pelo número n de 
parcelas. Temos: 
 
𝑨 =
𝑷𝑽
𝒏
 
 
 
 
35 
 
Exemplo: um empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% ao mês, pelo 
prazo de 4 meses, pelo sistema de amortização SAC; deve-se fazer o 
demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses. 
 
Em que A é o valor da amortização, PV o valor do empréstimo, n o prazo, 
i a taxa, J os juros, P o valor da parcela, SD o saldo devedor. 
 
Solução: 
𝐴 =
𝑃𝑉
𝑛
=
100.000
4
= 25.000 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜) 
𝐽1 = 𝑃𝑉 × 𝑖 = 100.000 × 0,10 = 10.000 (𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑚ê𝑠 1) 
𝑃1 = 𝐴 + 𝐽1 = 25.000 + 10.000 = 35.000(𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑚ê𝑠 1) 
𝑆𝐷1 = 𝑃𝑉 − 𝐴 = 100.000 − 25.000 = 75.000 (𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑚ê𝑠 1) 
 
𝐽2 = 𝑆𝐷1 × 𝑖 = 75.000 × 0,1 = 7.500 (𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 2) 
𝑃2 = 𝐴 + 𝐽2 = 25.000 + 7.500 = 32.500 (𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑚ê𝑠 2) 
𝑆𝐷2 = 𝑆𝐷1 − 𝐴 = 75.000 − 25.000 = 50.000 (𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑚ê𝑠 2) 
 
𝐽3 = 𝑆𝐷2 × 𝑖 = 50.000 × 0,1 = 5.000 (𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 3) 
𝑃3 = 𝐴 + 𝐽3 = 25.000 + 5.000 = 30.000 (𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑚ê𝑠 3) 
𝑆𝐷3 = 𝑆𝐷2 − 𝐴 = 50.000 − 25.000 = 25.000 (𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑚ê𝑠 3) 
 
𝐽4 = 𝑆𝐷3 × 𝑖 = 25.000 × 0,1 = 2.500 (𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 4) 
𝑃4 = 𝐴 + 𝐽4 = 25.000 + 2.500 = 27.500 (𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑚ê𝑠 4) 
𝑆𝐷4 = 𝑆𝐷3 − 𝐴 = 25.000 − 25.000 = 0 (𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑚ê𝑠 4) 
 
N Pagamento Juros Amortização Saldo devedor 
0 - - - 100.000 
1 35.000 10.000 25.000 75.000 
2 32.500 7.500 25.000 50.000 
3 30.000 5.000 25.000 25.000 
4 27.500 2.500 25.000 0 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
 
36 
 
3.1.3 Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 
Nesse sistema, cada prestação é a média aritmética entre os valores 
encontrados para as prestações dos sistemas PRICE e SAC, ou seja, é sistema 
misto entre o PRICE e o SAM. Esse sistema também é usado para empréstimos 
e financiamentos de imóveis, mas a sua parcela começa maior e vai reduzindo 
a cada pagamento, pois os juros vão diminuindo a cada parcela. 
Chamada de PMT, a prestação do sistema PRICE e de P, as prestações 
do SAC, para calcular P’, as prestações do SAM, basta fazer: 
 
𝑷′𝒏 =
𝑷𝑴𝑻 + 𝑷𝒏
𝟐
 
 
 Saiba mais 
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi criado pelo Banco Nacional da 
Habitação (BNH), em maio de 1979. 
 
Vamos voltar para o mesmo exemplo do sistema SAC, para facilitar o 
entendimento. 
 
Exemplo: um empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% ao mês, pelo 
prazo de 4 meses, pelo sistema de amortização SAM; deve-se fazer o 
demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses. 
 
Solução: 𝑃𝑀𝑇 = 31.547,08 (𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑃𝑅𝐼𝐶𝐸) 
 
𝑃1 = 35.000,00
𝑃2 = 32.500,00
𝑃3 = 30.000,00
𝑃4 = 27.500,00
} (𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑆𝐴𝐶) 
 
𝑃′1 =
𝑃𝑀𝑇 + 𝑃1
2
=
31.547,08 + 35.000
2
= 33.273,54 
𝑃′2 =
𝑃𝑀𝑇 + 𝑃2
2
=
31.547,08 + 32.500
2
= 32.023,54 
 
 
37 
 
𝑃′3 =
𝑃𝑀𝑇 + 𝑃3
2
=
31.547,08 + 30.000
2
= 30.773,54 
𝑷′𝟒 =
𝑷𝑴𝑻 + 𝑷𝟒
𝟐
=
𝟑𝟏. 𝟓𝟒𝟕, 𝟎𝟖 + 𝟐𝟕. 𝟓𝟎𝟎
𝟐
= 𝟐𝟗. 𝟓𝟐𝟑, 𝟓𝟒 
 
N Pagamento Juros Amortização Saldo devedor 
0 - - - 100.000,00 
1 33.273,54 10.000,00 23.273,54 76.726,46 
2 32.023,54 7.672,65 24.350,89 52.375,57 
3 30.773,54 5.237,56 25.535,98 26.839,59 
4 29.523,54 2.683,96 26.839,58 0 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
Podemos observar que no sistema SAC os pagamentos decrescem 2.500 
a cada mês, e no sistema SAM decrescem a metade do valor, isto é, 1.250. 
 
3.2 Método de avaliação de fluxo de caixa 
 
 
Fonte: http://www.f10.com.br/wp-content/uploads/2017/10/fluxo-de-caixa-saldo-negativ 
o-positivo-capital-de-giro-operacional-investimento-lucro-dinheiro-entrada-x-sai%CC% 
81da-.jpg 
 
 
 
38 
 
Vamos estudar dois métodos largamente utilizados nas análises de fluxo 
de caixa: o método de valor presente líquido e o método da taxa interna de 
retorno. Esses métodos comparam a soma algébrica dos valores presentes de 
pagamentos ou recebimentos com os valores de pagamentos ou recebimentos 
iniciais, “ocorridos hoje”. 
Fluxo de caixa é uma ferramenta financeira, que tem por finalidade 
demonstrar de forma detalhada as entradas e saídas de recursos dentro de um 
determinado período. 
 
 Importante 
Os valores presentes são calculados de acordo com o regime de capitalização 
composta e com base em dada taxa de juros. Seguindo os moldes de um 
orçamento pessoal (resguardadas as devidas proporções), o departamento 
financeiro da empresa apura cada recebimento (de duplicatas, vendas à vista, 
vendas a prazo, entre outros) e cada pagamento (despesas operacionais, 
empréstimos etc.). Por menor que um deles seja, deve ser computado. 
 
3.2.1 Valor presente líquido (VPL) 
 
O método do valor presente líquido consiste em deduzir o valor do fluxo 
inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento) de uma série 
de pagamentos ou recebimentos a uma taxa conhecida, ou seja, calcula-se o 
valor presente líquido para saber qual o valor atual de um investimento e a sua 
rentabilidade. Esse método não é calculado pela calculadora simples. Vamos dar 
um exemplo de como calculá-lo com o uso da calculadora HP-12C. 
 
Exemplo: à taxa de mercado de 5,4% ao mês, qual será o melhor retorno para 
uma aplicação de R$ 300.000,00, receber R$ 500.000,00 no fim de seis meses, 
duas parcelas trimestrais de R$ 230.000,00, três parcelas bimestrais de R$ 
140.000,00 ou seis parcelas mensais de R$ 65.000,00? 
 
➢ Receber 500.000,00 no fim de seis meses: 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
 
 
39 
 
Digite 500000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 5,4 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 6 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 365.017,82 - PV=365.017,82 - 300.000,00 = 65.017,82 
 
➢ Receber duas parcelas trimestrais de R$ 230.000,00: 
 
𝒊 = 𝟏𝟎𝟎 × (𝟏, 𝟎𝟓𝟒𝟑 − 𝟏) = 𝟏𝟕, 𝟎𝟗 (taxa equivalente) 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 230.000 e pressione a tecla PMT – para inserir o valor do pagamento 
periódico 
Digite 17,09 e pressione a teclai – para inserir a taxa equivalente 
Digite 2 e pressione a tecla n – para inserir o número de parcelas 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 365.059,67 - PV = 365.059,67 – 300.000,00 = 65.059,67. 
 
➢ Receber três parcelas bimestrais de R$ 140.000,00: 
 
𝒊 = 𝟏𝟎𝟎 × (𝟏, 𝟎𝟓𝟒𝟐 − 𝟏) = 𝟏𝟏, 𝟎𝟗 (taxa equivalente) 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 140.000 e pressione a tecla PMT – para inserir o valor do pagamento 
periódico 
Digite 11,09 e pressione a tecla i – para inserir a taxa equivalente 
Digite 3 e pressione a tecla n – para inserir o número de parcelas 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 365.049,42 - PV = 365.049,42 – 300.000,00 = 65.049,42. 
 
➢ Receber seis parcelas mensais de R$ 65.000,00: 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
 
 
40 
 
Digite 65.000 e pressione a tecla PMT – para inserir o valor do pagamento 
periódico 
Digite 5,4 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 6 e pressione a tecla n – para inserir o número de parcelas 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 365.017,82 - PV = 365.017,82 – 300.000,00 = 65.017,82. 
 
 A melhor alternativa de investimento é a segunda opção, receber duas 
parcelas trimestrais de R$ 230.000,00. 
 
3.2.2 Taxa interna de retorno (TIR) 
 
 O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula 
o valor presente líquido do fluxo de caixa que está sendo analisado, isto é, a taxa 
em que o valor presente líquido seja zero. Nessa taxa, o investimento não terá 
nem lucro, nem prejuízo. 
 
 Importante 
Caso estivermos comparando vários investimentos, o melhor seria o que tem a 
maior taxa interna de retorno. Se estivermos comparando vários empréstimos, o 
melhor seria o que tem a menor taxa de retorno. 
 
Vamos exemplificar para entendermos melhor: 
 
Exemplo: um investidor aplicou um capital de R$ 650.000,00 em um prazo de 9 
meses. No terceiro mês recebeu um rendimento no valor de R$ 160.000,00, no 
quarto mês também; no sexto mês, um rendimento de R$ 200.000,00 e no nono 
mês um rendimento de R$ 490.000,00. Qual a taxa interna de retorno que anula 
o valor desse investimento? 
Solução: a taxa i que anula o valor presente líquido desse fluxo de caixa é a 
taxa que torna verdadeira a igualdade: 
 
 
 
41 
 
160.000(1 + 𝑖)−3 + 160.000(1 + 𝑖)−4 + 200.000(1 + 𝑖)−6 + 490.000(1 + 𝑖)−9′ = 650.000 
 
Vamos demostrar a resolução com a calculadora HP-12C: 
 
A solução dessa equação só pode ser obtida pelo processo iterativo, ou 
seja, por tentativa e erro. Assim, vamos admitir inicialmente uma taxa qualquer 
que julgamos próxima ao valor da taxa procurada. Vamos começar com 6%. 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 160000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 6 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 3 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 134.512,83 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 160000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 6 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 4 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 126.960,21 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 200000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 6 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 6 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 141.311,73 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 490000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 6 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
 
 
42 
 
Digite 9 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 290.472,35 
PV=134.512,83+126.960,21+141.311,73+290.472,35–650.000=43.257,12 
 
A taxa de 6% ainda não anulou o valor presente líquido, vamos tentar com 7%: 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 160000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 7 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 3 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 130.778,24 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 160000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 7 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 4 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 122.283,40 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 200000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 7 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
Digite 6 e pressione a tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 133.578,26 
 
Pressione ON – para ligar a calculadora 
Digite 490000 e pressione a tecla FV – para inserir o valor futuro 
Digite 7 e pressione a tecla i – para inserir a taxa 
 
 
43 
 
Digite 9 e pressione a SUGESTÃO: significa o retorno de um investimento, 
possibilita que o operador, empresário ou investidor tenha conhecimento se o 
negócio está se realizando de forma rentável. 
Tecla n – para inserir o prazo 
Pressione PV para aparecer o valor presente na tela 
O PV será igual a 266.951,02 
PV=130.778,24+122.283,40+133.578,26+266.951,02–650.000=3.590,92 
 
Ainda não anulamos o valor, mas chegamos perto. Quando tentamos com 
7,1%, obtemos -209,62, o que mostra que 7,1% já ultrapassou a taxa interna de 
retorno. Então, a taxa interna de retorno deve estar entre 7% e 7,1%, conforme 
a tabela a seguir: 
 
i NPV 
7% 3.590,92 
i 0 
7,1% -209,62 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
Pelo método iterativo, de tentativa e erro, descobrimos que o valor da taxa 
interna de retorno é de 7,065%. 
 
3.3 Classificação das taxas de juros 
 
Como já estudamos, a taxa de juros é definida pela relação entre os juros 
pagos ou recebidos no final de certo período e o capital inicialmente aplicado. 
Assim, se uma pessoa aplica R$ 1.000,00 e recebe R$ 1.200,00, ao final de certo 
período, a taxa de juros é de 20%. 
As taxas de juros podem ser classificadas quanto: 
 
➢ Ao regime de capitalização: simples e composta; 
➢ Ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo: nominal, 
efetiva e real. 
 
 
44 
 
3.3.1 Conceito e classificação das taxas de juros 
 
As taxas de juros quanto ao regime de capitalização, então, como já 
mencionamos, podem ser simples ou compostas. A taxa de juros é simples 
quando o valor dos juros é resultante da sua incidência somente sobre o capital 
inicial; já na taxa de juros composta, o valor dos juros incide sobre o capital inicial 
e também sobre o valor dos juros acumulados do período. 
 
 Importante 
A taxa de juros simples também é chamada de linear, e a taxa de juros composta 
também é chamada de exponencial. 
 
Exemplo: montar a tabela pelo regime de capitalização simples e composta do 
demonstrativo de uma aplicação de um capital de R$ 100.000,00, aplicado por 6 
meses, à taxa de 4% ao mês. 
 
Solução pelo regime de capitalização simples: 
 
𝐽 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛 = 100.000 × 0,04 × 6 = 24.000,00. 
 
N Saldo inicial Juros Juros acumulados Saldo final 
1 100.000,00 4.000,00 4.000,00 104.000,00 
2 104.000,00 4.000,00 8.000,00 108.000,00 
3 108.000,00 4.000,00 12.000,00 112.000,00 
4 112.000,00 4.000,00 16.000,00 116.000,00 
5 116.000,00 4.000,00 20.000,00 120.000,00 
6 120.000,00 4.000,00 24.000,00 124.000,00 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
Solução pelo regime de capitalização composta: 
 
𝑴𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝑺 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 = 𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 × (𝟏, 𝟎𝟒)𝟔 
 
 
45 
 
𝑴𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟏, 𝟐𝟔𝟓𝟑𝟐 = 𝟏𝟐𝟔. 𝟓𝟑𝟐, 𝟎𝟎 
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 = 𝑺 − 𝑷 = 𝟏𝟐𝟔. 𝟓𝟑𝟐 − 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟔. 𝟓𝟑𝟐, 𝟎𝟎 
 
N Saldo inicial Juros Juros acumulados Saldo final 
1 100.000,00 4.000,00 4.000,00 104.000,00 
2 104.000,00 4.160,00 8.160,00 108.160,00 
3 108.160,00 4.326,00 12.486,00 112.486,00 
4 112.486,00 4.500,00 16.986,00 116.986,00 
5 116.986,00 4.679,00 21.665,00 121.665,00 
6 121.665,00 4.867,00 26.532,00 126.532,00 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
De acordo com o valor do capital inicial tomado como base de cálculo, as 
taxas de juros podem ser: nominal, efetiva e real: 
 
➢ Taxa nominal: é a taxa calculada com base no valor nominal da aplicação 
ou do empréstimo, com base no valor explicitado no título ou no contrato; 
 
➢ Taxa efetiva: é a taxa calculada sobre o valor efetivamente aplicado ou 
emprestado, o valor colocado à disposição do banco ou do cliente na data 
de aplicação ou do contrato; 
 
➢ Taxa real: é a taxa calculada sobre o valor efetivamente aplicado ou 
emprestado, corrigido monetariamente pela inflação do período, 
contabilizado desde o dia da aplicação até o dia do seu vencimento. 
 
Vamos entender melhor com um exemplo: uma pessoa obtém um 
empréstimo de R$ 50.000,00 para ser liquidado por R$ 54.000,00, no final de 30 
dias. Porém, o banco exige que o cliente mantenha, durante o prazo do contrato, 
um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Sabendo-se que 
nesse período a taxa de inflação é de 9%; calcular as taxas nominal, efetiva e 
real. 
 
 
 
46 
 
Solução: 
 
➢ A taxa nominal é obtida pela divisão dos juros pelo valor nominal do 
empréstimo: 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 =
𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒈𝒐𝒔
𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒂𝒍
=
𝟓𝟒. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
=
𝟒. 𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟖% 
 
➢ A taxa efetiva é obtida pela divisão dos juros pagos pelo valor do capital 
efetivamente colocado pelo banco à disposição da empresa na data do 
contrato. Vamos admitir que no exemplo, no dia em que o banco 
disponibilizou o empréstimo, o cliente sacou o valor de R$ 40.000,00, 
deixando um saldo de R$ 10.000,00. O valor de resgate será de R$ 
44.000,00 (R$ 54.000,00 – R$ 10.000,00), o valor liquidado descontado 
do saldo da conta no momento. Assim, temos: 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 =
𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒈𝒐𝒔
𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐
=
𝟒𝟒. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
=
𝟒. 𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟏𝟎% 
 
➢ A taxa real é obtida pela divisão do juro real pelo capital inicial corrigido 
com base na taxa de inflação do período; o juro real é obtido pela 
diferença entre o valor de resgate e o capital inicial corrigido pela inflação 
do período; o capital inicial corrigido é igual ao capital inicial adicionado 
da correção monetária do período. Assim, no caso do nosso exemplo, 
tomando-se como base o capital inicial efetivo de R$ 40.000,00 e o valor 
de resgate de R$ 44.000,00, temos: 
 
 Importante 
Caso você não tenha entendido o conceito de inflação do período, não se 
preocupe, explicaremos detalhadamente na próxima aula. 
 
➢ Correção monetária = 9% x 40.000,00 = 3.600,00; 
➢ Capital inicial corrigido = 40.000,00 + 3.600,00 = 43.600,00; 
 
 
47 
 
➢ Juro real = 44.000,00 – 43.600 = 400,00. 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍 =
𝒋𝒖𝒓𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍
𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐
=
𝟒𝟎𝟎
𝟒𝟑. 𝟔𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟗𝟏𝟕% 
 
A taxa real de juros pode também ser obtida a partir da taxa efetiva de 
juros e de inflação, utilizando-se a seguinte equação: 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍 =
𝟏 + 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂
𝟏 + 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒂çã𝒐
− 𝟏 =
𝟏, 𝟏𝟎
𝟏, 𝟎𝟗
− 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟕% 
 
No nosso exemplo, então, a taxa nominal é de 8%, a taxa efetiva é de 
10%, e a taxa real é de 0,917% referente a mesma operação. Foram calculadas 
com base em três capitais iniciais distintos: o valor nominal do empréstimo de 
R$ 50.000,00, o valor efetivo do empréstimo de R$ 40.000,00, e o valor efetivo 
corrigido do empréstimo de R$ 43.600,00. Assim, podemos concluir que as taxas 
de juros variam de acordo com o capital inicial tomado como base de cálculo. 
 
3.3.2 Taxas equivalentes e proporcionais 
 
Como já estudamos, a equivalência de taxas estabelece que duas taxas, 
referentes a períodos diferentes, são equivalentes quando produzem o mesmo 
montante no final de determinado período, pela aplicação de um capital inicial de 
mesmo valor. Assim, em um regime de capitalização simples, a taxa de juros de 
2% ao mês equivale à taxa de 24% ao ano, e 48% ao ano equivalem a 12% ao 
trimestre ou a 4% ao mês; já, um regime de capitalização composta, 2% ao mês 
equivalem a 26,824% ao ano, e 48% ao ano equivalem a 10,297% ao trimestre, 
ou 3.321% ao mês. 
 
 Importante 
Geralmente, quando os autores mencionam taxas equivalentes, estão se 
referindo implicitamente à capitalização composta. 
 
 
 
48 
 
Como o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo, o conceito de 
taxas proporcionais é utilizado somente para capitalização simples. Assim 
sendo, a taxa proporcional de 3% ao mês, para 3 meses, é de 30%; a de 12% 
ao ano, para 3 meses, é de 3%, e assim sucessivamente. 
 
3.3.3 Juros pagos antecipadamente 
 
Em determinadas operações de empréstimo, ou financiamento, é muito 
comum a cobrança “antecipada de juros”. Vamos entender melhor com o 
exemplo a seguir: 
 
Exemplo: uma senhora solicita um empréstimo de R$ 10.000,00 a um banco 
que cobra juros antecipados de 4% ao mês, em um prazo de três meses. O 
banco desconta juros correspondentes a 12% do valor pedido, entregando ao 
solicitante um valor líquido de R$ 8.800,00. Qual o valor da taxa efetiva de juros? 
 
Resolução: 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 =
𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐
𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍
=
𝟏. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟖. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟔𝟑𝟔 
 
Ou seja, a taxa efetiva de juros é de 13,636%. 
 
Conclusão da aula 3 
 
Caro aluno. Nesta aula estudamos as três principais formas de 
pagamento, ou seja, os sistemas de amortização Tabela Price, SAC e SAM. 
Também estudamos os métodos de avaliação de fluxo de caixa: o Valor Presente 
Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR). 
Classificamos, também, as taxas de juros quanto ao regime de 
capitalização, simples ou composta, também o valor do capital inicial, nominal, 
efetivo ou real. 
 
 
 
 
49 
 
Atividade de Aprendizagem 
Faça uma resenha explicando as diferenças dos sistemas de amortização 
Francês (Tabela Price), do Sistema de Amortização Constante (SAC) e do 
Sistema de Amortização Misto (SAM). 
 
 
 
 
Aula 4 – Taxa e prazo médio e operações de mercado 
 
Apresentação da aula 4 
 
Caro aluno. Chegamos a nossa última aula. Vamos aprender a calcular a 
taxa média e o prazo médio para as operações de desconto bancário, juros 
simples e juros compostos. Também vamos estudar as principais operações 
financeiras de renda fixa realizadas no mercado: os Certificados de Depósitos 
Bancários, os Recibos de Depósitos Bancários, as Letras de Câmbio e a 
Caderneta de Poupança. 
 
4.1 Taxa média e prazo médio 
 
Vamos tratar dos conceitos de taxa média e de prazo médio para 
operações de desconto simples (comercial, ou bancário), de juros simples e de 
juros compostos. No Brasil, a importância do conhecimento desses conceitos 
tem crescido substancialmente nos últimos anos, à medida que se desenvolvem 
o mercado financeiro e o mercado de capitais. 
Também vamos estudar as principais operações financeiras realizadas no 
mercado financeiro brasileiro, bem como a inflação, que impacta enormemente 
as operações financeiras brasileiras. 
 
4.1.1 Taxa média e prazo médio para operações de descontos simples 
 
Taxa média de juros é o valor médio de todas as taxas cobradas em uma 
operação. Em uma instituição financeira, por exemplo, a taxa média é como um 
 
 
50denominador comum entre todas as taxas de juros da instituição bancária para 
poder fazer a avaliação se o valor dos juros cobrados é abusivo. Com o prazo, 
seguimos a mesma lógica, é a média de todos os prazos das operações que está 
sendo analisada. 
Para facilitar o entendimento, vamos estudar o exemplo a seguir. 
 
Exemplo: dada uma operação de desconto bancário de 3 títulos: o primeiro no 
valor de R$ 5.000,00 e prazo de 4 meses, à taxa de 3%; o segundo no valor de 
R$ R$ 2.000,00 e prazo de 5 meses, à taxa de 4%; e o terceiro no valor de R$ 
8.000,00 e prazo de 3 meses, à taxa de 5%. Qual a taxa média e o prazo médio 
correspondentes? 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = �̅� =
∑ 𝑆ℎ × 𝑑ℎ × 𝑛ℎ
𝑚
ℎ=1
∑ 𝑆ℎ
𝑚
ℎ=1 × 𝑛ℎ
 
 
em que h = 1,2, ..., m representa cada um dos títulos apresentados. S representa 
o valor nominal, d a taxa de desconto e n o prazo. 
 
5.000 × 4 × 0,03 + 2.000 × 5 × 0,04 + 8.000 × 3 × 0,05
5.000 × 4 + 2.000 × 5 + 8.000 × 3
 
 
600 + 400 + 1.200
20.000 + 10.000 + 24.000
 
 
2.200
54.000
= 0,04074 = 4,074% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
 
 O prazo médio também é ponderado pelos valores nominais dos títulos e 
pelas respectivas taxas, como segue: 
 
𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = �̅� =
∑ 𝑆ℎ × 𝑛ℎ
𝑚
ℎ=1
∑ 𝑆ℎ
𝑚
ℎ=1
 
 
em que h = 1,2, ..., m representa cada um dos títulos apresentados. S representa 
o valor nominal, d a taxa de desconto e n o prazo. 
 
 
51 
 
 
5.000 × 4 × +2.000 × 5 + 8.000 × 3
5.000 + 2.000 + 8.000
 
 
54.000
15.000
= 3,6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
Assim, a taxa média dos 3 títulos (3%, 4% e 5%) analisados no exemplo 
é de 4,047%. E o prazo médio dos 3 títulos (4 meses, 5 meses e 6 meses) 
analisados no exemplo é de 3,6 meses. 
 
4.1.2 Taxa média e prazo médio para operações com juro simples 
 
A operação realizada no caso dos juros simples é quase idêntica à 
operação realizada no caso do desconto bancário. A diferença é que, em vez de 
valores de resgate, que são valores futuros, vamos trabalhar com valores atuais, 
como segue: 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑖̅ =
∑ 𝑃ℎ × 𝑖ℎ × 𝑛ℎ
𝑚
ℎ=1
∑ 𝑃ℎ
𝑚
ℎ=1 × 𝑛ℎ
 
 
em que h = 1,2, ..., m representa cada um dos títulos apresentados. P representa 
o valor atual, d a taxa de desconto e n o prazo. 
O prazo médio para operações de juros simples, como no caso do 
desconto bancário, é obtido por uma ponderação simples, ou seja, somente pelo 
valor atual das aplicações ou dos títulos, como segue: 
 
𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = �̅� =
∑ 𝑃ℎ × 𝑛ℎ
𝑚
ℎ=1
∑ 𝑃ℎ
𝑚
ℎ=1
 
 
Exemplo: um determinado banco empresta dinheiro a três pessoas diferentes, 
cujos valores, taxas de juros e prazos foram os seguintes: 
 
 
 
52 
 
 Valor Emprestado Taxa Mensal Prazo Mensal 
1 12.000,00 7% 3 
2 7.000,00 8% 4 
3 10.000,00 9% 5 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), adaptado pelo DI (2019). 
 
a) Taxa média: 
 
12.000 × 0,07 × 3 + 7.000 × 0,08 × 4 + 10.000 × 0,09 × 5
12.000 × 3 + 7.000 × 4 + 10.000 × 5
 
 
2.520 + 2.240 + 4.500
36.000 + 28.000 + 50.000
 
 
9.260
114.000
= 0,08123 = 8,123% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
 
R$ 9.260 representa o total de juros correspondentes aos três 
empréstimos. 
 
b) Prazo médio: 
 
12.000 × 3 + 7.000 × 4 + 10.000 × 5
12.000 + 7.000 + 10.000
 
 
114.000
29.000
= 3,931 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
Assim, a taxa média dos 3 títulos (7%, 8% e 9%) analisados no exemplo 
é de 8,123%. E o prazo médio dos 3 títulos (3 meses, 4 meses e 5 meses) 
analisados no exemplo é de 3,931 meses. 
 
 
 
 
 
53 
 
4.2 Operações financeiras realizadas no mercado 
 
Caro aluno, vamos estudar agora as principais modalidades operacionais 
realizadas no mercado financeiro brasileiro. Operações financeiras são 
realizadas por pessoas ou empresas com a finalidade de gerar recursos 
financeiros, isto é, dinheiro. São diversas as operações financeiras, portanto 
iniciaremos, abordando os conceitos de inflação e correção monetária. 
 
4.2.1 Inflação e correção monetária 
 
O aumento persistente e generalizado dos preços dos bens e serviços à 
disposição da sociedade é caracterizado pelo fenômeno da inflação. Quando 
ocorre o fenômeno inverso, tem-se a deflação. Com o objetivo de minimizar as 
distorções causadas pela inflação na economia do Brasil, foi institucionalizada o 
princípio da correção monetária. Assim, os preços de bens e serviços, salários, 
empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos, todos os valores 
monetários, poderiam ser reajustados com base na inflação corrigida do período 
anterior, mediante um índice de preços calculado por uma entidade credenciada. 
A inflação implica uma quantidade cada vez maior de moeda no 
pagamento de um bem ou serviço, sem que tenha havido uma produção maior 
de riqueza, esse aumento da quantidade de moeda gera perda do poder 
aquisitivo da própria moeda. É aquela popular história de comprarmos o mesmo 
saco de arroz pelo dobro do preço em um intervalo de tempo de alguns meses. 
As altas taxas de juros, escassez, desequilíbrio da balança de 
pagamentos, emissão de moeda para cobrir déficit público, aumento de preços 
ou salários sem melhoria de qualidade ou de produção são os fenômenos que 
podem causar a inflação. 
 
 Saiba mais 
No Brasil, as entidades credenciadas para calcular o índice de preços da inflação 
normalmente são a FGV (Fundação Getúlio Vargas) e IBGE (Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística). 
 
 
 
54 
 
4.2.2 Indexador 
 
No mercado financeiro, entende-se indexador por qualquer valor ou índice 
utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetária, 
depreciado em função da inflação. 
Vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN (Bônus do Tesouro 
Nacional), que foi criado em fevereiro de 1989 e extinto em fevereiro de 1991. 
Esse indexador foi construído com base na variação mensal dos preços ao 
consumidor, calculado pelo IBGE, conforme a tabela a seguir: 
 
MÊS VARIAÇÃO MENSAL (%) BTN 
Fevereiro/89 3,60 1,0000 
Março 6,09 1,0360 
Abril 7,31 1,0991 
Maio 9,94 1,1794 
Junho 24,83 1,2966 
Fonte: elaborado pelo autor (2019), baseado em Vieira Sobrinho, (2000, p.264), 
adaptado pelo DI (2019). 
 
O valor inicial, na data de 01/02/1989, foi fixado em 1,00 (um cruzado 
novo). Para obtenção do valor do mês seguinte, adicionou-se a variação de 
3,60% do mês de fevereiro e assim sucessivamente. 
Para obtenção da variação, basta dividir o índice referente à data atual 
pelo índice correspondente à data anterior e subtrair 1. Assim, a variação de 
primeiro de março a primeiro de junho é calculada como segue: 
 
𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 =
𝟏, 𝟐𝟗𝟔𝟔
𝟏, 𝟎𝟑𝟔𝟎
− 𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏𝟓𝟒 = 𝟐, 𝟏𝟓𝟒𝟒𝟒% 
 
Para incorporar ao preço inicial a variação correspondente à inflação do 
período, basta dividir esse valor pelo índice correspondente à data do início do 
 
 
55 
 
período e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. Um valor 
inicial de R$ 50.000,00 seria corrigido como segue: 
 
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐 =
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟑𝟔𝟎
× 𝟏, 𝟐𝟗𝟔𝟔 = 𝟔𝟐. 𝟓𝟕𝟕, 𝟐𝟐 
 
 Saiba mais 
Em março de 1994, o governo criou mais um indexador, a Unidade Real de Valor 
– URV, com um valor inicial de CR$ 647,50, correspondente a 1 dólar comercial 
da data de 01/03/1994. No dia 01/07/1994, esse indexador transformou-se em 
moeda, ganhando o nome de REAL. 
 
Assim, podemos apresentar uma fórmula genérica para atualização 
monetária de valores: 
 
𝑷𝒄 =
𝑷
𝑰𝒐
× 𝑰𝑽 
 
Em que 𝑷𝒄 é o principal corrigido, P, o principal inicial, 𝑰𝒐, o indexador 
correspondente à data inicial, e 𝑰𝑽, o indexador da data do vencimento. 
 
Vocabulário 
Principal: é o preço inicial de uma mercadoria ou serviço, ou o valor inicial de 
um empréstimo ou de uma aplicação financeira; indexador: é qualquer índice 
utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. 
 
4.2.3 Aplicações financeiras com renda fixa 
 
As aplicações que denominam-se por renda fixa são aquelas que o 
investidor seguramente receberá no vencimentoum valor maior que o 
desembolsado, o que pode não acontecer com as aplicações de renda variável. 
São consideradas aplicações de renda fixa todas aquelas realizadas em títulos 
 
 
56 
 
e valores mobiliários, inclusive cadernetas de poupança e fundos de 
investimento. 
As aplicações com renda fixa prefixada ocorrem quando o valor de resgate 
é conhecido no dia da aplicação, como, por exemplo, os títulos emitidos pelos 
bancos, os Certificados de Depósitos Bancários (CDB), os Recibos de Depósitos 
Bancários (RDB), as Letras de Câmbio (LC), os Bônus do Banco Central (BBC) 
e as Letras do Tesouro Nacional (LTN). 
Todas as aplicações financeiras estão sujeitas à incidência do Imposto de 
Renda na fonte, à taxa de 15% sobre o rendimento bruto, independente do prazo 
da aplicação. Vamos entender melhor com os exemplos. 
 
 Saiba mais 
A típica aplicação financeira de renda variável é o investimento em ações. 
 
Exemplos com CDB, RDB ou LC: um investidor aplica R$ 36.000,00 em um 
CDB com 30 dias de prazo. Sabendo-se que o banco paga uma taxa de 39% ao 
ano, deve-se determinar o valor de resgate, o valor do Imposto de Renda e o 
valor de resgate líquido dessa aplicação. 
 
a) Valor de resgate: 
 
𝑉𝑅 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎)
𝑛
360⁄ 
 
Em que VR é o valor de resgate (antes do desconto do Imposto de Renda); P é 
o valor aplicado; 𝒊𝒂 a taxa anual, e n o prazo em dias. 
 
𝑉𝑅 = 36.000 × (1 + 0,39)
30
360⁄ 
𝑉𝑅 = 36.000 × (1,39)0,08333 
𝑉𝑅 = 36.000 × 1,03 = 37.080,00 
 
b) Valor do Imposto de Renda 
 
 
 
57 
 
𝑰𝑹 = 𝒂 × 𝑹𝑩 
 
Em que a é a alíquota do Imposto de Renda e RB o rendimento total (diferença 
entre o valor de resgate e o valor aplicado. 
 
𝑰𝑹 = 𝟎, 𝟏𝟓 × (𝟑𝟕. 𝟎𝟖𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟏. 𝟎𝟖𝟎 = 𝟏𝟔𝟐 
 
c) Valor do resgate líquido 
 
𝑽𝑹𝑳 = 𝑽𝑹 − 𝑰𝑹 
 
Em que VR é o valor de resgate (antes do desconto do Imposto de Renda) e IR 
o valor do Imposto de Renda. 
 
𝑽𝑹𝑳 = 𝟑𝟕. 𝟎𝟖𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟏𝟔𝟐 = 𝟑𝟔. 𝟗𝟏𝟖, 𝟎𝟎 
 
As aplicações com renda fixa pós-fixada ocorrem quando o valor de 
resgate é determinado somente no dia ou alguns dias antes do vencimento; os 
juros pagos são calculados sobre o principal corrigido, isto é, sobre o valor da 
aplicação adicionado da correção monetária do período. Há uma grande 
variedade de aplicações de renda pós-fixada, vamos tratar somente das mais 
importantes. 
 
Exemplo com caderneta de poupança: uma pessoa abriu a caderneta de 
poupança no dia 13/09/2018, com um depósito de R$ 4.500,00. Sabendo-se que 
a taxa do indexador da operação é de 2,57%, deve-se calcular o valor da 
correção monetária, os juros creditados e o saldo da conta em 13/09/2018. A 
taxa de juros é de 0,5% ao mês. 
 
a) Valor da correção monetária 
𝑪𝑴 = 𝟐, 𝟓𝟕% × 𝟒. 𝟓𝟎𝟎 
𝑪𝑴 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟕 × 𝟒. 𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟔𝟓 
 
b) Valor dos juros 
 
 
58 
 
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 = 𝟎, 𝟓% × (𝟒. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝟓, 𝟔𝟓) 
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 × 𝟒. 𝟔𝟏𝟓, 𝟔𝟓 = 𝟐𝟑, 𝟎𝟖 
 
c) Saldo da conta em 13/09/2018 
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 = 𝟒. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 × 𝟏, 𝟎𝟐𝟓𝟕 × 𝟏, 𝟎𝟎𝟓 = 𝟒. 𝟔𝟑𝟖, 𝟕𝟑 
 
Conclusão da aula 4 
 
Nesta aula estudamos a taxa média e o prazo médio para três importantes 
operações financeiras: desconto bancário, juros simples e juros compostos. 
Outro importante mecanismo estudado foi o da inflação, que tem um impacto 
importante no mercado brasileiro. Estudamos, também, as principais aplicações 
financeiras de renda fixa. 
 
Atividade de Aprendizagem 
Faça uma resenha de no máximo uma lauda, explicando qual a principal 
diferença entre a taxa média e o prazo médio das operações de desconto 
bancário, juros simples e juros compostos. 
 
 
 
59 
 
Índice Remissivo 
Aplicações financeiras com renda fixa ........................................................ 
(BBC; CDB; RDB) 
 
55 
Avaliação de fluxo de caixa e taxa de juros ................................................. 
(Nominal, efetiva ou real; taxa interna de retorno; valor presente líquido) 
 
32 
Capital ........................................................................................................ 
(Capital econômico; capital financeiro; expressões financeiras) 
 
09 
Capitalização composta ............................................................................. 
(Acumulado do período; juro sobre juro; operação e taxa) 
 
14 
Capitalização simples ................................................................................ 
(Capital inicial; juro acumulado; valor inicial) 
 
11 
Conceito e classificação das taxas de juros ................................................ 
(Nominal, efetiva e real; regime de capitalização; valor do capital inicial) 
 
43 
Conceito e classificação das taxas de juros ................................................ 
(Capital inicial; juros simples ou composta; linear ou exponencial) 
 
44 
Desconto simples ....................................................................................... 
(Desconto de duplicata; desconto comercial; valor nominal) 
 
19 
Descontos .................................................................................................. 
(Atualizar valores; cálculo de juros; taxa do período) 
 
18 
Equivalência de capitais e de planos de pagamentos ................................. 
(Compara; equivalência; possibilita) 
 
30 
Equivalência de taxas ................................................................................ 
(Cotidiano; operação; período) 
 
17 
Indexador ................................................................................................... 
(Indexador; principal; valor ou índice utilizado) 
 
54 
Inflação e correção monetária .................................................................... 
(Aplicações financeiras; princípio da correção monetária; valores 
monetários) 
 
53 
Juro ............................................................................................................ 
(Aluguel pago; capital emprestado; operações e lucro) 
 
09 
Juro e capitalização simples ....................................................................... 
(Avaliar; escolhas; operações) 
 
08 
Juros pagos antecipadamente ................................................................... 
(Cobrança antecipada; financiamento; operações de empréstimos) 
 
48 
Juros, capitalização, equivalência de taxas e descontos ............................ 
(Capitalização; equivalência de taxas; operações básicas) 
 
08 
 
 
60 
 
Método de avaliação de fluxo de caixa ....................................................... 
(Análises; taxa interna de retorno; valor presente líquido) 
 
37 
Montante e valor atual para pagamento único ............................................ 
(Capital inicial; juros correspondentes; montante) 
 
14 
Noções sobre fluxo de caixa ....................................................................... 
(Detalhar entradas e saídas; gestão financeira; recursos) 
 
21 
Operações financeiras realizadas no mercado ........................................... 
(Conceito de inflação; correção monetária; recursos financeiros) 
 
53 
Série de pagamentos ................................................................................. 
(Recebimento; sucessão de pagamentos; vencimentos sucessivos) 
 
23 
Série de pagamentos e sistema de amortização ........................................ 
(Finanças; fluxo de caixa; domínio do gestor) 
 
21 
Série de pagamentos iguais com termos antecipados ................................ 
(Acumulação de capital; recuperação de capital; valor atual) 
 
27 
Série de pagamentos iguais com termos vencidos ..................................... 
(Capital inicial; período; série de pagamentos) 
 
23 
Sistema de amortização constante (SAC) .................................................. 
(Amortização; financiamento habitacional; longo prazo) 
 
34 
Sistema de Amortização Misto (SAM)