PET 03 - Matematica financeira

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CURSO TÉCNICO
PLANO DE ESTUDO TUTORADO – PET 03
	COMPONENTE CURRICULAR:
	Matemática Financeira
	NOME DA ESCOLA: Centro de Educação Profissional Paulo Viana
	PROFESSOR(A): Marcela Rodrigues Matos Ferreira
	CURSO:
	MÓDULO: I
	ALUNO(A):
	
	TURNO: Matutino
	DICA PARA O ALUNO(A)
	QUER SABER MAIS?
	Caro jovem protagonista, 
Para ajudá-lo (a) nesse período conturbado, em que as aulas foram suspensas a fim de evitar a propagação da COVID-19, Corona vírus, preparamos algumas atividades para que você possa dar continuidade ao seu aprendizado. Assim, seguem algumas dicas para te ajudar:
· Siga uma rotina;
· Defina um local de estudos;
· Tenha equilíbrio;
· Conecte com seus colegas; 
· Busque auxílio dos professores;
· Use a tecnologia a seu favor.
Contamos com seu esforço e dedicação para continuar aprendendo cada dia mais!
	Olá, caro (a) aluno (a), seja bem-vindo (a)! 
Bons estudos!
 É importante estarmos atentos no momento de comprarmos um produto. O interessante é pesquisar e buscar negociar o melhor preço perante mercadorias com melhor qualidade. Os anúncios de descontos ficam estampados na entrada dos comércios, todos envolvendo números percentuais (porcentagem), que são a forma mais adequada de fornecimento de desconto. Dessa forma, é de extrema importância que saibamos alguns fundamentos de Matemática financeira, principalmente aqueles que envolvem porcentagem, pois são os mais utilizados pelos vendedores, afim de não sairmos no prejuízo e de verificarmos se realmente estão cumprindo com o informado.
	SEMANA 1
	UNIDADE(S) TEMÁTICA(S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Regime de Juros Simples
	HABILIDADE(S): Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que abranjam juros simples e uso de porcentagens no contexto da educação financeira.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA: 03/08/2021 a 06/08/2021
Desconto a Juros Simples
Um título tem um valor denominado nominal ou valor de face. É o valor dele no dia vencimento. Porém, antes do vencimento, o título tem um valor menor do que o nominal. O valor do título na data que antecede o seu vencimento é chamado valor atual. Considerando os conceitos de valor nominal e de valor atual, o desconto D é a diferença entre o valor nominal do compromisso e o seu valor atual na data do desconto.
D = M – C, em que:
D = valor do desconto
M = valor futuro (na data de vencimento)
C = valor atual (na data de operação)
São conhecidos dois tipos de descontos simples: desconto bancário (ou comercial ou “por fora”) e desconto racional (ou “por dentro”).
Desconto Comercial (Dc): é a modalidade usada pelos bancos para remunerar o capital; representa os juros simples calculados sobre o valor nominal do título de crédito (por fora). É importante ressaltar que o valor nominal de um título é o valor de face, representando aquele que deve ser pago na data do vencimento.
Dc = M ∙ i ∙ t, em que:
M = valor nominal
i = taxa de juros
t = número de períodos antes do vencimento
O valor presente ou valor atual (Vc) é o valor do título na data do resgate, não importando a data de vencimento.
Vc = M – Dc
Vc = M – M ∙ i ∙ t
Vc = M (1 – i ∙ t)
Exemplo: 
Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 9.000,00 com vencimento em 6/12/17. 56 dias antes do vencimento, descontou o título num banco que cobra 3% a.m. de taxa de desconto bancário. Determine o valor desse desconto. Note que a taxa de juros e o prazo não têm a mesma unidade temporal. 
M = R$ 9.000,00
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. → = 0,001 a.d.
t = 56 dias
Dc =?
Dc = M · i · t
Dc = 9.000 x 0,001 x 56 
Dc = R$ 504,00
Desconto Racional (Dr): é a modalidade de desconto simples calculado sobre o valor atual do título, em uma taxa fixada e durante o tempo correspondente, do mesmo modo como são calculados os juros simples.
Dr = Vr · i · t 
Vr = valor atual
Exemplo: 
Uma letra de câmbio com valor de resgate de R$ 92.400,00, com vencimento em 150 dias, está sendo oferecida. Sabendo que o comprador almeja uma remuneração mínima de 7,5% a.m. sobre o capital aplicado na compra, por quanto deve ser adquirido o papel?
Note que a taxa de juros e o prazo não têm a mesma unidade temporal.
M = R$ 92.400,00 
t = 150 dias → 5 meses 
i = 7,5% a.a. ou 0,075 a.m.
= R$ 67.200,00
Atividades
1) Uma cempresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00 com vencimento em 6/12/17. 47 dias antes do vencimento, descontou o título num banco que cobra 4,5% a.m. de taxa de desconto bancário. Determine o valor desse desconto.
2) Qual é o valor do desconto racional simples e o valor de resgate de um título de R$ 50.000,00, que irá vencer em 2 meses e 10 dias, descontado à taxa de 36% ao ano?
3) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano.
4) Um investidor aplicou uma determinada quantia numa instituição financeira pelo prazo de 180 dias e recebeu o montante de R$ 5.896,00. Sabendo-se que a instituição remunera suas aplicações numa taxa mensal simples de 1,2% a.m., determine o valor da quantia inicial aplicada.
	SEMANA 2
	UNIDADE(S) TEMÁTICA(S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Descontos Compostos
	HABILIDADE (S): Resolver e elaborar problemas envolvendo porcentagens em diversos contextos e sobre juros compostos, destacando o crescimento exponencial.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA: 09/08/2021 a 13/08/2021
Capitalização e desconto a juros compostos
O desconto composto pode ser classificado em dois tipos: o desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por fora” (comercial).
Desconto composto “por fora” (comercial): Generalizando o desenvolvimento do desconto composto “por fora”, obtém-se a seguinte expressão de cálculo: VF = N (1 - i)t
Em que VF = valor futuro; N = valor nominal; i = taxa de desconto; t = número de períodos antes do vencimento
Como: DF = N - VF
Em que: DF = valor descontado
Tem – se: 	DF = N[1 – (1 – i)t]
Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 2.500.000,00 é negociado por meio de uma operação de desconto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% a.m. Determine o valor descontado e o desconto da operação.
N = R$ 2.500.000,00, t = 3 meses, i = 5% a.m., VF=? DF = ?
DF = 2.500.000[1 – (1 – 0,05)3]
DF = 2.500.000 x 0,142625
DF = R$ 356.562,50
VF = 2.500.000(1 – 0,05)3
VF = 2.500.000 x 0,857375
VF = R$ 2.143.437,50
Ou 
VF = N – DF
VF = 2.500.000 – 356.562,50
VF = R$ 2.143.437,5
Desconto composto “por dentro” (racional): 
Em que Vr = valor descontado racional; N = valor nominal; i = taxa de desconto racional; n = número de períodos antes do vencimento.
Dr = N - Vr
Em que: Dr = valor do desconto
Exemplo:
Calcule o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$ 1.300.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 6,5% a.m.
N = R$ 1.300.000,00, n = 4 meses, i = 6,5% a.m., Dr =?
Dr = 1300000[1 – 1/ (1 + 0,065)4 
Dr = 1300000 ∙ 0,222677
Dr = R$ 289479,98
Atividades
1) Se um título com valor nominal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000. Esta afirmação está correta?
2) Um título foi descontado dois meses antes de seu vencimento, com taxa de desconto composto igual a 20% ao mês. Como o desconto foi comercial, o valor atual correspondeu a R$ 1.843,20. Caso o desconto tivesse sido racional, o valor resgatado seria:
3) Um título com valor de face igual a R$ 2.150,00 sofre desconto racional composto um mês antes do seu vencimento. Se a taxa de desconto utilizada é de 7,5% a.m., então o valor descontado é igual a:
	SEMANA 3
	UNIDADE (S) TEMÁTICA (S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Capitalização
	HABILIDADE (S): Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que abranjam juros simples e compostos, assim como o uso de porcentagens no contexto da educação financeira.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA: 16/08/2021a 20/08/2021
Capitalização
Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado" (acrescido dos juros).
Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicação pode "crescer" de duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalização composta.
Capitalização simples
Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o capital inicial durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessa forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação.
Exemplo:
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil calcular o montante. Veja:
Capitalização composta
Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidem sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o montante, ao final da data 1(t = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (t = 2) e sobre ele incidirão juros novamente. O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, crescimento exponencial. 
Exemplo: 
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização composta e que os juros são de 17% a.a., é fácil calcular o montante. Veja:
Atividades
1) (UFMT). Uma financiadora oferece empréstimo por um período de 4 meses, sob as seguintes condições: 
I) Taxa de 11,4% ao mês, a juros simples; 
II) Taxa de 10% ao mês, a juros compostos. 
Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10 000,00 optando pela condição I. Em quantos reais os juros cobrados pela condição I serão menores do que os cobrados pela condição II?
2) (Unicamp-SP). Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos últimos meses, e continuem nos próximos meses. Calcule: 
a) Quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$ 27 300,00? 
b) Quanto custava esse mesmo objeto há um mês?
3) (Unifor-CE–2008). Um capital de R$ 250 000,00 foi aplicado em um regime de capitalização composta e ao final de 2 anos foi retirado o montante de R$ 518 400,00. A taxa anual dessa aplicação foi de:
	SEMANA 4
	UNIDADE (S) TEMÁTICA (S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Taxas de Juros
	HABILIDADE (S): Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros, investigando os processos de cálculo desses números.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA:23/08/2021 a 27/08/2021
Taxas de Juros
As taxas de juros são primordiais no entendimento e na aplicação correta dos cálculos financeiros.
Taxa de juros nominal
A taxa nominal é expressa em uma unidade de tempo diferente do período de tempo no qual os juros são capitalizados.
Exemplos:
6,5% ao ano, com capitalização mensal
1,5% ao mês, com capitalização diária
Taxa proporcional (taxa linear)
Duas taxas de juros i1 e i2, representadas em unidades de tempo diferentes, são proporcionais quando, incidindo sobre um mesmo valor inicial, durante um mesmo prazo, geram um mesmo valor futuro, no regime de capitalização simples.
Vamos considerar um mesmo valor inicial C sobre o qual ocorram as taxas i1e i2, durante um mesmo prazo, representado por t1 e t2, em relação às unidades de tempo de i1 e i2, respectivamente, produzindo um mesmo valor futuro M. 
Daí temos:
M = C (1 + i1 t1)
M = C (1 + i2 t2)
M = M, então:
C (1 + i1 t1) = C (1 + i2 t2)
1 + i1 t1 = 
1 + i1 t1 = 1 + i2 t2
i1 t1 = 1 + i2 t2 – 1
i1 t1 = i2 t2
Exemplo:
Determine a taxa trimestral proporcional a taxa de 20% a.a.
i = 20% a.a. → 0,2
t = 1 a.
t = 4 trim.
i = 0,2 / 4
i = 0,05 a. trim.
Taxa de juros efetiva
A taxa efetiva é expressa na mesma unidade de tempo do período em que os juros são capitalizados.
•  2% ao mês, com capitalização mensal, ou simplesmente, 2% ao mês;
•  0,1% ao dia, com capitalização diária, ou simplesmente, 0,1% ao dia;
•  8% ao ano, com capitalização anual, ou simplesmente, 8% ao ano.
Atividades
1) Determinar a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas:
a) 2,5% ao mês; 
b) 5% ao quadrimestre; 
c) 12,5% para 5 meses.
2) (B. BRASIL) Que quantia aplicada a 2,5% a.m., durante três meses e dez dias, rende R$ 28.000,00?
3) Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: 
a) 14,4% ao ano; 
b) 11,4% ao semestre; 
c) 54,72% ao biênio.
4) (CESPE) Quando se deve aplicar a 12% a.m. para serem obtidos os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400.000,00, emprestados a 15% a.m., durante o mesmo período? 
a) R$ 420.000,00 
b) R$ 450.000,00 
c) R$ 480.000,00 
d) R$ 520.000,00 
e) R$ 500.000,00
	SEMANA 5
	UNIDADE (S) TEMÁTICA (S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Taxas de Juros
	HABILIDADE (S): Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros, investigando os processos de cálculo desses números.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA: 30/08/2021 a 03/09/2021
Equivalência entre taxa de juros
Duas taxas de juros i1 e i2, representadas em unidades de tempo diferentes, são equivalentes quando, incidindo sobre um mesmo valor inicial, durante um mesmo prazo, geram um mesmo valor futuro, no regime de capitalização composta.
Vamos considerar um mesmo valor inicial C sobre o qual ocorram as taxas i1 e i2, durante um mesmo prazo, representado por t1 e t2, em relação às unidades de tempo de i1 e i2, respectivamente, produzindo um mesmo valor futuro M. Daí temos:
(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2
Exemplos:
Determine a taxa anual equivalente à taxa de 1% a.m.
(1 + ia)1 = (1 + im)12 
1 + ia = (1 + 0,01)12 
ia = (1,01)12 – 1
ia = 1,1268 – 1 
ia = 0,1268 → 12,68% a.a.
Determine a taxa diária equivalente à taxa de 2% a.m.
(1 + im)1 = (1 + id)30
id = (1 + im)1/30 - 1
id = (1 + 0,02)1/30 – 1
id = 1,000660 – 1
id = 0,000660 → 0,066% a.d.
Relação da taxa nominal com a taxa efetiva
A partir de uma taxa nominal in, a taxa efetiva correspondente, referente ao período de capitalização, será ie que lhe seja proporcional.
ie = in/k, em que k é o número de períodos de capitalização contidos na unidade de tempo em que a taxa nominal é escrita.
Exemplos:
Dada a taxa nominal de 36% a.a., capitalizada mensalmente, determine a taxa efetiva.
in = 36% a.a. e k = 12
Logo:
ie = 0,36/12 
ie = 0,03 → 3% a.m.
Dada a taxa nominal de 4% a.m., capitalizada anualmente, determine a taxa efetiva.
in = 4% a.m. e k = 12
Logo:
ie = 0,04/1/12
ie = 48% a.a.
Taxa de juros aparente e taxa de juros real
As taxas aparentes, também são conhecidas como taxas nominais, trata-se daquelas que são informadas. Intuitivamente sabemos que, com o decorrer do tempo, o dinheiro perde o seu poder de compra, ou seja, com R$ 10,00 hoje, compramos uma determinada quantidade de pães, daqui a cinco anos, a quantidade de pães adquiridas será menor por causa da inflação.
As taxas reais são aquelas que eliminam o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores negativos.
A taxa real é calculada a partir da taxa efetiva:
(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + taxa inflação)
Exemplo:
Uma aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,7%, determine o ganho real dessa aplicação. 
Taxa efetiva = 6% a.a. → 0,06 a.a.
Taxa inflação = 4,9% a.a. → 0,049 a.a.
Taxa real = [(1 + 0,06)/(1 + 0,049)] – 1
Taxa real = 0,0124 → 1,24% a.a.
Atividades
1) BNB (2014). Renato pediu empréstimo ao banco para pagamento em um ano com taxa anual real de juros de 28%. Sabendo que a inflação prevista para o período é de 7%, a taxa aparente de juros é de, aproximadamente:
2) TER-AM (2010). A taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral corresponde à taxa efetiva, ao ano, de:
3) Prefeiturado Rio de Janeiro-RJ (2016). Um comerciante que trabalha no seu dia a dia com taxas de juros trimestrais se depara com uma taxa semestral. A taxa efetiva trimestral, equivalente à taxa efetiva de 44% ao semestre, é de:
	SEMANA 6
	UNIDADE (S) TEMÁTICA(S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Diagrama de Fluxo de Caixa
	HABILIDADE(S): Compreender a representação gráfica da movimentação de recursos financeiros (entradas ou receitas e saídas ou despesas de fluxos de caixa) ao longo do tempo.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA: 13/09/2021 a 17/09/2021
Fluxo de Caixa
O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos) nos caixas das empresas e nas finanças das pessoas. Essa circulação de valores é denominada, em seu conjunto, fluxo de caixa. Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama:
As receitas são sempre indicadas com setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo (+) e os desembolsos são sempre indicados com setas voltadas para baixo seguidas do sinal negativo (-). O eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data inicial (data zero); a unidade de tempo pode ser expressa em qualquer período (ano, mês, dia, etc.). Se imaginarmos uma situação em que inicialmente foi feito um investimento R$10.000,00 para a compra de equipamentos para a empresa, e nos instantes 1, 2 e 3 houve receita de R$ 1.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00 respectivamente. Posteriormente houve outro investimento de R$ 2.000,00 no instante 4 com nova receita de R$ 3.000,00 no instante 5. Poderemos representar esse fluxo nas tabelas abaixo ou pelo seguinte diagrama:
 
Valor Presente Líquido (VPL)
O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL - consiste em fazer o transporte de todas as ocorrências no fluxo de caixa para a data focal zero à taxa de juros considerada, verificando-se, nesta data, a diferença entre os valores positivos e negativos listados no fluxo.
Exemplo:
Considere o fluxo de caixa que possui um investimento inicial no valor de R$1.200,00 proporcionando uma receita de R$ 400,00 no fim do primeiro período; R$ 450,00 no fim o segundo período e R$500,00 no fim do terceiro período. Calcule o Valor Presente Líquido do fluxo de caixa considerando uma taxa de 4% ao período.
Para a situação descrita, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa:
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos:
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$384,62 + R$416,05 + R$444,50 = R$1.245,16.
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte VPL (Valor Presente Líquido):
R$1.245,16 – R$1.200,00 = R$45,16
Atividades
1) Trace o diagrama de fluxo de caixa com as seguintes ocorrências:
· Uma saída de R$ 1.000,00 no início do 1º período;
· Uma entrada de R$ 800,00 no fim do 1º período;
· Uma saída de R$ 600,00 no fim do 2º período;
· Uma entrada de R$ 2.000,00 e uma saída de R$ 500,00 no fim do 3º período;
· Uma entrada de R$ 500,00 no fim do 5º período.
2) Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: 
· Investimento inicial: R$ 1.000.000,00
· Receita no final do 1º ano: R$ 300.000,00
· Receita no final do 2º ano: R$ 450.000,00
· Receita no final do 3º ano: R$ 620.000,00
· Receita no final do 4º ano: R$ 740.000,00 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 20% ao ano.
	SEMANA 7
	UNIDADE(S) TEMÁTICA(S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Diagrama de Fluxo de Caixa
	HABILIDADE (S): Compreender a representação gráfica da movimentação de recursos financeiros (entradas ou receitas e saídas ou despesas de fluxos de caixa) ao longo do tempo. 
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: Matemática Comercial
	DATA: 20/09/2021 a 24/09/2021
Taxa Interna de Retorno (TIR) 
A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa pode ser entendida como sendo a taxa de desconto que faz com que as Receitas Futuras descontadas a esta taxa se igualem ao investimento inicial. Em outras palavras, é a taxa que proporciona o VPL de um investimento igual a zero.
Exemplo:
Considerando os dados da questão anterior e sabendo que a Taxa Interna de Retorno do fluxo de caixa é igual a 5,9%, podemos calcular o seu Valor Presente Líquido que será igual a 0. 
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos:
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$377,72 + R$401,26 + R$421,02 = R$1.200,00.
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido:
R$1.200,00 – R$1.200,00 = 0
Fluxos de Caixa Equivalentes
Dois Fluxos de caixa são ditos equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma data e à mesma taxa de juros as entradas e saídas de cada um deles, as somas dos valores presentes encontrados for a mesma nos dois fluxos.
Exemplo:
Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o primeiro deles, daqui a três meses, de R$ 1.157,63 e o segundo, três meses depois, de R$ 1.340,10. Mostrar que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao original se considerarmos uma taxa de juros compostos de 5% a.m.
Transportando para a data focal zero cada um dos valores a serem pagos, temos:
1º fluxo:
M = C (1 + i)t
2341 = C (1 + 0,05)4
C = R$2.000,00
2º fluxo:
M3 = C3 (1 + i)t → 1157,63 = C3 (1 + 0,05)³
C3 = R$1.000,00
M6 = C6 (1 + i)t → 1340,10 = C3 (1 + 0,05)6
C6 = R$1.000,00
Valor Presente Líquido total: R$2.000,00
Como a soma dos capitais do segundo fluxo na do focal zero é igual ao capital do primeiro, na mesma data, podemos dizer que os dois fluxos são equivalentes.
Atividades:
1) Calcule a Taxa Interna de Retorno para as seguintes alternativas, a partir de um investimento inicial de R$ 50.000,00:
2) Três dívidas: a primeira no valor de R$ 1.500,00 vencível em 2 meses; a segunda de R$ 2.060,00 com vencimento para 6 meses e a terceira igual a R$ 2.652,25 a vencer em 7 meses. Qual o valor do título único, com vencimento para 5 meses, que substitui os três anteriores, sendo a taxa de juros compostos utilizada na negociação igual a 3% ao mês?
	SEMANA 8
	UNIDADE (S) TEMÁTICA (S): Matemática Financeira
	TÓPICO: Séries de Pagamentos e Anuidades
	HABILIDADE (S): Entender como são realizados pagamentos e recebimentos sucessivos em financiamentos e investimentos.
	CONTEÚDOS RELACIONADOS: MATEMÁTICA FINANCEIRA
	DATA: 27/09/2021 a 01/10/2021
Séries Uniformes, Anuidades ou Rendas
São pagamentos ou recebimentos sucessivos em financiamentos e investimentos, ou seja, são retiradas ou depósitos de caixa constantes. Se os pagamentos são finitos, a série é temporária; caso contrário, é chamada de permanente ou perpétua.
Por exemplo: 
Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de série temporária, pois é constante e periódica; 
A renda mensal vitalícia da aposentadoria de uma previdência privada é uma série (ou renda) perpétua, pois utiliza o valor dos juros sobre o montante investido para gerar uma renda permanente.
As séries uniformes temporárias podem ser divididas em:
· Postecipadas;
· Antecipadas;
· Diferidas.
Série Uniforme de pagamentos (ou recebimentos) postecipados
Séries postecipadas são séries em que o primeiro pagamento acontece no momento 1 (ou seja, não é no momento zero), de tal modo que o pagamento ou recebimento não exige entrada. Os pagamentos são designados por PMT (pagamentos de mesmo valor recorrente).
Exemplo:
Uma pessoa contratou um empréstimo que será pago em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$230,00. Sabendo que a taxa desse financiamento foi de 4,5% ao mês, determine o valor do empréstimo.
Vp = 230 ∙ 5,1578726 = R$1.186,31
Atividades
1) Renda é todo valor utilizado sucessivamente para compor um capital oupagar uma dívida. Determinada empresa pública contratou um empréstimo a ser pago em 30 parcelas de R$ 30.000,00 cada. Considerando a classificação das rendas e com base nas informações evidenciadas, assinale a alternativa que evidencia uma correta classificação ao pagamento de supracitada dívida.
a) Renda fixa
b) Renda variável
c) Renda imediata
d) Renda perpétua
2) Com relação às séries de pagamentos das operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados, assinale a alternativa que apresenta as operações caracterizadas pela condição de vencimento da primeira parcela ocorrer em um período superior ao primeiro período subsequente ao da compra.
a) Operações antecipadas com carência postecipada.
b) Operações com carência postecipada.
c) Operações antecipadas.
d) Operações postecipadas.
e) Operações sem carência.
3) Um financiamento de R$1.000,00 será pago em duas parcelas fixas. Adotando-se uma taxa de juros de 10% ao mês e uma série uniforme de pagamentos do tipo postecipada, o valor das prestações será de:
a) R$550,00
b) R$550,50
c) R$576,19
d) R$666,67