Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica

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Função exponencial e sua relação 
com a Progressão Geométrica
Objetivos
Entender a definição de função exponencial;
Compreender a definição de progressão geométrica (PG);
Identificar a relação existente entre a função exponencial e a progressão geométrica, e
Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para construção de argumentação.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a 
Progressão Geométrica
Definição de uma função exponencial
	As bactérias são seres vivos que possuem a capacidade de se duplicar. Nas colônias de bactérias, quando o número de componentes dobra, a nova colônia mantém as mesmas características da anterior, duplicando em número no mesmo período de tempo que o anterior. 
	Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra seu número a cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 hora e 20 minutos?
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	Após um período de 10 minutos, teremos 2 (2¹) bactérias. Após dois períodos de 10 minutos, ou seja, 20 minutos, teremos 4 (2²) bactérias. Após 1 hora e 20 minutos, ou seja, 8 períodos de 10 minutos, teremos 256 (28) bactérias.
	Da mesma forma, após x períodos de 10 minutos, o número n de bactérias será dado por n = 2x. Esse é um exemplo de função com variável no expoente.
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Função exponencial e sua relação com a 
Progressão Geométrica
Uma função f:ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ. 
Quando a > 1, f é crescente. Quando 0 < a < 1, f é decrescente.
Exemplos:
g é decrescente	 h é decrescente	 i é crescente
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Progressão Geométrica
Definição de uma progressão geométrica
	Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população brasileira no ano de 2004 era de, aproximadamente, 180 milhões de pessoas. 	
	Considerando um crescimento populacional de 2% ao ano, qual foi a estimativa da população, feita naquele ano, para 2008?
	Para calcular esse valor, partimos do número de brasileiros em 2004.
	
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	Observe que, com exceção de 2004, a estimativa do número de brasileiros de um ano, foi obtida multiplicando-se o número de brasileiros no ano anterior pela constante 1,02. Em 2004, estimava-se que o país teria 194.837.788 brasileiros em 2008
	A sequência (180.000.000; 183.600.000; 187.272.000; 191.017.440; 194.837.788) é um exemplo de progressão geométrica.
	Ano	Número de habitantes
	2004	180.000.000
	2005	180.000.000 ∙ 1,02 = 183.600.000
	2006	183.600.000 ∙ 1,02 = 187.272.000
	2007	187.272.000 ∙ 1,02 = 191.017.440
	2008	191.017.440 ∙ 1,02 = 194.837.788
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Uma PG é constante quando q = 1 ou quando a1 = 0 e q é um valor constante
Uma PG é estacionária quando a1 ≠ 0 e q = 0
Uma PG é oscilante quando a1 ≠ 0 e q < 0
Uma PG é crescente quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1
Uma PG é decrescente quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG.
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	Dada uma PG (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para isso, basta considerar a definição de PG:
a2 = a1 ∙ q		 a3 = a1 ∙ q²		 a4 = a1 ∙ q³
	Dessa maneira, encontramos o termo geral, que ocupa a enésima posição na PG:
	Observe que essa fórmula é a lei de formação de uma função, e que n é o número de termos da PG até o termo an.
	Observação: quando em uma PG, o primeiro termo é representado por a0 , o termo geral é dado por an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ.
an = a1 ∙ qn - 1, com n ∈ ℕ*
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Comparando as definições
	
Uma função f:ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ. 
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. Conforme termo geral: an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ. (com o primeiro termo sendo a0)
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	As funções exponenciais do tipo f(x) = b ∙ ax assemelham-se a uma progressão geométrica. Note que:
f(x) = b ∙ ax e an = a0 ∙ qn , onde
f(x) = an
b = a0
a = q
x = n
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	Entretanto, deve-se atentar para o domínio das relações com que trabalhamos.
Na função exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ ℝ 
Na progressão geométrica, o termo geral vale para todo n ∈ ℕ, uma vez que estamos considerando uma PG cujo primeiro termo é a0.
Ou seja, quando o problema apresentado envolver o domínio ℕ, pode-se utilizar qualquer uma das relações. Quando a situação envolver o domínio ℝ , não se pode utilizar a progressão geométrica.
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Comparando os gráficos
	O valor de um automóvel daqui a t anos é dados pela lei V = 20.000 ∙ (0,9)t (em dólares). Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos.
Resolução: 
Aplicando-se o valor dado t = 4 na fórmula, obtemos:
V = 20.000 ∙ (0,9)4
V = 20.000 ∙ 0,6561
 V = 13.122
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	Montando-se o gráfico dessa função:
	
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y
x
20.000
18.000
16.200
14.580
13.122
1
2
3
4
14
Agora, digamos que o valor inicial do automóvel fosse 30.000 dólares. Entretanto, vamos analisar a situação usando um método diferente, a progressão geométrica.
	O valor do automóvel, em função do tempo em anos após sua compra, forma uma PG decrescente (30.000, 27.000, 24.300, 21870, ...), em que a0 = 30.0000 e q = 0,9.
	
	Tempo (anos)	0	1	2	3
	Valor (US$)	30.000	27.000	24300	21870
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	Como o termo geral de uma PG é an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ, na PG temos: a4 = 30.000 ∙ (0,9)4 → a4 = 19.683.
	Considerando a fórmula an = a0 ∙ qn de uma PG cujo primeiro termo é a0 e cuja razão é q, percebemos que uma PG se assemelha a uma função exponencial f(x) = a0 ∙ qx, com q ≠ 1, só que com uma restrição do domínio ao conjunto dos números naturais.
	Dessa maneira, podemos construir o gráfico de uma PG. 
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MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
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30.000
27.000
24.300
21.870
19.683
y
x
1
2
3
4
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Comparando os gráficos feitos, fica evidente que ambos podem ser obtidos tanto pela função exponencial quanto pela progressão aritmética.
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y
x
20.000
18.000
16.200
14.580
13.122
1
2
3
4
30.000
27.000
24.300
21.870
19.683
y
x
1
2
3
4
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Analise a situação
Uma obra de arte foi comprada por um investidor, por R$ 8.000,00. O investidor espera uma valorização de 10% ao ano. 
Determine a lei de formação da função (ou o termo geral da PG).
Seis anos após a compra,qual será o valor da obra?
Em quanto tempo a obra dobrará de valor? (arredonde para o inteiro mais próximo).
Construa os gráficos com os valores obtidos.
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Resolução:
Como há duas maneiras de se resolver a situação-problema, respondemos todos os itens de pergunta comparando os dois métodos de resolução, como o quadro abaixo demonstra:
a)
	Função Exponencial	PG
	V(t) = 8000 ∙ (1,1)t 	an = a0 ∙ (1,1)n
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b)
 
	Função Exponencial	PG
	Vamos tirar os dados da 
questão:
O tempo t, em anos, é de 6 anos. Portanto, t = 6.	Vamos tirar os dados da questão:
O valor inicial da obra é R$ 8000,00. Então a0 = 8000
O tempo n, em anos, é 6 anos. Portanto n = 6.
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	Função Exponencial	PG
	Calculando:
V(t) = 8000 ∙ (1,1)t 
V(6) = 8000 ∙ (1,1)6
V(6) ≈ 8000 ∙ 1,771
V(6) ≈ 14.168
Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações.	Calculando:
an = a0 ∙ (1,1)n
a6 = 8000 ∙ (1,1)6
a6 ≈ 8000 ∙ 1,771
a6 ≈ 14.168
Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações.
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c)
 
	Função Exponencial	PG
	Vamos tirar os dados da 
questão:
Se o valor deve dobrar então V(t) = 16000.
Calculando:
V(t) = 8000 ∙ (1,1)t 
16000 = 8000 ∙ (1,1)t 
(1,1)t = 16000 : 8000
(1,1)t = 2
t ≈ 7	Vamos tirar os dados da questão:
Se o valor deve dobrar então an = 16000.
Calculando:
an = a0 ∙ (1,1)n
16000 = 8000 ∙ (1,1)t 
(1,1)t = 16000 : 8000
(1,1)t = 2
t ≈ 7
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d)
 
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	Função Exponencial
	
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
24
 
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Progressão Geométrica
	PG
	
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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