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SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Descontos
Livro Eletrônico
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Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Sumário
Apresentação ................................................................................................................................... 3
Descontos ......................................................................................................................................... 4
1. Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 4
2. Desconto Simples ....................................................................................................................... 5
2.1. Desconto Comercial ou por Fora ........................................................................................... 5
2.2. Desconto Racional ou Por Dentro ........................................................................................ 8
2.3. Relação entre Desconto por Dentro e por Fora ...............................................................12
3. Desconto Composto ................................................................................................................. 18
3.1. Desconto Composto por Fora .............................................................................................. 18
3.2. Desconto Composto por Dentro ..........................................................................................21
3.3. Relação entre Taxas de Desconto Composto por Dentro e por Fora ......................... 25
4. Aplicações de Renda Fixa .......................................................................................................28
4.1. Títulos Pós-Fixados ...............................................................................................................28
4.2. Títulos Pré-Fixados............................................................................................................... 29
4.3. Títulos Mistos .........................................................................................................................31
Questões Comentadas em Aula ................................................................................................. 35
Questões de Concurso .................................................................................................................40
Gabarito ........................................................................................................................................... 93
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ApresentAção
Olá, aluno(a)! Tudo bem? Sejam bem-vindo(a) a mais uma aula de Matemática Financeira. 
Está animado(a)?
Nesta aula, falaremos sobre um dos assuntos de melhor custo-benefício para a sua prova: 
descontos. É um assunto com pouca teoria e muitas questões de prova a respeito.
Além disso, o Desconto é fundamental para a compreensão dos próximos temas de Ren-
das, Amortização e Investimentos. Além disso, podem ser exploradas questões diretamente 
sobre esse assunto.
Como de costume, preparei uma lista de questões resolvidas para você que inclui um bom 
número de questões de alto nível a fim de que você esteja preparado(a) para um certame ex-
tremamente rigoroso.
Gostaria também de pedir para você me seguir no Instagram, pois é lá que eu posto muitas 
dicas interessantes para a sua preparação para concursos públicos.
Instagram: @math.gran
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DESCONTOS
1. ConCeitos BásiCos
O desconto é uma situação muito comum no dia a dia. Eles podem ser de duas categorias:
• Descontos Incondicionais ou Comerciais: são os descontos oferecidos em uma nego-
ciação. Pense, por exemplo, que você deseja comprar um pastel de feira que é comer-
cializado por R$8,00. Porém, você está em um grupo de quatro pessoas. Então, vocês 
negociam: “Não dá para fechar os 4 por R$30,00?”
Exemplo: se o vendedor concordar com a oferta, ele te ofereceu um desconto que não está vin-
culado a nenhuma condição específica de pagamento. Por isso, é um desconto incondicional.
• Descontos Condicionais ou Financeiros: normalmente, são descontos oferecidos por 
instituições financeiras quando você precisa receber uma duplicata (ou outro título) an-
tecipado ou ainda quando você quer pagar uma dívida antecipadamente.
Exemplo: suponha que você tenha adquirido um empréstimo e que deverá pagar R$1.000 daqui 
a um ano. Porém, você acabou de ser nomeado para o concurso público dos seus sonhos e 
tem dinheiro para pagar esse empréstimo hoje.
A pergunta é: quanto você pagaria?
Como os juros são o preço do dinheiro no tempo, para pagar a dívida hoje, é natural que 
você queira um desconto.
O desconto é uma consequência da preferência temporal – é melhor pagar R$1.000 no 
futuro do que pagar R$1.000 hoje. Para que você prefira quitar uma dívida hoje, você deve ter 
incentivo, ou seja, obter um desconto.
Um fato importante a se entender sobre o desconto é que, assim como os juros, ele se ori-
gina da relação do dinheiro com o tempo.
Se você não recebesse desconto nenhum para quitar a sua dívida com antecedência, mui-
to provavelmente, você não quitaria. Lembre-se de que você sempre pode, no mínimo, investir 
esse dinheiro em uma aplicação de renda fixa por um ano.
Suponha que você tenha feito um acordo com o banco e você pagará R$900 hoje em troca 
de a sua obrigação com ele ser extinta. A operação citada corresponde ao que, na Contabilida-
de, se chama de desconto financeiro ou condicional.
Um desconto financeiro é aquele que é dado em razão da antecipação do pagamento.
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Figura 1: Valor Atual, Nominal e Desconto
Os elementos de uma operação de desconto são:
• Valor Nominal ou Valor de Face: é o valor futuro da obrigação, isto é, aquilo que deveria 
ser pago no momento acordado para a dívida;
• Valor Atual, Valor Líquido, Valor Descontado ou Valor Presente: é o montante a ser 
pago (ou recebido) após aplicado o desconto;
• Desconto: é o quanto se abate do valor nominal a fim de que o pagamento da obrigação 
seja recebido antecipadamente.
2. DesConto simples
O desconto simples é calculado com base em desconto simples. Existem duas modali-
dades de desconto: o comercial (ou por fora) e o racional (ou por dentro). Vamos detalhar 
cada um deles.
2.1. DesConto ComerCiAl ou por ForA
O desconto comercial é o mais natural e usado nas operações do dia a dia. Suponha que 
você vai ao shopping comprar uma camisa que custa R$100. Então, você pede um desconto à 
vista. A loja oferece 10% à vista e você paga R$90.
Note que o desconto foi calculado aplicando-se a alíquota de 10% sobre o “preço cheio” da 
camisa, que é igual a R$100.
De acordo com as definições vistas na Seção de Conceitos Básicos, o valor de R$100 dizrespeito ao valor nominal da camisa – isto é, o valor sem desconto. Já o valor atual é o valor a 
ser pago e corresponde à diferença entre o valor nominal e o desconto.
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Por ser usada no dia a dia, essa modalidade de desconto é conhecida como “desconto 
comercial”. O nome “por fora” tem relação com o fato de que o desconto é calculado sobre o 
valor nominal.
Agora, devemos introduzir um fator muito importante: o tempo. Haja vista que o desconto 
nasce também do conceito de preferência temporal, quanto maior o prazo de antecipação do 
pagamento, maior também será o valor do desconto.
Dessa forma, o desconto comercial é calculado por:
Adotaremos a nomenclatura Df para deixar claro que estamos nos referindo ao descon-
to por fora.
Agora, podemos calcular o valor atual da obrigação usando a expressão:
001. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de venci-
mento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do 
desconto simples será igual a:
a) R$7,00
b) R$7,50
c) R$7,52
d) R$10,00
e) R$12,50
Para começar treinando. Quando a questão menciona “desconto por fora”, temos que aplicar a 
taxa de desconto sobre o valor nominal.
Letra b.
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002. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial simples (por fora) é 
de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00.
Mais uma questão sobre desconto comercial simples. Devemos nos lembrar de que, no des-
conto por fora, a taxa incide sobre o valor nominal da obrigação.
Portanto, o valor atual da obrigação será:
Certo.
003. (ESAF/SMF/RJ/2010/FISCAL DE RENDAS) Um título sofre um desconto simples por 
fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% 
ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 17.500,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 27.500,00
A questão cobrou o desconto por fora, ou seja, é um desconto comercial, cuja taxa incide sobre 
o valor nominal. Para estes casos, temos a expressão:
De acordo com o enunciado:
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Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
Isolando o valor nominal a partir da equação anterior, temos:
Letra b.
004. (CESPE/CAIXA/2010/TÉCNICO BANCÁRIO) Se, ao descontar uma promissória com 
valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa 
operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a
a) 5%
b) 6%
c) 7%
d) 8%
e) 9%
Como visto anteriormente, o valor de face é sinônimo de valor nominal.
No caso de desconto por fora, a taxa de juros incide sobre o valor nominal – vamos repetir 
bastante isso para que você fixe.
Letra d.
2.2. DesConto rACionAl ou por Dentro
O desconto racional, por sua vez, é o que deve ser utilizado em decisões de investimento – 
o que fazer com o dinheiro?
Por exemplo, suponha que você tem uma dívida no valor de R$1000 que vence daqui a um 
ano e que pode ser paga com um desconto de R$100.
Atualmente, você tem R$900 para quitá-la, porém, também, tem à sua disposição a possi-
bilidade de investir esse dinheiro a uma taxa de juros de 15% ao ano. O que faz mais sentido: 
pagar a dívida ou investir o dinheiro?
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Nesse caso, o que devemos fazer é aplicar a taxa de 15% como uma taxa de desconto por 
dentro sobre a dívida de R$1000.
Quando queremos saber o que fazer com o dinheiro que está nas nossas mãos, estamos 
interessados no valor atual.
Dessa maneira, o desconto por dentro incide sobre o valor atual.
Adotaremos a nomenclatura Dd para deixar claro que estamos nos referindo ao desconto 
por dentro. Podemos, então, calcular o valor atual da obrigação usando a expressão:
Podemos, ainda, calcular o desconto por dentro concedido. Particularmente, eu não con-
sidero essa uma expressão útil. Eu prefiro utilizar a ideia de que o desconto por dentro incide 
sobre o valor atual e fazer as contas com base nisso.
Diante dessa expressão, podemos explicar o problema narrado anteriormente. Se você 
pode aplicar o seu dinheiro a 15% ao ano, então, o valor atual da sua dívida será:
Dessa maneira, o valor atual da dívida para você é de R$869,57, portanto não faz sentido 
pagar por ela R$900. É melhor manter o seu dinheiro aplicado.
Vamos resumir tudo o que você precisa saber nessa parte introdutória de Desconto Simples.
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Em geral, as questões fornecem o tipo de desconto, pelo qual se interessam. Porém, caso isso 
não aconteça, você deverá raciocinar e ver qual se encaixa melhor nessa situação.
005. (CETRO/METRÔ/SP/2015) Um título com valor nominal de R$2.700 foi descontado 
em uma antecipação de 5 meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de 
R$400. Assinale a alternativa que indica o valor mais próximo da taxa de desconto utilizada 
nessa operação:
a) 1,50%
b) 2,00%
c) 2,50%
d) 3,00%
e) 3,50%
Essa é uma questão que confunde muitos alunos. Quando o desconto é por dentro, a taxa de 
juros incide sobre o valor atual. Portanto:
Agora, calculemos a taxa de juros:
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Como não é possível mais simplificar a fração, vamos fazer a conta de divisão.
Letra e.
006. (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Em um supermercado, 
um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrou 
um valor 9% superior aopreço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o opera-
dor do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente 
pagasse apenas o valor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na 
embalagem do produto era igual a:
a) 106,50
b) 109
c) 110,50
d) 112
e) 113,35
A situação descrita no enunciado pode ser representada pela seguinte figura.
Dessa maneira, temos:
Letra b.
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2.3. relAção entre DesConto por Dentro e por ForA
É muito comum questões que relacionam as duas operações de descontos simples. Por 
isso, vamos aprender algumas relações que valem apenas para o desconto simples.
2.3.1. Relação entre os Descontos Concedidos
Para uma mesma taxa de juros e o mesmo valor nominal da obrigação, vimos que:
Assim, podemos relacionar os tipos de desconto da seguinte forma:
Essa expressão pode ser útil quando se deseja relacionar os dois tipos de descontos.
007. (ESAF/AFRF/2001) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses 
antes do vencimento, é de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial 
simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$960,00
b) R$666,67
c) R$973,32
d) R$640,00
e) R$800,00
Aplicação pura e direta da relação que aprendemos entre desconto simples por dentro e por fora.
Letra a.
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2.3.2. Relação entre as Taxas de Desconto
Essa é, com certeza, a expressão mais importante e cobrada.
Aqui, desejamos saber qual taxa de desconto por dentro é equivalente a uma taxa de des-
conto por fora.
Não estamos utilizando o conceito de taxas equivalentes que aprendemos em Juros Com-
postos. A ideia é descobrir quais taxas de desconto por dentro e por fora geram o mesmo 
desconto sobre o mesmo capital para o mesmo prazo de antecipação.
Denotaremos id e if como duas taxas de desconto sendo, respectivamente, por dentro e por 
fora. Já vimos que os descontos são dados por:
O próximo passo é impor que o desconto produzido seja igual em ambos os casos. Com 
isso, podemos escrever:
Podemos cortar o prazo de antecipação e o valor nominal.
A forma mais simples de resolver esse problema é invertendo a expressão encontrada:
Chegamos, portanto, a uma expressão bastante elegante. Além disso, a expressão (VII) é 
muito cobrada em provas, por isso, vale muito a pena memorizá-la.
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Outra forma de utilizar essa expressão que pode ser interessante para você é isolar a taxa 
de desconto por dentro, que é a taxa efetiva (ief). Vamos também denominar a taxa de descon-
to por fora como taxa comercial (iCOM).
008. (ESAF/ATRFB/2012) Um título de R$20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu 
vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal 
de juros simples dessa operação é igual a:
a) 6,50%
b) 5,50%
c) 5,25%
d) 6,00%
e) 6,25%
A taxa efetiva é sempre calculada por dentro. Podemos utilizar a expressão que aprendemos 
para a relação entre taxa por dentro e taxa por fora.
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Outra maneira de resolver o problema é calcular o valor atual da operação. Como foi feito um 
desconto por fora, temos:
Por fim, precisamos nos lembrar de que a taxa efetiva é sempre calculada por dentro, por isso, 
incide sobre o valor atual.
Letra e.
2.3.3. Desconto Bancário e Taxa Efetiva
Numa operação corriqueira de desconto, é natural que, além dos juros, outros fatores se 
envolvam. Por exemplo:
• taxas de administração;
• taxas bancárias;
• impostos;
• seguros.
Todos esses fatores são levados em conta quando se calculam o desconto bancário e a 
taxa efetiva de desconto.
Aqui, não há muito o que saber. O desconto bancário é sempre calculado por fora.
Já a taxa efetiva de uma operação de desconto é aquela pela qual o indivíduo deve se ba-
sear para fazer sua alocação de recursos. Ela deve ser calculada sempre em relação ao valor 
que o indivíduo tem na mão, ou seja, o valor atual.
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Sendo assim, a taxa efetiva é sempre calculada por dentro, mesmo que a operação seja de 
desconto comercial.
Desse modo, a taxa efetiva de um empréstimo é calculada a partir da relação entre o valor 
total pago e o valor líquido recebido, levando em consideração todas as taxas incorridas no 
financiamento a qualquer tipo, independentemente de terem sido cobradas pelo banco ou não.
Suponha, por exemplo, que você contratou um empréstimo de R$10.000 a juros de 1% ao 
mês pelo período de 1 mês. Além dos juros, nessa operação incidem:
• R$50 de taxa de administração cobrada no momento do recebimento do empréstimo;
• R$100 de imposto financeiro cobrado no momento do recebimento do empréstimo;
Nessa situação, a taxa de juros nominal do financiamento seria simplesmente a taxa de 1% 
ao mês, que é alegada pelo banco.
Porém, a taxa efetiva leva em consideração todos os custos que você teve ao tomar esse 
dinheiro emprestado. O valor líquido efetivamente recebido foi:
Esse cálculo significa que, embora, você tenha contraído uma dívida de R$10.000, a quan-
tia que você efetivamente recebeu do banco foi R$9.850. Em contrapartida, os juros são incor-
ridos sobre toda a dívida adquirida. Assim, o valor total pago é:
Desse modo, a taxa de juros efetiva envolvida no empréstimo é:
Como o prazo do empréstimo foi de apenas 1 mês, n = 1.
Nessa situação, o custo efetivo do empréstimo para você foi bem superior à taxa de juros 
nominal cobrada pelo banco. Enquanto os juros nominais foram de 1% ao mês, os juros efeti-
vos foram de 2,5% ao mês.
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Por isso, preste muito atençãoquando você for fazer o financiamento. O banco sempre vai 
te falar sobre a taxa de juros nominal, tentando fazer os juros efetivos passarem despercebi-
dos. Pergunte sobre eles.
E, agora, vamos resolver uma questão de prova para treinar esse conceito?
009. (CFC/2020.2) Precisando de capital de giro, a empresa Trotsi contratou em uma institui-
ção financeira um empréstimo de R$65.000,00, a ser quitado por meio de um único pagamento 
de R$68.500,00 no prazo de um mês. No ato da contratação, foi paga uma tarifa de serviço 
bancário de 1,5% cobrada sobre o valor do empréstimo. Considerando tais informações dadas, 
qual é a taxa de juros nominal e a taxa de juros efetiva, respectivamente, cobrada por este 
empréstimo?
a) 1,5% a.m. e 5,38% a.m.
b) 5,38% a.m. e 6,99% a.m.
c) 5,47% a.m. e 6,88% a.m.
d) 5,51% a.m. e 7,03% a.m.
Essa é uma questão muito instrutiva sobre a diferença entre juros nominais e juros efetivos.
Os juros nominais desconsideram os custos adicionais incorridos pela empresa, portanto eles 
desconsideram a tarifa de serviço bancário. Eles podem ser calculados diretamente pela rela-
ção entre o pagamento e o empréstimo tomado.
A taxa nominal, por sua vez, pode ser obtida como a relação entre os juros nominais e o capital 
tomado emprestado.
Por sua vez, os juros efetivos consideram todos os custos incorridos pela empresa, incluindo 
as taxas de serviço. A empresa adquiriu um empréstimo de R$65.000, porém, no ato da contra-
tação, já teve que pagar uma tarifa de serviço bancário. Essa tarifa é abatida do valor líquido 
que ela recebeu em sua conta.
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Os juros efetivos cobrados na operação correspondem a todos os custos incorridos pela em-
presa, isto é, à diferença entre a quantia paga e a quantia efetivamente recebida.
A taxa de juros efetiva é, portanto:
Letra b.
3. DesConto Composto
O desconto composto tem os mesmos conceitos do desconto simples. A única diferença 
é que utiliza o regime de capitalização composta.
3.1. DesConto Composto por ForA
Esse tipo de desconto é bem comum na prática e também aparece com alguma frequência 
em questões de prova. Por isso, precisamos saber.
Como já falamos na Seção 2.1, o desconto comercial simples é utilizado nas operações do 
dia a dia, como compras no varejo, justamente por sua simplicidade.
A primeira vez que tive contato com esse tipo de desconto foi na minha primeira viagem a 
Orlando. Nos outlets, é relativamente comum a seguinte situação.
• Determinados produtos estão com um certo desconto próprio deles.
• A loja inteira tem um desconto global a ser aplicado em todos os produtos.
• Você pode comprar cupons de desconto válidos para o outlet inteiro.
• Em muitas lojas, você ainda pode chorar um desconto à vista – o que é mais fácil de 
conseguir se você mostrar o passaporte brasileiro.
Perceba que, no âmbito da Contabilidade, apenas o último desconto é caracterizado como 
desconto condicional. Todos os demais são descontos incondicionais, ou seja, não têm a ver 
com o preço do dinheiro no tempo.
Porém, os vendedores de Orlando aplicam muito bem o conceito de desconto composto. 
Por exemplo, certa vez eu comprei um relógio, cujo preço na etiqueta era de US$199. Esse re-
lógio possuía os seguintes descontos:
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• 20% de desconto sobre o preço do relógio, dado que a peça estava em promoção;
• 30% de desconto em toda a loja em comemoração do aniversário da franquia em Orlan-
do;
• 20% de desconto de um cupom que compramos válido em todas as lojas do outlet;
• 10% de desconto pelo passaporte brasileiro.
Qual foi o preço final do relógio?
Figura 2: Aplicação do Desconto Comercial Composto sobre o Preço de um Relógio
O desconto composto segue a mesma lógica dos juros compostos. Desse modo, quando 
vários descontos são fornecidos seguidamente, o valor do desconto deve ser calculado em 
cima do preço obtido anteriormente, e não sobre o preço inicial de $199.
Podemos, ainda, calcular o desconto total recebido:
A taxa de desconto global pode ser calculada usando o conceito de Taxa Equivalente:
Observe que essa taxa de desconto equivalente que acabamos de calcular corresponde à 
divisão entre o desconto total recebido na compra e o preço de etiqueta do relógio:
Entendeu essa lógica?
No caso de desconto simples, todos os descontos incidiriam sobre o preço inicial – no 
caso, US$199. O desconto obtido seria bem maior.
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No entanto, assim como explicamos no capítulo sobre Juros Simples, o conceito de Des-
conto Composto decorre de um princípio natural de crescimento das populações.
Por exemplo, por que a loja concede um desconto de 10% à vista? Porque, para ela, o di-
nheiro tem um preço no tempo. É melhor receber o pagamento à vista do que receber o mesmo 
pagamento no futuro.
Se ela não desse o desconto para pagamento à vista, ela receberia o valor de $89,51. Por 
isso, a loja deve raciocinar em cima de $89,51 e aplicar os 10% de desconto sobre esse valor.
Na ótica do lojista, é melhor oferecer um desconto de 10% sobre $89,51 e receber hoje do 
que receber no futuro.
Esse cálculo ficaria completamente comprometido se a loja tivesse que usar Descon-
to Simples.
Bom, agora que você já entendeu a lógica do Desconto Composto, vamos mostrar para 
você a expressão que resolve todos os problemas da sua prova. O valor atual de um título após 
aplicado um desconto composto por fora é:
Recomendamos que essa seja a única expressão que você memorize a respeito do des-
conto composto por fora. O valor do desconto pode ser obtido como a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual.
Você até poderia deduzir uma expressão para calcular o desconto por fora, mas ela não 
seria elegante. E, por isso, daria muito trabalho para decorar. É melhor, portanto, usar a lógica 
para calcular o desconto e memorizar apenas a expressão do valor atual.
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010. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 2.000,00, cujo prazo de ven-
cimento é de 60 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto 
composto será igual a:
a) R$40,00
b) R$39,80
c) R$39,95
d) R$38,80
e) R$20,00
No caso de desconto composto por fora, o valor atual é calculado por:
Letra b.
011. (FGV/COMPESA/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ECONOMIA) Seja um título de R$100,00, 
cujo prazo de vencimento é de 2 meses. Supondo que a taxa de desconto “por fora” é de 10% 
ao mês. Assinale a opçãoque indica o valor do desconto composto.
a) R$0,81
b) R$3,96
c) R$12,00
d) R$15,00
e) R$19,00
Questão bem direta. Basta aplicar a expressão do desconto composto por fora para calcular-
mos, em primeiro momento, o valor atual.
De posse do valor atual, podemos calcular o desconto que incidiu sobre a operação.
Letra e.
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3.2. DesConto Composto por Dentro
Esse é o tipo de desconto mais importante, tanto para a sua prova como para a sua vida.
O desconto racional composto deve ser utilizado na decisão de alocação de recursos que 
tem por base os juros compostos.
Por isso também, esse será o descontado utilizado para calcular o importantíssimo Fluxo 
de Caixa Descontado, assunto que será explorado nas Aulas de Amortização, Rendas e Inves-
timentos, caso o seu edital preveja tais assuntos.
Como já explicamos na Seção sobre Desconto Racional Simples, o desconto racional pro-
cura calcular qual o valor atual que deveria ser investido hoje para resultar no valor nominal 
desejado no futuro.
Vejamos um exemplo de como isso funciona.
Suponha que você tenha uma dívida no valor de R$1.000 a vencer daqui a 2 anos. O banco 
lhe fez uma proposta para que você quite esse valor por R$800 hoje.
Você passou no concurso público dos seus sonhos e já tem os R$800, mas você tem a 
opção de investi-los a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Desse ponto de vista, vale a pena quitar a dívida logo ou investir o dinheiro?
Para isso, você deve calcular o valor atual da sua dívida (R$1.000) do seu ponto de vista. 
Assim, você deve aplicar um desconto composto a uma taxa de 10% ao ano.
Isso é que se chama de trazer a dívida a valor presente, como ilustrado na Figura 3. É muito 
importante que você aprenda esse cálculo, pois você precisará dele nos capítulos mais avan-
çados da Matemática Financeira.
Figura 3: Cálculo do Valor Presente
Da ótica do desconto composto, o valor atual é aquele que produziria o montante de R$1000 
caso fosse aplicado a uma taxa de juros compostos 10% ao ano por 2 anos. Portanto, temos:
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Portanto, o valor atual da sua dívida é de R$826,45. Se o banco te oferece para pagar 
R$800, vale a pena pagá-la.
Você acabou de ver a expressão do valor atual para o desconto racional composto. Para 
fins de fixação, vamos repeti-la.
Da mesma maneira que foi falado na Seção 3.1, não vale a pena deduzir e decorar uma 
expressão para o valor do desconto. É muito melhor você aprender a expressão do valor atual 
e obter o valor do desconto por lógica.
3.2.1. O que Fazer se a Questão Não Informar o Tipo de Desconto?
Em geral, as questões informam o tipo de desconto que você deve utilizar. Porém, se isso 
não acontecer, há algumas regras importantes:
se for uma operação comercial, use o desconto comercial simples, que é o mais utilizado 
no dia a dia;
se for uma decisão de investimentos, use o desconto racional composto;
se o enunciado pedir a taxa efetiva, use sempre o desconto racional composto.
Além disso, há casos em que a questão fala apenas que vai utilizar desconto simples ou 
desconto composto. Nessas situações, prefira utilizar o desconto comercial simples e o des-
conto racional composto, respectivamente.
012. (FCC/SABESP/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ADMINISTRAÇÃO) Um título será des-
contado em um banco 4 meses antes de seu vencimento. Se for utilizada a operação de des-
conto racional simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, então o valor atual do título 
será de R$ 30.000,00. Se for utilizada a operação de desconto comercial simples, também a 
uma taxa de desconto de 24% ao ano, o correspondente valor do desconto será, em R$, de:
a) 2.592,00
b) 2.890,00
c) 2.658,00
d) 2.756,00
e) 2.600,00
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Como a taxa de desconto está em % ao ano e o prazo de desconto está em meses, devemos, 
primeiramente, transformar a taxa em meses.
O valor atual foi fornecido (R$30.000). Podemos obter o valor nominal do título aplicando a 
fórmula do desconto racional simples.
Por fim, podemos calcular o desconto por fora que incidiria sobre esse valor nominal.
Letra a.
013. (CESPE/EBSERH/2018/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) Se um título com valor nomi-
nal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros 
compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000.
Como o enunciado não especificou o tipo de desconto, falou apenas que era composto, vamos 
utilizar o desconto racional composto. O valor atual é dado pela expressão:
Agora, basta fazer as contas:
Portanto, o valor atual realmente é superior a R$106.000.
Certo.
014. (FGV/SEFAZ-RJ/2011/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) O valor do desconto 
racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é 
de 2 anos e a taxa de desconto é de 25% ao ano, é:
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a) R$ 6.500,00.
b) R$ 5.875,50.
c) R$ 7.247,50.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 9.000,00.
Mais uma vez, nas questões de desconto composto, devemos calcular o valor atual do título 
pelas fórmulas que conhecemos.
Essa conta pode ser feita de maneira relativamente simples:
Por fim, podemos extrair o valor do desconto:
Letra e.
3.3. relAção entre tAxAs De DesConto Composto por Dentro e por 
ForA
Essa é uma expressão bastante útil, pois permite o cálculo da taxa efetiva, que é sempre 
feito por dentro.
Assim como fizemos anteriormente para Descontos Simples, precisamos obter a taxa de 
desconto por dentro que produziria o mesmo valor atual para o mesmo valor nominal com o 
mesmo prazo de antecipação.
Devemos igualar os dois valores atuais:
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Observe que podemos tirar a raiz de índice t:
Podemos dividir por ifid para obter uma expressão elegante e muito parecida com a que foi 
encontrada na Seção de Relação entre as Taxas de Desconto.
O fato de termos encontrado uma expressão muito parecida com a que foi encontrada 
para Desconto Simples faz que os alunos se confundam a respeito delas. Por isso, tenha em 
mente que:
Analogamenteao que fizemos com Descontos Simples, também podemos isolar a taxa 
por dentro, que é a taxa efetiva (ief). Também podemos chamar a taxa por fora de taxa comer-
cial (iCOM).
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015. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial composto (por fora) 
é de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
A taxa efetiva mensal dessa operação foi inferior a 6%.
Basta aplicar a expressão que conhecemos e nos lembrarmos de que a taxa efetiva é sempre 
calculada por dentro.
Essa questão confundiu muita gente que tentou usar a expressão da relação entre taxas de 
desconto por dentro e por fora para juros simples. Portanto, vamos repetir para que você fixe.
Certo.
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016. (FCC/TRF-3ª REGIÃO/2016/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTADORIA) Um título de valor 
nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que ele será resgatado 
antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros 
de 5% ao trimestre.
Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres antes do vencimento e a 
segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o valor de resgate do 
título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à primeira op-
ção, em R$, em
Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625
a) 926,10
b) 882,00
c) 900,00
d) 800,00
e) 840,00
O valor do resgate é o valor atual e é calculado pela expressão do desconto racional composto.
Caso o título seja antecipado por dois trimestres, teremos:
Por outro lado, caso o título seja antecipado por um trimestre apenas, teremos que o valor a 
ser resgatado é:
Portanto, se o detentor do título esperar um trimestre a mais, ele receberá uma diferença de:
Letra e.
4. ApliCAções De renDA FixA
Esse é um assunto que vem sendo cada vez mais explorado em provas. Mas, de qualquer 
modo, pode ser extremamente relevante para a sua vida quando você passar em um concur-
so público.
Uma aplicação de Renda Fixa é, normalmente, um contrato de empréstimo em que o inves-
tidor empresta dinheiro a um banco ou ao governo.
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Nesse bloco, eu vou ensinar para você o básico sobre as principais aplicações da Renda 
Fixa. A começar pelo conceito.
Um título é de Renda Fixa quando a lei de formação de seus valores futuros é conhecida.
Essa definição é válida, ainda que não seja possível calcular com base em informações 
disponíveis atualmente.
No caso de uma ação, não existe uma lei de formação dos preços futuros. O preço de uma 
ação oscila ao sabor da oferta e da demanda.
O mesmo não acontece com um título de renda fixa. Existe uma lei de formação. O que 
pode acontecer é que tal lei de formação pode ser escrita em função de indicadores que serão 
estudados mais adiante.
4.1. títulos pós-FixADos
São os títulos mais fáceis de trabalhar e também são os mais comuns em bancos. São os 
CDB pós-fixados e o Tesouro Selic, no caso da dívida do governo brasileiro.
Esses títulos são atrelados a um indicador de referência. No caso de um CDB, esse indica-
dor é a taxa de juros CDI. Já, no Tesouro Selic, é a própria taxa Selic.
A taxa Selic e o CDB são obtidos como uma média das taxas de juros cobradas nas opera-
ções interbancárias. A forma de cálculo está fora do escopo desta aula. Porém, é importante 
você saber que essas taxas são mensuradas a cada dia útil.
Os preços dos títulos pós-fixados são atualizados diariamente pelo acumulado da taxa 
Selic naquele dia.
Para facilitar o seu entendimento, suponha que você tenha investido R$1.000 em Tesouro 
Selic em janeiro de 2017 quando a taxa Selic era de 10% ao ano. Depois de um ano, a taxa Selic 
foi reduzida 7% ao ano. Quanto você terá em janeiro de 2019?
Nesse caso, a conta é bem simples de fazer. Basta fazer duas operações de juros compostos.
Um fato interessante a se notar sobre os títulos pós-fixados é que, considerando que a taxa 
Selic seja sempre positiva, o valor desses títulos é sempre crescente.
4.2. títulos pré-FixADos
Os títulos pré-fixados possuem um valor nominal fixo na sua data de vencimento.
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No Brasil, o título pré-fixado mais conhecido é o Tesouro Pré-Fixado, que é um título da dí-
vida da União. Você pode obter mais informações sobre como investir nos títulos da dívida da 
União no site: http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro-direto
O Tesouro Pré-fixado é um vale R$1.000 na sua data de vencimento. Por exemplo, no mo-
mento em que eu escrevia esse artigo:
Tomemos como exemplo o Tesouro Pré-Fixado 2020. Esse título tem vencimento no dia 1º 
de janeiro de 2023. Nessa data, ele valerá exatamente R$1.000.
Eu escrevo este material no dia 15 de dezembro de 2020. Entre as duas datas citadas, há 
um espaço de 747 dias. Portanto, usando a convenção de dias comerciais, podemos calcular 
o valor presente desse título:
Esse valor corresponde ao preço unitário – houve pequenas diferenças, porque o governo 
utiliza a convenção de dias úteis (252 dias úteis por ano), enquanto nós utilizamos a conven-
ção de dias exatos.
Observe que a taxa de juros influencia diretamente o valor atual de um título pré-fixado. De 
maneira geral, podemos escrever que o preço de um título pré-fixado será:
Na expressão anterior, o tempo a ser utilizado é o tempo que falta para o vencimento 
do título.
Desse modo, quando a taxa de juros aumenta, o denominador aumenta, portanto o preço 
do título diminui. Analogamente, quando a taxa de juros diminuir, o denominador diminuir, por-
tanto, o preço do título aumentará.
Como exemplo, o que aconteceria com o preço do Tesouro Pré-fixado 2020, caso a taxa de 
juros no dia 1º de janeiro de 2018 fosse aumentada para 10% ao ano? E o que aconteceria se 
essa taxa fosse reduzida para 5% ao ano?
Na primeira hipótese, teríamos o seu valor dado por:
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Nessa situação, o investidor teria, inclusive, um pequeno prejuízo, pois investiu R$849,73.
Por outro lado, se a taxa fosse reduzida para 5%, teríamos:
Nesse caso, o investidor embolsaria um baita lucro de 6,7% em poucos dias (entre 11 de 
dezembro e 1º de janeiro do ano seguinte) devido unicamente à redução na taxa de juros que 
aconteceu no período.
Isso explica um dos fenômenos mais curiosos do mercado financeiro. Atualmente, vários 
países têm oferecido taxas de juros muito baixas ou mesmo negativas para os investidores 
que desejam comprar seus títulos públicos. É o caso, por exemplo, da Alemanha.
Figura 11: Taxa de Juros na Alemanha
O que faria um investidor comprar um título sabendo que ele paga juros negativos, ou seja, 
que ele literalmente teria de pagar para emprestar dinheiro ao governo alemão.
Simples. Os investidores observam o gráfico da Figura 11 e esperam que o governo alemão 
continue baixando as taxas de juros. Assim, eles poderão vender seus títulos pré-fixados no 
futuro a um preço mais alto.
4.3. títulos mistos
São títulos compostos por uma parte do rendimento pré-fixada e outra parte pós-fixada.
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A parte pós-fixada é geralmente um fator de correção, sendo o mais comum no Brasil o 
IPCA, índice que mede a inflação.
Quando você compra um Tesouro IPCA+, ele te garante uma rentabilidade real, ou seja, um 
rendimento acima da inflação.
Por exemplo, suponha que você investiu R$1.000 em Tesouro IPCA+ com um rendimento 
real de 6% ao ano em janeiro de 20X com vencimento em janeiro de 20X+1. A inflação acumula-
da entre janeiro de 20X e janeiro de 20X+1 foi de 5% ao ano. Nesse caso, quanto você receberá?
Calculemos, em primeiro lugar, o seu montante real.
Façamos o cálculo do montante aparente que corresponde ao valor que você vai sacar.
Dessa maneira, você sacará o montante de R$1.113, o que lhe garantiu um retorno nominal 
de 11,3%. Porém, esse montante corresponde a um ganho real de 6%, que foi exatamente o que 
foi combinado.
Os títulos de Renda Fixa protegidos contra a inflação são teoricamente as melhores op-
ções para você preservar o seu poder de compra.
017. (CESPE/TCE-PE/2017/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) Se a expectativa de mercado 
for de queda da taxa de juros, então o preço de mercado de um título de renda fixa sem cupom 
deverá aumentar em resposta à queda dos juros.
Os títulos públicos pré-fixados possuem uma dinâmica de preço que é influenciada diretamen-
te pelos juros em circulação. O valor atual de um título pré-fixado é dado por:
Portanto, quando a taxa de juros diminui, o denominador aumenta e, em resposta, o valor atual 
do título cresce. Ocorre, portanto, valorização do título.
Algumas pessoas não concordaram com o gabarito oficial do CESPE, pois alegaram que os 
títulos pós-fixados não seguem tal dinâmica.
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De fato, um título pós-fixado é atualizado diariamente pela taxa de juros e, portanto, não sofre 
nenhuma mudança imediata de valor. Porém, há duas coisas que podemos comentar para de-
fender o gabarito oficial do CESPE.
A primeira é que o enunciado não fala em “todos os títulos”, portanto, se conseguimos identi-
ficar uma classe relevante de títulos que segue o padrão proposto, o enunciado está correto.
A segunda é que não adianta discutir assuntos de Português com um professor de Matemáti-
ca. Infelizmente, muitas questões não são elaboradas da melhor maneira. O ideal nessa ques-
tão realmente seria especificar que se trata de títulos pré-fixados.
Certo.
018. (INÉDITA/2021) Um cliente procurou um consultor de investimentos. Ele gostaria de uma 
aplicação de Renda Fixa que lhe assegurasse que ele não perderia dinheiro no caso de aumen-
to da taxa de juros. Nesse caso, o consultor lhe deverá indicar títulos pré-fixados.
Os títulos pré-fixados oscilam ao dissabor das taxas de juros – quanto as taxas decrescem, os 
preços desses títulos aumentam. Portanto, esses títulos não são bons para clientes que não 
podem lidar com esse risco de investimentos.
A opção mais adequada para o cliente são títulos pós-fixados, pois estes têm seu valor cres-
cente, desde que a taxa de juros seja sempre positiva.
Errado.
019. (INÉDITA/2021) Os preços dos títulos pré-fixados de prazo de vencimento mais longo 
são mais susceptíveis às oscilações nas taxas de juros do que os preços de títulos pré-fixados 
de prazo de vencimento mais curto.
Devemos nos lembrar da expressão do preço de um título pré-fixado.
Observe que, quanto maior o tempo que falta para o vencimento do título, maior será a influên-
cia da taxa de juros sobre o seu valor. Portanto, a afirmativa está correta.
Certo.
020. (ESAF/CVM/2010/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Um investidor fez uma apli-
cação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de 
juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, 
no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título 
nesse prazo?
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a) 8,5%
b) 7,7%
c) 8%
d) 7,844%
e) 8,68%
A questão foi imprecisa. Na verdade, o termo corretora não era “rentabilidade pós-fixada”, mas, 
sim, “rentabilidade real de 18% ao ano”. No entanto, entendemos que se trata de um título mis-
to, porque a questão informou o índice de correção a ser aplicado a ele.
Calculemos o ganho real que é dado pela taxa de rentabilidade real de 18% ao ano por um 
prazo de 3 meses. Para isso, devemos lembrar que 1 ano possui 12 meses; portanto, devemos 
dividir a taxa por 12.
Vamos aplicar o índice de correção. Devemos entender o índice de correção como um fator de 
proporcionalidade entre o montante aparente e o real.
Assim, podemos calcular os juros recebidos:
Por fim, a rentabilidade é a razão entre os juros recebidos e o capital aplicado.
Eu gostaria de explicar um pouco mais sobre esse índice de correção que foi aplicado na ques-
tão. Quando tomamos a razão entre eles, temos a taxa de correção:
Por exemplo, se o índice em questão for o IPCA, temos que a taxa de inflação acumulada é de 4%.
Letra e.
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QUESTÕES COMENTADAS EM AULA
001. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de venci-
mento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do 
desconto simples será igual a:
a) R$7,00
b) R$7,50
c) R$7,52
d) R$10,00
e) R$12,50002. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial simples (por fora) é 
de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00.
003. (ESAF/SMF-RJ/2010/FISCAL DE RENDAS) Um título sofre um desconto simples por 
fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% 
ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 17.500,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 27.500,00
004. (CESPE/CAIXA/2010/TÉCNICO BANCÁRIO) Se, ao descontar uma promissória com 
valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa 
operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a
a) 5%
b) 6%
c) 7%
d) 8%
e) 9%
005. (CETRO/METRÔ/SP/2015) Um título com valor nominal de R$2.700 foi descontado 
em uma antecipação de 5 meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de 
R$400. Assinale a alternativa que indica o valor mais próximo da taxa de desconto utilizada 
nessa operação:
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a) 1,50%
b) 2,00%
c) 2,50%
d) 3,00%
e) 3,50%
006. (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Em um supermercado, 
um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrou 
um valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o opera-
dor do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente 
pagasse apenas o valor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na 
embalagem do produto era igual a:
a) 106,50
b) 109
c) 110,50
d) 112
e) 113,35
007. (ESAF/AFRF/2001) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses 
antes do vencimento, é de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial 
simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$960,00
b) R$666,67
c) R$973,32
d) R$640,00
e) R$800,00
008. (ESAF/ATRFB/2012) Um título de R$20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu 
vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal 
de juros simples dessa operação é igual a:
a) 6,50%
b) 5,50%
c) 5,25%
d) 6,00%
e) 6,25%
009. (CFC/2020.2) Precisando de capital de giro, a empresa Trotsi contratou em uma institui-
ção financeira um empréstimo de R$65.000,00, a ser quitado por meio de um único pagamento 
de R$68.500,00 no prazo de um mês. No ato da contratação, foi paga uma tarifa de serviço 
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bancário de 1,5% cobrada sobre o valor do empréstimo. Considerando tais informações dadas, 
qual é a taxa de juros nominal e a taxa de juros efetiva, respectivamente, cobrada por este 
empréstimo?
a) 1,5% a.m. e 5,38% a.m.
b) 5,38% a.m. e 6,99% a.m.
c) 5,47% a.m. e 6,88% a.m.
d) 5,51% a.m. e 7,03% a.m.
010. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 2.000,00, cujo prazo de ven-
cimento é de 60 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto 
composto será igual a:
a) R$40,00
b) R$39,80
c) R$39,95
d) R$38,80
e) R$20,00
011. (FGV/COMPESA/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ECONOMIA) Seja um título de R$100,00, 
cujo prazo de vencimento é de 2 meses. Supondo que a taxa de desconto “por fora” é de 10% 
ao mês. Assinale a opção que indica o valor do desconto composto.
a) R$0,81
b) R$3,96
c) R$12,00
d) R$15,00
e) R$19,00
012. (FCC/SABESP/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ADMINISTRAÇÃO) Um título será des-
contado em um banco 4 meses antes de seu vencimento. Se for utilizada a operação de des-
conto racional simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, então o valor atual do título 
será de R$ 30.000,00. Se for utilizada a operação de desconto comercial simples, também a 
uma taxa de desconto de 24% ao ano, o correspondente valor do desconto será, em R$, de:
a) 2.592,00
b) 2.890,00
c) 2.658,00
d) 2.756,00
e) 2.600,00
013. (CESPE/EBSERH/2018/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) Se um título com valor nomi-
nal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros 
compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000.
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014. (FGV/SEFAZ-RJ/2011/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) O valor do desconto 
racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é 
de 2 anos e a taxa de desconto é de 25% ao ano, é:
a) R$ 6.500,00.
b) R$ 5.875,50.
c) R$ 7.247,50.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 9.000,00.
015. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial composto (por fora) 
é de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
A taxa efetiva mensal dessa operação foi inferior a 6%.
016. (FCC/TRF-3ª REGIÃO/2016/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTADORIA) Um título de valor 
nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que ele será resgatado 
antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros 
de 5% ao trimestre.
Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres antes do vencimento e a 
segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o valor de resgate do 
título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à primeira op-
ção, em R$, em
Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625
a) 926,10
b) 882,00
c) 900,00
d) 800,00
e) 840,00
017. (CESPE/TCE/PE/2017/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) Se a expectativa de mercado 
for de queda da taxa de juros, então o preço de mercado de um título de renda fixa sem cupom 
deverá aumentar em resposta à queda dos juros.
018. (INÉDITA/2021) Um cliente procurou um consultor de investimentos. Ele gostaria de uma 
aplicação de Renda Fixa que lhe assegurasse que ele não perderia dinheiro no caso de aumen-
to da taxa de juros. Nesse caso, o consultor lhe deverá indicar títulos pré-fixados.
019. (INÉDITA/2021) Os preços dos títulos pré-fixados de prazo de vencimento mais longo 
são mais susceptíveis às oscilações nas taxas de juros do que os preços de títulos pré-fixados 
de prazo de vencimento mais curto.
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Thiago Cardoso020. (ESAF/CVM/2010/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Um investidor fez uma apli-
cação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de 
juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, 
no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título 
nesse prazo?
a) 8,5%
b) 7,7%
c) 8%
d) 7,844%
e) 8,68%
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QUESTÕES DE CONCURSO
021. (FGV/PREFEITURA DE RECIFE-PE/2014/AUDITOR DO TESOURO MUNICIPAL) Supo-
nha um título com valor de R$ 100,00, cujo prazo de vencimento é de 2 meses. Assuma que a 
taxa de desconto “por fora” seja igual a 5% ao mês. O valor presente do título e o valor do des-
conto sob o regime de juros compostos são (em R$), respectivamente, de
a) 90 e 10.
b) 90,25 e 9,75.
c) 85,74 e 14,26.
d) 95 e 5.
e) 105 e-5.
Para encontrar o valor presente do título, podemos utilizar a fórmula:
A partir desta fórmula, possuímos os seguintes parâmetros:
Substituindo valores, temos:
Para encontrarmos o valor do desconto por fora, utilizamos a fórmula:
Letra b.
022. (FGV/ISS/NITERÓI/2015/CONTADOR) Um título de valor de face de R$ 15.000,00, com 
vencimento para 90 dias, foi descontado – desconto simples por fora ou desconto comercial 
– à taxa de desconto de 60% ao ano.
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O valor do desconto, em reais, foi:
a) 1.500
b) 1.750
c) 2.000
d) 2.250
e) 2.500
Infelizmente, muitas vezes, as questões são ambíguas e não especificam qual o tipo de des-
conto que se deve utilizar. Minha recomendação é que, quando se tratar de uma decisão de 
investimentos, você utilize o desconto racional composto.
Por outro lado, quando se tratar de uma operação bancária, descontos de duplicatas, use o 
comercial simples. É o caso dessa questão.
Transformemos a taxa anual em mensal.
Por fim, calcularemos o desconto por fora.
Letra d.
023. (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um título com valor no-
minal de R$ 1.000,00 foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 6,4% ao mês. O valor do desconto obtido foi aplicado em um fundo de 
investimentos, remunerado sob uma taxa de juros compostos, capitalizados mensalmente, de 
modo que, 3 meses após a aplicação, o montante igualou-se ao valor nominal do título.
Nessa situação, sabendo-se que 83 = 512, é correto afirmar que a taxa mensal de juros usada 
pelo fundo de investimentos foi igual a:
a) 25%
b) 32%
c) 41,2%
d) 46,2%
e) 150%
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Obtenhamos, primeiramente, o valor do desconto comercial simples obtido:
Esse desconto foi aplicado a uma taxa de juros compostos e produziu o montante de R$1.000 
após três meses. Assim, podemos escrever que:
Letra a.
024. (CESPE/SEFAZ-RS/2018/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) No regime de ju-
ros simples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 6 meses. A taxa de juros 
usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses antes de seu 
vencimento.
Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo correto do va-
lor a ser resgatado nessa situação.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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Lembre-se de que o desconto racional é calculado como uma razão. Então, para a modalidade 
de desconto racional simples, podemos utilizar a seguinte expressão:
Para esta expressão, temos os seguintes parâmetros conhecidos:
Devemos transformar a taxa anual para mensal por meio de uma proporção direta, dada por:
Pelo sentido das setas, temos a seguinte equação:
A taxa de juros da negociação vale a.m.
Substituindo valores na expressão (I), temos:
Letra c.
025. (FCC/METRÔ-SP/2019/ANALISTA DE DESENVOLVIMENTO GESTÃO JÚNIOR/CIÊN-
CIAS CONTÁBEIS) A Cia. Alpha possui um título de valor nominal de R$ 50.000,00 vencível em 
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1 ano e decide liquidá-lo 3 meses antes de seu vencimento. Sendo a taxa nominal de juros de 
10,25% ao bimestre, o valor do desconto racional e o valor descontado dessa operação, são, 
respectivamente, em reais:
a) 6.663,06 e 43.336,94.
b) 7.500,00 e 42.000,00.
c) 7.687,50 e 42.312,50.
d) 11.759,08 e 38.240,92.
e) 6.521,74 e 43.478,26.
O problema nos indica se tratar de um desconto racional simples. Para casos assim, temos as 
seguintes fórmulas:
Vale notar que não é necessário calcular as duas expressões. Podemos somente calcular o 
valor atual, já que o desconto pode ser obtido como a diferença entre o valor nominal e o 
valor atual.
Além disso, do enunciado, conhecemos os seguintes parâmetros:
Devemos transformar a taxa bimestral para mensal, por meio da proporção direta:
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Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Com as unidades equivalentes, podemos substituir os valores nas equações (II), chegando ao 
valor atual (com desconto) do título:
Por fim, o desconto pode ser obtido como a diferença entre o valor nominal (sem desconto) e 
o valor atual (com desconto).
Letra a.
026. (CESPE/SEFAZ-RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) Um título 
cujo valor nominal era de R$ 1.450 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de 
desconto comercial simples de 12% ao ano.
Nesse caso, o valor descontado foi igual a
a) R$ 1.392.
b) R$ 1.334.
c) R$ 1.276.
d) R$ 1.406.
e) R$ 1.363.
Para descontos comerciais simples, temos a fórmula:
São conhecidos:
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Devemos, para igualar as unidades, transformar a taxa comercial por meio de uma proporção 
direta, como se segue:
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Isto é, a taxa mensal é dada por:
Substituindo valores dados e encontrado, temos:
Letra a.
027. (FGV/AL-RO/2018/CONSULTOR LEGISLATIVO/ASSESSORAMENTO EM ORÇAMEN-
TOS) Uma letra de câmbio (LC) foi resgatada 2 meses antes do vencimento pelas regras do 
desconto comercial composto. A taxa de desconto utilizada na transação foi de 6% ao mês.
Dados: 1,06² = 1,1236; 0,94² = 0,8836
Se o valor descontado foi de R$ 17.672,00, então o valor de face da LC era:
a) R$ 200.000,00
b) R$ 157.300,00
c) R$ 20.000,00
d) R$ 18.836,00
e) R$ 15.730,00
O valor de face é um sinônimo para o valor nominal da letra de câmbio.
Nessa situação, foi utilizado o desconto comercial (ou por fora) composto. Portanto, a expres-
são que pode ser utilizada para calcular o valor descontado (Af) da nota é:
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O enunciado nos forneceu os seguintes parâmetros:
Substituindo esses valores em (I), temos:
Isolando o valor nominal (N) a partir da equação anterior, temos:
Letra c.
028. (FGV/SEFIN-RO/2018/AUDITOR-FISCAL) Em relação às operações de desconto, avalie 
se as afirmativas a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F).
I – A taxa de desconto “por dentro” (racional) é inversamente proporcional ao valor presen-
te e ao prazo da operação.
II – A taxa de desconto “por fora” (comercial) é diretamente proporcional ao valor futuro.
III – O valor do desconto “por dentro” é obtido pela multiplicação do valor futuro pela taxa 
de desconto e esse produto pelo prazo da operação.
a) V – V – V
b) V – V – F
c) V – F – F
d) F – F – V
e) F – F – F
A questão não informou qual o tipo de desconto (simples ou composto) que deveria ser utiliza-
do. Nesse caso, precisamos subentender que ela queria se referir ao desconto simples.
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Ok, eu concordo que não deveria ser assim, porém os “termos direta e inversamente proporcio-
nal” só são aplicáveis mesmo para desconto simples.
Infelizmente, é muito comum professores de matemática vacilarem no português. E, nesse 
caso, a chance de um recurso ser deferido são mínimas. Portanto, precisamos nos acostumar 
a lidar com isso.
I – No caso de desconto racional, devemos nos referir ao valor atual da operação.
De fato, quanto maior a taxa de desconto, menor o valor atual do título. Porém, a relação de pro-
porcionalidade inversa não é direta. Só podemos dizer que duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando o produto delas é constante. Mas, nesse caso, temos:
Portanto, não é o produto direto da taxa de desconto pelo valor presente da dívida que é cons-
tante. Tem um fator aditivo ali no meio que elimina a relação de proporcionalidade inversa. 
Afirmação falsa.
II – No caso de desconto comercial, devemos nos referir ao valor futuro ou nominal da operação.
No entanto, o erro da questão é afirmar que a taxa de desconto é diretamente proporcional 
quando, na verdade, é inversamente proporcional ao valor futuro e ao prazo de desconto. 
Item falso.
III – Como vimos, o desconto racional tem como base o valor atual, não o futuro. Portanto, o 
item está falso.
Letra e.
029. (CESPE/SEFAZ/RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) Um título 
cujo valor nominal era de R$ 18.200,00 com vencimento para daqui a 6 meses, foi pago na 
data de hoje à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês.
Nesse caso, o título foi pago pelo valor de
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 12.740,00.
c) R$ 17.333,33.
d) R$ 17.290,00.
e) R$ 15.470,00.
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Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O objetivo do exercício é encontrar o valor atual por dentro.
Para descontos racionais simples, temos a fórmula:
Vale lembrar que desconto racional nos lembra razão. Portanto, as expressões do desconto 
racional são as expressões que envolvem contas de divisão. Dessa expressão, são conhecidos 
os seguintes parâmetros:
Substituindo valores, temos:
Letra a.
030. (FCC/SEGEP-MA/2018/ANALISTA EXECUTIVO/CONTADOR) Uma empresa efetuou o 
desconto de várias duplicatas, cujo valor nominal era R$ 180.000,00, que venciam após 2 me-
ses da data da operação. A taxa de desconto comercial negociada com o banco foi 4% ao mês 
e a instituição financeira cobrou, na data do desconto, uma tarifa de cobrança no valor de R$ 
1.000,00. A taxa de custo efetivo da operação, no período do prazo da operação, foi, em %,
a) 8,56.
b) 9,36.
c) 9,30.
d) 8,72.
e) 8,00.
Para descontos comerciais simples, podemos utilizar a equação:
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Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Para esta expressão, temos os parâmetros:
Substituindo os valores na expressão (I), temos:
Na data do desconto, houve uma tarifa de R$ 1.000,00. Com isto, temos:
Para encontrar a taxa efetiva, devemos obter a razão entre o desconto aplicado e o valor atual 
do título após todos os descontos.
Letra b.
031. (CESPE/EBSERH/2018/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) Se um título com valor nomi-
nal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros 
compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000.
O enunciado nada fala sobre a modalidade do desconto (se por dentro ou por fora). Neste 
caso, devemos nos atentar ao que é falado sobre a taxa da operação. O enunciado cita explici-
tamente taxa de juros, neste caso, devemos utilizar desconto racional composto, cuja fórmula 
é dada por:
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Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Temos os seguintes parâmetros necessários:
Substituindo valores, ficamos com:
Certo.
032. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, 
o valor descontado foi igual a R$ 16.000.
Para descontos racionais simples, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Para a expressão anterior, possuímos os seguintes parâmetros:
Substituindo os valores dados na expressão do