06 - Desconto

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Aula 04 – Descontos 
Raciocínio Analítico, Matemática Financeira e 
Estatística p/ Auditor do TCU – 2019 
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Sumário 
DESCONTOS ................................................................................................................................................... 3 
INTRODUÇÃO ÀS OPERAÇÕES DE DESCONTO ................................................................................................ 3 
DESCONTO SIMPLES ......................................................................................................................................... 4 
Desconto racional simples (por dentro) ............................................................................................................. 4 
Desconto comercial simples (por fora, bancário) ................................................................................................ 6 
DESCONTO COMPOSTO ................................................................................................................................... 9 
Desconto racional composto (por dentro) .......................................................................................................... 9 
Desconto comercial composto (por fora, bancário) .......................................................................................... 10 
NOÇÕES ADICIONAIS SOBRE OPERAÇÕES DE DESCONTO ............................................................................ 12 
Desconto “por dentro” e “por fora” ................................................................................................................. 12 
Taxa efetiva da operação de desconto ............................................................................................................ 12 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ............................................................................................... 17 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...................................................................................................................... 66 
GABARITO .................................................................................................................................................... 86 
RESUMO DIRECIONADO ............................................................................................................................... 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Descontos 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Descontos 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
INTRODUÇÃO ÀS OPERAÇÕES DE DESCONTO 
Imagine que você é proprietário de um comércio e recebeu de um cliente um cheque “pré-datado” para 
pagamento de uma venda efetuada. O cheque, no valor de R$1000,00, tem data de vencimento para daqui a 3 
meses. Entretanto, você precisa renovar o estoque de seu comércio, motivo pelo qual precisa de dinheiro agora 
– e não daqui a 3 meses. Pensando assim, você vai ao banco, que se oferece para ficar com o cheque, 
aguardando a data correta de depósito, e te adiantar o valor em dinheiro. O banco não fará essa operação “de 
graça”. Para isso, o gerente te informa que será cobrada a taxa de desconto simples de 5% ao mês. Assim, o 
banco não te entregará R$1000,00, mas sim R$850,00. Isto é, ao efetuar a operação, o seu título (no caso, um 
cheque) sofreu o desconto de R$150,00, que é a remuneração do banco por ter antecipado 850 reais para você. 
Nesta situação, temos um título de crédito (cheque) com um determinado valor nominal N = 1000 reais 
(também conhecido como “valor de face” ou “valor futuro”) e prazo de vencimento t = 3 meses. Esse título sofre 
uma operação de desconto, cuja taxa de desconto simples é j = 5% ao mês. Como resultado, você recebe apenas 
o valor atual (ou “valor presente”) do título, isto é, A = 850 reais, e o banco retém o valor do desconto D = 150 
reais. 
O exemplo acima tem o intuito de auxiliá-lo a entender em que consiste uma operação de desconto, 
muito comum no comércio que trabalha com recebimentos a prazo (cheques “pré-datados”, duplicatas, notas 
promissórias etc.) mas precisa do dinheiro à vista para poder manter o seu negócio funcionando (pagar salários, 
impostos, comprar mercadorias etc.). Repare que o desconto é, em sua essência, uma operação inversa à 
aplicação de juros sobre um investimento. Nos próximos tópicos veremos as operações de desconto cobradas 
no seu edital. 
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Para começar, saiba esses conceitos fundamentais: 
- valor nominal (N ou VF): é o valor do título na data do seu vencimento. Também é conhecido como valor futuro, ou valor 
de face (pois é o valor que está escrito no título). Em nosso exemplo, N = 1000 reais. 
 
- valor atual (A ou VP): é o valor do título na data da operação de desconto, também conhecido como valor presente, 
valor líquido ou valor descontado do título. Em nosso exemplo, A = 850 reais. 
 
- desconto: é a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título de crédito 
D = N – A 
isto é 
D = VF – VP 
De agora em diante vamos conhecer as principais modalidades de OPERAÇÕES DE DESCONTO, ok? 
 
DESCONTO SIMPLES 
O desconto simples é aquele correspondente ao regime de juros simples. Existem duas formas principais 
de cálculo do desconto simples de um título de crédito: o desconto racional e o desconto comercial. 
Desconto racional simples (por dentro) 
Em uma operação de desconto racional simples (também conhecido como desconto “por dentro”), a 
relação entre o valor nominal (N), valor atual (A) e a taxa de desconto (d) e o prazo de antecipação de resgate 
do título (t) é dada por: 
N = A x (1 + d x t) 
 Veja que é bem fácil decorar esta fórmula, pois ela lembra M = C x (1 + j x t). Basta substituir o montante 
pelo valor nominal (N), o capital pelo valor atual (A), e a taxa de juros pela taxa de desconto (d). 
Utilizando a fórmula acima, podemos calcular qual seria o valor atual (A) daquele cheque do exemplo 
dado acima. Lembrando que o valor nominal era N = 1000, a taxa de desconto era d = 5% ao mês e o prazo de 
antecipação t = 3 meses, temos: 
A = 1000 / (1 + 0,05 x 3) 
A = 1000 / 1,15 
A = 869,56 
Isto é, se o banco tivesse utilizado o desconto “por dentro”, você receberia, naquele momento, R$869,56. 
Em outras palavras, o valor atual do seu cheque seria de R$869,56, apesar de seu valor de face ser R$1000,00. 
O valor do desconto seria: 
D = N – A 
D = 1000 – 869,56 
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D = 130,44 reais 
Assim, o banco teria ganho R$130,44 para ficar com o seu cheque, aguardando a data de vencimento do 
mesmo para poder sacar o valor de 1000 reais. 
Veja essa questão: 
CESPE – CAGE/RS – 2018) No regime de juros simples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 
6 meses. A taxa de juros usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses antes 
de seu vencimento. Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo corretodo 
valor a ser resgatado nessa situação. 
A) 
4
38.290,20
0,24
1
12
 
+ 
 
 
B) 
0,24
38.290,20 1 2
12
 
 −  
 
 
C) 
38.290,20
0,24
1 2
12
x+
 
D) 
38.290,20
0,24
1 4
12
x+
 
E) 
2
38.290,20
0,24
1
12
 
+ 
 
 
RESOLUÇÃO: 
A taxa de desconto é de 24% ao ano. Como o ano tem 12 meses, podemos dizer que 𝑑 =
24%
12
=
0,24
12
 ao mês. 
Temos valor nominal N = 38.290,20 reais, e o prazo de antecipação é t = 2 meses. Assim, o valor atual (de 
resgate) na fórmula do desconto racional é: 
N = A x (1 + d x t) 
𝐴 =
𝑁
1 + 𝑑 × 𝑡
 
Substituindo os valores conhecidos: 
A = 
38.290,20 
1 + 
0,24
12
 x 2
 
Resposta: C 
 
 
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Desconto comercial simples (por fora, bancário) 
Em uma operação de desconto comercial simples (desconto “por fora simples” ou “bancário simples”), a 
relação entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) de um título é dada por: 
A = N x (1 – d x t) 
Utilizando a fórmula acima, também podemos calcular qual seria o valor atual (A) daquele cheque do 
exemplo dado acima: 
A = 1000 x (1 - 0,05 x 3) 
A = 1000 x (0,85) 
A = 850 
Veja que o gerente do banco provavelmente se referia a esse desconto. Assim, você recebeu R$850,00. 
Este é o valor atual do seu cheque, apesar de seu valor de face ser R$1000,00. O valor do desconto foi: 
D = N – A 
D = 1000 – 850 
D = 150 
Assim, o banco efetuou um desconto de R$150,00 para ficar com o seu cheque, aguardando a data de 
vencimento do mesmo. 
A propósito, é possível calcular diretamente o valor do DESCONTO COMERCIAL SIMPLES por meio da 
fórmula: 
D = N x d x t 
 Em nosso exemplo, como N = 1000 reais, d = 5% e t = 3, temos: 
D = 1000 x 0,05 x 3 
D = 150 reais 
Veja que, no exemplo, eu apenas mencionei “desconto simples”, não explicitando se o desconto foi 
racional ou comercial. Em várias questões de sua prova ocorrerá o mesmo. Diante desta situação, você deve se 
lembrar que o desconto comercial também é chamado desconto bancário, isto é, típico de operações efetuadas 
pelos bancos. Assim, não sendo mencionado que o desconto a ser aplicado é o racional, você deve usar o 
desconto comercial / bancário / por fora. 
A fórmula abaixo relaciona o desconto por dentro com o desconto por fora, quando é aplicada a mesma 
taxa de desconto “d”: 
Df = Dd x (1 + d x t) 
No nosso exemplo, vimos que Df = 150 e Dd = 130,44, para d = 5% ao mês e t = 3 meses. Veja que, de fato, 
Df = Dd x (1 + d x t) 
150 = 130,44 x (1 + 0,05 x 3) 
150 = 150 
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Veja uma questão em que utilizamos essa fórmula: 
FCC – PREF TERESINA/PI – 2016) O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título 
de valor nominal de R$ 23.650,00 que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi utilizada a 
operação do desconto comercial simples a uma taxa de desconto mensal igual a i. Caso fosse utilizada a 
operação do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto mensal igual a i, verifica-se que o valor 
do desconto, em R$, seria de 
 a) 2.200,00. 
 b) 2.365,00. 
 c) 2.150,00. 
 d) 2.050,00. 
 e) 2.250,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Foram dados N = 23650, A = 21285 e t = 4 meses. O desconto é o comercial simples (por fora). Logo: 
A = N x (1 – d x t) 
21285 = 23650 x (1 – d x 4) 
21285/23650 = 1 – 4d 
0,9 = 1 – 4d 
4d = 0,1 
d = 0,025 = 2,5% 
 
 O valor do desconto é Df = N – A = 23650 – 21285 = 2365 reais. 
 Para achar o desconto racional simples (por dentro), a uma mesma taxa d = 2,5%am e t = 4 meses, 
podemos usar a fórmula que relaciona os dois descontos: 
Df = Dd x (1 + d x t) 
2365 = Dd x (1 + 4d) 
2365 = Dd x (1 + 4x0,025) 
2365 = Dd x (1 + 0,1) 
Dd = 2365/1,1 
Dd = 2150 reais 
Resposta: C 
 
Antes de conhecermos o Desconto Composto, verifique se você compreendeu a teoria sobre Desconto 
Simples resolvendo essa questão: 
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CESPE – SEDUC/AL – 2018) Com relação a matemática financeira, cada um dos itens a seguir apresenta uma 
situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada. 
 () Um título de valor nominal igual a R$ 5.300 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 24% ao ano, sem cobrança de taxas administrativas. Nesse caso, o valor descontado foi 
de R$ 5.000. 
() Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000. 
RESOLUÇÃO: 
() Um título de valor nominal igual a R$ 5.300 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 24% ao ano, sem cobrança de taxas administrativas. Nesse caso, o valor descontado foi de 
R$ 5.000. 
 A fórmula do desconto comercial simples é: 
A = N x (1 – d x t) 
 Sabe-se que N = 5300, t = 3 meses e d =24% aa = 2 % ao mês. Pede-se o valor descontado do título, ou 
seja, o valor atual: 
A = 5300 x (1 – 0,02 x 3) 
A = 5300 x (1 – 0,06) 
A = 5300 x (0,94) 
A = 4982 reais 
 Item ERRADO. 
 
() Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000. 
 A fórmula do desconto racional simples é dada por: 
N = A x (1 + d x t) 
 Sabe-se que N = 20800, t = 6 meses e d =5 % ao mês. Pede-se o valor descontado (A): 
20800 = A x (1 + 0,05 x 6) 
20800 = A x 1,3 
A = 16000 reais 
 Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
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DESCONTO COMPOSTO 
Em muitos casos o desconto dado pelo banco numa operação como esta segue o regime de juros 
compostos. Se isso ocorre, temos uma operação de desconto composto, que também se divide em racional ou 
comercial. 
Desconto racional composto (por dentro) 
Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é dada por: 
N = A x (1 + d)t 
Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo exemplo que trabalhamos 
acima, teríamos: 
A = 1000 / (1 + 0,05)3 = 1000 / 1,053 
A = 863,83 reais 
Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no regime de desconto racional 
composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento, você receberá R$863,83. O desconto será 
de: 
D = 1000 – 863,83 = 136,16 reais 
 
FCC – TRE/PR – 2017) A Cia. Só Queijos adquiriu um imóvel para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 8.000,00, 
vencíveis em 30, 60, 90, 120 e 150 dias, respectivamente, após a data da compra. Após pagar a terceira parcela, 
a Cia. verificou que possuía condições financeiras de quitar as demais parcelas nesta mesma data. Sabendo que 
a taxa de juros compostos cobrada era 4% a.m., o valor que a Cia. Só Queijos desembolsou para quitar o imóvel, 
após pagar a terceira parcela, foi ,desprezando-se os centavos, em reais, 
(A) 15.088,00. 
(B) 13.413,00. 
(C) 15.052,00. 
(D) 15.099,00. 
(E) 15.040,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que na data t = 3 meses (noventa dias) serão adiantadas as prestações vencíveis em t = 4 e t = 5 meses. 
Podemos adiantá-las usando o desconto racional composto (regime que utiliza os juros compostos citados no 
enunciado), lembrando que, neste regime: 
N = A x (1 + d)t 
isto é, 
A = N / (1+d)t 
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 A quarta parcelaserá paga com antecedência de t = 1 mês (afinal, ela deveria ser paga no 4º mês, mas 
agora será paga no 3º mês). O seu valor nominal é de N = 8000 reais. Aplicando a taxa de d = 4%am, temos: 
A4 = 8.000 / (1+4%)1 
A4 = 8.000 / 1,04 
A4 = 7692,30 reais 
 A quinta parcela será paga com antecedência de t = 2 meses (do 5º para o 3º mês). Temos: 
A5 = 8.000 / (1+4%)2 
A5 = 8.000 / 1,0816 
A5 = 7.396,44 
 
 Portanto, os valores a serem pagos para antecipar a 4ª e 5ª parcelas, quitando o imóvel, somam: 
A4 + A5 = 7692,30 + 7396,44 
A4 + A5 = 15.088,74 reais 
Resposta: A 
 
Desconto comercial composto (por fora, bancário) 
Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é dada por: 
A = N x (1 – d)t 
 
Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo exemplo que trabalhamos 
acima, teríamos: 
31000 (1 0,05)
857,37
A
A
=  −
=
 
 
Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no regime de desconto comercial 
composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento, você receberá R$857,37. O desconto foi de: 
D = 1000 – 857,37 = 142,62 
 
Teste o seu aprendizado a respeito de desconto composto: 
 
 
 
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FCC – ARCE – 2012) Uma pessoa tem com um certo credor a seguinte dívida: 
 
Hoje ela combinou com esse credor substituir esses títulos por dois outros, de valores nominais iguais entre si, 
um a vencer daqui a 4 meses e o outro daqui a 5 meses. Se, nessa transação, vão utilizar juros compostos à taxa 
de 6% ao mês, o valor nominal de cada um desses novos títulos, segundo o critério do desconto composto 
racional, será de, aproximadamente, 
(A) R$ 2.000,75. 
(B) R$ 2.002,64. 
(C) R$ 2.004,53. 
(D) R$ 2.006,21. 
(E) R$ 2.008,98. 
RESOLUÇÃO: 
Lembre-se que só podemos comparar VALORES ATUAIS, pois eles estão na mesma data (t = 0). Os três 
títulos originais devem ter valor atual igual aos dois títulos novos. Só assim podemos dizer que são equivalentes 
(de modo a poder efetuar a troca). Calculando o valor atual dos títulos originais, temos: 
A = N / (1+d)t 
 
A1 = 1000 / 1,062 = 889,99 
A2 = 1200 / 1,063 = 1007,54 
A3 = 1500 / 1,064 = 1188,14 
Assim, o valor atual desses 3 títulos soma A = 3085,67 reais. Os títulos novos terão valor nominal igual a N, e 
vencimentos em 4 e 5 meses. Assim, seus valores atuais podem ser expressos por: 
A1 = N / 1,064 = 0,792N 
A2 = N / 1,065 = 0,747N 
A soma de seus valores atuais também deve ser 3085,67 reais. Logo, 
3085,67 = 0,792N + 0,747N 
3085,67 = 1,539N 
N = 3085,67 / 1,539 
N = 2004,9 reais 
(aproximadamente) 
Resposta: C 
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NOÇÕES ADICIONAIS SOBRE OPERAÇÕES DE DESCONTO 
Desconto “por dentro” e “por fora” 
Agora que você já teve uma visão geral das modalidades de descontos simples e compostos, racionais e 
comerciais, gostaria de tecer mais alguns comentários que vão te auxiliar a entender e memorizar as fórmulas 
de desconto racional/por dentro e desconto comercial/por fora. Veremos ainda alguns detalhes adicionais que 
podem ser cobrados em sua prova. 
Para começar: por quê as fórmulas N = A x (1 + dxt) e N = A x (1 + d)t nos fornecem o desconto por dentro? 
E por quê as fórmulas A = N x (1 – d x t) e A = N x (1 – d)t nos fornecem o desconto por fora? 
Para responder a essas perguntas, é interessante que você visualize a figura abaixo: 
 
 
Como o valor atual é sempre inferior ao nominal, podemos imaginar que aquele está contido no interior 
deste. O desconto “por dentro” é aquele que parte de dentro para fora. Isto é, parte-se de um valor atual A que, 
se multiplicado pelo fator de acumulação de capital (1+dxt) ou (1+d)t, conforme o caso, leva ao valor nominal N 
após o período “t”, à taxa “j”. É por isto que: 
N = A x (1 + dxt), no desconto simples “por dentro” 
N = A x (1 + d)t, no desconto composto “por dentro” 
Já o desconto “por fora” é aquele que parte de fora para dentro. Assim, parte-se de um valor nominal N 
que, se multiplicado pelo fator de redução (1 – d x t) ou (1 – d)t, conforme o caso, leva ao valor atual A após o 
período “t”, à taxa “d”. É por isto que: 
A = N x (1 – dx t), no desconto simples “por fora” 
A = N x (1 – d)t, no desconto composto “por fora” 
Acredito que assim fica mais fácil distinguir as fórmulas de desconto “por dentro” e “por fora”. 
 
Taxa efetiva da operação de desconto 
Imagine que você foi ao banco e descontou um cheque de R$10.000 que venceria em 3 meses. O gerente 
do banco te disse que a taxa de desconto comercial era de 5% ao mês, e com isso te pagou R$8.500, afinal: 
A = N x (1 – d x t) = 10.000 x (1 – 0,05 x 3) = 8500 reais 
 Você pode pensar o seguinte: 
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“Não tem problema eu receber só R$8.500 agora. Afinal, se eu pegar esse dinheiro hoje e aplicar num 
investimento que renda 5% ao mês, daqui a 3 meses eu volto a ter R$10.000” 
Esse raciocínio é ERRADO! Veja quanto você teria se aplicasse os 8.500 reais por 3 meses a 5%am: 
M = C x (1 + jxt) = 8500 x (1 + 0,05x3) = 9775 reais 
 Perceba que, daqui a 3 meses, você teria MENOS que os 10.000 reais originais. 
 Por que isso acontece? 
 Isso ocorre porque, embora o gerente do banco tenha dito que aplicaria uma taxa de desconto comercial 
de 5% am, na verdade ela aplicou uma taxa efetiva de desconto MAIOR do que essa! Isso mesmo! 
 Se você quiser descobrir qual é a taxa efetivamente utilizada na operação, basta utilizar a fórmula do 
desconto RACIONAL. Se substituirmos os valores nominal N = 10000, atual A = 8500 e o prazo t = 3 meses, na 
fórmula do desconto racional simples, descobriremos qual foi a taxa realmente empregada pelo banco: 
N = A x (1 + d x t) 
10.000 = 8.500 x (1 + d x 3) 
1,1764 = 1 + 3d 
d =0,0588 = 5,88%am 
 Portanto, o gerente disse que utilizou uma taxa comercial de 5% am mas, na verdade, ele empregou uma 
taxa efetiva de 5,88%am! Veja que, se pegarmos os 8.500 reais e aplicarmos por 3 meses a 5,88%am, 
chegaremos de volta aos 10.000 reais: 
M = C x (1 + jxt) = 8500 x (1 + 0,0588 x 3) = 10.000 reais 
 
 O que podemos aprender deste exemplo? 
- LIÇÃO 1: a taxa de desconto comercial é MENOR do que a taxa efetivamente empregada na operação; 
- LIÇÃO 2: a taxa efetivamente empregada na operação é aquela obtida por meio do desconto RACIONAL; 
- LIÇÃO 3: a partir da operação de desconto, é possível calcular a taxa efetiva utilizando a fórmula de desconto RACIONAL. 
 
A taxa efetivamente empregada na operação também é chamada de taxa de juros da operação. 
Portanto, sempre que o enunciado de uma questão sobre descontos mencionar explicitamente uma taxa de 
JUROS, ela está falando da taxa efetiva, ou melhor, está falando da taxa de desconto RACIONAL. 
 
É possível calcular rapidamente a taxa efetiva de uma determinada operação de desconto comercial. 
Temos, para isso, as seguintes fórmulas: 
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- se o desconto comercial for SIMPLES: 
𝟏
𝒅𝒄
−
𝟏
𝒅𝒓
= 𝒕 
- se o desconto comercial for COMPOSTO: 
𝟏
𝒅𝒄
−
𝟏
𝒅𝒓
= 𝟏 
 
 Veja que a única diferença entre as fórmulas está do lado direito da igualdade. Em nosso exemplo, 
tínhamos a taxa de desconto comercial SIMPLES dc = 5%am, e o prazo da operação era de t = 3 meses. Assim, 
podemos descobrir a taxa efetiva da operação, isto é, a taxa de desconto racional simples (dr): 
1
𝑑𝑐
−
1
𝑑𝑟
= 𝑡 
1
0,05
−
1
𝑑𝑟
= 3 
100
5
−
1
𝑑𝑟
= 3 
20 −
1
𝑑𝑟= 3 
20 − 3 =
1
𝑑𝑟
 
17 =
1
𝑑𝑟
 
𝑑𝑟 =
1
17
= 0,0588 = 5,88%𝑎𝑚 
 Compreendeu? Em síntese, o gerente do banco falou que a taxa seria de 5%am mas, na realidade, ele 
empregou uma taxa de 5,88%am em seu cálculo! 
 Se a operação fosse de desconto comercial COMPOSTO, usaríamos a segunda fórmula, ficando com: 
1
𝑑𝑐
−
1
𝑑𝑟
= 1 
1
0,05
−
1
𝑑𝑟
= 1 
100
5
−
1
𝑑𝑟
= 1 
20 −
1
𝑑𝑟
= 1 
20 − 1 =
1
𝑑𝑟
 
19 =
1
𝑑𝑟
 
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𝑑𝑟 =
1
19
= 0,0526 = 5,26%𝑎𝑚 
 Repare que, novamente, a taxa efetiva (5,26%) é SUPERIOR à taxa de desconto comercial (5%). 
 
1. Desconto racional (por dentro) 
• calculado sobre o valor atual; 
• a taxa efetiva é a própria taxa de desconto. 
 
2. Desconto comercial (por fora) 
• calculado sobre o valor nominal; 
• a taxa efetiva é MAIOR que a taxa de desconto. 
 
Resolva comigo essas questões: 
CESPE – CAGE/RS – 2018) Um comerciante contratou um estagiário, estudante universitário, para cuidar dos 
registros das informações financeiras no sistema da loja. O banco do qual o comerciante é cliente oferece o 
serviço de desconto de cheques, cobrando a taxa de desconto comercial simples de 7,5% ao mês. Todavia, o 
sistema da loja só registra a taxa efetiva dessas operações. Nessa situação, se o comerciante depositar um 
cheque no valor de R$ 100 para ser descontado com antecedência de 1 mês, a taxa efetiva registrada pelo 
sistema da loja será 
A inferior a 6,5%. 
B superior a 6,5% e inferior a 7,5%. 
C superior a 7,5% e inferior a 8,5%. 
D superior a 8,5% e inferior a 9,5%. 
E superior a 9,5%. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que a taxa efetiva é a taxa de desconto RACIONAL. Temos uma taxa de desconto comercial simples 
dc = 7,5%am e estamos falando de operações com t = 1 mês de antecedência. Podemos, portanto, encontrar a 
taxa efetiva (ou taxa de desconto racional simples) dr da seguinte forma: 
1/dc – 1/dr = t 
1/0,075 – 1/dr = 1 
1 / (75/1000) – 1/dr = 1 
1000/75 – 1/dr = 1 
1000/75 – 75/75 = 1/dr 
925/75 = 1/dr 
dr = 75/925 
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dr = 0,081 
dr = 8,1% ao mês 
Resposta: C 
 
FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um título foi pago 8 meses antes do seu vencimento, com desconto racional 
simples à taxa de 20%. Se o desconto fosse comercial, a taxa que deveria ser adotada para produzir um 
desconto de igual valor é: 
a. ( ) Maior que 7,75%. 
b. ( ) Maior que 7,5% e menor que 7,75%. 
c. ( ) Maior que 7,25% e menor que 7,5%. 
d. ( ) Maior que 7% e menor que 7,25%. 
e. ( ) Menor que 7%. 
RESOLUÇÃO: 
A relação entre o desconto comercial (dc) e o desconto racional (dr) que produzem o mesmo efeito, no regime 
simples, é: 
1/dc – 1/dr = t 
Sabemos que a taxa racional é dr = 20% am, e o prazo de antecipação é t = 8 meses. Substituindo esses valores 
na fórmula: 
1/dc – 1/0,20 = 8 
1/dc – 5 = 8 
1/dc = 13 
dc = 1/13 
dc = 0,0769 
dc = 7,69% 
Resposta: B 
 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas pelo professor 
1. CESPE – CAGE/RS – 2018) 
Um comerciante contratou um estagiário, estudante universitário, para cuidar dos registros das informações 
financeiras no sistema da loja. O banco do qual o comerciante é cliente oferece o serviço de desconto de 
cheques, cobrando a taxa de desconto comercial simples de 7,5% ao mês. Todavia, o sistema da loja só registra 
a taxa efetiva dessas operações. Nessa situação, se o comerciante depositar um cheque no valor de R$ 100 para 
ser descontado com antecedência de 1 mês, a taxa efetiva registrada pelo sistema da loja será 
A inferior a 6,5%. 
B superior a 6,5% e inferior a 7,5%. 
C superior a 7,5% e inferior a 8,5%. 
D superior a 8,5% e inferior a 9,5%. 
E superior a 9,5%. 
RESOLUÇÃO: 
Aqui podemos lembrar a fórmula que relaciona o desconto racional e o desconto comercial, para a obtenção da 
taxa efetiva: 
1/dc – 1/dr = t 
1/0,075 – 1/dr = 1 
1 / (75/1000) – 1/dr = 1 
1000/75 – 1/dr = 1 
1000/75 – 75/75 = 1/dr 
925/75 = 1/dr 
dr = 75/925 
dr = 0,081 
dr = 8,1% ao mês 
Resposta: C 
 
2. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Com relação a matemática financeira, cada um dos itens a seguir apresenta uma situação hipotética seguida 
de uma assertiva a ser julgada. 
 () Um título de valor nominal igual a R$ 5.300 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 24% ao ano, sem cobrança de taxas administrativas. Nesse caso, o valor descontado foi 
de R$ 5.000. 
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() Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000. 
RESOLUÇÃO: 
() Um título de valor nominal igual a R$ 5.300 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 24% ao ano, sem cobrança de taxas administrativas. Nesse caso, o valor descontado foi de 
R$ 5.000. 
A fórmula do desconto comercial simples é dada por: 
A = N x (1 – d x t) 
Sabe-se que N = 5300, t = 3 meses e d =24% aa = 2 % ao mês. Pede-se o valor descontado, ou seja, o valor atual: 
A = 5300 x (1 – 0,02 x 3) 
A = 5300 x (1 – 0,06) 
A = 5300 x (0,94) 
A = 4982 reais 
Item ERRADO. 
 
() Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000. 
A fórmula do desconto racional simples é dada por: 
N = A x (1 + d x t) 
Sabe-se que N = 20800, t = 6 meses e d =5 % ao mês. Pede-se o valor descontado (A): 
20800 = A x (1 + 0,05 x 6) 
20800 = A x 1,3 
A = 16000 reais 
Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
3. CESPE – CAGE/RS – 2018) 
No regime de juros simples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 6 meses. A taxa de juros 
usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses antes de seu vencimento. 
Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo correto do valor a ser resgatado 
nessa situação. 
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A) 
4
38.290,20
0,24
1
12
 
+ 
 
 
B) 
0,24
38.290,20 1 2
12
 
 −  
 
 
C) 
38.290,20
0,24
1 2
12
x+
 
D) 
38.290,20
0,24
1 4
12
x+
 
E) 
2
38.290,20
0,24
1
12
 
+ 
 
 
RESOLUÇÃO: 
A taxa de desconto é de 24% ao ano, ou seja, 24%/12 ao mês, isto é, 0,24/12 ao mês. Temos valor nominal N = 
38.290,20 reais, e o prazo de antecipação é t = 2 meses. Assim, o valor atual (de resgate) na fórmula do desconto 
racional é: 
N = A x (1 + j x t) 
A = N / (1 + j x t) 
A = 
38.290,20 
1 + 
0,24
12
 x 2
 
Resposta: C 
 
4. CESPE – FUNPRESP – 2016 – adaptada) 
Acerca de juros simples e compostos, julgue o item seguinte. 
Se um cliente tomar um empréstimo de R$ 800 junto a um banco comercial, para ser quitado em seis meses, e, 
após dois meses, esse banco oferecer ao cliente um desconto comercial simples de 5% ao mês para o 
pagamento antecipado da dívida, então essa dívida poderá ser liquidada por menos de R$ 650. 
RESOLUÇÃO: 
Temos a antecipação do pagamento em 4 meses. Na fórmula do desconto comercial simples: 
A = N x (1 – jxt) 
A = 800 x (1 – 5% x 4) 
A = 800 x 0,80 
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A = 640 reais 
De fato, a dívida será liquidada por menos de 650 reais. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
5. CESPE – TJ/CE – 2014) 
Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 foi descontado à taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. 
Sabendo-se que o valor do desconto foi de R$ 4.000,00, é correto afirmar que a taxa efetiva dessa operação é 
igual a 
A) 6,25% ao mês. 
B) 6,75% ao mês. 
C) 7,25% ao mês. 
D) 5,55% ao mês. 
E) 5,75% ao mês. 
RESOLUÇÃO: 
Temos N = 20.000 reais, j = 5% ao mês, desconto comercial simples, desconto D = 4.000 reais. Assim, o valor 
atual é: 
D = N – A 
4.000 = 20.000 – A 
A = 16.000 reais 
O prazo de antecipação é obtido com a fórmula do desconto comercial simples: 
A = N x (1 – j x t) 
16.000 = 20.000 x (1 – 0,05 x t) 
16 = 20 x (1 – 0,05 x t) 
16 / 20 = (1 – 0,05 x t) 
0,8 = 1 – 0,05t 
0,05t = 1 – 0,8 
0,05t = 0,20 
t = 0,20 / 0,05 = 4 meses 
Para obter a taxa efetiva, basta usar a fórmula do desconto RACIONAL (que é o regime onde se utiliza a taxa 
efetiva): 
N = A x (1 + j x t) 
20.000 = 16.000 x (1 + j x 4) 
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20 = 16 x (1 + j x 4) 
20 / 16 = (1 + j x 4) 
1,25 = (1 + j x 4) 
1,25 – 1 = j x 4 
0,25 = j x 4 
j = 0,25 / 4 
j = 0,0625 
j = 6,25% ao mês 
Resposta: A 
 
6. CESPE – FUB – 2014) 
Julgue os itens seguintes, relativos à aplicação da matemática financeira na atividade contábil. 
( ) Se uma duplicata de valor nominal de R$ 6.360 for quitada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 
desconto racional simples de 3% a.m, o valor pago, na data de quitação, será inferior a R$ 5.950. 
RESOLUÇÃO: 
Temos um título com valor nominal N = 6.360 reais, prazo de antecipação de t = 2 meses e taxa de desconto 
racional simples j = 3%am. Assim, o valor atual é tal que: 
N = A x (1+j)t 
6.360 = A x (1+3%)2 
6.360 = A x (1,03)2 
6.360 = A x 1,0609 
A = 6.360 / 1,0609 
A = 5994,90 reais 
Este valor é SUPERIOR a 5.950 reais. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
 
 
 
 
 
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7. CESPE – CÂMARA DOS DEPUTADOS – 2014) 
 
O Fundo de Amparo ao Trabalhador (FAT) é um fundo contábil-financeiro destinado ao custeio do programa 
do seguro-desemprego e do abono salarial e ao financiamento de programas de desenvolvimento econômico. 
Entre esses programas, incluem-se as linhas de financiamentos a micro, pequenas e médias empresas, 
realizados com recursos dos chamados depósitos especiais, que o fundo faz nas instituições financeiras oficiais 
federais (IFOFs). 
Com base nas informações do texto e da tabela acima apresentados e considerando que 1,244, 1,121, 1,006 e 
1,018 sejam, respectivamente, os valores aproximados de 1,1407 × 1,091, 1,062 × 1,0556, 
1
121,08 e 1,0063, julgue 
os próximos itens. 
( ) Caso um microempresário contrate um financiamento em uma IFOF que opere com recursos do FAT, para 
pagar uma prestação mensal e consecutiva de R$ 1.000,00, e consiga quitar o financiamento 3 meses (pagando 
as 3 últimas prestações) antes do prazo final para pagar a última prestação, a uma taxa de desconto composto 
racional de 8% ao ano, então ele obterá um desconto total inferior a R$ 55,00. 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente podemos calcular a taxa mensal que é equivalente a 8%aa: 
(1 + 8%)1 = (1 + jeq)12 
1,081/12 = 1 + jeq 
1,006 = 1 + jeq 
0,006 = jeq 
0,6% ao mês = jeq 
Podemos calcular o valor atual de cada uma das 3 prestações de 1.000 reais que foram antecipadas em 1, 2 e 3 
meses respectivamente. Começando pela prestação que sofreu maior desconto (foi antecipada em 3 meses), 
temos: 
A3 = 1.000 / (1 + 0,6%)3 = 1.000 / 1,0063 = 1.000 / 1,018 = 982,31 reais 
Veja que nessa prestação o desconto foi de 1.000 – 982,31 = 17,69 reais. Repare que mesmo se o desconto nas 
outras duas prestações fosse igual a este, teríamos um desconto total de 3 x 17,69 = 53,07 reais, que já seria 
menor que 55 reais. Como os descontos nas outras duas prestações são, na verdade, menores que 17,69 reais, 
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podemos afirmar com certeza que o desconto total é inferior a 55 reais. Item CORRETO. Caso você ainda assim 
queira calcular os outros valores atuais, temos: 
A1 = 1.000 / (1 + 0,6%)1 = 1.000 / 1,006 = 994,03 reais 
A2 = 1.000 / (1 + 0,6%)2 = 1.000 / 1,0062 = 994,03/1,006 = 988,10 reais 
Resposta: C 
 
8. CESPE – TCU – 2013) 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 
200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem 
pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do 
contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e 
que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a 
segunda parcela. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
 ( ) Se na antecipação for utilizado desconto comercial composto, a uma taxa de 10% ao ano, para pagamento 
das duas últimas parcelas, o valor do desconto obtido com a quarta parcela será igual a R$ 25.080,00. 
RESOLUÇÃO: 
Para a quarta parcela teremos uma antecipação de t = 2 anos. Assim: 
A = N x (1 – j)t 
A = 132.000 x (1 – 10%)2 
A = 132.000 x (1 – 0,10)2 
A = 132.000 x (0,90)2 
A = 132.000 x 0,81 
A = 106.920 reais 
O desconto foi: 
D = N – A = 132.000 – 106.920 = 25.080 reais 
Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
9. CESPE – BACEN – 2013) 
Considere-se que uma empresa, para ampliar sua área de estocagem, tenha contraído um empréstimo 
bancário de R$ 120.000,00 à taxa de juros nominal de 40% ao ano, por 8 meses e 3 dias. Considere-se, também, 
que os juros sejam pagos mensalmente e o capital emprestado seja devolvido apenas no encerramento do 
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prazo. Considere-se, finalmente, que, para efeito dos cálculos de juros desse empréstimo, o banco adote o ano 
comercial de 360 dias. Com base nessa situação hipotética, julgue os seguintes itens. 
( ) A empresa pagará mais de R$ 33.000 a título de juros durante a operação. 
( ) Caso, em lugar de contrair o empréstimo, a empresa opte por obter os R$120.000,00 necessários para a 
reforma mediante um desconto de título nas mesmas condições do empréstimo, haverá, nesse caso, um 
aumento no custo financeiro da operação. 
( ) A taxa de juros mensal é superior a 3,3%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A empresa pagará mais de R$ 33.000 a título de juros durante a operação. 
A taxa nominal de 40% ao ano corresponde à taxa mensal de 40% / 12 = 10% / 3 = 3,333% ao mês. 
Veja que a cada mês são pagos os juros, no valor de: 
Juros mensais = 120.000 x (10% / 3) = 40.000 x 10% = 4.000 reais 
Em 8 meses, o valor pago é de 8x4.000 = 32.000 reais. É preciso pagar juros por mais 3 dias, ou seja, 3/30 = 1/10 
de mês. Os juros pagos neste período serão de aproximadamente 4.000 x 1/10 = 400 reais. Assim, o total de 
juros pagos é de 32.000 + 400 = 32.400 reais. Item ERRADO. 
 
( ) Caso, em lugar de contrair o empréstimo, a empresa opte por obter os R$120.000,00 necessários para a reforma 
mediante um desconto de título nas mesmas condições do empréstimo, haverá, nesse caso, um aumento no custo 
financeiro da operação. 
ERRADO. Se for possível descontar um título com a mesma taxa efetiva de juros, o “custo financeiro” será 
exatamente o mesmo.( ) A taxa de juros mensal é superior a 3,3%. 
CORRETO, pois vimos que a taxa é de 3,333...%. 
Resposta: E E C 
 
10. CESPE – ANP – 2013) 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou pagamento à vista, com 
10% de desconto sobre o preço da vitrine. Com base nessas informações e considerando 0,899 e 0,902, 
respectivamente, como valores aproximados de 0,9653 e 1,035–3, julgue os itens seguintes. 
( ) A taxa mensal de desconto comercial simples concedida a quem comprar roupas na loja, pagando à vista, 
será inferior a 3,5%. 
( ) A taxa mensal de desconto racional simples concedida a quem comprar roupas na loja, com pagamento à 
vista, é superior a 3,5%. 
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( ) A taxa mensal de desconto comercial composto concedida a quem comprar roupas na loja, com pagamento 
à vista, é inferior a 3,5%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A taxa mensal de desconto comercial simples concedida a quem comprar roupas na loja, pagando à vista, será 
inferior a 3,5%. 
Seja P o preço a ser pago por uma roupa, daqui a 90 dias (t = 3 meses). Este é o valor nominal “N”. Se o 
pagamento for a vista, há incidência do desconto de 10%, de modo que o valor a ser pago no momento 
“presente” (ou valor atual) é: 
A = P – 10% x P 
A = 0,90P 
Considerando o desconto comercial simples, temos: 
A = N x (1 – j x t) 
0,90P = P x (1 – j x 3) 
0,90 = 1 x (1 – j x 3) 
0,90 = 1 – j x 3 
3j = 0,10 
j = 0,10 / 3 = 0,0333 = 3,33% 
Item CORRETO, pois 3,33% < 3,5%. 
 
 ( ) A taxa mensal de desconto racional simples concedida a quem comprar roupas na loja, com pagamento à vista, 
é superior a 3,5%. 
Aqui também temos t = 3 meses, A = 0,90P e N = P. Usando o desconto racional simples: 
N = A x (1 + j x t) 
P = 0,90P x (1 + j x 3) 
1 = 0,90 x (1 + j x 3) 
1 = 0,90 + 2,7j 
0,10 = 2,7j 
j = 0,10 / 2,7 = 0,037 = 3,7% 
Item CORRETO, pois 3,7% > 3,5%. 
 
( ) A taxa mensal de desconto comercial composto concedida a quem comprar roupas na loja, com pagamento à 
vista, é inferior a 3,5%. 
Com desconto comercial composto temos: 
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A = N x (1 – j)t 
0,90P = P x (1 – j)3 
0,90 = (1 – j)3 
O enunciado disse que 0,899 = 0,9653. Como 0,899 é ligeiramente inferior a 0,90, podemos dizer que: 
0,899 < 0,90 
 0,9653 < (1 – j)3 
 0,965 < (1 – j) 
0,965 < 1 – j 
j < 1 – 0,965 
j < 0,035 
j < 3,5% 
Item CORRETO. 
Resposta: C C C 
 
11. CESPE – TCU – 2013) 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 
200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem 
pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do 
contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e 
que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a 
segunda parcela. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
( ) Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na antecipação 
das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria obtido se fosse utilizado 
desconto racional simples. 
 ( ) Se for decidida a utilização de desconto racional simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das 
duas últimas parcelas, o valor total do desconto será superior a R$ 35.000,00. 
( ) Se for utilizado desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das duas últimas 
parcelas, o valor total a ser pago à empresa no final do segundo ano será inferior a R$ 350.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na antecipação das 
parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria obtido se fosse utilizado 
desconto racional simples. 
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Veja que a 3ª parcela será adiantada em apenas 1 período, pois o pagamento será feito no final do 2º ano. Assim, 
como temos t = 1, é indiferente aplicar desconto simples ou composto. Item CORRETO. 
 
( ) Se for decidida a utilização de desconto racional simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das duas 
últimas parcelas, o valor total do desconto será superior a R$ 35.000,00. 
A 3ª parcela será adiantada em 1 ano, e a 4ª em 2 anos. Temos: 
A3a parcela = N / (1+jxt) = 132.000 / (1+10%x1) = 120.000 reais 
A4a parcela = N / (1+jxt) = 132.000 / (1+10%x2) = 109.090,90 reais 
A soma dos valores atuais é 120.000 + 109.090,90 = 229.090,90 reais. A soma dos valores nominais era 132.000 
+ 132.000 = 264.000 reais. Logo, o desconto total foi: 
D = 264.000 – 229.090,90 = 34.909,09 reais 
Item ERRADO. 
 
( ) Se for utilizado desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das duas últimas 
parcelas, o valor total a ser pago à empresa no final do segundo ano será inferior a R$ 350.000,00. 
A 3ª parcela será adiantada em 1 ano, e a 4ª em 2 anos. Temos: 
A3a parcela = N x (1 - jxt) = 132.000 x (1 – 10%x1) = 118.800 reais 
A4a parcela = N x (1 - jxt) = 132.000 x (1 – 10%x2) = 105.600 reais 
O valor total a ser pago no fim do 2º ano será a soma da segunda prestação (132.000) e os valores atuais da 3ª 
e 4ª prestações: 
Pagamento = 132.000 + 118.800 + 105.600 
Pagamento = 356.400 reais 
Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
12. CESPE – SEDUC/CE – 2013) 
Um titulo de valor nominal de R$ 12.000,00 foi descontado 5 meses antes do seu vencimento a taxa de desconto 
comercial simples de 4% ao mês. Nessa situação, o valor do desconto foi 
A) inferior a R$ 600,00. 
B) superior a R$ 600,00 e inferior a R$ 1.300,00. 
C) superior a R$ 1.300,00 e inferior a R$ 2.000,00. 
D) superior a R$ 2.000,00 e inferior a R$ 2.700,00. 
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E) superior a R$ 2.700,00. 
RESOLUÇÃO: 
O valor atual é: 
A = N x (1 – j x t) 
A = 12.000 x (1 – 4% x 5) 
A = 12.000 x 0,80 
A = 9.600 reais 
Logo, o desconto foi: 
D = N – A = 12.000 – 9.600 = 2.400 reais 
Resposta: D 
 
13. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Uma promissória no valor de R$ 12.500,00, com vencimento em dois meses, foi descontada em um banco que 
pratica a taxa de desconto simples por fora de 10% ao mês. A respeito desta situação e considerando 1,118 
como o valor aproximado para 1,251/2, julgue os itens seguintes. 
( ) Como o detentor da promissória deveria pagar R$ 12.500,00 ao final dos dois meses, é correto afirmar que o 
banco cobrou do cliente uma taxa de juros compostos mensais superior a 11,5%. 
( ) O detentor da promissória recebeu do banco menos de R$ 9.980,00. 
RESOLUÇÃO: 
A promissória tem valor nominal N = 12500, prazo de vencimento t = 2 meses, e o banco pratica a taxa j = 10% 
ao mês, desconto simples por fora. Assim, o valor atual é: 
A = N x (1 – j x t) 
A = 12500 x (1 – 0,10 x 2) = 10000 reais 
( ) Como o detentor da promissória deveria pagar R$ 12.500,00 ao final dos dois meses, é correto afirmar que o 
banco cobrou do cliente uma taxa de juros compostos mensais superior a 11,5%. 
Se o banco tivesse cobrado taxa de juros compostos de exatamente 11,5%, então o valor atual do título (10000 
reais) deveria atingir o valor nominal (12500 reais) em 2 meses. Vejamos se isso ocorre: 
M = C x (1 + j)t 
M = 10000 x (1 + 0,115)2 
M = 10000 x 1,2432 = 12432 reais 
Veja que chegamos a um montante inferiora 12500 reais. Isto indica que seria preciso uma taxa superior a 11,5% 
ao mês para obter 12500 reais. Item CORRETO. 
( ) O detentor da promissória recebeu do banco menos de R$ 9.980,00. 
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ERRADO. Já calculamos acima que o valor atual da promissória foi de 10000 reais. 
Resposta: C E 
 
14. CESPE – CEF – 2010) 
Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 
4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será 
igual a 
 a) 5%. 
 b) 6%. 
 c) 7%. 
 d) 8%. 
 e) 9%. 
RESOLUÇÃO: 
Esta promissória possui valor de face, ou nominal, no valor N = 5000. Já o seu valor no momento do desconto 
(valor atual) é A = 4200, sendo que o prazo de antecipação em relação ao vencimento da promissória é de t = 2 
meses. Uma vez que foi usado o desconto simples por fora (ou comercial), temos: 
A = N x (1 – j x t) 
4200 = 5000 x (1 – j x 2) 
0,84 = 1 – 2j 
j = 0,08 = 8% ao mês 
Resposta: D 
 
15. CESPE – ANATEL – 2009) 
Considerando que um título de valor nominal de R$6.000,00 tenha sido descontado 5 meses antes do seu 
vencimento, a uma taxa de desconto simples de 4% ao mês, julgue os itens seguintes. 
( ) Se tiver sido utilizado o desconto racional (por dentro), então o valor do desconto foi inferior a R$ 950,00. 
RESOLUÇÃO: 
Temos o valor nominal N = 6000, o prazo de antecipação do título t = 5 meses e a taxa de desconto simples j = 
4% ao mês. 
No caso de qualquer operação de desconto, podemos dizer que: 
D = N – A 
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Nesta fórmula D é o valor do desconto e A é o valor atual do título. No caso do desconto racional simples, vimos 
que A = N/(1 + j x t)]. Assim, podemos substituir A por N/(1 + j x t)] na fórmula acima, obtendo: 
D = N – [N/(1 + j x t)] 
Substituindo os valores conhecidos, temos: 
D = 6000 – 6000 / (1 + 4% x 5) = 1000 reais 
Item ERRADO, pois o desconto é (ligeiramente) superior a 950 reais. 
Resposta: E 
 
16. CESPE – ANTAQ – 2009) 
Um comerciante dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa de 
juros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, 
para remuneração de um fundo de investimentos próprio. O valor nominal do referido título é de R$ 11.025,00, 
com vencimento daqui a 4 meses. Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155 
como valor aproximado para 1,054. 
( ) No referido banco, a taxa de juros efetiva bimestral para desconto racional composto é menor que 10%. 
( ) Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante não são suficientes para o pagamento do título hoje. 
( ) Se fosse adotado pelo banco o desconto comercial simples, então o título poderia ser pago hoje com 
desconto maior que R$ 2.000,00. 
( ) Se o comerciante aplicar hoje todo o dinheiro no fundo de investimentos do banco, então poderá saldar sua 
dívida daqui a 2 meses e ainda lhe restarão R$1.025,00. 
RESOLUÇÃO: 
( ) No referido banco, a taxa de juros efetiva bimestral para desconto racional composto é menor que 10%. 
A taxa de juros para desconto racional composto é de 60% ao ano (nominal), correspondendo à taxa efetiva de 
5% ao mês. Em um bimestre, temos: 
(1 + jeq) = (1 + 5%)2 = 1,1025 
jeq = 10,25% ao bimestre 
Item ERRADO. 
 
( ) Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante não são suficientes para o pagamento do título hoje. 
Vejamos qual o valor atual do título na data de hoje. Foi dito que o valor nominal é N = 11025 reais, o prazo até 
o vencimento é t = 4 meses e a taxa efetiva de desconto é j = 5% ao mês (taxa nominal de 60% ao ano). Assim, 
N = A x (1 + j)t 
11025 = A x (1,05)4 
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Foi dito que 1,054 = 1,2155. Logo: 
A = 11025 / 1,2155 = 9070,34 reais 
Portanto, os 10000 reais do comerciante são suficientes para quitar o título hoje. Item ERRADO. 
 
( ) Se fosse adotado pelo banco o desconto comercial simples, então o título poderia ser pago hoje com desconto 
maior que R$ 2.000,00. 
No desconto comercial simples, dizemos que: 
A = N x (1 – j x t) 
A = 11025 x (1 – 0,05 x 4) 
A = 8820 reais 
O desconto é de: 
D = N – A 
D = 11025 – 8820 = 2205 reais 
Item CORRETO. 
 
( ) Se o comerciante aplicar hoje todo o dinheiro no fundo de investimentos do banco, então poderá saldar sua dívida 
daqui a 2 meses e ainda lhe restarão R$1.025,00. 
Aplicando 10000 reais por t = 2 meses à taxa de juros compostos j = 5% ao mês, obtém-se o montante de: 
M = C x (1 + j)t = 10000 x 1,052 = 11025 reais 
Daqui a 2 meses, estaremos a exatos 2 meses do vencimento do título. Assim, o seu valor atual, nesta data, 
pode ser obtido assim: 
N = A x (1 + j)t 
11025 = A x (1,05)2 
A = 11025 / 1,1025 = 10000 reais 
Portanto daqui a 2 meses o comerciante terá 11025 reais, e o valor atual do título será de 10000 reais. Assim, 
ele pode quitar o título e ainda lhe sobrarão: 
11025 – 10000 = 1025 reais 
Item CORRETO. 
Resposta: E E C C 
 
 
 
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17. CESPE – Polícia Militar/AC – 2008) 
Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma situação hipotética a respeito de juros simples e 
compostos, seguida de uma assertiva a ser julgada. 
( ) Um indivíduo descontou um título de valor nominal igual a R$ 60.000,00, 6 meses antes de seu vencimento, 
à taxa de juros compostos de desconto racional (ou por dentro) de 3% ao mês. Nessa situação, considerando 
1,19 como valor aproximado para 1,036 , o valor do desconto é superior a R$ 9.500,00. 
RESOLUÇÃO: 
Temos o valor nominal N = 60000 reais, o prazo de antecipação t = 6 meses, a taxa de juros j = 3% ao mês, 
desconto composto racional. Assim, 
N = A x (1 + j)t 
60000 = A x (1,03)6 
Como foi dito que 1,036 = 1,19, temos: 
60000 = A x 1,19 
A = 50420,16 reais 
O desconto foi de: 
D = N – A = 60000 – 50420,16 = 9579,83 reais 
Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
18. CESPE – Polícia Militar/AC – 2008) 
Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma situação hipotética a respeito de juros simples e 
compostos, seguida de uma assertiva a ser julgada. 
Um indivíduo descontou um título de valor nominal igual a R$ 60.000,00, 6 meses antes de seu vencimento, à 
taxa de juros compostos de desconto racional (ou por dentro) de 3% ao mês. Nessa situação, considerando 1,19 
como valor aproximado para 1,036 , o valor do desconto é superior a R$ 9.500,00. 
RESOLUÇÃO: 
Temos N = 60000, t = 6 meses, j = 3% ao mês, desconto racional composto. Logo, o valor atual do título é: 
N = A x (1 + j)t 
60000 = A x (1 + 3%)6 
Como foi dito que 1,036 = 1,19, temos: 
60000 = A x 1,19 
A = 50420,16 reais 
Logo, o desconto foi de: 
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D = N – A = 60000 – 50420,16 = 9579,83 reais 
Este valor é superior a 9500 reais, tornando o item CORRETO. 
Resposta: C 
 
19. CESPE – Banco do Brasil – 2007) 
Em cada um dos itens subsequentes, é apresentada uma situação a respeito de matemática financeira, seguida 
de uma assertiva a ser julgada. 
( ) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No 
vencimento, o valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois meses antes 
do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira,o credor deverá conceder 
ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
Temos uma dívida de valor nominal N = 30000 reais, com vencimento daqui a t = 2 meses, e taxa de juros 
compostos j =2%. Podemos calcular o seu valor atual, tomando por base o desconto racional composto: 
N = A x (1 + j)t 
30000 = A x (1,02)2 
A = 28835,06 reais 
Logo, o desconto concedido é: 
D = N – A 
D = 30000 – 28835,06 = 1164,93 reais 
Item errado, pois o desconto é inferior a 2000 reais. 
Resposta: E 
Obs.: utilizando o desconto comercial composto chegaríamos a um desconto de 1188 reais, também inferior a 
2000. 
 
20. FCC – TRE/PR – 2017) 
A Cia. Só Queijos adquiriu um imóvel para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 8.000,00, vencíveis em 30, 60, 
90, 120 e 150 dias, respectivamente, após a data da compra. Após pagar a terceira parcela, a Cia. verificou que 
possuía condições financeiras de quitar as demais parcelas nesta mesma data. Sabendo que a taxa de juros 
compostos cobrada era 4% a.m., o valor que a Cia. Só Queijos desembolsou para quitar o imóvel, após pagar a 
terceira parcela, foi ,desprezando-se os centavos, em reais, 
(A) 15.088,00. 
(B) 13.413,00. 
(C) 15.052,00. 
(D) 15.099,00. 
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(E) 15.040,00. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que na data t = 3 meses (noventa dias) serão adiantadas as prestações vencíveis em t = 4 e t = 5 meses. 
Podemos adiantá-las usando o desconto racional composto (regime que utiliza os juros compostos citados no 
enunciado), lembrando que, neste regime: 
A = N / (1+j)t 
 Assim, o valor a ser pago pela quarta e quinta parcelas (que serão adiantadas em 1 e 2 meses, respectivamente), 
é: 
A = 8.000 / (1+4%)1 + 8.000 / (1+4%)2 
A = 8.000 / 1,04 + 8.000/1,0816 
A = 7692,30 + 7.396,44 
A = 15.088,74 
Resposta: A 
 
21. FCC – PREF TERESINA/PI – 2016) 
O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título de valor nominal de R$ 23.650,00 
que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi utilizada a operação do desconto comercial 
simples a uma taxa de desconto mensal igual a i. Caso fosse utilizada a operação do desconto racional simples, 
também a uma taxa de desconto mensal igual a i, verifica-se que o valor do desconto, em R$, seria de 
 a) 2.200,00. 
 b) 2.365,00. 
 c) 2.150,00. 
 d) 2.050,00. 
 e) 2.250,00. 
RESOLUÇÃO: 
Foram dados N = 23650, A = 21285 e t = 4 meses. O desconto é o comercial simples (por fora). Logo: 
A = N x (1 – i x t) 
21285 = 23650 x (1 – i x t) 
21285/23650 = 1 – 4i 
0,9 = 1 – 4i 
4i = 0,1 
O valor do desconto é Df = N – A = 23650 – 21285 = 2365 reais. 
Para achar o desconto racional simples (por dentro), a uma mesma taxa i e t = 4 meses, podemos usar a fórmula 
que relaciona os dois descontos: 
Df = Dd x (1 + i x t) 
2365 = Dd x (1 + 4i) 
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2365 = Dd x (1 + 0,1) 
Dd = 2365/1,1 
Dd = 2150 reais 
Resposta: C 
 
22. FCC - ISS/Teresina - 2016) 
Uma duplicata é descontada 6 meses antes de seu vencimento em um banco que adota uma taxa de desconto 
de 5% ao trimestre para qualquer operação de desconto. Verifica-se que o valor do desconto com a utilização 
do desconto racional composto supera o valor do desconto com a utilização do desconto racional simples em 
R$ 50,00. Caso a opção seja pela utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então, 
(A) R$ 2.200,00. 
(B) R$ 2.425,50. 
(C) R$ 2.275,50. 
(D) R$ 2.505,75. 
(E) R$ 2.250,00. 
RESOLUÇÃO: 
Seja N o valor nominal da duplicata. No desconto racional composto, temos: 
N = Ac (1 + j)t 
N = Ac (1 + 5%)2 
N = 1,1025Ac 
Ac = N / 1,1025 
No desconto racional simples, 
N = As (1 + j x t) 
N = As (1 + 5% x 2) 
N = 1,10As 
As = N / 1,10 
Como a diferença entre os descontos é de 50 reais, podemos dizer que: 
Dc = N – Ac = N – N/1,1025 
Ds = N – As = N – N/1,10 
Como a diferença entre os descontos é 50 reais, então o maior desconto (Dc) é igual ao menor (Ds) mais 50 
reais: 
Dc = Ds + 50 
N – N/1,1025 = N – N/1,10 + 50 
– N/1,1025 = – N/1,10 + 50 
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N/1,10 – N/1,1025 = 50 
N – 1,10.N/1,1025 = 50x1,10 
N – 1,10.N/1,1025 = 55 
1,1025N – 1,10N = 55x1,1025 
0,0025N = 60,6375 
N = 60,6375 / 0,0025 
N = 606375 / 25 
N = 606375 / 25 
N = 24.255 reais 
No desconto comercial simples, teríamos: 
D = N x j x t 
D = 24.255 x 0,05 x 2 
D = 24.255 x 0,10 
D = 2.425,50 reais 
Resposta: B 
 
23. FCC – SEFAZ/PI – 2015) 
A taxa de desconto utilizada em um banco para as operações de desconto de títulos é de 24% ao ano. Se um 
título é descontado neste banco 3 meses antes de seu vencimento, verifica-se que o valor do desconto 
comercial simples supera o valor do desconto racional simples em R$ 73,80. O valor atual do título, 
considerando o desconto comercial simples, é igual a 
(A) R$ 19.768,20 
(B) R$ 20.238,20 
(C) R$ 20.285,20 
(D) R$ 20.332,20 
(E) R$ 20.426,20 
RESOLUÇÃO: 
Temos t = 3 meses e j = 2%am (ou 24% ao ano). Assim, 
Desconto comercial simples (DCS): 
A = N x (1 - j x t) 
D = N - A 
D = N - N x (1 - j x t) 
D = N - N x (1 - 0,02 x 3) 
D = N - N x 0,94 
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D = 0,06xN 
Desconto racional simples (DRS): 
A = N / (1 + j x t) 
A = N / (1 + 0,02 x 3) 
A = N / 1,06 
A = 0,9434N 
D = N - A 
D = N - 0,9434N 
D = 0,0566038N 
Foi dito que: 
DCS = DRS + 73,80 
Logo, 
0,06N = 0,0566038N - 73,80 
0,06N - 0,0566038N = 73,80 
0,0033962N = 73,80 
N = 73,80 / 0,0033962 
N = 21.730 reais 
Portanto, o valor atual do título no DCS é: 
A = 21.730 x (1 - 0,02 x 3) 
A = 21.730 x (0,94) 
A = 20.426,20 reais 
Resposta: E 
 
24. FCC – SEFAZ/PI – 2015) 
Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de desconto de 
48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o 
primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de desconto racional 
simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, o módulo da diferença entre os dois valores 
líquidos recebidos foi 
(A) R$ 3.965,00 
(B) R$ 9.285,00 
(C) R$ 3.035,00 
(D) R$ 3.500,00 
(E) R$ 3.830,00 
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RESOLUÇÃO: 
Sendo M o valor nominal do segundo título, podemos dizer que o do primeiro é 2M, ou seja, o dobro. Assim, 
temos os valores atuais: 
A1 = N x (1 – j x t) = 2M x (1 – 4% x 3) = 2M x 0,88 = 1,76M 
A2 = N / (1 + j x t) = M / (1 + 4% x 3) = M / 1,12 = 0,89M (aproximadamente) 
Os descontos são tais que: 
D1 + D2 = 1215 
(N1 – A1) + (N2 – A2) = 1215 
(2M – 1,76M) + (M – 0,89M) = 1215 
0,35M = 1215 
M = 3471,43 reais 
Logo, a diferença entre os valores líquidos é: 
A1 – A2 = 
1,76M – 0,89M = 
0,87M = 
0,87 x 3471,43 = 
3020,14 reais 
(aproximadamente o valor da alternativa C) 
Resposta: C 
 
25. FCC – ICMS/RJ – 2014) 
Um título é descontado em um banco 5 meses antes de seu vencimento com a utilização do desconto comercial 
simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso este título tivesse sido descontado com a utilização do 
desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor atual 
superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de 
descontoracional simples é 
(A) R$ 3.500,00 
(B) R$ 3.300,00 
(C) R$ 3.350,00 
(D) R$ 3.400,00 
(E) R$ 3.450,00 
RESOLUÇÃO: 
Sendo N o valor nominal deste título, A o valor atual, j a taxa de desconto e t o prazo de antecipação em relação 
ao vencimento do título, a fórmula do desconto comercial simples nos diz que: 
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A = N x (1 - j x t) 
Com as informações dadas, temos: 
A1 = N x (1 – 3% x 5) 
A1 = 0,85N 
Repare que eu usei a taxa j = 3% ao mês, que é equivalente a 36% ao ano no regime simples (basta dividir por 
12, que é o número de meses em um ano). Fiz isso porque o prazo foi dado em meses. 
No caso do desconto racional simples, a fórmula é: 
N = A x (1 + j x t) 
N = A2 x (1 + 3% x 5) 
N = A2 x 1,15 
A2 = N / 1,15 
A2 = 0,8695N 
O enunciado disse que caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, 
o correspondente valor atual (A2) superaria o valor atual anterior (A1) em R$517,50. Ou seja, 
A2 = A1 + 517,50 
0,8695N = 0,85N + 517,50 
0,8695N – 0,85N = 517,50 
0,0195N = 517,50 
N = 26538,46 reais 
Portanto, no caso da operação de desconto racional simples temos o valor nominal N = 26538,46 reais, e o valor 
atual: 
A2 = 0,8695N = 0,8695 x 26538,46 = 23075,19 reais 
Assim, o valor do desconto apurado seria: 
D = N – A 
D = 26538,46 – 23075,19 
D = 3463,27 reais 
Temos, aproximadamente (pois fizemos alguns arredondamentos), a resposta da alternativa E. 
Observação: Existe uma maneira mais fácil de resolver essa questão. Bastaria lembrar da relação entre os dois 
tipos de descontos (seja Dc e Dr os descontos comercial e racional): 
Dc = Dr x (1 + n.t) 
Sabemos que: 
Ac = N - Dc 
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Valor atual para desconto racional: 
Ar = N - Dc 
A diferença entre ambos é de 517,50. Logo: 
N – Dr = 517,5 + (N – Dc) 
Dr = Dc – 517,5 
Dc = Dr + 517,5 
Dr + 517,5 = Dr x (1 + 3% x 5) 
Dr + 517,5 = Dr x 1,15 
0,15Dr = 517,5 
Dr = 3450 reais 
Resposta: E 
 
26. FCC – Sergipe Gás S/A – 2013) 
Dois títulos, com a soma de seus valores nominais igual a R$ 48.100,00, são descontados em um banco 4 meses 
antes de seus vencimentos. O primeiro título foi descontado por meio de uma operação de desconto comercial 
simples e o segundo título foi descontado por meio de uma operação de desconto racional simples. Verificou-
se que a soma dos respectivos valores atuais apresentou um valor igual a R$ 43.500,00. Se, em ambos os casos, 
a taxa de desconto considerada foi de 2,5% ao mês, o valor do desconto do título de maior valor nominal foi, 
em R$, igual a 
(A) 2.600,00. 
(B) 2.500,00. 
(C) 2.250,00. 
(D) 2.400,00. 
(E) 2.100,00. 
RESOLUÇÃO: 
Como a soma de seus valores nominais é igual a R$ 48.100,00, podemos dizer que se o valor nominal do 
primeiro título é N, o do segundo título será de 48100 – N. Da mesma forma, como a soma dos valores atuais é 
43500, podemos dizer que se o valor atual do primeiro título é A, o do segundo é 43500 – A. O prazo de 
vencimento é t = 4 meses, e a taxa de desconto é j = 2,5%am. Assim: 
- O primeiro título foi descontado por meio de uma operação de desconto comercial simples: 
A = N x (1 – j x t) 
A = N x (1 – 0,025 x 4) 
A = 0,9N 
- O segundo título foi descontado por meio de uma operação de desconto racional simples: 
48100 – N = (43500 – A) x (1 + 0,025 x 4) 
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48100 – N = (43500 – 0,9N) x 1,10 
48100 – N = 47850 – 0,99N 
250 = 0,01N 
N = 25000 reais 
Portanto, 
A = 0,9N = 0,9 x 25000 = 22500 reais 
48100 – N = 48100 – 25000 = 23100 reais 
43500 – A = 43500 – 22500 = 21000 reais 
Assim, o valor do desconto do título de maior valor nominal foi: 
D = 25000 – 22500 = 2500 reais 
Resposta: B 
 
27. FCC – SEFAZ/SP – 2013) 
Um agente deseja descontar hoje um título com vencimento para daqui a 30 dias e tem as seguintes opções: 
Banco I: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples racional. 
Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial. 
Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional. 
Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional. 
Para obter o maior valor líquido, ele deve optar pelo Banco 
(A) III ou IV. 
(B) IV. 
(C) III. 
(D) II. 
(E) I. 
RESOLUÇÃO: 
Temos o prazo de antecipação t = 1 mês para todos os casos. Calculando o valor atual em cada opção, temos: 
- Banco I: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples racional. 
N = A x (1 + 0,03 x 1) 
A = N / 1,03 = 0,971N 
- Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial. 
A = N x (1 – 0,03 x 1) 
A = 0,97N 
- Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional. 
N = A x (1 + 0,04)1 
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A = N / 1,04 = 0,961N 
- Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional. 
N = A x (1 + 0,035 x 1) 
A = N / 1,035 
A = 0,966N 
Portanto, o maior valor atual (ou valor líquido) é obtido no banco I, sendo igual a 0,971N. 
Repare que não seria necessário efetuar todos esses cálculos. Para obter a opção de maior valor líquido, basta 
buscar aquela onde o desconto é menor. Sabemos que quanto menor é a taxa, menor é o desconto, o que nos 
deixaria apenas entre as opções I e II. Dentre elas, sabemos que o desconto comercial é maior que o racional 
(não é à toa que os bancos preferem o desconto comercial!), de modo que o menor desconto é o racional, 
aplicado pelo banco I. 
Resposta: E 
 
28. FCC – ALPB – 2013) 
Maria fará um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar depois de dois meses. As opções possíveis de 
empréstimo são: 
Opção A: juros simples de 5% ao mês. 
Opção B: juros compostos de 4% ao mês, capitalizados mensalmente. 
A melhor opção para Maria, e o quanto ela gastará a menos que na outra opção são, respectivamente, 
(A) B e R$ 176,00. 
(B) A e R$ 85,00. 
(C) A e R$ 200,00. 
(D) B e R$ 184,00. 
(E) B e R$ 120,00. 
RESOLUÇÃO: 
Calculando os montantes nos dois casos temos: 
- Opção A: juros simples de 5% ao mês. 
M = 10000 x (1 + 5% x 2) = 11000 
- Opção B: juros compostos de 4% ao mês, capitalizados mensalmente. 
M = 10000 x (1 + 4%)2 = 10816 
Assim, B é a melhor opção. A diferença de gasto é 11000 – 10816 = 184 reais. 
Resposta: D 
 
 
 
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29. FCC – FHEMIG – 2013) 
Considere uma compra pública de medicamentos, licitada por uma prefeitura, no valor de R$ 1.300.000,00 (um 
milhão e trezentos mil reais), a ser quitada em até quatro meses após a entrega. O fornecedor oferece desconto 
em caso de quitação antecipada da compra. Considerando-se uma taxa de desconto de 0,5% a.m., o desconto 
racional simples praticado, caso o pagamento total se realize em dois meses após a entrega dos medicamentos, 
é, em R$, de 
(A) 13.000,00. 
(B) 12.935,39. 
(C) 12.903,15. 
(D) 12.835,45. 
(E) 12.871,30. 
RESOLUÇÃO: 
Caso o pagamento ocorra 2 meses após a entrega, estarão faltando t = 4 – 2 = 2 meses para o vencimento 
da dívida de valor nominal N = 1.300.000 reais. Considerando a taxa de j = 0,5%am, e desconto racional simples, 
temos: 
N = A x (1 + j x t) 
1300000 = A x (1 + 0,5% x 2) 
A = 1.287.128,71 reais 
O desconto é de: 
D = N – A 
D = 1.300.000 – 1.287.128,71 
D = 12.871,28 reais 
Resposta: E 
 
30. FCC – ARCE – 2012) 
Uma pessoa tem com um certo credora seguinte dívida: 
 
Hoje ela combinou com esse credor substituir esses títulos por dois outros, de valores nominais iguais entre si, 
um a vencer daqui a 4 meses e o outro daqui a 5 meses. Se, nessa transação, vão utilizar juros compostos à taxa 
de 6% ao mês, o valor nominal de cada um desses novos títulos, segundo o critério do desconto composto 
racional, será de, aproximadamente, 
(A) R$ 2.000,75. 
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(B) R$ 2.002,64. 
(C) R$ 2.004,53. 
(D) R$ 2.006,21. 
(E) R$ 2.008,98. 
RESOLUÇÃO: 
Os 3 títulos originais devem ter valor atual igual aos 2 títulos novos. Só assim podemos dizer que são 
equivalentes (de modo a poder efetuar a troca). Calculando o valor atual dos títulos originais, temos: 
A1 = 1000 / 1,062 = 889,99 
A2 = 1200 / 1,063 = 1007,54 
A3 = 1500 / 1,064 = 1188,14 
Assim, o valor atual desses 3 títulos soma A = 3085,67 reais. Os títulos novos terão valor nominal igual a N, e 
vencimentos em 4 e 5 meses. Assim, seus valores atuais podem ser expressos por: 
A1 = N / 1,064 = 0,792N 
A2 = N / 1,065 = 0,747N 
A soma de seus valores atuais também deve ser 3085,67 reais. Logo, 
3085,67 = 0,792N + 0,747N 
N = 2004,9 reais (aproximadamente) 
Resposta: C 
 
31. FCC – ARCE – 2012) 
Um título de valor nominal R$ 1.100,00 vai ser descontado à taxa de 5% ao mês, 2 meses antes do vencimento. 
Sejam: 
V1: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto simples comercial; 
V2: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto simples racional e 
V3: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto composto racional. 
É verdade que 
(A) V1 < V2 < V3 
(B) V1 < V3 < V2 
(C) V1 < V3 = V2 
(D) V1 + V2 = R$ 1.999,00 
(E) V3 − V2 = R$ 0,03 
RESOLUÇÃO: 
Temos N = 1100 reais, j = 5% ao mês, t = 2 meses. Vejamos qual seria o valor atual do título (ou valor líquido a 
ser recebido) para cada tipo de desconto solicitado pelo enunciado: 
V1 = 1100 x (1 – 0,05 x 2) = 990 reais 
V2 = 1100 / (1 + 0,05 x 2) = 1000 reais 
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V3 = 1100 / (1 + 0,05)2 = 997,7 reais 
Logo, V1 < V3 < V2. 
Resposta: B 
 Obs.: veja que ordenar V2 e V3 seria fácil, não necessitando efetuar cálculos. V2 é maior que V3, afinal 
(1 + 0,05 x 2) deve ser menor que (1 + 0,05)2 , pois em juros compostos o fator é maior para a mesma taxa de 
juros e tempo (desde que t > 1). Entre V1 e V2 também seria fácil ordenar, pois o desconto comercial é mais 
gravoso que o desconto racional (e, portanto, V1 < V2) – não é por outro motivo que os bancos preferem o 
desconto comercial... 
 
32. FCC – MPE/PE – 2012) 
Dois títulos de valores nominais iguais são descontados, na data de hoje, com uma taxa de desconto de 2% ao 
mês. O primeiro título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto 
comercial simples. O segundo título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento segundo uma operação 
de desconto racional simples. Se o valor presente do segundo título apresentou um valor de R$ 20.000,00, 
então a soma dos valores dos descontos dos dois títulos é igual a 
(A) R$ 2.400,00. 
(B) R$ 2.896,00. 
(C) R$ 3.100,00. 
(D) R$ 3.304,00. 
(E) R$ 3.392,00. 
RESOLUÇÃO: 
O segundo título tem t = 3 meses, j = 2% ao mês, A = 20000 reais, desconto racional simples. Assim, 
N = A x (1 + j x t) 
N = 20000 x (1 + 0,02 x 3) = 21200 reais 
O primeiro título tem este mesmo valor nominal N = 21200 reais. Além disso, tem j = 2% ao mês, t = 4 meses, 
desconto comercial simples. Logo, 
A = N x (1 – j x t) 
A = 21200 x (1 – 0,02 x 4) = 19504 reais 
Os valores dos descontos são obtidos subtraindo N – A para cada título. Assim, 
Segundo título: D = 21200 – 20000 = 1200 reais 
Primeiro título: D = 21200 – 19504 = 1696 reais 
Somando os descontos, temos 2896 reais. 
Resposta: B 
 
 
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33. FCC – TJ/RJ – 2012) 
Um título de valor nominal igual a R$ 28.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento com uma taxa 
de desconto de 18% ao ano. A operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Na mesma data, outro 
título de valor nominal igual a R$ 30.000,00 foi descontado, com uma taxa de desconto de 18% ao ano, também 
com a utilização da operação de desconto comercial simples. Se o valor presente correspondente do segundo 
título supera o valor presente correspondente do primeiro título em R$ 560,00, então o número de meses antes 
do vencimento em que o segundo título foi descontado é igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 6. 
(D) 7. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
O primeiro título tem N = 28000 reais, t = 3 meses para o vencimento, j = 18% ao ano, desconto comercial 
simples. Em juros (e descontos) simples, sabemos que taxas proporcionais são equivalentes. Assim, j = 18% ao 
ano corresponde a j = 1,5% ao mês (basta dividir por 12). O valor atual do título é: 
A = 28000 x (1 – 0,015 x 3) = 26740 reais 
O valor presente do segundo título supera este em 560 reais. Ou seja, é igual a A2 = 26740 + 560 = 27300 reais. 
Sobre este segundo título, também sabemos que N = 30000 reais, j = 18% ao ano (1,5% ao mês), desconto 
comercial simples. Portanto, 
A = N x (1 – j x t) 
27300 = 30000 x (1 – 0,015 x t) 
0,91 = 1 – 0,015t 
t = 6 meses 
Resposta: C 
 
34. FCC - ISS/SP - 2012) 
Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram descontados 
hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de seus valores nominais é 
R$5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$5.005,00. O maior dos valores nominais supera o menor 
deles em: 
a) R$ 1.502,50 
b) R$ 1.484,00 
c) R$ 1.417,50 
d) R$ 1.215,50 
e) R$ 1.195,00 
RESOLUÇÃO: 
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Sabemos que, no caso do desconto racional composto, a relação entre o valor nominal e o valor atual de um 
título é dada por: 
(1 )t
N
A
j
=
+
 
O primeiro título tem vencimento em 30 dias (t = 1 mês), e o segundo em 60 dias (t = 2 meses), e ambos têm 
taxa j = 5% ao mês. Assim, podemos dizer que: 
= 11
1,05
N
A → = 1 1 1,05N A 
e 
= =2 22 2(1,05) 1,1025
N N
A → = 2 2 1,1025N A 
Foi dito ainda que a soma dos valores nominais é de 5418 reais, ou seja: 
N1 + N2 = 5418 → 1,05A1 + 1,1025A2 = 5418 
E a soma dos valores líquidos recebidos, ou valores atuais, é de 5005 reais: 
A1 + A2 = 5005 → A2 = 5005 – A1 
Com essas duas equações, podemos obter os valores de A1 e A2, substituindo esta expressão encontrada na 
última equação na anterior: 
1,05A1 + 1,1025 (5005 – A1) = 5418 
1,05A1 + 5518,01 – 1,1025 A1 = 5418 
A1 = 1905 
Com isso, temos: 
A2 = 5005 – A1 = 5005 – 1905 = 3100 
=  =  =1 1 1,05 1905 1,05 2000,25N A 
=  =  =2 2 1,1025 3100 1,1025 3417,75N A 
Portanto, N2 – N1 = 1417,5, ou seja, o maior valor nominal supera o menor em 1417,5 reais. 
Resposta: C 
 
35. FCC – TRE/SP – 2012) 
Em uma mesma data, uma empresa desconta dois títulos da seguinte maneira: 
I. O primeiro título, de valor nominal igual a R$ 25.000,00, foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, a 
uma taxa de desconto de 2% ao mês. 
II. O segundo título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. 
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Raciocínio Analítico, Mat. Financeira e Estatística p/ Auditor do TCU – 2019 
Sabe-se que para o primeiro título considerou-se a operação de desconto comercial simples e para o segundo 
título