Sistemas de Comunicação Digital

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA DE ELETRÓNICA E 
TELECOMUNICAÇÕES E DE COMPUTADORES 
GRUPO DISCIPLINAR DE TELECOMUNICAÇÕES 
 
 
Sistemas de Comunicação Digital 
 
 
 
 
 
CARLOS EDUARDO DE MENESES RIBEIRO 
 
Julho de 2014 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 1 
 
PRIMEIRA PARTE 
MODULAÇÃO DE PULSOS 
2 INTRODUÇÃO AOS CODIFICADORES DE SINAL ....................................11 
2.1 MÉTODOS DE CODIFICAÇÃO DE SINAL ................................................................................... 11 
2.2 ATRIBUTOS DOS CODIFICADORES DE SINAL ........................................................................... 11 
3 CONVERSÃO ANALÓGICO-DIGITAL ........................................................15 
3.1 AMOSTRAGEM ..................................................................................................................... 15 
3.2 REPRESENTAÇÃO DISCRETA.................................................................................................. 19 
3.3 QUANTIFICAÇÃO .................................................................................................................. 19 
3.4 CODIFICAÇÃO ...................................................................................................................... 22 
3.5 RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO UNIFORME ........................................................ 23 
3.6 DESEMPENHO E COMPROMISSO ENTRE OS ATRIBUTOS ............................................................ 26 
4 QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME ...........................................................29 
4.1 RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME ................................................. 32 
4.2 PCM COMPANDING............................................................................................................... 34 
4.3 QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA ...................................................................................................... 38 
5 CODIFICAÇÃO PREDITIVA .........................................................................41 
5.1 MODULAÇÃO POR CÓDIGO DE PULSO DIFERENCIAL ................................................................ 42 
5.2 MODULAÇÃO DELTA............................................................................................................ 55 
6 COMPARAÇÃO ENTRE CODIFICADORES DE SINAL ............................61 
 
SEGUNDA PARTE 
COMUNICAÇÃO DE DADOS 
7 INTRODUÇÃO À TRANSMISSÃO DE DADOS............................................67 
7.1 LIMITAÇÕES DOS SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO ...................................................................... 67 
7.2 MODELO DE REFERÊNCIA OSI .............................................................................................. 68 
8 CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS ..................................................................73 
8.1 ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE LINHA ...................................................................................... 73 
8.2 FORMATOS DOS CÓDIGOS DE LINHA ...................................................................................... 77 
8.3 BIT DE ENCHIMENTO ............................................................................................................ 84 
8.4 MODO DE TRANSMISSÃO ASSÍNCRONO .................................................................................. 85 
9 CANAL DE COMUNICAÇÃO ........................................................................87 
9.1 CANAL AWGN DE BANDA LIMITADA .................................................................................... 87 
9.2 RELAÇÃO SINAL-RUÍDO NO CANAL........................................................................................ 88 
9.3 CANAL SEM DISTORÇÃO ....................................................................................................... 88 
9.4 ATENUAÇÃO ........................................................................................................................ 90 
9.5 ATRASO............................................................................................................................... 91 
9.6 MEIOS DE TRANSMISSÃO ...................................................................................................... 92 
10 LARGURA DE BANDA....................................................................................95 
10.1 INTERFERÊNCIA INTERSIMBÓLICA ......................................................................................... 95 
10.2 CRITÉRIO DO PRIMEIRO ZERO ESPETRAL ................................................................................ 96 
10.3 CRITÉRIO DE NYQUIST ......................................................................................................... 96 
10.4 PADRÃO DE OLHO .............................................................................................................. 103 
11 RECETOR ÓTIMO ........................................................................................ 109 
11.1 DESCODIFICADOR DE MÁXIMO A POSTERIORI ....................................................................... 109 
11.2 DESCODIFICADOR DE MÁXIMA VEROSIMILHANÇA ................................................................ 111 
11.3 PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT ........................................................................................ 112 
11.4 FILTRO ADAPTADO ............................................................................................................. 115 
11.5 FILTRO ADAPTADO NORMADO ............................................................................................ 118 
11.6 BER EM CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS ................................................................................. 119 
11.7 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ......................................................................................... 127 
12 TRANSMISSÃO M-ÁRIA EM BANDA DE BASE ....................................... 129 
12.1 PAM DIGITAL – MODULAÇÃO POR AMPLITUDE DE IMPULSOS DIGITAL ................................. 129 
12.2 ENERGIA MÉDIA POR SÍMBOLO ............................................................................................ 130 
12.3 LARGURA DE BANDA .......................................................................................................... 130 
12.4 PROBABILIDADE DE ERRO DE SÍMBOLO................................................................................ 131 
12.5 PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT ........................................................................................ 132 
12.6 CÓDIGO 2B1Q ................................................................................................................... 134 
12.7 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ......................................................................................... 136 
12.8 REGENERAÇÃO DO SINAL ................................................................................................... 137 
12.9 CAPACIDADE DE CANAL ..................................................................................................... 137 
13 CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS ...................................... 139 
13.1 ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE CONTROLO DE ERROS ............................................................. 139 
13.2 PROBABILIDADE DE ERRO DE BLOCO ................................................................................... 142 
13.3 CÓDIGO DE PARIDADE ........................................................................................................ 143 
13.4 CARÁCTER DE VERIFICAÇÃO DE BLOCO (BCC) .................................................................... 145 
13.5 DISTÂNCIA DE HAMMING E CAPACIDADE DE DETEÇÃO E CORREÇÃO..................................... 146 
13.6 CÓDIGOS LINEARES ............................................................................................................149 
13.7 CÓDIGO DE REPETIÇÃO ....................................................................................................... 150 
13.8 CÓDIGO DE HAMMING ........................................................................................................ 152 
13.9 MATRIZ GERADORA ........................................................................................................... 156 
13.10 CÓDIGOS CÍCLICOS ............................................................................................................. 161 
13.11 IP CHECKSUM .................................................................................................................... 166 
13.12 INTERLEAVING .................................................................................................................... 167 
14 DISCUSSÃO SOBRE TRANSMISSÃO DE DADOS .................................... 169 
 
 
 
 
 
 
 
APÊNDICES .......................................................................................................... 171 
APÊNDICE 1 – ESTIMAÇÃO ESTATÍSTICA DA POTÊNCIA DE UM SINAL ................................................ 172 
APÊNDICE 2 – DECIBÉIS ................................................................................................................. 174 
APÊNDICE 3 – ALGORITMO DE QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA ................................................................... 176 
APÊNDICE 4 – SINUSOIDE COM PREDITOR UNITÁRIO ........................................................................ 177 
APÊNDICE 5 – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO................................................................................ 178 
APÊNDICE 6 – FUNÇÕES DENSIDADE ESPETRAL DE POTÊNCIA EM CÓDIGOS DE LINHA ........................ 179 
APÊNDICE 7 – FUNÇÃO COMPLEMENTAR DE ERRO ........................................................................... 180 
APÊNDICE 8 – BER COM CRITÉRIO MAP ......................................................................................... 182 
APÊNDICE 9 – LARGURA DE BANDA EQUIVALENTE DO RUÍDO .......................................................... 184 
APÊNDICE 10 – BER EM SISTEMAS DISCRETOS ................................................................................ 186 
APÊNDICE 11 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL ......................................................... 188 
PRINCIPAIS EQUAÇÕES ................................................................................... 191 
MODULAÇÃO DE PULSOS ............................................................................................................... 191 
TRANSMISSÃO BINÁRIA ................................................................................................................. 194 
TRANSMISSÃO M-ÁRIA .................................................................................................................. 197 
CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS ...................................................................................... 199 
PERGUNTAS TEÓRICAS.................................................................................... 201 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .............................................................................. 203 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................ 239 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS EM MATLAB ....................................................... 253 
PCM – MODULAÇÃO POR CÓDIGO DE PULSO .................................................................................. 253 
DPCM E DM – CODIFICAÇÃO PREDITIVA ....................................................................................... 257 
TRANSMISSÃO NUM CANAL AWGN ............................................................................................... 260 
CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS ...................................................................................... 263 
PROJETO DE TRANSMISSÃO DIGITAL DE SINAIS .............................................................................. 265 
GLOSSÁRIO ......................................................................................................... 267 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 269 
 
 
 
 
 
 
Mais uma vez, com entusiasmo!!!
Introdução 1 
1 Introdução 
Por telecomunicações entende-se comunicação à distância de informação, 
utilizando sinais eletromagnéticos, através de fios, sistemas óticos ou radio. As 
telecomunicações fazem parte do nosso dia-a-dia, aproximando pessoas e empresas e 
contribuindo decisivamente para o bem-estar das populações e para o desenvolvimento 
da economia. Cada vez mais temos o telefone à mão, o acesso à Internet em múltiplos 
dispositivos, as redes sociais, o rádio nos automóveis, a televisão de alta definição, em 
direto pré-gravada ou através de vídeos encontrados na Internet. Mas as 
telecomunicações não envolvem apenas a comunicação humana, mas também o envio 
de ficheiros de computador, a troca de correio eletrónico, a navegação por satélite, etc.. 
A informação, como os sinais de fala, a música, as imagens e o vídeo, é do tipo 
analógica, ou seja, a sua representação por sinais elétricos tem uma variação análoga à 
variação da grandeza física que se quer representar, tendo geralmente uma variação 
contínua. Na comunicação analógica os sinais analógicos alteram continuamente a 
amplitude ou frequência de uma onda sinusoidal, denominada portadora. 
Um sinal digital é composto por um conjunto de símbolos. Num sistema digital 
binário, por exemplo, existem apenas dois símbolos, vulgarmente designados por 
símbolos lógicos “1” e “0”. Para transmitir sinais analógicos em sistemas digitais, os 
sinais analógicos têm que ser previamente convertidos numa sequência de símbolos. 
Estes símbolos são transmitidos através de um número finito de formas de onda. 
Vivemos cada vez mais num mundo digital, estando a transmissão de modo 
analógico de sinais de fala áudio e vídeo a ser gradualmente substituída por tecnologias 
digitais, com algumas vantagens, tais como: 
 Os sistemas de transmissão digital são menos sensíveis ao ruído do canal de 
transmissão que os analógicos. Para canais de maior dimensão os sinais digitais 
podem ser regenerados em pontos intermédios do canal, virtualmente sem erros; 
 O desenvolvimento das tecnologias digitais tem vindo a criar novos tipos de 
serviços, utilizando nomeadamente plataformas como a Internet e o telefone 
2 Introdução Carlos Meneses 
móvel. Tendo a primeira começado por transmitir apenas texto e a segunda 
apenas sinais de fala, estas estão a fundir-se e a partilhar também áudio e 
televisão, naquilo a que se designa de convergência das telecomunicações; 
 Utilizando métodos de codificação de fonte eficazes e codificações M-ária que 
são espetralmente mais eficientes (maior número de bits transmitidos em relação 
à largura de banda ocupada) que as binárias, a utilização de transmissão digital 
pode ocupar menor largura de banda que a transmissão analógica; 
 Os sinais digitais são mais fáceis de encriptar e portanto de realizar transmissões 
privadas e seguras; 
 O acesso, armazenamento e cópia no formato digital é mais simples e acessível 
que os mesmos processos em formato analógico. 
Em 1837, Samuel Morse, pintor Americano, inventa o telégrafo, dando início às 
telecomunicações com um sistema em tempo real. As mensagens eram transmitidas 
através do código Morse. Este é de facto digital, com dois símbolos correspondentes à 
presença do sinal (também designado por mark, uma vez que para descodificar a 
mensagem no recetor, se traçava uma marca num papel) ou à interrupção (também 
designada por space, uma vez que se deixava um espaço em branco entre marcas). Por 
analogia com este código, o nível lógico “1” é por vezes designado de mark, e o nível 
lógico “0” por space. A presença do sinal pode ser de curtaduração (ponto) ou de longa 
duração (traço) e as interrupções de duração diferente correspondente à separação entre 
pontos e traços, letras, palavras e frases. Até aos nossos dias muitos outros 
acontecimentos marcaram a evolução das telecomunicações, sendo apresentados 
seguidamente alguns dos mais importantes: 
1850 – Pela primeira vez instalado um cabo submarino no Canal da Mancha, 
entre o sul de Inglaterra e ao norte de França, para transmissão de sinais telegráficos. O 
primeiro lançamento de um cabo submarino intercontinental com sucesso deu-se em 
1856, entre os EUA e a Inglaterra, embora a um débito de apenas 2 palavras por minuto; 
Introdução 3 
1860 – António Meucci, Italiano, inventou o telefone por volta de 1860. No 
entanto durante muitos anos o inventor do telefone foi considerado Alexander Graham 
Bell, Escocês, que o patenteou em 1876. Por coincidência, Elisha Gray, Americano, 
tentou patentear um sistema idêntico poucas horas depois de Bell; 
1864 – James Clerck Maxwell, Britânico, formulou a teoria eletromagnética e 
previu a existência de ondas de rádio. A existência destas ondas ficou 
experimentalmente provada em 1887, por Heinrich Rudolf Hertz, Alemão; 
1893 – Roberto Landell de Moura, Padre Brasileiro, efetuou, supostamente, a 
primeira transmissão de fala via rádio, em Portalegre, Brasil. Só no entanto em 1920, na 
Argentina e EUA, começaram as transmissões para entretinimento; 
1896 – Guglielmo Marconi, Italiano, patenteou a telegrafia sem fios (TSF), que 
transmitia sinais telegráficos via rádio; 
1904 – John Ambrose Fleming, Britânico, inventou o díodo e deu origem ao 
desenvolvimento da eletrónica moderna; 
1923 – Vladimir Zworykin, Russo e Americano, registrou a patente do tubo de 
raios catódicos, dando origem a que em 1927, John Logie Baird, Escocês, e Philo 
Taylor Farnsworth, Americano, demonstrassem um sistema completo de televisão; 
1928 – John B. Johnson, Americano, mediu pela primeira vez o ruído térmico, 
uma das principais causas da degradação de qualidade das comunicações. 
1928 – Harry Nyquist, Americano, publica o teorema da amostragem no artigo 
“Certain Topics in Telegraph Transmission Theory” e explica o ruído térmico; 
1945 – Arthur Clarke, Britânico, apresentou o conceito de satélite 
geoestacionário, no seu artigo “Can Rocket Stations Give Worldwide Radio 
Coverage?”, publicado na revista Wireless World; 
1946 – J. Presper Eckert Jr., John W. Mauchly, Americanos, da Universidade de 
Pensilvânia, EUA, criaram o ENIAC, primeiro computador eletrónico digital; 
4 Introdução Carlos Meneses 
1948 – Claude Shannon, Americano, apresentou o seu artigo intitulado “A 
Mathematical Theory of Communication”, que lançou as bases da teoria da 
comunicação, ainda hoje atual; 
1950 – Richard W. Hamming, Americano, publica “Error detecting and error 
correcting codes”, base da codificação para controlo de erros; 
1956 – A empresa Ericsson desenvolveu o primeiro telefone móvel para 
automóvel, que pesava 40 kg. Utilizava um conjunto de antenas interligadas (células) e 
conseguia escolher automaticamente o canal rádio (frequência da portadora) de modo a 
evitar interferências; 
1957 – A URSS lançou o Sputnik I, o primeiro satélite artificial da Terra. Uma 
forma esférica de 50 cm e pesava 83,6 kg. Transmitia um sinal rádio do tipo “beep” nas 
frequências 20 MHz e 40 MHz, capaz de ser recebido na terra por qualquer recetor. 
Funcionou 22 dias, até que as baterias se esgotaram. Orbitou a terra durante 3 meses; 
1969 – Foi criada a primeira rede de computadores, designada de ARPANET 
(Advanced Research Project Agency), com transmissão de pacotes entre computadores. 
Ligava a Universidade da Califórnia – Los Angeles, SRI – Stanford Research Institute, 
Universidade da Califórnia – Santa Bárbara e a Universidade de Utah. Considerado o 
primeiro troço da Internet. 
1973 – A empresa Motorola apresentou o primeiro telefone móvel pessoal, 
o Motorola Dynatac 8000X. Com 25 cm de comprimento e 7 cm de largura, pesava 
cerca de 1 kg. A primeira ligação foi realizada por Martin Cooper, diretor de sistemas 
de operações da empresa. Só contudo em 1979 o telefone móvel entrou em 
funcionamento generalizado na Suécia e no Japão; 
Em Portugal, o serviço de telégrafo iniciou-se em 1855, com uma ligação entre o 
Terreiro do Paço, Palácio de S. Bento, Palácio das Necessidades e o Palácio de Sintra, 
aonde normalmente o Rei se encontrava. Ainda em 1855, o primeiro cabo submarino foi 
Introdução 5 
lançado entre Lisboa e os Açores. Em 1857 o serviço de telégrafo chegou ao grande 
público. Em 1902 inauguraram-se as primeiras estações de telegrafia sem fios. 
 Em 1877 começaram as primeiras experiências de instalação do telefone entre 
Lisboa e Carcavelos, que deram origem em 1882 à exploração do serviço telefónico em 
Lisboa e Porto. Em 1914 foi efetuada a primeira transmissão rádio com áudio em 
Portugal, por Fernando Medeiros, tendo sido ouvido apenas por um operador de 
telegrafia sem fios a 100 m de distância. Desde aí foram efetuados várias emissões 
esporádicas, mas só em 1925 a estação “P1AA – Rádio Portugal” (futura CT1AA) 
iniciou emissões regulares. A primeira emissão de televisão em Portugal data do ano de 
1956, ainda experimental e a preto e banco. A primeira emissão da televisão a cores 
deu-se em 1976. 
Em 1985, docentes da Universidade do Minho estabelecem a primeira ligação 
Internet em Portugal com a Universidade de Manchester. O primeiro operador de 
Internet no país começou a operar em 1994, através de modems de 28,8 kbit/s, 
utilizando linhas telefónicas tradicionais. 
A comunicação digital pode ser considerada como a arte da codificação: (1) 
codificação de sinais que representa em formato digital o sinal analógico; (2) 
codificação de linha que representa em formas de onda a sequência digital; (3) e a 
codificação para controlo de erros que codifica a sequência a transmitir de modo a que 
no recetor se possa detetar ou corrigir erros devido aos efeitos do canal de transmissão 
(em particular o ruído do canal). 
Dada a cada vez maior importância da comunicação digital, uma introdução a 
este tema deve corresponder ao primeiro contacto dos estudantes com as 
telecomunicações. Este texto foi escrito neste sentido e pretende dar uma introdução 
sobre a transmissão digital entre dois pontos, através de um canal de comunicação. Na 
figura 1.1 são apresentados os blocos constituintes deste sistema de comunicação, 
conjuntamente com as principais medidas de qualidade: relação sinal ruído (SNR – 
Signal-to-noise ratio); e probabilidade de erro (BER – bit error rate). A primeira mede a 
qualidade de um sinal analógico afetado por ruído e a segunda a qualidade de uma 
6 Introdução Carlos Meneses 
transmissão digital na presença de erros de bit. O texto apresenta os conceitos e discute 
os compromissos entre os recursos disponíveis, nomeadamente dois dos mais 
importantes, a energia disponível no transmissor e a largura de banda disponível no 
canal de comunicação. Um das principais dificuldades encontradas em projeto de 
telecomunicações é a otimização do sistema de modo a que este tenha a melhor 
qualidade tendo em conta os recursos disponíveis. 
 
Figura 1.1 
Sistema de comunicação digital entre dois pontos. 
Os blocos em cima correspondem aos blocos constituintes do transmissor e em 
baixo do recetor, separados pelo canal de comunicação. 
 
O texto compreende duas partes distintas: A primeira parte apresenta uma 
introdução à codificação de sinais (codificação de fonte) através da modulação de 
pulsos; a segunda parte apresenta uma introdução à transmissão de dados. Estas duas 
partes podem ser encaradas de um modo independente, mas complementam-se numa 
introdução à comunicação digital. Para compreensão do texto os leitores devem ter 
conhecimentos a nível introdutório sobre estatística e probabilidades, sinais e análise de 
Fourier e sobresistemas analógicos e digitais. 
A primeira parte, sobre codificação de sinais utilizando modulação de pulsos, 
compreende as secções 2 a 6 e é organizada do modo seguinte: A secção 2 introduz os 
métodos e atributos dos codificadores de sinal; A secção 3 apresenta a conversão 
Introdução 7 
analógico-digital e codificação amostra a amostra (PCM – Pulse code modulation) com 
quantificação uniforme, estabelecendo-se um sistema mínimo de codificação de sinais; 
A secção 4 descreve a quantificação PCM não uniforme que tira partido da distribuição 
de amplitudes do sinal; A secção 5 apresenta os conceitos básicos da codificação 
preditiva, que tira partido da correlação entre amostras consecutivas. De modo a que o 
codificador se ajuste às caraterísticas do sinal de entrada, descrevem-se ainda métodos 
de predição e quantificação adaptada; A secção 6 sintetiza as principais conclusões 
sobre os codificadores de sinais apresentados, comparando-os numa perspetiva de 
compromisso em relação aos seus atributos. 
A segunda parte, sobre transmissão de dados, compreende as secções 7 a 14 e é 
organizada do modo seguinte: A secção 7 introduz a transmissão de dado e enquadra os 
diversos blocos no modelo OSI (International System Intercommunication). A secção 8 
começa por descrever os atributos dos códigos de linha, que correspondem aos sinais a 
serem transmitidos em banda de base, ou seja, em canais do tipo “passa-baixo”. 
Apresenta seguidamente os principais códigos de linha binários. Termina com um 
exemplo de transmissão assíncrona, utilizada especialmente quando a geração da 
informação é aleatória, em pequena quantidade e para distâncias curtas; A secção 9 
apresenta o modelo AWGN (Additive white Gaussian noise) do canal de comunicação e 
suas limitações: largura de banda, ruído, atenuação e distorção na banda; A secção 10 
apresenta a solução do problema da interferência intersimbólica que advém da limitação 
da largura de banda do canal de comunicação, ao mesmo tempo que se limita a largura 
de banda ocupada. A secção 11 é dedicada a outra das limitações do canal de 
comunicação, a introdução de ruído aditivo, gaussiano e branco. É apresentado o recetor 
ótimo e estimada a probabilidade de erro de bit, para todos os códigos de linha 
mencionados na secção 8; A secção 12 introduz o conceito de transmissão M-ária, 
essencial para melhorar a eficiência espetral. É abordada a Lei de Hartley-Shannon 
sobre capacidade de canal em canais com ruído aditivo e gaussiano, correspondendo ao 
débito binário máximo possível de transmitir, virtualmente sem erros, para determinada 
relação sinal-ruído e largura de banda do canal; A secção 13 dedica-se à codificação 
para controlo de erros. Havendo erros na comunicação entre o transmissor e o recetor é 
8 Introdução Carlos Meneses 
possível introduzir informação redundante de modo a os detetar ou corrigir; A secção 14 
sintetiza as principais conclusões e compara os diversos códigos apresentados, tendo em 
atenção os compromissos envolvidos nos atributos quer dos códigos de linha quer dos 
códigos de correção. 
As secções 7 a 11 devem ser vistas de modo sequencial e constituem um todo 
coerente, obrigatório numa introdução mínima sobre comunicação de dados. Note-se 
contudo que a secção 12 introduz o conceito de M-ária, base da eficiência espetral. A 
secção 13 pode ser excluída ou ser abordada logo a seguir à secção 11. Num contexto 
por exemplo de redes de computadores pode mesmo ser abordada independentemente 
do resto do texto, bastando para tal assumir que numa transmissão existem erros de bit 
devido às limitações do canal de comunicação; 
Seguidamente apresentam-se vários apêndices que correspondem a temas de 
dois níveis: (1) temas que devem ser conhecidos, como conceitos de estatística e 
probabilidades e de sinais e sistemas, mas que devido à sua importância para a 
compreensão deste texto aqui se recordam; (2) temas aprofundando alguns assuntos, 
que não são essenciais para a compreensão deste texto mas que podem ser do interesse 
dos leitores. 
Após uma compilação das principais equações deduzidas ao longo do texto, para 
que os estudantes possam consolidar os seus conhecimentos são ainda propostas 
atividades com âmbitos distintos: perguntas teóricas; exercícios resolvidos; exercícios 
propostos com soluções; e exercícios a resolver recorrendo ao ambiente de programação 
MATLAB (ou qualquer outro), sendo necessários conhecimentos de programação pelo 
menos a nível introdutório. Está indicado em cada exercício a secção até à qual são 
necessários conhecimentos para o resolver. 
Juntamente com a escrita deste texto foi desenvolvido em MATLAB um 
simulador intitulado ICDigital (Introdução à comunicação digital), que simula a 
generalidade dos sistemas apresentados e que pode contribuir para melhor expor e 
consolidar os conceitos apresentados, sendo possível verificar experimentalmente os 
valores obtidos pelas equações deduzidas teoricamente. 
 
Primeira Parte 
MODULAÇÃO DE PULSOS 
(Introdução à codificação de sinais) 
 
 
Em muitos sistemas de transmissão de dados, os sinais analógicos são primeiro 
convertidos para a forma digital pelo transmissor, transmitidos na forma digital e finalmente 
reconstruídos no recetor em sinais analógicos. O sinal resultante segue, normalmente, o sinal de 
entrada mas não é exatamente o mesmo, uma vez que o quantificador, no transmissor, produz os 
mesmos dígitos (código) para todos os valores que caem num mesmo intervalo, de um número 
finito de intervalos. 
O recetor deve fornecer, a cada combinação de dígitos, o mesmo valor correspondente ao 
valor do sinal reconstruído, para todas os valores do sinal de entrada que caiam dentro de um 
mesmo intervalo de quantificação. 
A diferença entre o sinal de entrada e de saída, assumindo que não existe erro na 
transmissão dos dígitos, é o ruído de quantificação. Uma vez que o débito de qualquer sistema de 
transmissão digital é finito, deve-se utilizar um quantificador que mapeia a entrada num número 
finito de intervalos. 
 
Joel Max 
Quantizing for Minimum Distortion, 1960 
Introdução aos codificadores de sinal 11 
2 Introdução aos codificadores de sinal 
Num sistema de comunicação digital, quando o sinal a transmitir é analógico, 
variando continuamente com o tempo, é necessário primeiro convertê-lo para formato 
digital, ou seja, representa-lo (codificá-lo) digitalmente com um número finito de bits. 
2.1 Métodos de codificação de sinal 
Existem diversos métodos de codificação de sinais: codificação de forma de 
onda; codificação paramétrica; e codificação híbrida. Serão apenas discutidos os 
métodos de codificação de forma de onda utilizando modulação por código de pulso, de 
débito binário mais elevado. É também dado especial realce à codificação de sinais de 
fala, dando origem a aplicações que se encontram bastante difundidas. Embora com 
estas limitações os conceitos apresentados são no entanto essenciais para uma 
compreensão posterior dos outros métodos de codificação e para a codificação de outro 
tipo de sinais, tais como áudio, imagens e vídeo. 
2.2 Atributos dos codificadores de sinal 
Nos critérios de escolha de um codificador para determinada aplicação, existem 
alguns atributos que são decisivos, enquanto outros ou não têm influência ou algum 
compromisso pode ser levado em consideração. Os atributos mais relevantes dos 
codificadores são o débito binário, a qualidade, a complexidade dos algoritmos e a 
quantidade de memória necessária, a sensibilidade a erros de canal e o atraso 
introduzido. Seguidamente descrevem-se cada um destes atributos e abordam-se os 
principais compromissos envolvidos. 
2.2.1 Débito binário 
Ao transmitir sinais, o débito binário de codificação da fonte, medido em 
número de bits de codificação por segundo, é um fator importante na definição da 
largura de banda requerida para o canal de transmissão. A codificaçãodigital é também 
utilizada no armazenamento para utilização posterior. Neste contexto o débito binário 
determina o espaço requerido na unidade de armazenamento. Para determinada 
12 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
quantidade de memória disponível, quanto menor for o débito binário maior duração do 
sinal pode ser armazenada. 
A primeira motivação da codificação de sinais é pois a redução do débito binário 
com vista a uma transmissão ou a um armazenamento mais eficientes. Para que este 
sinal tenha uma alta qualidade e possa ser considerado como uma referência, é 
tipicamente representado com uma resolução de pelo menos 16 bits de codificação por 
amostra. É este sinal, já na sua forma digital, que é processado de modo a gerar um 
conjunto de bits com um débito binário mais reduzido, para ser transmitido ou 
armazenado. No recetor, este conjunto de bits constrói uma aproximação do sinal 
original ainda na forma digital e converte-o posteriormente num sinal analógico. 
2.2.2 Qualidade 
A conversão de um sinal de analógico para digital envolve a conversão de um 
valor contínuo num valor aproximado de entre um número finito de valores. A esta 
conversão dá-se o nome de quantificação1. A quantificação provoca sempre distorção, 
denominado de ruído de quantificação. Uma das medidas de qualidade mais utilizadas 
para medir esta distorção é a relação entre a potência do sinal original e a potência do 
ruído de quantificação (SNRq), sendo normalmente expressa em decibéis (dB). O 
problema básico da quantificação/codificação é o de obter um mínimo de distorção para 
determinado débito binário, ou manter a distorção aceitável ao menor débito binário 
possível. 
Para além da quantificação, a largura de banda dos sinais de entrada marca desde 
logo a qualidade. Por exemplo os sinais de fala têm uma banda perceptualmente 
importante até cerca dos 10.000 Hz, embora na denominada banda telefónica esta seja 
limitada entre os 300 e os 3.400 Hz. Está também normalizada a banda dos 50 aos 
7.000 Hz, sendo o sinal amostrado a 16.000 amostras por segundo, que denominaremos 
por banda larga. Esta banda é utilizada em aplicações multimédia, em teleconferência e 
no videotelefone. 
 
1Termo usado em mecânica quântica para designar o facto de muitos dos parâmetros que descrevem um 
sistema só poderem ter um conjunto discreto de valores permitidos. 
Introdução aos codificadores de sinal 13 
A relação sinal-ruído é um método objetivo de avaliação da qualidade, mas nem 
sempre o melhor. Uma das alternativas à avaliação da qualidade é a avaliação subjetiva 
ou percetual, por média da opinião (MOS – Mean Opinion Score), recomendação P.800 
do ITU-T (International Telecommunication Union - Telecommunication 
Standardisation Sector). Nesta, ouvintes são confrontados com frases processadas 
através do codificador em teste, sendo-lhes pedido que classifiquem a sua qualidade 
através de uma escala de 5 pontos (1 a 5), a que corresponde uma qualidade desde a má 
à excelente (má, fraca, razoável, boa, excelente). Do valor médio das respostas 
obtém-se a classificação final em termos percetuais. 
2.2.3 Complexidade e memória necessária 
Quanto maior complexidade apresentar o algoritmo de codificação e maior 
quantidade de memória for necessária, mais os sistemas serão dispendiosos, volumosos 
e com maior consumo de energia. O primeiro codificador a ser normalizado, a 
recomendação G.711 do ITU-T a 64 kbit/s, que data de 1972, era então implementado 
diretamente no conversor analógico-digital, devido à sua baixa complexidade e à 
ausência de necessidade de memória. Com a vulgarização dos processadores digitais de 
sinal (DSP – Digital signal processor) e o aumento da complexidade dos codificadores, 
os sinais passaram a ser quantificados uniformemente, tipicamente com 16 bits por 
amostra, e só depois codificados a débitos binários mais baixos. A complexidade é 
normalmente aferida através do número de MIPS (milhões de instruções por segundo) 
ou MFLOPS (milhões de instruções em virgula flutuante por segundo) necessários para 
processar os algoritmos de codificação, enquanto a memória necessária é medida em 
número de bytes. 
2.2.4 Sensibilidade a erros de canal 
Na transmissão do sinal codificado este fica sujeito a erros introduzidos pelo 
canal, que podem ser de dois tipos: erros aleatórios independentes, causados pelo ruído 
estacionário; e erros em rajada, limitados temporalmente, causados por interferências 
eletromagnéticas nas imediações do canal. Estes erros afetam a qualidade do sinal, 
degradando a relação sinal-ruído. O impacto na qualidade depende contudo do tipo de 
14 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
codificador, sendo o impacto maior em codificadores que tiram partido da redundância 
do sinal para diminuir o débito binário, tentando não perder muito em qualidade. 
2.2.5 Atraso 
O atraso em codificação de sinais é definido como o tempo máximo que medeia 
entre o instante em que uma amostra é apresentada no transmissor e aquele em que a 
amostra correspondente é gerada pelo recetor. Este tempo é medido estando o recetor 
ligado diretamente ao transmissor, retirando portanto a contribuição dos equipamentos 
de transmissão e receção e o tempo de propagação do sinal, mas não o tempo de 
transmissão de cada bit. 
Embora o atraso não seja importante em aplicações de armazenamento, na 
conversação bidirecional, como por exemplo na comunicação telefónica, o atraso pode 
tornar-se maçador e mesmo afetar a naturalidade da conversação. Limites para este 
atraso poderão ir, nos casos mais permissivos, até cerca de 400 ms. Restrições mais 
severas são aplicadas quando as redes de comunicações não incluem canceladores de 
eco, pois o atraso é notado pelo próprio orador. 
Conversão Analógico-Digital 15 
3 Conversão Analógico-Digital 
De modo a transmitir um sinal digitalmente é necessário convertê-lo numa 
sequência binária. Na sua forma mais simples este processo corresponde à conversão 
analógico-digital, ou seja, converter um sinal analógico, de variação contínua no 
domínio do tempo (representando por exemplo variações de pressão produzidas por um 
som quando captado através de um microfone) num conjunto finito de bits. A 
dificuldade encontrada prende-se com o carácter contínuo e portanto com infinitas 
possibilidades do sinal, quer ao longo do tempo quer em amplitude. Para resolver estes 
problemas a conversão analógico-digital envolve três etapas que serão objeto de análise 
no resto desta secção: 
 A amostragem, que tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do 
tempo e não envolve perda de informação desde que alguns pressupostos não 
sejam quebrados (teorema da amostragem de Nyquist2-Shannon3); 
 A quantificação, que torna as amostras do sinal discretas na amplitude, 
transformando uma variável contínua num número finito de valores; 
 A codificação, que atribui a cada amplitude discreta de cada pulso um código, 
composto por um conjunto de bits. A esta codificação amostra-a-amostra dá-se o 
nome de modulação por código de pulso (PCM – Pulse code modulation). 
3.1 Amostragem 
A amostragem tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo. 
Pode ser descrita como a “observação” do valor do sinal analógico de entrada, m(t) 
(m – message), a intervalos regulares. O sinal amostrado, m(t), é obtido (figura 3.1) 
pelo produto entre o sinal de entrada e um trem de impulsos de dirac com período Ts 
(sampling period). Dado que a amostragem corresponde a uma multiplicação no 
domínio do tempo, o espetro do sinal amostrado corresponde à convolução do espetro 
do sinal m(t), que se assume de banda limitada W, pela Transformada de Fourier do 
 
2 Harry Nyquist, 1889-1976. Sueco-Americano, trabalhou na AT&T e nos Laboratórios Bell. 
3 Claude Shannon, 1916-2001. Americano,trabalhou nos Laboratórios Bell e foi professor no MIT. 
16 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
trem de impulsos de dirac, também um trem de impulsos de dirac com período e área 
fs=1/Ts. 
 
Figura 3.1 
Interpretação da amostragem no domínio do tempo. 
Em a) representa-se um exemplo de um sinal m(t) a amostrar. Em b) representa-se um trem 
de impulsos de dirac de área unitária e período Ts, que multiplicado pelo sinal de entrada 
produz o sinal amostrado representado em c). 
 
A convolução é linear, o que implica que a convolução com um trem de 
impulsos de dirac corresponde à soma das convoluções com cada um dos impulsos de 
dirac. Convolver um sinal com um impulso de dirac corresponde a colocar esse sinal na 
posição do impulso de dirac e afetá-lo em amplitude pela respetiva área. 
Para reconstruir o sinal amostrado é necessário filtrá-lo passa-baixo (filtro 
reconstrutor) com frequência de corte fs/2, e com ganho Ts para manter a amplitude 
original do sinal. De modo a evitar a sobreposição espetral e a correspondente distorção 
a que se dá o nome de aliasing, a frequência de amostragem tem que ser igual ou 
superior a duas vezes o valor W da frequência máxima do sinal (teorema da amostragem 
ou teorema de Nyquist-Shannon): 
Wf s 2 . (3.1) 
Conversão Analógico-Digital 17 
 
Figura 3.2 
Interpretação da amostragem no domínio da frequência. 
a) Espetro de um sinal m(t), com banda limitada W. 
b) Espetro do trem de impulsos de dirac (figura 3.1 b) que é também um trem de impulsos 
de dirac. O espetro do sinal amostrado corresponde à convolução dos espetros em a) e b) e 
é apresentado para dois casos, em c) e d). A reconstrução do sinal é possível sem distorção 
para o exemplo em c) por filtragem passa-baixo com frequência de corte fs/2, pois W<fs/2. 
Em d) não é possível recuperar o sinal sem erro uma vez que as repetições espetrais se 
sobrepõem (aliasing), pois W>fs/2. 
 
 
Teorema da Amostragem de Nyquist-Shannon 
É possível amostrar e reconstruir, sem erro, um sinal com banda limitada W, 
desde que a frequência de amostragem fs seja superior ao ritmo de Nyquist 2W. A 
reconstrução sem distorção do sinal amostrado é obtida por filtragem passa-baixo à 
frequência de Nyquist fs/2. Se fs for inferior a 2W o sinal reconstruído sofrerá uma 
distorção por sobreposição dos espetros, a que se dá o nome de aliasing. 
18 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
Quando não há certeza de se evitar o aliasing, antes da amostragem o sinal deve 
ser previamente limitado à frequência fs/2, com um filtro passa-baixo (filtro 
anti-aliasing). Na figura 3.3 é apresentado o diagrama de blocos de toda a cadeia 
amostragem-reconstrução. 
 
Figura 3.3 
Cadeia amostragem-reconstrução. 
Filtro anti-aliasing – amostragem – filtro reconstrutor. 
O filtro anti-aliasing corta as frequências acima de fs/2. 
O filtro reconstrutor faz interpolação do tipo sinc para converter o sinal em analógico. 
O filtro anti-aliasing e reconstrutor são idênticos mas têm papel diferente na cadeia 
amostragem-reconstrução. 
 
À frequência mínima de amostragem, W2 , denomina-se ritmo de Nyquist. À 
metade da frequência de amostragem, fs/2, denomina-se frequência de Nyquist. 
Uma vez que o filtro reconstrutor é linear, a reconstrução pode ser interpretada 
como a sobreposição de funções sinc (figura 3.4) devidas à resposta em frequência do 
filtro, pesadas pelo valor da amostra correspondente e deslocadas para a respetiva 
posição no tempo. 
Para sinais de fala com qualidade telefónica está normalizada (POTS - plain old 
telephone servisse; GSM - Group special mobile) uma frequência de amostragem de 
8 kHz e uma filtragem passa-banda da entre os 300 Hz e os 3.300 Hz, denominada 
banda telefónica. A frequência de amostragem superior à mínima exigida pelo teorema 
da Nyquist-Shannon é justificada pela necessidade de uma banda de guarda, devida à 
caraterística não ideal dos filtros realizáveis. 
 
Conversão Analógico-Digital 19 
 
Figura 3.4 
Interpretação da reconstrução do sinal no domínio do tempo. 
O sinal é reconstruído por sobreposição de funções sinc (resposta impulsiva do filtro de 
reconstrução), pesadas pelos valores da amostra correspondente e deslocadas para a sua 
posição. As funções tomam o valor zero no instante de todas as outras amostras. 
 
3.2 Representação discreta 
Como os sinais resultantes da amostragem tem valores não nulos apenas em 
múltiplos do período de amostragem Ts, estes podem ser representados com vantagens 
na sua versão discreta (utilizada em processamento digital de sinais) m[n], em que a 
variável independente n toma apenas valores inteiros. A amostra m[n] é interpretada 
como a amostra n correspondente ao tempo nTs. Note-se que poderá haver sinais 
discretos cuja origem não é um sinal amostrado, interpretando-se neste apenas como a 
amostra n. 
3.3 Quantificação 
Quantificação de um sinal é o processo que converte um sinal amostrado 
(discreto no tempo), num sinal com valores também discretos em amplitude. 
Considerando a gama dos sinais a quantificar entre o intervalo –V e V, (figura 3.5) 
dividida em L intervalos de quantificação iguais e de dimensão q, a quantificação dá-se 
20 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
pela aproximação do valor de uma amostra que pertença a determinado intervalo pelo 
seu representante, denominado valor de quantificação vj do intervalo. 
 
 Figura 3.5 
Quantificação de sinais. 
Cada amostra do sinal amostrado m[n] é quantificada em um de L intervalos, por aproximação a 
um seu representante, denominado valor de quantificação. 
 
De modo a ser escolhido o valor mais próximo do valor do sinal de entrada 
(menor ruído de quantificação), os valores de decisão tj que definem os intervalos de 
quantificação devem estar equidistantes dos valores de quantificação vj: 
 
2
1 jjj
vv
t . (3.2) 
Devido à aproximação que se dá na quantificação, esta, ao invés da amostragem 
quando dentro dos limites impostos pelo teorema da amostragem, introduz sempre 
distorção. A quantificação é um processo irreversível, pois é impossível determinar, 
dentro do intervalo de quantificação, qual o valor de entrada m[n] que produziu o valor 
quantificado mq[n]. A esta distorção dá-se o nome de ruído de quantificação, definido 
como a diferença entre o valor da amostra de entrada e o valor de quantificação: 
      nmnmnq q . (3.3) 
Conversão Analógico-Digital 21 
Quando os intervalos de quantificação são todos iguais, os quantificadores 
denominam-se de uniformes. A dimensão de cada intervalo de quantificação vem, neste 
caso: 
 
L
V
q
2
 , (3.4) 
e o valor máximo do ruído de quantificação corresponde a metade do valor do intervalo 
de quantificação q . 
Existem dois tipos de quantificadores uniformes: midrise e midtread. 
Os quantificadores midrise, apresentado um exemplo para 4 intervalos na figura 
3.6, incluem o valor zero como valor de decisão. Nas zonas de ausência de sinal, devido 
a pequenas variações causadas por ruído, este quantificador flutuará entre os dois 
valores de quantificação em torno de 0 volts. 
 
Figura 3.6 
Quantificador uniforme midrise (4 intervalos). 
O zero corresponde a um valor de decisão, sendo o quantificador simétrico. 
 
Note-se que não existe um valor de quantificação coincidente com os extremos 
de quantificação, –V e V, requisito vantajoso nalguns tipos de codificadores, 
nomeadamente os codificadores DPCM (Differential pulse code modulation) 
apresentados na secção 4. Para que isto aconteça os intervalos de quantificação 
correspondem a: 
 
1
2


L
V
q . (3.5) 
22 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
Os quantificadores midtread, apresentado um exemplo para 4 intervalos na 
figura 3.7, ao incluírem o 0 como valor de quantificação não sofrem da flutuação nas 
zonas de silêncio, caraterística dos quantificadores midrise. Como é regra usar 
quantificadores com um número par de valores de quantificação,a sua função 
entrada-saída torna-se não simétrica pela inclusão num dos extremos de mais um valor 
de quantificação. 
 
Figura 3.7 
Quantificador uniforme midtread (4 intervalos). 
O zero corresponde a um valor de quantificação, tornando o quantificador não simétrico, 
mas não sofrendo de flutuações nas zonas de silêncio. 
 
 
3.4 Codificação 
A codificação é a representação binária da sequência de valores de um sinal, 
após amostragem e quantificação. Exprime-se pois cada um dos L valores de 
quantificação possíveis através de um código. A esta codificação amostra-a-amostra 
denomina-se modulação por código de pulso (PCM). 
Na figura 3.8 é apresentado um código sequencial do valor de quantificação 
mais pequeno para o mais alto. É ainda apresentada a sequência binária da sucessão de 
amostras, sendo necessários 3 bits por amostra (L=8 níveis diferentes). 
Utilizando um número L de valores de quantificação coincidente com uma 
potência de 2, de modo a otimizar o número R de bits de codificação por amostra, 
pode-se reescrever a equação 3.4, sendo o intervalo de quantificação dado por: 
 Rq
V
L
V
2
22
 . (3.6) 
Conversão Analógico-Digital 23 
 
 100 100 011 011 100 110 100 000 011 
 
Figura 3.8 
Amostragem e quantificação de sinais. 
O sinal analógico m(t) é amostrado dando origem ao sinal m(t). 
Cada amostra é quantificada, reconhecendo-se na figura L=8 valores de quantificação. Cada 
valor de quantificação é codificado com um código binário sequencial de 3 bits. 
 
O débito binário ou número de bits de codificação de cada segundo do sinal, Rb, 
para uma frequência de amostragem fs vem: 
sb fRR  . (3.7) 
3.5 Relação sinal-ruído em quantificação uniforme 
Uma das medidas mais usadas para aferir a qualidade de codificadores é a 
relação entre a potência do sinal a quantificar e a potência do ruído introduzido pela 
quantificação. 
Para uma sequência suficientemente longa de amostras, os valores do ruído 
devido à quantificação podem ser considerados igualmente distribuídos no intervalo de 
quantificação (distribuição uniforme), como ilustrado na figura 3.9. Esta aproximação é 
válida quando se utiliza um número suficiente de valores de quantificação, digamos 
para L32 (para melhor visualização a figura 3.9 apresenta apenas 4 valores de 
quantificação). 
24 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
A função densidade de probabilidade do ruído é, nestas condições, praticamente 
uniforme à volta de cada valor de quantificação, sendo o valor máximo do ruído de 
q uma vez que o valor de quantificação está a meio do respetivo intervalo. O sinal 
de ruído de quantificação tem média nula e a sua potência (normalizada4) pode ser 
estimada5 como a sua variância (Apêndice 1) 2q : 
R
q
q
q
q
q
Vdqqdqqfq 2
22/
2/
2
222
2312
1)(





 




 . (3.8) 
 
Figura 3.9 
Função densidade de probabilidade do ruído de quantificação. 
Para um número razoável de intervalos de quantificação a função densidade de probabilidade do 
ruído de quantificação aproxima-se de uma distribuição uniforme. 
 
A potência do ruído de quantificação aumenta com o aumento do intervalo de 
quantificação, ou seja com o aumento da gama de quantificação V, ou da diminuição de 
L ou R. Estes valores são aproximados para quantificação midtread, podendo mesmo ser 
inferior se o sinal contiver zonas de silêncio de grande duração. Nestas zonas os 
quantificadores midrise têm ruído igual a q, o que para poucos bits de codificação 
pode ser audível. 
 
4 Assumindo um sinal de tensão ou corrente sobre uma carga de 1 Ω. 
5 Assumindo quantificação midrise, sendo os cálculos aproximados para quantificação midtread. 
Conversão Analógico-Digital 25 
A relação entre a potência (normalizada) P do sinal e a potência (normalizada) 
2
q do ruído é estimada através de: 
2
2
2 23 V
PPSNR R
q


, (3.9)
 
ou em decibéis (Apêndice 2): 
 




 210
3log1002,6
V
PRSNRdB . (3.10) 
A diminuição da amplitude para metade equivale a diminuir para metade o 
intervalo de quantificação, a uma diminuição da potência do ruído para um quarto, a 
quadruplicar a relação sinal-ruído, ou ao aumento de 6,02 dB da SNR. Contudo, a 
amplitude do sinal, mmax, não deve ser superior ao valor máximo de quantificação, V. 
Caso contrário produz-se ruído por saturação de amplitude, deixando as equações 3.8 a 
3.10 de ser válidas. Deste modo, a tensão máxima de quantificação terá que respeitar a 
inequação: 
maxmV  . (3.11) 
Assumindo o caso ideal, ou seja, que a tensão máxima de quantificação, V, 
corresponde à amplitude mmax do sinal de entrada, evitando assim a saturação de 
amplitude mas minimizando o ruído de quantificação, a equação 3.10 pode ser reescrita 
como, 
  ndB PRm
PRSNR 3log1002,63log1002,6 102
max
10 





 . (3.12) 
A SNRq passa a ser função da potência normalizada pelo quadrado da amplitude, 
sendo dada por, 
 
2
maxm
PPn  . (3.13) 
 
26 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
3.6 Desempenho e compromisso entre os atributos 
Através da equação 3.10, pode-se verificar que a qualidade depende de dois 
fatores: da relação entre a potência do sinal de entrada e o quadrado do valor máximo de 
quantificação; e do número de bits de codificação por amostra. Note-se ainda que a 
qualidade não depende da frequência de amostragem, que deve por isso ser o ritmo de 
Nyquist uma vez que minimiza o débito binário. 
Na tabela 3.1 apresentam-se os valores da SNRq para codificação a 8 bits por 
amostra e diversas potências normalizadas do sinal de entrada. Se para –3 dB de 
potência normalizada (sinal sinusoidal (10log10(1/2)) o valor da SNRq de 50 dB é 
bastante bom, o valor de apenas 7,9 dB para uma potência normalizada de –45 dB é 
inaceitável. Muitos sinais, por exemplo sinais de fala, exibem esta gama de variações. A 
grande dependência da qualidade em relação à potência do sinal de entrada é de facto 
uma das principais desvantagens deste método. 
Por cada bit de codificação por amostra a SNRq varia de 6,02 dB. Na figura 3.10 
é apresentado o gráfico da SNRq em função da potência normalizada do sinal de entrada, 
para diversos valores de número de bits por amostra. 
 
 
Figura 3.10 
Relação sinal-ruído em PCM uniforme. 
Comparação para 7, 8, e 9 bits de codificação por amostra e para diversos valores de potência 
normalizada (em Decibéis) do sinal de entrada. 
 
Conversão Analógico-Digital 27 
No exemplo da tabela 3.1, para garantir um valor mínimo da SNRq de 
aproximadamente 32 dB para um sinal de entrada com –45 dB de potência normalizada, 
seria necessário aumentar 24 dB na SNRq, ou seja utilizar mais 4 bits de codificação por 
amostra, resultando num aumento eventualmente demasiado elevado do débito binário 
(de 64 kbit/s para 96 kbit/s assumindo sinais de fala de banda telefónica), evidenciando 
um compromisso entre o débito binário e a qualidade. 
 
Pn dB Entrada SNRq dB 
–45 7,9 
–35 17,9 
–25 27,9 
–15 37,9 
–4,77 Triangular ou distribuição uniforme 48,2 
–3 Sinusoidal 49,9 
0 Quadrada 52,9 
 
Tabela 3.1 
Valores da SNRq de quantificação, função da potência normalizada do sinal. 
Comparação para 8 bits de codificação por amostra e para diversos valores de 
potência normalizada do sinal de entrada. 
 
Para além de aumentar o débito binário, a melhoria da qualidade através do 
aumento do número de bits por amostra tem dois limites: 
 A complexidade dos conversores, que duplicam o número de intervalos de 
quantificação por cada bit de codificação. Por exemplo para 16 bits de 
codificação por amostra originam-se 216=65536 intervalos de quantificação; 
 O intervalo muito pequeno a descriminar. Por exemplo para 16 bits de 
codificação por amostra e uma tensão máxima de quantificação de 1 V, o 
intervalo de quantificação vale q = 2-15 = 30 V, que se pode confundircom o 
ruído térmico nos sistemas eletrónicos. Para valores mais pequenos que estes, os 
sistemas tornam-se demasiado caros ou mesmo impossíveis de realizar, sendo 
necessário utilizar outro tipo de paradigma, como por exemplo a modulação 
delta-sigma () que sai fora do contexto deste tema. 
28 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
Esta secção descreveu o primeiro passo na comunicação digital, com a 
conversão de sinais analógicos para uma sequência de bits utilizando modulação por 
código de pulso, com quantificação uniforme. Este sistema afigura-se o mais simples 
capaz de representar um sinal digitalmente. Nas próximas secções serão apresentados 
métodos para diminuir o débito binário, tirando partido das caraterísticas do sinal, tendo 
sempre em consideração o compromisso com os outros atributos dos codificadores de 
sinais, particularmente a qualidade. 
Quantificação não uniforme 29 
4 Quantificação não uniforme 
 
Na secção anterior discutiu-se a utilização da modulação por código de pulso 
com quantificação uniforme e a estimativa da respetiva relação sinal-ruído de 
quantificação, concluindo-se da dificuldade de manter uma elevada SNRq 
nomeadamente para potências baixas do sinal de entrada, mas não à custa do aumento 
do débito binário e à diminuição “excessiva” da dimensão do intervalo de quantificação. 
Outra caraterística importante a ter em conta é a necessidade da SNRq ser independente 
da tensão máxima de quantificação e das caraterísticas do sinal de entrada, 
nomeadamente da sua potência. Estas caraterísticas podem ser observadas com a 
utilização de quantificação não uniforme, ou seja, com um quantificador em que os 
intervalos de quantificação não são todos iguais. 
O histograma de um sinal de fala não é uniforme (figura 4.3), tendendo a ter 
mais ocorrências para valores menores. Esta constatação levou à utilização de intervalos 
de quantificação menores nas zonas de maior ocorrência, como mostrado na figura 4.1, 
à custa do aumento do intervalo de quantificação nas zonas de menor ocorrência. O 
ruído de quantificação torna-se mais pequeno na maioria das amostras, à custa de, em 
algumas amostras menos prováveis, o ruído de quantificação aumentar. Sendo a 
potência um valor médio quadrático, este procedimento faz diminuir a potência do ruído 
de quantificação e, consequentemente faz aumentar a SNR. 
 
Figura 4.1 
Exemplo de um quantificador não uniforme. 
São melhor quantificados os valores menores (em módulo) do que os 
valores maiores. Para que este quantificador seja eficaz devem ser as 
amplitudes mais baixas as mais prováveis. 
 
30 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
Se o sinal de entrada apresentar uma função densidade de probabilidade das 
amplitudes em que os valores mais altos forem os que tiverem maior ocorrência, então 
devem ser estes a ser quantificados com intervalos menores, à custa do aumento dos 
intervalos para valores mais pequenos. Na utilização destes quantificadores 
pressupõem-se conhecida pelo menos uma estimativa da função densidade de 
probabilidade das amplitudes do sinal de entrada, sob pena de se obter desempenhos 
inferiores do que utilizando quantificadores uniformes. 
Alternativamente à utilização de um quantificador não uniforme, pode-se aplicar 
ao sinal analógico de entrada uma não linearidade g(m), como a mostrada na figura 4.2, 
seguido de um quantificador uniforme. 
 
 
Figura 4.2 
Exemplo de não linearidade utilizada em quantificação não uniforme. 
A não linearidade seguida de quantificação uniforme é equivalente à 
quantificação não uniforme. 
 
A figura 4.3 apresenta o esquema de blocos equivalente à cadeia de 
quantificação não uniforme, implementada através da aplicação da não linearidade ao 
sinal de entrada, seguida da quantificação uniforme. O tipo de não uniformidade é 
dependente desta não linearidade. Comparando as distribuições de amplitudes antes e 
após a não linearidade, pode-se verificar que o efeito da não linearidade é tornar a 
distribuição mais uniforme e mais adequada a um quantificador uniforme. 
Quantificação não uniforme 31 
No recetor, após descodificação, aplica-se a caraterística inversa para regenerar 
o sinal. A diferença entre o sinal original e o sinal descodificado é causada pela 
quantificação. 
 
Figura 4.3 
Implementação alternativa da codificação PCM não uniforme. 
No transmissor o sinal é aplicado a uma não linearidade seguida de quantificação 
uniforme. A não linearidade torna a distribuição mais uniforme (exemplo para um 
sinal de fala) e portanto mais adequada a um quantificador uniforme. 
No recetor utiliza-se um descodificador uniforme seguido função inversa da não 
linearidade, de modo a regenerar o sinal original. A diferença entre o sinal 
original e o sinal descodificado é causada pela quantificação. 
 
32 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
Note-se que, numa realização prática, a utilização direta do quantificador não 
uniforme é menos complexa em relação à implementação do esquema apresentado na 
figura 4.3. Quer os valores de decisão, necessários no transmissor, quer os valores de 
quantificação, necessário no recetor, são obtidos por aplicação da função inversa da não 
linearidade, dos respetivos valores do quantificador uniforme. 
4.1 Relação sinal-ruído em quantificação não uniforme 
Para se analisar o efeito da não linearidade g(m) e calcular a relação sinal ruído 
de quantificação, verifique-se pela figura 4.2 que a relação entre a entrada e a saída da 
não linearidade é dada aproximadamente por: 
 
)(
2
j
j vgL
Vg

 , (4.1) 
em que g´(vj) é o valor da derivada da não linearidade à volta do j-ésimo valor de 
quantificação vj. Se o sinal de entrada for aleatório mas com função densidade de 
probabilidade f(m) conhecida, a potência do ruído de quantificação para o j-ésimo 
intervalo é dada pela variância centrada no valor de quantificação vj: 
 


1
)()( 2
j
j
t
t
jj dmmfvmN , (4.2) 
sendo tj a tj+1 o intervalo de quantificação correspondente ao valor vj. Assumindo um 
número elevado de valores, f(m) é aproximadamente constante no intervalo de 
quantificação, ou seja todos os valores do sinal m no j-ésimo intervalo de quantificação 
têm aproximadamente a mesma probabilidade que f(vj). Igualmente, se os intervalos de 
quantificação adjacentes não tiverem dimensões muito diferentes, o valor de 
quantificação encontra-se aproximadamente a meio do intervalo e o ruído está limitado 
ao intervalo [–j/2;j/2]Nestas condições, a equação 4.2 pode ser reescrita como: 
12
)(|
3
)()()()(
3
2/
2/
32/
2/
22
1
j
jjj
t
t
jjj vf
mvfdmmvfdmvmvfN j
j
j
j
j
j

 




. (4.3) 
Quantificação não uniforme 33 
Incluindo nesta equação a aproximação dada pela equação 4.1 vem: 
 

 jvg
vf
L
VgN
j
j
j 22
2
)(
)(
3
)( . (4.4) 
A potência total do ruído é a soma do ruído em cada j-ésimo intervalo de 
quantificação, que se aproxima de uma função contínua desde que seja utilizado um 
número elevado de valores de quantificação, pelo que: 
dm
mg
mf
L
Vg
vg
vf
L
VgN
m
m
L
j
j
j
j
L
j
jq 





max
max
22
2
1
22
2
1
2
)(
)(
3
)(
)(
)(
3
)( , (4.5) 
e a relação sinal-ruído de quantificação (não em decibéis) vem: 
dm
mg
mfVg
PLPSNR
im
m
q
q




max
max
2
2
2
2
)(
)()(
3

. (4.6) 
Para calcular a SNRq é necessário ser conhecida a derivada da não linearidade e a 
função densidade de probabilidade do sinal de entrada. 
Se g(m)=m, a quantificação transforma-se na quantificação uniforme. A derivada 
da função vale 1 e a equação 4.6 reduz-se à equação 3.9. Esta conclusão é válida mesmo 
para uma amplificação do sinal de entrada, g(m)=Km, pois valendo a derivada K=g(V)/V 
e assumindo V=mmax, tem-se para o denominador da equação 4.6: 
 
 
    2max2max2max2
2
2
2
max
max
max
max
max
max
)( mdmmfmdmmfm
K
Kdm
mg
mfVg
m
m
m
m
m
m

 
. (4.7) 
Conclui-se que um fator de escala (amplificação) aplicado ao sinal de entrada, 
ao alterar simultaneamente a potência do sinal e a dimensão dos intervalos de 
quantificação, não altera a relação sinal-ruído de quantificação. 
 
 
34 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
4.2 PCM companding 
Se a não linearidade for do tipo logarítmica, i.e., g(m)=ln(|m|), cuja derivada é 
1/|m| e sabendo que o integral de m2f(m)dm (momento esperado de segunda ordem), 
calculado no intervalo entre – mmax e mmax, é igual à potência, o valor da SNRq deixa de 
ser dependente da potência do sinal de entrada para ser dependente apenas do número 
de intervalos de quantificação: 
2
max
2
0
22
2
)(
3
)()(2
3
max mg
L
dmmfmVg
PLSNR mq 

. (4.8) 
A função logarítmica não pode no entanto ser realizada, pois converte o 
intervalo entre 0 e 1 no intervalo entre – e 0. Estão no entanto normalizadas pelo 
ITU-T duas funções pseudo-logarítmicas, que convertem o intervalo entre 0 e 1 no 
mesmo intervalo, tendo a função uma caraterística impar: A Lei-A utilizada na Europa e 
a Lei- utilizada nos EUA e Japão, descritas na recomendação ITU-T G.711, que data 
de 1972. Ambas utilizam 8 bits de codificação por amostra e, como normalizado para 
sinais de fala em qualidade telefónica, uma frequência de amostragem de 8 kHz, 
resultando num débito binário de 64 kbit/s. Se os valores de entrada estiverem 
normalizados em relação à amplitude do sinal de entrada, ou seja V = 1, a Lei-A é 
descrita por: 
 
   
 
A
mm
A
Amg
m
AA
mA
mg
10
)ln(1
11
)ln(1
ln1







, (4.9) 
cujo gráfico é apresentado na figura 4.4. O parâmetro A governa o grau de compressão, 
sendo o valor normalizado na recomendação G.711 de 87,56 (embora de facto na norma 
os valores de quantificação e decisão sejam uma aproximação da equação 4.9). 
Para valores pequenos (m<A) a Lei-A tem um comportamento linear (g(m)=16m, 
para A=87,56), enquanto para valores médios e altos tem um comportamento quase 
Quantificação não uniforme 35 
logarítmico. Esta não linearidade corresponde a comprimir o sinal de entrada. No 
recetor, após descodificação, tem que se incluir a não linearidade inversa (figura 4.3) a 
que corresponderá uma expansão. A esta técnica dá-se o nome de companding 
(compressing-expanding). Como se verá adiante, a utilização do companding produz 
uma relação sinal ruído de quantificação quase constante para uma larga gama de 
potências do sinal de entrada, não tendo a dependência com esta grandeza do PCM 
uniforme, muito bom para potências elevadas, mas insuficiente para médias e baixas 
potências. 
 
Figura 4.4 
Não linearidade da Lei-A. 
São ilustradas as funções não lineares Lei-A, que dão origem a uma quantificação não 
uniforme. O valor normalizado pela recomendação ITU-T G.711 é A=87,56. 
Só são apresentados valores positivos, tendo as curvas caraterísticas ímpares. 
 
Para o desenvolvimento da equação 4.6, a derivada da equação 4.9 
correspondente à Lei-A é dada por, 
 
 
A
m
A
Amg
m
AmA
mg
10
)ln(1
111
))ln(1(
1






. (4.10) 
Para potências médias e altas, ou seja, quando a potência normalizada do sinal 
de entrada for razoavelmente superior a 1/A2, o termo superior da equação 4.9 é o termo 
A=87,56 
Uniforme 
A=1 
A=10 
36 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
dominante, pelo que se pode desprezar o efeito da zona linear. Nestas circunstâncias a 
SNRq vem, usando o valor normalizado para A de 87,56 e utilizando a equação 4.6: 
     
2
2
2
1
1
22
2
1,0
)ln(1
3
)ln(1
3 L
A
L
dmmfmA
PLSNR
m
q 





, (4.11) 
ou, em decibéis: 
1002,6  RSNRdB . (4.12) 
A SNRq só depende do número de bits de codificação por amostra, deixando de 
depender da potência do sinal de entrada. Para o codificador normalizado G.711, de 
8 bits/amostra (64 kbit/s), o valor máximo da SNRq é de 38,16 dB e mantém-se 
praticamente constante para uma variação apreciável de potência do sinal de entrada 
(–40 dB). É esta caraterística quase constante do companding que o faz ter um 
desempenho médio superior ao PCM uniforme. Contudo, para sinais de baixa potência, 
ou seja quando a potência normalizada do sinal de entrada é inferior a 1/A2, o termo 
dominante é o inferior da equação 4.9, com um comportamento linear, pelo que a SNRq 
é dada pela equação 3.10. 
Para a Lei-: 
   
)1ln(
1ln





m
mg 10  m . (4.13) 
O parâmetro  governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado de 
255. Para valores pequenos esta Lei tem também um comportamento linear (figura 4.5), 
dado que ln(1+|m|)  |m| e para valores elevados um comportamento logarítmico, 
dado que para |m|>>1, então ln(1+|m|)  ln(|m|). A derivada desta função vale: 
   mmg 



1)1ln(
. (4.14) 
Quantificação não uniforme 37 
A SNRq vem, com o valor normalizado =255, aplicando a equação 4.6 e após 
alguma manipulação algébrica: 
  
2
2
2
1,0
1ln
3 LLSNRq 


. (4.15) 
Para baixas potências esta aproximação não é válida, correspondendo como na 
Lei-A à entrada na zona linear, fazendo diminuir a SNRq. Das equações 4.12 e 4.15 
verifica-se que os desempenhos das duas Leis são idênticos. 
 
Figura 4.5 
 Relação sinal ruído em PCM companding Lei-(255). 
Comparação com PCM com quantificação uniforme, função da potência normalizada 
do sinal de entrada, para 8 bit/amostra. De realçar a caraterística quase constante do 
companding e o seu melhor desempenho em relação ao PCM uniforme para potências 
normalizadas abaixo dos –14,77 dB. 
 
A caraterística quase constante da SNRq em companding pode ser explicada do 
modo seguinte: para sinais de baixa potência a probabilidade de amplitudes baixas é 
maior, sendo melhor quantificadas e baixando a potência do ruído. Para sinais de 
potência elevada, a probabilidade de amplitudes elevadas é maior, mas também são pior 
quantificadas. Em ambos os casos a relação entre a potência do sinal e do ruído de 
quantificação é quase constante. 
 
-60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
uniforme -7,1 -2,1 2,9 7,9 12,9 17,9 22,9 27,9 32,9 37,9 42,9 47,9 52,9
Lei-u 24,6 28,5 31,7 34,1 35,7 36,7 37,3 37,6 37,8 37,9 38,0 38,0 38,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
SN
R
 (d
B)
Potência Normalizada (dB)
Uniforme 
Companding Lei- 
38 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
4.3 Quantificação Ótima 
Quando, no sinal a quantificar, existe maior probabilidade de ocorrência de 
alguns dos valores do que de outros, deve-se diminuir a dimensão dos intervalos de 
quantificação nas zonas mais prováveis, à custa do aumento da dimensão dos intervalos 
nas zonas menos prováveis. Por exemplo, os sinais de fala têm uma função densidade 
de probabilidade das amplitudes com maiores ocorrências para os valores mais 
pequenos, pelo que o PCM companding é uma melhor alternativa em relação ao PCM 
uniforme. No entanto a principal vantagem do PCM companding é a de tornar a SNRq 
praticamente independente da potência do sinal de entrada. Para sinais de potência 
razoável a utilização de PCM companding resulta numa diminuição da SNRq em relação 
ao PCM uniforme, pelo que deve ser utilizado outro tipo de não linearidade. 
Das equações 4.2 e 4.5, a potência do ruído de quantificação vem: 
   



L
j
j
L
j
jq
t
t
dmmfvmN
j
j
1
2
1
2
1
)( . (4.16) 
Os valores ótimos de decisão tj e de quantificação vj são estimados por 
minimização da potência do ruído de quantificação 2q, ou seja, tomando as derivadas 
parciais de Nj em ordem a tj e a vj. Contudo a resolução deste conjunto de equações não 
é fácil. Descreve-se a seguir um algoritmo iterativo conhecido por Lloyd-Max 
(apêndice 3) ilustrado na figura 4.6, para estimação dos valores ótimos de quantificação 
e decisão, que tem como entrada o histograma do sinal a quantificar, estimando a 
respetiva função densidade de probabilidade. O quantificadorresultante só terá o 
mesmo desempenho quando for utilizado com sinais com a mesma função densidade de 
probabilidade dos sinais que geraram o histograma de entrada do algoritmo, 
denominado de corpus6 de treino. É pois necessário ser muito criterioso na escolha 
deste corpus, devendo incluir diversos oradores do género masculino e feminino, 
dizendo frases balanceadas foneticamente, ou seja, cujas ocorrências dos fonemas que 
as compõem sejam o mais aproximado possível da respetiva ocorrência na linguagem 
falada. 
 
6 Corpus de sinais de fala: conjunto de sinais de fala. Termo utilizado em investigação. 
Quantificação não uniforme 39 
 
 a) b) 
 
 c) d) 
 
 e) 
Figura 4.6 
Exemplo do algoritmo Lloyd-Max para sinal de fala. 
Em a) É ilustrado o quantificador uniforme utilizado para inicializar o algoritmo. 
Em b) são representados os novos valores de quantificação, obtidos pela média dos valores 
de cada intervalo de quantificação, pesados pelos respetivos valores do histograma. 
Em c) e d) é ilustrada a segunda iteração, partindo dos valores obtidos na iteração anterior. 
Em e) são apresentados os 
O - Valores de quantificação uniforme (SNR= –0,2 dB) e os 
□ - Valores ótimos (SNR= 7,5 dB), obtidos após 9 iterações. 
 
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
40 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
Como inicialização do algoritmo, assume-se qualquer quantificador com L 
valores de quantificação. No exemplo ilustrado na figura 4.6-a) assume-se um 
quantificador uniforme com L=4, marcando sobre o histograma do sinal de entrada com 
um │ os valores de decisão e com um □ os valores de quantificação. 
Como iteração, calculam-se os valores médios pesados pelo respetivo 
histograma, como mostrado na figura 4.6-b) marcado a x. Seguidamente substituem-se 
os valores de quantificação por estes, e calculam-se os respetivos valores de decisão 
através da equação 3.2, como na figura 4.6-c). Os valores de quantificação deslocam-se 
para as zonas de maior probabilidade, diminuindo aí o ruído de quantificação, à custa do 
aumento nas zonas de menor probabilidade. O procedimento anterior repete-se com 
estes novos valores (figura 4.6-d), até não haver diferença entre duas iterações ou esta 
ser menor que determinado critério de estabilidade. Na figura 4.6-e) são mostrados os 
valores de quantificação iniciais (uniforme) e finais (ótimos). A potência do ruído 
baixou 5,9 vezes, ou seja, foi produzido um aumento da SNRq de 7,7 dB. Estes valores 
são obtidos após 9 iterações e o aumento da SNRq após a primeira iteração é de 1,9 dB. 
Este algoritmo funciona para quantificar amostras de um sinal de fala ou 
qualquer outro parâmetro, e.g., áudio, pontos de uma imagem ou letras de um texto. 
Para um sinal sinusoidal, com uma função densidade de probabilidade que tenha 
maiores ocorrências para amplitudes elevadas, por exemplo um sinusoide, como mostra 
a figura 4.7, os valores de quantificação tenderão a deslocar-se para estas amplitudes. 
 
Figura 4.7 
Algoritmo Lloyd-Max aplicado a uma sinusoide. 
O - Valores de quantificação uniforme (SNRq=12,8 dB) 
 □ - Valores de quantificação ótimos. (SNRq=13,8 dB), obtidos após 6 iterações. 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Codificação preditiva 41 
5 Codificação preditiva 
Nas secções anteriores estudou-se o efeito da quantificação individual das 
amostras do sinal de entrada. Para sinais de fala, esta é possível com qualidade 
codificando acima dos 8 bits por amostra (64 kbit/s para sinais de fala amostrados a 
8 kHz). Abaixo deste débito é necessário tirar partido das redundâncias do sinal, 
nomeadamente a grande semelhança entre amostras adjacentes existente nos sinais de 
baixa frequência (quando comparado com a frequência de amostragem). Como 
exemplo, a figura 5.1 apresenta um gráfico das amostras de um sinal de fala função da 
respetiva amostra anterior. Estas exibem uma grande parecença, ou seja, apresentam-se 
à volta de uma reta de declive unitário. A codificação preditiva tira partido desta 
parecença para estimar (predizer) a próxima amostra do sinal, sendo objeto de estudo no 
resto desta secção. Fora do contexto deste texto, existem codificadores de sinais de fala 
que tiram partido não só da parecença entre amostras mas a parecença entre as últimas 
amostras (e.g. codificador do GSM tira partido da parecença das últimas 10 amostras). 
 
Figura 5.1 
Semelhança entre amostras adjacentes em sinais de baixa frequência. 
Amostras de um sinal de fala função das respetivas amostras anteriores. A 
semelhança pode ser verificada pois esta função apresenta-se à volta de uma reta 
de declive unitário. 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
m[n-1]
m
[n
]
42 Modulação de pulsos Carlos Meneses 
5.1 Modulação por código de pulso diferencial 
Tirando partido da semelhança entre amostras consecutivas, caraterística dos 
sinais de baixa frequência (quando comparado com a frequência de amostragem), 
consegue-se representar uma amostra à custa da amostra anterior, sendo transmitida em 
PCM, entre o transmissor e o recetor, apenas a diferença entre amostras consecutivas. 
Dada a necessidade de coerência entre os sinais nestes dois sistemas, a diferença não é 
realizada sobre o sinal original mas, como mostra a figura 5.2, sobre o sinal de saída 
quantificado, o único existente no recetor. Para produzir o sinal quantificado existe no 
transmissor uma réplica do recetor. Este tipo de representação do sinal toma o nome de 
modulação por código de pulso diferencial (DPCM – Differential pulse code 
modulation). 
 
a) Transmissor DPCM 
 
b) Recetor DPCM 
Figura 5.2 
Modulação por código de pulso diferencial. 
a) Esquema de blocos de um transmissor por modulação por código de pulso diferencial. 
b) Respetivo recetor, correspondendo a parte do transmissor. 
Codificação preditiva 43 
O valor da amostra anterior pode ser interpretado como uma predição (mp[n]) do 
valor da amostra atual, e a sua diferença interpretada como o resíduo ou erro de 
predição. É assim quantificada e codificada a diferença entre a amostra que se quer 
sintetizar e a amostra de saída anterior, eventualmente multiplicada por um coeficiente 
de predição, a. O erro de predição deve ter uma menor variância (potência) que o sinal 
original, sendo suscetível de uma melhor quantificação. 
 
5.1.1 Relação sinal-ruído em DPCM 
Da análise do esquema de blocos da figura 5.2 conclui-se que o ruído de 
quantificação causado por este tipo de codificação é dado por: 
                   nenenenmnenmnmnmnq qqppq  , (5.1) 
em que e[n] corresponde ao erro de predição, ou seja, à diferença entre a amostra atual e 
a sua predição  nm p . O ruído na codificação preditiva resulta unicamente da 
quantificação, correspondendo ao ruído de quantificação em PCM do erro de predição, 
dependendo dos valores dos intervalos de quantificação. Caso a quantificação seja 
uniforme q depende apenas do valor máximo de quantificação, que denominaremos de 
V1, e do número de intervalos de quantificação L. Através da equação 3.6, substituindo 
V por V1, obtêm-se: 
Rq
V
2
2 1 . (5.2) 
A SNRq (em linear) do codificador DPCM, correspondente à relação entre a 
potência do sinal de entrada e deste ruído, vem: 
 22
12
qq
q
PPSNR



, (5.3) 
ou em decibéis, pela equação 3.10 com a mesma alteração de V por V1, 
44 Modulação de pulsos Carlos Meneses 






 2
1
10
3log1002,6
V
PRSNRdB , (5.4) 






 2
1
2
210
3log1002,6