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1.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa
(Números Complexos)
Aluno(a):
1. Reduza à forma a+ bi:
(a) (1− 5i)2 − 4i (e) 3−4i
2i
(b) −i(−1 + i) + 2 (f) 2+5i−1+i√3
(c) (3 + i)(1− 11i) (g) (2−2i)
2
1+i
(d) (
√
2− i
√
5)(
√
5 + i
√
2) (h) z−zi
z−zi .
2. Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos:
(a) |z| = |z − 2| (d) Re(z) = Im(z − 1)
(b) |z| = |z − 1| (e) Im(z − 1) = |z + 1|
(c) |z| = |z − 1| (f) a|z| = |z − 1|; a ∈ R+ e a ̸= 1.
3. Resolva as equações:
(a) z − z = 1 (c) z2 − 2z + 2 = 0
(b) z + zi = 2 + i (d) z + 1
z
= 1.
4. Calcule a área do triângulo cujos vértices são as ráızes da equação z3+z2+z = 0.
5. Se o número complexo z não é real nem imaginário puro, qual é a natureza do
quadrilátero cujos vértices são z, z,−z e −z?
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1.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
6. Para n inteiro, quantos valores diferentes pode ter a expressão in + i−n?
7. Mostre que
N∑
n=0
in = 1, 1 + i, i ou zero, conforme o resto da divisão de N por 4
seja zero, 1, 2 ou 3, respectivamente.
8. (Binômio de Newton) Se n ∈ N e z, w ∈ C, mostre que
(z + w)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
zn−kwk.
9. (a) Prove o Teorema de Bramagupta: Se a e b são números naturais e cada
um deles é a soma de dois quadrados perfeitos, então ab também é uma
soma de dois quadrados perfeitos.
(b) Escreva (52+62) · (72+102) como uma soma de dois quadrados perfeitos.
10. Dados dois números complexos z e w, prove que
|z + w|2 + |z − w|2 = 2|z|2 + 2|w|2.
Faça um gráfico e obtenha a seguinte interpretação geométrica: a soma dos
quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das
diagonais.
11. Dados três vértices de um paralelogramo pelos números complexos z1, z2 e z3,
determine o vértice z4 oposto a z2. Faça um gráfico.
12. (Desigualdade triangular) |z + w| ≤ |z|+ |w|, para quaisquer z, w ∈ C.
13. Sejam z, w ∈ C, com w ̸= 0. Mostre que |z + w| = |z| + |w| se, e somente se,
z/w ∈ [0,∞).
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14. Deduza a desigualdade |z1 + z2 + z3| ≤ |z1|+ |z2|+ |z3|.
15. Mostre que ||z| − |w|| ≤ |z − w|.
16. Mostre que, se z2 ̸= z3, então ∣∣∣ z1z2+z3 ∣∣∣ ≤ |z1|||z2|−|z3|| .
17. Mostre que |z + w| < |1 + zw|, desde que |z| < 1 e |w| < 1.
18. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz )
∣∣∣ n∑
j=1
zjwj
∣∣∣ ≤
√√√√ n∑
j=1
|zj|2
√√√√ n∑
j=1
|wj|2, para
quaisquer z1, . . . , zn, w1, . . . , wn ∈ C.
19. (a) Seja P (x) = ax2 + bx+ c um polinômio de grau 2 com coeficientes reais e
suponha que ∆ = b2 − 4ac < 0. Então, as soluções da equação P (x) = 0
são números complexos com parte imaginária não nula. Se z1 e z2 são
essas soluções, mostre que z2 = z1.
(b) Mais geralmente, se P (x) = anx
n+an−1x
n−1+· · ·+a1x+a0 é um polinômio
de grau n > 0 arbitrário, com coeficientes reais, e se z0 ∈ C é tal que
P (z0) = 0, então tem-se P (z0) = 0.
(c) Dê exemplo de um polinômio P (z) tal que P (1 + i) = 0 e P (1− i) ̸= 0.
20. Resolva a equação x4 − 2x3 + x2 + 2x− 2 = 0 sabendo que uma de suas ráızes
é 1 + i.
21. Forme a equação de grau mı́nimo, com coeficientes reais, que tem i e 1 + 2i
como ráızes.
22. Determine um polinômio P de grau mı́nimo, com coeficientes reais, tal que
P (1 + i) = 0 e P (3) = 2.
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23. Seja a = α + iβ, onde α, β ∈ R, β ̸= 0. Prove que as duas soluções de z2 = a
são z0 e −z0, onde
z0 =
√
α+
√
α2+β2
2
+ iε(β)
√
−α+
√
α2+β2
2
,
sendo ε(β) = 1 se β > 0, e ε(β) = −1 se β < 0. (As ráızes quadradas acima
consideradas são positivas.)
24. Um polinômio de grau n é uma função da forma p(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn,
onde an ̸= 0. Sejam p e q dois polinômios, onde grau(p) = m e grau(q) = n.
Prove que:
(a) Se p+ q ̸≡ 0, então grau(p+ q) ≤ max{m,n}.
(b) grau(p · q) = grau(p) + grau(q).
(c) grau(p ◦ q) = m · n.
25. Seja p um polinômio de grau n ≥ 1. Dado a ∈ C, prove que existe um po-
linômio q de grau n − 1, tal que p(z) = (z − a)q(z) + p(a), para todo z ∈ C.
Deduza dáı que um polinômio de grau n possui no máximo n ráızes.
26. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio com coeficien-
tes complexos possui uma raiz (real ou complexa). Prove, como corolário, que
todo polinômio P (x) de grau n possui n ráızes, contadas as multiplicidades; e
sendo α1, . . . , αn essas ráızes, então P (x) se escreve
P (x) = a(x− α1) · · · (x− αn),
onde a ∈ C é constante.
27. Reduza os números z1 e z2 à forma polar e determine as formas polares de z1z2
e z1/z2.
(a) z1 =
√
3 + 3i e z2 =
3−i
√
3
2
(b) z1 = 1 + i e z2 =
√
3 + i
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(c) z1 = 1− i e z2 = −1 + i
√
3
(d) z1 = 1 + 2i e z2 = 2 + i
(e) z1 = 1− i e z2 = −1 + 2i.
28. Encontre todas as soluções das equações:
(a) z2 = 1− i
√
3
(b) z5 = −1
(c) z3 = 1
(d) z7 = −(1 + i).
29. Deduza a fórmula
1 + z + z2 + · · ·+ zn−1 = zn−1
z−1 , z ̸= 1.
30. Seja ω ̸= 1 uma raiz n-ésima da unidade. Mostre que:
(a) 1 + ω + ω2 + · · ·+ ωn−1 = 0.
(b) 1 + 2ω + 3ω2 + · · ·+ nωn−1 = n
ω−1 .
31. Mostre que se n é par, então o polinômio p(x) = xn + xn−1 + · · · + x + 1 não
possui raiz real.
32. Prove que é nula a soma dos vetores com origem no centro de um poĺıgono
regular convexo e extremidades nos vértices do poĺıgono.
33. Mostre que se os números complexos z, w e s são vértices de um triângulo
equilátero, então z2 + w2 + s2 = zw + ws+ sz.
34. Prove que se |z1| = |z2| = |z3| = 1 e z1 + z2 + z3 = 0, então z1, z2 e z3 são
os vértices de um triângulo equilátero inscrito no ćırculo unitário de centro na
origem. Faça um gráfico.
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35. (Fórmula de De Moivre) Prove que (cos θ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ).
36. Use o exerćıcio anterior e deduza:
(a) cos 2θ = cos2 θ − sen2θ
(b) sen2θ = 2senθ cos θ
(c) cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θsen2θ
(d) sen3θ = 3 cos2 θsenθ − sen3θ
(e) 1+itgθ
1−itgθ = cos 2θ + isen2θ.
37. Prove, de um modo geral, que:
(a) cosnθ = cosn θ − n(n−1)
2
cosn−2 θsen2θ + · · · = P (cos θ, senθ),
onde P é um polinômio conveniente, homogêneo e de grau n nas duas
variáveis cos θ e senθ.
(b) sennθ = n cosn−1 θsenθ − n(n−1)(n−2)
6
cosn−3 θsen3θ + · · · = Q(cos θ, senθ),
onde Q é um polinômio conveniente, homogêneo e de grau n nas duas
variáveis cos θ e senθ.
38. Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade
π
4
= arctan 1
2
+ arctan 1
3
.
39. Calcule (5− i)4(1 + i) e deduza a igualdade
π
4
= 4arctan 1
5
− arctan 1
239
.
40. Prove que as soluções da equação quadrática
az2 + bz + c = 0,
onde a, b, c ∈ C e a ̸= 0, são dadas pela fórmula quadrática usual, isto é, por
z = −b±
√
b2−4ac
2a
.
Use esta fórmula para encontrar as soluções de z2 + 4z + 5 = 0.
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41. Mostre que o número
3
√
2 +
√
5 +
3
√
2−
√
5 é inteiro.
42. Quantas determinações posśıveis tem 3
√
2 + 11i + 3
√
2− 11i? Prove que uma
destas determinações é 4.
43. Existe uma fórmula chamada de Fórmula de Cardano que fornece as ráızes da
equação do terceiro grau; x3 + ax+ b = 0. A fórmula é a seguinte:
x = 3
√
− b
2
+
√
b2
4
+ a
3
27
+ 3
√
− b
2
−
√
b2
4
+ a
3
27
.
Resolver usando a Fórmula de Cardano:
(a) Determine as ráızes da equação x3 + 3x− 4 = 0.
(b) Determine as ráızes da equação x3 − 15x− 4 = 0.
(c) Seja v o volume de um cubo de aresta x, e v′ o volume de um para-
leleṕıpedo retângulo cuja área da base é3, e cuja altura é igual a x.
Determine x de modo que v = v′ + 1.
44. Mostre que três pontos a, b e c no plano são colineares se, e somente se,
det
 1 a a1 b b
1 c c
 = 0.
45. Uma ordem num corpo K consiste em dar um subconjunto K+ de K tal que:
(i) se x, y ∈ K+ então x + y ∈ K+ e xy ∈ K+ (K+ é chamado o conjunto de
elementos positivos) e
(ii) dado x ∈ K então apenas uma das possibilidades se verifica: ou x ∈ K+,
ou x = 0 ou −x ∈ K+.
Segue dáı que o quadrado de qualquer elemento não nulo de K é positivo. De
fato, se x ∈ K+ então x2 ∈ K+ por (i). Por outro lado, se −x ∈ K+ então
(−x)2 = (−x)(−x) = x2 ∈ K+, por (i) novamente. Conclua que o corpo C não
pode admitir uma ordem.
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Sugestões e Respostas
2. (f) Caso 0 < a < 1: circunferência de centro ( 1
1−a2 , 0) e raio
a
1−a2 .
3. (d) z = 1
2
±
√
3
2
i. 4.
√
3
4
. 5. Retângulo. 6. Três valores: −2, 0 e 2.
8. Use indução sobre n e a relação de Stifel
(
n
k − 1
)
+
(
n
k
)
=
(
n+ 1
k
)
,
onde
(
n
k
)
= n!
k!(n−k)! , para 0 ≤ k ≤ n, e por convenção 0! = 1.
9. (a) Note que m2 + n2 = |m+ ni|2. 10. Veja que |z+w|2 = (z+w) · (z+w).
11. Note que −−→z1z2 = −−→z4z3. 12-13. Verifique que |z+w|2 = |z|2+2Re(zw)+ |w|2.
14-16. Use o exerćıcio 12. 17. Mostre que |z + w|2 < |1 + zw|2.
18. Desenvolva
n∑
j=1
(zj − twj)(zj − twj), para t ∈ R. 19. (a-b) P (z) = P (z).
20-22. Use o exerćıcio 19. 25. Fatore p(z)− p(a). 26. Use o exerćıcio 25.
29. Mostre que (z−1)(1+z+z2+· · ·+zn−1) = zn−1. 30-31. Use o exerćıcio 29.
32-33. Considere os n vértices do poĺıgono como as ráızes n-ésimas da unidade.
34. Use a representação polar. 35. Para n ∈ N, use indução.
40. Complete o quadrado para obter
(
z + b
2a
)2
= b
2−4ac
4a2
.
41. Escrevendo x =
3
√
2 +
√
5 +
3
√
2−
√
5, verifique que x3 + 3x− 4 = 0.
42. Escrevendo z = 3
√
2 + 11i+ 3
√
2− 11i, verifique que z3 − 15z − 4 = 0.
43. (a) 1 e −1
2
± i
√
3
2
. (b) 4 e −2±
√
3. (c) x = 2 cos π
9
.
44. Verifique que
∣∣∣∣∣∣
1 a a
1 b b
1 c c
∣∣∣∣∣∣ = 0 se, e somente se,
∣∣∣∣∣∣
1 a1 a2
1 b1 b2
1 c1 c2
∣∣∣∣∣∣ = 0, onde
a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 e c = c1 + ic2.
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