Variaveis Complexas_1_2019_04

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Capítulo 4 – Funções Complexas Elementares 
UFPA /ITEC/FEEB – Funções de Uma Variável Complexa – Rsana Sares 23 
 
(A) FUNÇÃO EXPONENCIAL 
DEFINIÇÃO 
Seja D um conjunto de números complexos e f uma função complexa exponencial definida sobre D 
cuja regra que associa a todo z em D um número complexo w, é conforme mostrada abaixo: 
 
Seja onde e são números complexos sendo que u e v são 
funções reais de x e y. Desse modo, 
 
Sendo, 
 e 
E, 
 ou ainda onde 
*Lembrete: A notação arg(z), em geral representa um conjunto de valores, mas o argumento θ de um número complexo 
que se encontra no intervalo −π < θ ≤ π é denominado de argumento principal e representado por Arg(z). 
Assumindo o domínio D o conjunto de todos os números complexos, ou seja, que e 
 então para todo . 
 
ANALITICIDADE/DERIVADA 
 
Analisando as funções reais e é observado que as 
mesmas são contínuas em D ( todo o plano 
Calculando suas derivadas parciais de primeira ordem, tem-se que: 
 
Observa-se que além de serem contínuas em todo o plano Z, também satisfazem as condições de 
Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
Portanto é analítica em D (todo o plano , ou seja, é uma função inteira, de modo 
que sua derivada existe em todos os pontos de D e pode ser determinada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES COMPLEXAS ELEMENTARES 
Capítulo 4 – Funções Complexas Elementares 
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PROPRIEDADES 
Existem algumas propriedades da função exponencial complexa que são semelhantes às 
propriedades da função exponencial real, tais como: 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
A função exponencial real não é periódica, mas demonstra-se que a função exponencial complexa é 
periódica de período . 
 Seja . Logo , ou ainda , ou mesmo 
 . 
MAPEAMENTO 
Como a função exponencial complexa é periódica, diferentes pontos do plano z podem ser mapeados 
para um mesmo ponto no plano , pois o resultado do mapeamento de um ponto z qualquer 
usando a função exponencial complexa é o mesmo se o mapeamento for de outros pontos , 
ou , ou ... e assim por diante. Assim, devido a periodicidade da função exponencial 
complexa, ao utilizá-la para fazer mapeamento, torna-se necessário restringir o domínio para regiões 
em que um ponto no plano W corresponda a apenas um ponto na região restrita do plano z. Na figura 
abaixo: 
A região fundamental é definida por 
 e . 
O mapeamento da região fundamental do plano z para 
o plano , tem como resultado todo o 
plano w exceto a origem já que para todo z. 
 
Exemplo do mapeamento de uma reta vertical no plano z para o plano 
 
 
Observar que uma reta horizontal no plano z, ou seja, paralela ao eixo real passando cruzando o eixo 
imaginário em y é mapeada pela função exponencial para o plano w em uma reta que começa nas 
proximidades da origem (sem tocar a origem) e forma um ângulo y com o eixo real. 
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(B) FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
DEFINIÇÃO 
Seja D um conjunto de números complexos e f uma função complexa logaritmica definida sobre D cuja 
regra que associa a todo z em D um número complexo w, é conforme mostrada abaixo: 
 
Seja onde e são números complexos sendo que u e v são 
funções reais de x e y. Sabendo que se então, 
 ou ainda 
 
Sendo, e 
Lembrando que a notação arg(z), em geral representa um conjunto de valores, mas que o argumento 
de um número complexo que se encontra no intervalo [−π, π] é denominado de argumento principal e 
representado por Arg(z), então será utilizada para denotar o logaritmo complexo 
que tem vários valores e para denotar o logaritmo complexo do valor principal, ou 
seja do argumento principal. Desse modo, sendo , com 
 = ) onde 
 = 
Obs: pode ser utilizado para calcular todas as soluções de , para . deve ser 
utilizado quando houver necessidade de fazer mapeamento 
PROPRIEDADES 
Existem algumas propriedades da função logarítmica complexa que são semelhantes às propriedades 
da função logarítmica real, tais como: 
a) 
b) 
c) 
d) , como só tem uma solução, 
é válida para e e 
ANALITICIDADE/DERIVADA 
Analisando a função , observa-se que a mesma 
é contínua no plano complexo z excluindo a origem do plano, 
desde que a função não é definida neste ponto, e também o eixo 
real negativo, pois a variação do argumento – para os 
pontos próximos dessa região caracteriza uma descontinuidade da 
função 
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Logo, o domínio D em que a função logarítmica é contínua: 
 
 
Desse modo, sendo , com 
 = 
Sendo, 
 e 
Calculando suas derivadas parciais de primeira ordem, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que além de serem contínuas no domínio em que f(z) é contínua também satisfazem as 
condições de Cauchy-Riemann no mesmo domínio 
 
 
Portanto é analítica em D de modo que sua derivada existe em todos os 
pontos de D e pode ser determinada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAPEAMENTO 
Considerando que a função logarítmica é o inverso da função exponencial, pois se então, 
 , o mapeamento também se dará de forma inversa: 
a) mapeado para e 
b) mapeado para uma reta vertical e 
c) mapeado para uma reta horizontal e 
(C) FUNÇÃO POTÊNCIA COMPLEXA 
DEFINIÇÃO 
Seja D um conjunto de números complexos e f uma função com expoente e base complexos definida 
sobre D cuja regra que associa a todo z em D um número complexo w, é conforme mostrada abaixo: 
 . 
A função com expoente e base complexos pode ser definida em termos da função exponencial e 
logarítmica, conforme abaixo: 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Logo , para 
Assim em geral define múltiplos valores devido a função logarítmica 
 onde, 
Contudo, a função também pode ser definida em termos de um único valor, considerando apenas o 
valor principal do logaritmo de z, ou seja: 
 
PROPRIEDADES 
Com base na definição de é possível demonstrar que as propriedades são 
análogas as da função com potencia real, ou seja: 
(a) (b) (c) 
ANALITICIDADE/DERIVADA 
Analisando a função , observa-se que a mesma sendo definida pela 
exponencial de um logaritmo, terá o domínioD de analiticidade definido pelas duas funções. Sabendo 
que a função exponencial é uma função inteira, então o domínio da função potencia complexa será o 
mesmo da função logarítmica, ou seja: 
 Domínio D: 
 
Desse modo, a função é derivável em D, sendo, sua 
derivada calculada pela regra da cadeia, conforme abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(D) FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
DEFINIÇÃO 
Seja D um conjunto de números complexos e f uma função trigonométrica definida sobre D cuja regra 
que associa a todo z em D um número complexo w, é conforme mostrada abaixo: 
 e 
As funções trigonométricas complexas podem ser definidas em termos da função exponencial 
complexa, conforme abaixo: 
 
 
 
 e 
 
 
 
As demais funções trigonométricas podem ser definidas a partir de e , conforme 
mostrado abaixo: 
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Um valor de para o qual , se diz que o valor é um zero da função. 
Os zeros de são os números , e os de são 
 
 
 sendo que 
 
 
PROPRIEDADES 
Com base na definição das funções trigonométricas complexas é possível demonstrar que suas 
propriedades em sua maioria são análogas as das funções trigonométricas reais. Algumas delas são 
mostradas abaixo: 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
 
A função trigonométrica complexa também é periódica de período , conforme mostrado abaixo: 
Seja 
 
 
 então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo que 
Logo: 
 
 
 
Existem, contudo, outras propriedades das funções trigonométricas reais que não “funcionam” para as 
funções trigonométricas complexas. Por exemplo: 
 e sendo que x é real 
 e podem ser maiores do que 1 sendo que z complexo 
ANALITICIDADE/DERIVADA 
Analisando as funções e observa-se que as mesmas 
sendo definidas pela exponencial complexa, terão o domínio D de analiticidade definido por ela. 
Sabendo que a função exponencial é uma função inteira, então o domínio das referidas funções será o 
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mesmo da função exponencial, ou seja, todo o plano complexo. Vale ressaltar que para as demais 
funções trigonométricas o domínio será restrito aos pontos em que o denominador é diferente de zero. 
O cálculo da derivada das funções trigonométricas pode ser realizado com base na derivada da 
função exponencial complexa. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(E) FUNÇÃO HIPERBÓLICA 
DEFINIÇÃO 
Seja D um conjunto de números complexos e f uma função hiperbólica definida sobre D cuja regra que 
associa a todo z em D um número complexo w, é conforme mostrada abaixo: 
 e 
As funções trigonométricas complexas podem ser definidas em termos da função exponencial 
complexa, conforme abaixo: 
 
 
 
 ou 
 
 
 
As demais funções trigonométricas podem ser definidas a partir de e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As funções e são periódicas com período . Seu quociente 
também é periódico com período . Os zeros de são os números , e os de 
 são 
 
 
 onde 
PROPRIEDADES 
Com base na definição das funções hiperbólicas complexas é possível demonstrar que suas 
propriedades em sua maioria são análogas as das funções hiperbólicas reais. Algumas delas são 
mostradas abaixo: 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e)