Variaveis Complexas_Cap_1

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Capítulo 1 – Variáveis e Números Complexos 
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CAPÍTULO 1 – VARIÁVEIS E NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
(A) INTRODUÇÃO: ORIGEM E CONCEITO 
 
UM POUCO DA HISTÓRIA 
Durante muitos séculos de estudo de equações algébricas, os matemáticos pensavam nelas como 
meios de resolver problemas concretos. Um bom exemplo disto pode ser encontrado no livro “Ars 
Magna” (A Grande Arte) de Giarolamo Cardano (1501-1576) publicado em 1545. Nessa obra, o autor 
discute o problema de encontrar dois números x e y cuja soma seja 10, ou seja, x + y =10 e cujo 
produto seja 40 ou xy = 40. Este problema gera uma equação quadrática x2 −10x + 40 = 0, cujas 
raízes são e . Desse modo, ele observa que estes números não existem. Em 
outro livro, diz que: “Raiz quadrada de 9 é 3 ou –3, mas não é nem 3, nem –3 e sim alguma 
terceira espécie de coisa misteriosa.” 
O maior triunfo de Cardano foi dar uma fórmula para resolver uma equação cúbica, com a forma dada 
por x3 + px + q = 0, usada ainda hoje como Fórmula de Cardano. A sua fórmula dava soluções para 
muitas equações cúbicas, mas em certos casos havia uma “aberração”, pois apareciam as raízes 
quadradas de números negativos. 
O passo que faltava para o entendimento dessas coisas misteriosas foi fornecido por Rafael Bombelli 
(1526-1572), discípulo de Cardano. No seu livro “Álgebra”, Bombelli ampliou as ideias de Cardano em 
diversas direções. Ele argumentou que era possível operar com essa “nova espécie de radical” apesar 
de não pensar neles como números. Simplesmente usava as operações aritméticas com eles. Esse foi 
o primeiro sinal de que os números complexos poderiam ser ferramentas úteis. 
Mas o preconceito e a resistência entre os ilustres da matemática continuaram. Meio século mais 
tarde, Albert Girard e Renée Descartes afirmaram que uma equação algébrica de grau n terá n raizes, 
desde que se permitam raízes “verdadeiras” (reais positivas), raízes “falsas” (reais negativos) e raízes 
“imaginárias” (complexas). Isso ajudou a tornar a teoria geral das equações algébricas mais simples e 
arrumada. 
O próximo passo foi de Abraham De Moivre no início do século XVIII. Está implícito no trabalho de De 
Moivre a seguinte fórmula: 
(cos(x)+isen(x))n= cos(nx) + isen(nx) , para n inteiro. 
Alguns anos mais tarde, Leonhard Euler, usando cálculo descobriu que: 
eix =cos(x)+isen(x) , para x medido em radianos. 
Para x = π , esta expressão se torna eiπ = −1 , que relaciona alguns dos mais importantes números da 
Matemática: os números irracionais “e” e “π”, o número imaginário i e o número 1 com o sinal 
negativo. 
Em meados do século XVIII sabia-se que os números complexos tinham uma ligação profunda com as 
funções trigonométricas e exponenciais. Mas persistiam alguns problemas. Para Euler, a raiz 
quadrada de -2 ainda era um problema. 
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Carl F. Gauss (1787-1855) foi um dos mais impressionantes homens nos séculos XVIII e XIX. Em sua 
tese de doutorado, na Universidade de Helmstadt, escrita aos vinte anos de idade, deu a primeira 
demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra, o qual afirma que uma equação polinomial, com 
coeficientes complexos, e de grau n>0, tem pelo menos uma raiz complexa. Euler, D’Alembert e 
Lagrange haviam feitos tentativas frustradas desta prova. A ideia por trás da demonstração de Gauss 
é a substituição de z por x + iy, na equação polinomial geral f (z) = 0. Foi Gauss quem propôs o termo 
“números complexos”. 
No século XIX, as coisas começaram a ser colocadas em ordem. O matemático francês J. R. Argand 
foi o primeiro a sugerir em 1806 que seria possível representar geometricamente os complexos em um 
plano. 
Gauss propôs a mesma idéia em 1831 de modo que o plano no qual os complexos são representados 
é chamado de plano de Argand-Gauss. 
 
“Texto extraído do Guia do Professor da Série Matemática na Escola – Um Sonho Complexo - Autor Otília W. Paques - 
Universidade Estadual de Campinas e Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica” 
 
TABELA 
TARTAGLIA 
(CERCA DE 1500-1557) 
CARDANO 
(1501-1576) 
BOMBELLI 
(CERCA DE 1526-1573) 
EULER 
(1707-1783) 
GAUSS 
(1777-1855) 
DESCOBRIU UMA FÓRMULA 
GERAL PARA RESOLVER 
EQUAÇÕES DO TIPO 
X³ + PX = Q, COM P, Q 
SENDO NÚMEROS REAIS. 
MAS, ACABOU NÃO 
PUBLICANDO SUA OBRA 
QUEBROU UM 
JURAMENTO FEITO A 
TARTAGLIA, 
APRESENTANDO A 
FÓRMULA DE TARTAGLIA 
NA SUA OBRA ARS 
MAGNA. 
SURGE O IMPASSE DA 
RAIZ QUADRADA DE UM 
NÚMERO NEGATIVO. 
PROSSEGUIU COM A 
SOLUÇÃO ENCONTRADA 
POR CARDANO, 
CONSIDEROU A RAIZ 
QUADRADA DE -1 COMO 
UM NÚMERO 
"IMAGINÁRIO" E 
DESENVOLVEU REGRAS 
PARA TRABALHAR COM 
ESSE TIPO DE NÚMERO. 
USOU PELA 
PRIMEIRA VEZ O 
SÍMBOLO i PARA 
REPRESENTAR A 
RAIZ QUADRADA DE 
-1 
FEZ UM ESTUDO DA 
REPRESENTAÇÃO 
GEOMÉTRICA DOS 
NÚMEROS 
COMPLEXOS. EM 
1832, GAUSS 
INTRODUZ A 
EXPRESSÃO 
NÚMERO COMPLEXO. 
 
CONCEITO 
O símbolo i foi utilizado para designar o resultado de , o qual é denominado de unidade 
imaginária: 
 ou 
Desse modo, a definição de número complexo é: 
Qualquer número de forma , sendo que e são números reais e é a unidade 
imaginária. 
 é chamada de parte real de z , ou seja 
 é chamada de parte imaginária de z ou ainda, 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
O Conjunto dos números complexos é denominado C. Levando-se em conta que qualquer número 
real pode ser escrito como , é possível afirmar que o conjunto dos números reais R é um 
sub conjunto dos números complexos C. 
 
 
Diagrama dos conjuntos numéricos 
 
NÚMEROS COMPLEXOS x VARIÁVEIS COMPLEXAS 
Sendo comum utilizar a abstração de números reais em variáveis e , também pode ser utilizada a 
abstração de números complexos em variáveis complexas . 
(B) REPRESENTAÇÃO NO PLANO COMPLEXO 
Números reais podem ser representados por pontos em um eixo denominado de eixo real, conforme 
indicado na figura abaixo: 
 
Eixo Real 
Números complexos do tipo podem ser caracterizados por um par ordenado de números 
reais (x,y), podendo ser representados por um ponto no plano complexo. O plano complexo também é 
denominado de plano Z e os eixos x (eixo horizontal) e y (eixo vertical) como eixos real e imaginário 
respectivamente, conforme figura abaixo. 
 
Plano Complexo ou Plano Z – Eixo Real e eixo Imaginário 
 
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Um número complexo corresponde a um único ponto no plano Z (plano complexo), assim como para 
cada ponto no plano Z corresponde um único número complexo. Dessa forma é comum se referir a 
um número complexo como um ponto no plano Z. 
Na figura abaixo são representados diferentes pontos no plano Z os quais correspondem a diferentes 
números complexos. 
 
Plano Z (XY) – Pontos (x,y) representando Números complexos z=x+iy 
IGUALDADE 
Sejam os números complexos e . A igualdade será 
verdadeira somente se e . 
 
MÓDULO 
Módulo, valor absoluto ou norma de um número complexo é definido como sendo o 
número não negativo , o qual pode ser interpretado como a distância do ponto (x,y) à 
origem do plano complexo ou o tamanho do vetor que tem inicia na origem do plano complexo e 
termina no ponto (x,y). 
COMPLEXO CONJUGADO 
O complexo conjugado de é definido como sendo . 
 
PROPRIEDADES DO MÓDULO E DO CONJUGADO 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
(C) ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEXOS 
Números complexos podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos. Desse modo, 
considerando osnúmeros complexos e , tem-se que: 
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Adição: 
Subtração: 
Multiplicação: 
Divisão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As propriedades comutativa, associativa e distributiva dos números ou variáveis complexas: 
Comutativa: e 
Associativa: e 
Distributiva: 
Tomando como base as propriedades é possível estabelecer as regras para as operações básicas de 
adição (subtração), multiplicação e divisão: 
1. Para somar (subtrair) dois números complexos, basta somar (subtrair) suas correspondentes 
partes reais e imaginárias. 
2. Para multiplicar dois números complexos, basta utilizar a propriedade distributiva e o fato de 
que i 2 = −1. 
3. Para dividir z1 por z2, multiplica-se o numerador e denominador de z1/ z2 pelo conjugado de z2 e 
utiliza-se o fato de que 
 . 
 
(D) FORMA POLAR 
O ponto no plano complexo (x,y) pode ser representado na forma polar com (r,), sendo que r é a 
distancia do ponto à origem do plano complexo ou o tamanho do vetor que começa na origem do 
plano e termina no ponto (x,y) do plano e  é o ângulo que o referido vetor forma com o eixo real do 
plano complexo. 
 
 
Forma Polar 
 
 
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Sendo que: ; 
 
 ou 
Logo é a distância para a origem do plano e o angulo θ é a inclinação do vetor medido em 
radianos em relação ao eixo real positivo. O ângulo é medido no sentido anti-horário como positivo e 
no sentido horário como negativo. O angulo θ é denominado de argumento de z com a notação de θ = 
arg(z). 
Observação: O argumento θ de um número complexo quando representado por arg(z), em geral 
representa um conjunto infinito de valores, mas quando representado por Arg(z) assume um único 
valor que se encontra no intervalo −π < θ ≤ π e é denominado de argumento principal. 
 
EXPONENCIAL 
Sendo “e” a constante de Euler um número irracional de valor aproximadamente igual a 2,71828 e 
Manipulando-se as séries infinitas de MacLaurin abaixo para todos os valores reais da variável x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstra-se que se então 
 , a qual é denominada de identidade de Euler. 
 
E a partir da fórmula de Euler: 
1. Utilizando a representação polar, tem-se que: 
 = 
2. Assumindo 
 
(E) PROPRIEDADES 
PRODUTO E QUOCIENTE 
Sejam dois números complexos 
 ou 
 e ou 
 
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Logo: 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
Demonstra-se que: 
 
 
 
 
 
 
Com a propriedade do produto é possível obter fórmula de De Moivre, levando-se em conta o produto 
de n números complexos iguais e de módulo r, ou seja: 
 
Ou 
 
N-ÉSIMAS RAÍZES 
O número z é raiz n-ésima de um dado número complexo w, se . Para tanto, assuma que: 
 e 
Logo , ou seja e para k=0,1,2...n-1. 
Assim as n-ésimas raízes de z tem o mesmo módulo com diferentes argumentos, dados por: 
 
 
 e 
 
 
, com k=0,1,2...n-1 
VALOR ABSOLUTO 
Considerando que dado e que o valor absoluto é dado por , tem-se 
que: 
 , sendo que se então ; 
 ; 
 e ; 
 e 
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 , dado que a representação gráfica da soma conforme figura abaixo: 
 
Soma de Números complexos 
 
Considerando que e que então: 
 
 ou 
 
Sabendo que conforme mostra figura abaixo: 
 
Subtração de Números complexos 
E ainda: e 
 
(F) CONJUNTO DE PONTOS NO PLANO COMPLEXO 
As soluções de funções de uma variável complexa podem ser representadas no plano complexo por 
um ponto se a solução for única ou por um conjunto de pontos (fronteiras ou regiões) se existirem 
várias soluções. 
ALGUNS EXEMPLOS 
a. (ponto); 
b. (reta paralela ao eixo vertical); 
c. (reta paralela ao eixo horizontal) 
d. (reta de inclinação unitária, passando pela origem e no primeiro quadrante do 
plano) 
e. (Círculo centrado na origem e de raio igual a 3) 
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ALGUMAS TERMINOLOGIAS UTILIZADAS NA TEORIA DE CONJUNTOS 
a. Círculo: 
Supondo um ponto e assumindo . A 
distância entre dois pontos e é . Logo, 
 é um círculo de raio  e centrado em zo. 
b. Disco (fechado): 
Supondo um ponto e assumindo . A 
região definida por também é chamada de 
disco, ou mais apropriadamente, um disco fechado centrado 
em e raio . Esta região consiste do interior do círculo e 
do próprio C 
c. Vizinhança: 
Supondo um ponto e assumindo , sendo tão pequeno quanto se queira, 
 é vizinhança de , sendo um conjunto do tipo disco que excluí a fronteira 
(disco aberto). 
Afirmação: zo é um ponto no interior de um conjunto C se C for vizinhança de zo 
d. Vizinhança Perfurada: É um conjunto do tipo disco que exclui a fronteira e o centro. 
Supondo um ponto e assumindo então, 
e. Conjunto complementar de C: É o conjunto dos pontos que não pertencem ao conjunto C. 
f. Fronteira do conjunto C é o conjunto de pontos tais que suas vizinhanças contém pontos de C 
e pontos do seu complementar C’. 
g. Conjunto Aberto: Se e somente se ele não contém os pontos de sua fronteira. 
h. Conjunto Fechado: Quando o seu complementar é aberto ou quando incluí a fronteira.