Elementos de Maquina

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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CONTEÚDO
1 – SISTEMAS DE TRANSMISSÃO
- Engrenagens, correias, correntes e polias
2 – REBITES 3 – PINOS E CAVILHAS
4 – CÁLCULO DE ROSCAS 5 – PORCAS
6 – ARRUELAS 7 – ANÉIS ELÁSTICOS
8 – CHAVETAS 9 – BUCHAS
10 – GUIAS 11 – MANCAIS
12 – ROLAMENTOS 13 – MOLAS
14 – ACOPLAMENTOS 15 – VEDAÇÃO
16 – GAXETAS 17 – SELO MECÂNICO
18 – EIXOS E ÁRVORES 
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Calculando engrenagens cilíndricas
Engrenagem cilíndrica de dentes retos 
A engrenagem cilíndrica de dentes retos é a mais comum que existe. 
Para a sua construção é necessário considerar uma série de
dados, a saber:
>número de dentes (Z)
>diâmetro externo (de)
>módulo (m)
>diâmetro primitivo (dp)
>diâmetro interno (di)
>altura do dente (h)
>altura da cabeça (a)
>altura do pé do dente (b)
>passo (p)
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Cálculo do módulo
O módulo (m) de uma engrenagem é a
medida que representa a relação entre o
diâmetro primitivo (dp) dessa mesma
engrenagem e seu número de dentes (Z).
Essa relação é representada
matematicamente do seguinte modo:
m =
z
dp Com o módulo e o número
de dentes determina-se a
ferramenta a ser usada para
fresar a engrenagem.
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Cálculo do diâmetro externo
O diâmetro externo é igual
ao diâmetro primitivo (dp)
mais duas vezes a altura da
cabeça do dente (a) que, por
sua vez, é igual a um
módulo. Isso é fácil de
verificar, se você observar o
desenho a seguir.
Matematicamente, isso corresponde a: de = dp + 2m
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Exercício 1
Calcular o diâmetro primitivo de uma engrenagem cilíndrica de
dentes retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.
Exercício 2
Calcule o número de dentes da engrenagem que tenha um diâmetro
primitivo (dp) de 240mm e um módulo igual a 4.
Exercício 3
Calcular o módulo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos
cujo diâmetro externo (de) é igual a 45mm e o número de dentes (Z) é
28.
Exercício 4
Qual é o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica de dentes
retos cujo módulo (m) é igual a 3,5 e o número de dentes (Z) é igual a
42.
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Cálculo da altura total do dente
A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos é
igual a 2 módulos mais
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1de um módulo. O desenho a seguir ilustra esta 
definição. Observe.
h = 1m + 1m + 1/6 m
h = 6/6 m + 6/6 m + 1/6 m
h = 13/6 m
h = 2,166 m
A altura total do dente
da engrenagem é,
também, a soma da
altura da cabeça do
dente (a) mais a altura
do pé do dente (b), ou
seja, h = a + b.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 5
Calcule a altura total (h) dos dentes de uma engrenagem cujo módulo é 1,75.
Exercício 6
Calcule o módulo de uma engrenagem cuja altura total (h) do dente é 4,33mm.
Cálculo da altura do pé do dente da engrenagem
A altura do pé do dente da engrenagem (b) é 
h = 1m + 1/6 m
h = 6/6 m + 1/6 m
h = 7/6 m
h = 1,66 m
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 7
Calcule a altura do pé dente (b) de uma engrenagem cilíndrica, 
sabendo que o módulo é igual a 1,5.
Exercício 8
Calcule o módulo de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que a altura do pé 
do dente (b) é de 3,498mm.
Cálculo de diâmetro interno
Matematicamente isso é o mesmo que: di = dp - 2b
Como b é igual a 1,166 · m, podemos escrever:
di = dp - 2 · 1,166 · m
Portanto:
di = dp - 2,33 · m
Como dp = m · Z, também é possível fazer a 
substituição:
di = m · Z - 2,33 · m
Reescrevendo, temos:
di = m (Z - 2,33)
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Exercício 9
Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem
cilíndrica que tem um diâmetro primitivo de 75mm e um
módulo igual a 1,5.
Exercício 10
Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem
cilíndrica com 50 dentes e módulo igual a 1,5.
Exercício 11
Calcule o módulo de uma engrenagem da qual você
conhece o diâmetro interno (di = 37,67mm) e o número de
dentes (Z = 40).
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Cálculo do passo
O passo é a medida do arco da
circunferência do diâmetro primitivo
que corresponde a um dente e a um
vão da engrenagem.
Ele é calculado a partir do perímetro da circunferência do diâmetro
primitivo (dp · ) dividido pelo número de dentes da engrenagem,
porque o número de dentes corresponde ao número de passos.
Matematicamente isso dá: p = dp.π/Z
Como dp = m.Z, podemos escrever: m.π.Z/Z, então teremos:
p = m.π
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Exercício 12
Calcule o passo de uma engrenagem cujo módulo é 3.
Exercício 13
Sabendo que o passo de uma engrenagem é 12,56mm, calcule seu módulo.
Cálculo da distância entre eixos
Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo
isso em mente, dá para perceber que, além das
medidas que já calculamos, precisamos conhecer
também a distância entre os centros dos eixos que
apoiam as engrenagens. Essa medida se baseia no
ponto de contato entre as engrenagens.
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Esse ponto está
localizado na tangente
das circunferências
que correspondem aos
diâmetros primitivos
das engrenagens.
d = 
2
dpdp
21
+
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Exercício 14
Sabendo que o número de dentes da engrenagem 1 é 60 e o da engrenagem
2 é 150 e que seus módulos são iguais a 2, calcule a distância entre seus
centros.
Dica
Duas engrenagens acopladas
sempre têm o mesmo
módulo.
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Exercício 15
Calcule dp, de, di, h, a, b e p de uma
engrenagem cilíndrica de dentes retos com 45
dentes e módulo 4.
Exercício 16
Sabendo que o diâmetro externo de uma
engrenagem cilíndrica é de 88mm e que ela tem
20 dentes, calcule m, dp, di, h, a, b e p.
Exercício 17
Calcule a distância entre centros das duas
engrenagens dos exercícios 15 e 16.
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Gabarito
1. dp = 270mm
2. Z = 60
3. m = 1,5
4. de = 154mm
5. h = 3,79mm
6. m = 2
7. b = 1,75mm
8. m = 3
9. di = 71,50mm
10. di = 71,50mm
11. m = 1
12. p = 9,42mm
13. m = 4
14. d = 210mm
15. dp = 180mm, de = 188mm, di = 170,68mm
h = 8,664mm, a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
16. m = 4, dp = 80mm, di = 70,68mm, h = 8,664mm,
a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
17. d = 130mm
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Calculo de correias e polias planas
Comprimento da correia:
L = π ( D1 + D2) + 2 l
2 
Comprimento de correias cruzadas
Lc = π (R1 + R2) + 2 √ l
2 + ( R1 + R2)
2 , onde
L e Lc comprimento das correias 
D diâmetro das polias 1 e 2
R raio das polias 1 e 2 π= 3,1416
l distância entre os centros de eixos.
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Dimensão do perfil das correias em “V”
Largura B espessura e
Tamanho
pol mm pol mm
A 1/2 12,70 5/16 7,90
B 21/32 16,60 13/32 10,30
C 7/8 22,20 17/32 13,40
D 1 1/4 31,70 3/4 19,00
E 1 1/2 38,10 29/32 23,00
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Número das correias
▪ Normalmente a letra indica o tamanho do perfil 
e o número que precede indica o comprimento 
da correia, em polegadas, medida internamente.
Exemplo:
A- 60 B-75 C-90 D-120 E-180
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Valores de conversão para diâmetro das polias
valores de conversão
Tamanho Para polia em "V" Para polia lisa 
X mm Y mm
A 10,0 8,0
B 12,510,5
C 16,5 13,5
D 22,0 19,0
E 26,0 23,0
Para converter para 
diâmetro nominal e 
externo usamos a 
seguinte fórmulas: 
D = De - X 
Ou D = De – Y 
Dependendo se a polia for 
em V ou lisa
Onde D diâmetro 
nominal e De 
diâmetro externo.
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Calculo do comprimento da correia “V”
▪ Comprimento nominal da correia em V se 
calcula pela seguinte fórmula:
L = ( d + D ) π + 2l + ( D – d)2
2 4l
Onde d e D são os diâmetros nominais das polias motora e 
movida e l o comprimento entre eixos.
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Comprimento corrigido correias em “V”
Valores de Z 
(mm)
Tamanho fórmulas
A 25 L= comprimento nominal
B 32 Le = comprimento externo
C 42 Li = comprimento interno
D 60 Le = L + Z
E 72
Li = L - Z
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diametro 
nominal 
das 
polias Potência em HP da correia Limite de capacidade
tamanho da
coeficiente 
de MOTOR em HP usando uma
correia redução C Motora movida 1720 1140 850 ou mais correias.
mm mm
1:1 100 100 1,6 1,0 0,7
1:1 150 150 2,2 1,5 1,1
A 1:3 100 300 1,3 0,8 0,6 1/2 a 10 HP
1:3 125 375 1,6 1,1 0,8
1:6 75 450 0,9 0,6 0,4
1:1 150 150 2,9 2,0 1,5
1:1 190 190 3,5 2,4 1,8
B 1:3 150 450 2,6 1,8 1,3 1a 20HP
1:6 125 750 2,1 1,3 1,0
1:7,5 125 937,5 2,1 1,3 1,0
1:1 250 250 9,0 7,5 6,0
C 1:3 250 750 8,4 7,0 5,6
1:5 250 1250 7,9 6,6 5,3 15 a 100 HP
1:7 230 1510 7,4 6,2 5,0
1.1 380 380 17,7 15,7 13,3
1:2,5 380 950 16,0 14,3 12,0 50 A 250 HP
D 1:4,5 380 1710 15,7 14,0 11,8
1:7 330 2310 15,6 13,0 10,7
1:1 600 600 23,5 22,2 20,0
E 1:2 560 1120 22,0 19,7 17,6 90 A 250 HP
1:3 560 1680 21,4 19,0 17,0
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Observação:
Coeficiente de redução permitido em correias de:
- Tipo “V” -1 : 7,5
- Tipo plana – 1 : 5
Exemplo:
Qual será o diâmetro nominal da polia movida, sabendo-se 
que a polia motora tem o diâmetro nominal de 100 mm e 
o coeficiente de redução é de 1 : 4?
1 = 100 D = 4 x 100
4 D D = 400 mm.
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EXERCÍCIOS
Os dados que você tem são: a velocidade do motor e os diâmetros das
polias motoras e movidas.
A máquina tem quatro conjuntos de polias semelhantes ao mostrado na
figura a seguir.
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Exercício 1
Calcule a RPM dos conjuntos A, B, C e D, da relação da figura anterior.
1
2
2
1
D
D
 = 
n
n
1
2
2
1
D
D
 = 
n
n
1
2
2
1
D
D
 = 
n
n
Lembrete: 
Cálculo de rpm em conjuntos redutores de velocidade
Os conjuntos redutores de velocidade agrupam
polias de tamanhos desiguais de um modo
diferente do mostrado com a furadeira. São
conjuntos parecidos com os mostrados na
ilustração a seguir.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Apesar de parecer complicado pelo número de polias, o
que você deve observar nesse conjunto é que ele é
composto de dois estágios, ou etapas. Em cada um
deles, você tem de descobrir quais são as polias motoras
e quais são as polias movidas. Uma vez que você
descubra isso, basta aplicar, em cada estágio, a fórmula
que já aprendeu nesta aula.
Então, vamos supor que você tenha de calcular a
velocidade final do conjunto redutor da figura acima.
O que precisamos encontrar é a rpm das polias movidas do primeiro
e do segundo estágio. A fórmula, como já sabemos, é:
1
2
2
1
D
D
 = 
n
n
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Primeiro estágio:
n1 = 1000
n2 = ?
D2 = 150
D1 = 60 
n2 = 400
No segundo estágio, a polia motora está acoplada à polia
movida do primeiro estágio. Assim, n2 da polia movida do
primeiro estágio é n1 da polia motora do segundo estágio
(à qual ela está acoplada), ou seja, n2 = n1. Portanto, o
valor de n1 do segundo estágio é 400.
n1 = 400
n2 = ?
D2 = 200
D1 = 50
n2 = 100 rpm
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Exercício 2
Um motor que possui uma polia de 160mm de diâmetro desenvolve
900 rpm e move um eixo de transmissão cuja polia tem 300mm de
diâmetro. Calcule a rotação do eixo.
Exercício 3
Uma polia motora tem 10 cm de diâmetro. Sabendo que a polia
movida tem 30 cm de diâmetro e desenvolve 1200 rpm, calcule o
número de rpm que a polia motora desenvolve.
Exercício 4
Se a polia motora gira a 240 rpm e tem 50 cm de diâmetro, que
diâmetro deverá ter a polia movida para desenvolver 600 rpm?
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Exercício 5
No sistema de transmissão por quatro polias representado abaixo, o eixo
motor desenvolve 1000 rpm. Os diâmetros das polias medem: D1 = 150mm,
D2 = 300mm, D3 = 80mm e D4 = 400mm. Determine a rpm final do sistema.
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Exercício 7
Uma polia motora tem 10 cm de diâmetro. Sabendo-se que a polia
movida tem 30 cm de diâmetro e desenvolve 1200 rpm, calcule o
número de rpm da polia motora.
Exercício 8
Se uma polia motora gira a 240 rpm e tem 50 cm de diâmetro, qual
será o diâmetro da polia movida para que ela apresente uma
velocidade de 600 rpm?
Exercício 9
Uma engrenagem motora tem 20 dentes e a outra, 30. Qual é a rpm
da engrenagem maior, se a menor gira a 150 rpm?
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Exercício 10
Qual o número de dentes necessários à engrenagem A (motora)
para que A e B girem respectivamente a 100 e 300 rpm?
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Exercício 11
Na figura abaixo, qual é a rpm da engrenagem B, sabendo que a
engrenagem A gira a 400 rpm? Observe que as engrenagens
intermediárias T1 e T2 têm a função de ligar duas engrenagens que
estão distantes uma da outra e não têm influência no cálculo.
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Exercício 12
Calcular a rpm da engrenagem B, sabendo que A é motora e gira a 260
rpm.
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