Aula-4-Distribuicao-Normal-final

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Distribuição NORMAL
Prof. Elisson de Andrade
eapandra@uol.com.br
AVISO
No site existe uma TABELA para vocês imprimirem para a próxima aula
Vamos utilizar na prova, ok?
O que é uma distribuição de probabilidade?
Mostra o comportamento de uma variável aleatória, vinculada às suas probabilidades de ocorrência
Vamos mostrar isso com o exemplo de uma MOEDA
CARA = Sucesso → p = 0,8
COROA = Fracasso → q = 0,2
Ao jogar apenas UMA moeda, qual a distribuição de probabilidade?
	N. Caras	P(X)
	0	0,2
	1	0,8
Distribuição de Probabilidade
0	1	0.19999999999999998	0.8	AGORA VOCÊ: ao jogar DUAS moedas, qual a distribuição de probabilidade?
Distribuição de Probabilidade
	N. Caras	P(X)
	0	0,04
	1	0,32
	2	0,64
0	1	2	3.9999999999999987E-2	0.31999999999999995	0.64	Mais Uma: ao jogar TRÊS moedas, qual a distribuição de probabilidade?
Distribuição de Probabilidade
	N. Caras	P(X)
	0	0,008
	1	0,096
	2	0,384
	3	0,512
0	1	2	3	7.9999999999999967E-3	9.599999999999996E-2	0.38400000000000001	0.51200000000000012	Finalmente: ao jogar CINCO moedas, qual a distribuição de probabilidade?
Distribuição de Probabilidade
	N. Caras	P(X)
	0	0,00032
	1	0,0064
	2	0,0512
	3	0,2048
	4	0,4096
	5	0,32768
0	1	2	3	4	5	3.2000000000000008E-4	6.3999999999999968E-3	5.1199999999999954E-2	0.20479999999999993	0.40959999999999996	0.32768000000000008	Agora vejamos no Excel, a distribuição de probabilidade desse mesmo problema, para 7, 10, 20, 50 e 100 jogadas de moeda
Veja que uma distribuição BINOMIAL, quando n é grande, se aproxima do seguinte formato:
A esse tipo de formato, damos o nome de DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Observação: vejam uma diferença
Variável Discreta
Variável Contínua
67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	8.1355695265186419E-4	1.5792576139712659E-3	2.9296373128742371E-3	5.1896432399486485E-3	8.7712280111808157E-3	1.4131422906902429E-2	2.168108719963116E-2	3.1642667804867075E-2	4.3877832689415669E-2	5.7733990380810063E-2	7.1980039955295658E-2	8.4899534306246208E-2	9.4571633151261603E-2	9.9300214808824727E-2	9.8074286230937988E-2	9.0898118945747466E-2	7.8851380290286918E-2	6.3832069758803692E-2	4.806179370074630	7E-2	3.3531483977264902E-2	2.1583483939388894E-2	1.2753876873275253E-2	6.878495392328242E-3	3.3628199695826867E-3	1.4781626239923913E-3	5.7841146156224093E-4	1.9902329860206126E-4	5.9283535753805565E-5	Ou seja, vamos poder fazer cálculos referentes a uma DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, utilizando a DISTRIBUIÇÃO NORMAL, quando n for grande
PORÉM, isso sempre será uma aproximação
Mas por qual razão utilizar essa aproximação? Por que a distribuição normal é tão importante?
1. Teorema do Limite Central: para um n grande, a distribuição da MÉDIA de qualquer distribuição tende a uma normal
Vejamos um exemplo: cada aluno vai jogar um dado 4 vezes, anotar os valores e calcular a média. Repetir isso 2 vezes. Depois, me passem os 2 valores de média para eu inserir no Excel. 
VAMOS ANOTAR A MÉDIA E DESVIO PADRÃO
2. Toda distribuição normal poderá ser obtida conhecendo-se apenas 2 PARÂMETROS: média e desvio padrão
3. O ponto máximo da curva normal está na MÉDIA, que também é mediana e moda da distribuição
4. A média poderá ser um valor positiva, zero ou negativo. 
5. A distribuição normal é SIMÉTRICA. Extremos tendem ao infinito.
6. Desvio padrão define o quanto uma curva é achatada ou larga. 
Valores maiores: curvas mais largas e achatadas (maior variabilidade)
Ativo 1	-9.9915735675870601E-2	-9.5339871689375993E-2	-9.0764007702881386E-2	-8.6188143716386778E-2	-8.161227972989217E-2	-7.7036415743397563E-2	-7.2460551756902955E-2	-6.7884687770408347E-2	-6.330882378391374E-2	-5.8732959797419132E-2	-5.4157095810924524E-2	-4.9581231824429917E-2	-4.5005367837935309E-2	-4.0429503851440701E-2	-3.5853639864946094E-2	-3.1277775878451486E-2	-2.6701911891956878E-2	-2.2126047905462271E-2	-1.7550183918967663E-2	-1.2974319932473055E-2	-8.3984559459784475E-3	-3.822591959483838	9E-3	7.5327202701076963E-4	5.3291360135053782E-3	9.9049999999999867E-3	1.4480863986494594E-2	1.9056727972989202E-2	2.363259195948381E-2	2.8208455945978417E-2	3.2784319932473029E-2	3.7360183918967636E-2	4.1936047905462244E-2	4.6511911891956852E-2	5.1087775878451459E-2	5.5663639864946067E-2	6.0239503851440675E-2	6.4815367837935289E-2	6.9391231824429897E-2	7.3967095810924505E-2	7.8542959797419112E-2	8.311882378391372E-2	8.7694687770408328E-2	9.2270551756902935E-2	9.6846415743397543E-2	0.10142227972989215	0.10599814371638676	0.11057400770288137	0.11514987168937597	0.11972573567587058	0.12430159966236519	1.3607954676411745E-14	2.4344568380458053E-13	3.852199617965412E-12	5.3915416980105631E-11	6.6744369169927819E-10	7.3082564212836018E-9	7.077997432089126E-	8	6.0632364436920369E-7	4.5940539174418778E-6	3.0788260409368288E-5	1.8250370869190536E-4	9.5687612163069472E-4	4.4374882873574354E-3	1.8201878127748112E-2	6.6037810304643119E-2	0.21191739483636843	0.60150331921604672	1.5101042498508701	3.3533069663464534	6.5862342393142548	11.44190962895825	17.581557041186297	23.895363119409584	28.725487965085396	30.543491089465629	28.725487965085421	23.895363119409623	17.58155704118634	11.441909628958287	6.5862342393142814	3.3533069663464685	1.5101042498508783	0.60150331921605049	0.21191739483636993	6.6037810304643521E-2	1.8201878127748275E-2	4.4374882873574519E-3	9.5687612163069809E-4	1.8250370869190701E-4	3.0788260409368396E-5	4.5940539174419015E-6	6.0632364436920581E-7	7.0779974320891776E-8	7.3082564212837052E-9	6.6744369169928284E-10	5.3915416980106013E	-11	3.8521996179654395E-12	2.4344568380458401E-13	1.	3607954676411939E-14	6.7279244957413993E-16	Ativo 2	-9.9915735675870601E-2	-9.5339871689375993E-2	-9.0764007702881386E-2	-8.6188143716386778E-2	-8.161227972989217E-2	-7.7036415743397563E-2	-7.2460551756902955E-2	-6.7884687770408347E-2	-6.330882378391374E-2	-5.8732959797419132E-2	-5.4157095810924524E-2	-4.9581231824429917E-2	-4.5005367837935309E-2	-4.0429503851440701E-2	-3.5853639864946094E-2	-3.1277775878451486E-2	-2.6701911891956878E-2	-2.2126047905462271E-2	-1.7550183918967663E-2	-1.2974319932473055E-2	-8.3984559459784475E-3	-3.8225919594838389E-3	7.5327202701076963E-4	5.3291360135053782E-3	9.9049999999999867E-3	1.4480863986494594E-2	1.9056727972989202E-2	2.363259195948381E-2	2.8208455945978417E-2	3.2784319932473029E-2	3.7360183918967636E-2	4.1936047905462244E-2	4.6511911891956852E-2	5.1087775878451459E-2	5.5663639864946067E-2	6.0239503851440675E-2	6.4815367837935289E-2	6.9391231824429897E-2	7.3967095810924505E-2	7.8542959797419112E-2	8.311882378391372E-2	8.7694687770408328E-2	9.2270551756902935E-2	9.6846415743397543E-2	0.10142227972989215	0.10599814371638676	0.11057400770288137	0.11514987168937597	0.11972573567587058	0.12430159966236519	0.2195081518142161	0.29987790559641631	0.40427100166828855	0.53781760922722366	0.70604397404855834	0.91466653422598543	1.1693058805990657	1.4751214693502623	1.8363765558855574	2.2559527600140949	2.7348440625313146	3.27166962081728	3.8622521179176865	4.4993119424703352	5.1723260563454838	5.8675931131030143	6.5685330833230768	7.256230981773542	7.9102117926905224	8.509409627591614	9.0332713175740267	9.4629159925	200863	9.7822604219665994	9.9790169844415111	10.045478048050866	9.9790169844415129	9.7822604219666029	9.4629159925200899	9.0332713175740302	8.5094096275916176	7.9102117926905269	7.2562309817735464	6.5685330833230822	5.8675931131030179	5.1723260563454874	4.4993119424703396	3.8622521179176892	3.2716696208172809	2.734844062531316	2.2559527600140967	1.8363765558855587	1.4751214693502628	1.1693058805990666	0.91466653422598632	0.70604397404855834	0.5378176092272241	0.40427100166828889	0.29987790559641631	0.21950815181421635	0.15855908940592633	
7. As probabilidades da variável aleatória normal são dadas pelas áreas sob a curva. Área total = 1. Área à esquerda da média é igual a área à direita (ambas = 0,5)
8. Devido à simetria, as % das áreas sob a curva são padronizadas. Sendo as mais comuns, relacionadas ao desvio padrão
Veja o seguinteexercício
	Mês	Retorno ATIVO 1	Retorno ATIVO 2
	1	1,00%	2,00%
	2	-0,89%	-3,00%
	3	2,00%	5,00%
	4	1,50%	6,00%
	5	-0,30%	-4,00%
	6	3,00%	0,00%
	7	0,80%	0,50%
	8	3,00%	2,50%
	9	-1,50%	-4,00%
	10	2,50%	7,00%
	11	2,00%	3,00%
	12	0,70%	-2,00%
	13	-0,50%	-3,00%
	14	1,00%	8,00%
	15	1,50%	-4,00%
	16	2,20%	5,00%
	17	-1,00%	-2,00%
	18	0,00%	3,00%
	19	0,80%	4,00%
	20	2,00%	-4,19%
		Média	Desvio Padrão
	ATIVO 1	0,9905%	1,3061%
	ATIVO 2	0,9905%	3,9714%
Assumindo que os retornos possuem distribuição Normal
		Média - Desvio	Média	Média + Desvio
	Ativo 1	-0,3156%	0,9905%	2,2966%
	Ativo 2	-2,9809%	0,9905%	4,9619%
Binomial versus Normal
Binomial – Variável Discreta; Normal – Variável Contínua
Resultado importante: em uma distribuição binomial, com parâmetros n e p, à medida que n cresce, ela se aproxima de uma distribuição normal
Regra geral: np>5 quando p<=5, ou nq>5 quando p>5
Portanto, para uma distribuição binomial, quando n é grande, podemos chegar a resultados muito bons, se utilizarmos a distribuição Normal (transformando um problema discreto em contínuo)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA (PADRÃO)
Vamos deixar de lado a DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL e focar apenas na DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Normal Reduzida (padronizada)
Cria-se uma nova variável: Z
Que é calculada através da seguinte expressão
Vamos para um EXEMPLO?
	Dados
	4
	5
	2
	9
	8
	5
Considere os seguintes dados:
Calcule Média e Desvio Padrão:
Resp: Média = 5,5 e DP = 2,5884
Agora vamos PADRONIZAR os dados ao lado, criando uma coluna Z
	Z
	-0,5795
	-0,1931
	-1,3521
	1,3521
	0,9658
	-0,1931
Calcule Média e Desvio Padrão de Z:
Resp: Média = 0 e DP = 1
Normal Reduzida/Padronizada
Normal Reduzida (padronizada)
Ou seja, parte-se de uma variável original X
Chegamos a uma variável PADRONIZADA Z
Essa variável padrão tem média zero e desvio um
Sendo que temos uma TABELA com todos os valores de probabilidades para cada Z
Mas para tal, precisamos entender COMO FUNCIONA nossa tabela
A Tabela dá a probabilidade da variável assumir qualquer valor, entre a média zero e um valor positivo qualquer Z.
Z
A tabela nos dá a probabilidade dessa área
IMPORTANTÍSSIMO
E sabemos que essa área pontilhada possui probabilidade de 0,5
1) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(X < 24):
A tabela vai nos fornecer a probabilidade dessa área
Sabemos que a probabilidade dessa área é 0,5
1) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(X < 24):
1) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(X < 24):
0,8413
Deu para perceber que a NORMAL é uma distribuição com características únicas? Isso porque podemos calcular as probabilidades de sua distribuição apenas conhecendo sua média e desvio padrão
2) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(X > 25):
0,1056
3) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(X < 12):
0,0228
4) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(22 < X < 25):
0,2029
0,5
5) Seja X uma variável com distribuição normal de média 20 e desvio-padrão 4, determinar P(14 < X < 22):
0,6247
1,5
0,5
Lembra-se do exercício dos DADOS?
Com o valor da média e desvio-padrão de nosso experimento
Considere que esses dados tenham DISTRIBUIÇÃO NORMAL
E calcule qual a probabilidade de P(X<4)
1
4
20
24
=
-
=
-
=
s
m
X
Z
1
4
20
24
=
-
=
-
=
s
m
X
Z
(
)
(
)
??????
5
,
0
1
24
=
+
=
<
=
<
TABELA
Z
P
X
P
1
4
20
24
=
-
=
Z
(
)
(
)
%
13
,
84
8413
,
0
3413
,
0
5
,
0
1
24
ou
Z
P
X
P
=
+
=
<
=
<
25
,
1
4
20
25
=
-
=
Z
(
)
(
)
1056
,
0
3944
,
0
5
,
0
25
,
1
25
=
-
=
>
=
>
Z
P
X
P
2
4
20
12
-
=
-
=
Z
(
)
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1
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Z
P
X
P