turmadefevereiro-matematica2-Revisão sobre geometria espacial 1-05-11-2021-

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Matemática 
 
 
Revisão: Geometria Espacial 1 
 
Exercícios 
 
 
1. (Uerj 2021 - adaptada) Um recipiente com a forma de uma pirâmide de base quadrada foi 
completamente preenchido com um líquido. Sua aresta da base mede 4 𝑐𝑚 e a altura, 9 𝑐𝑚. Em 
seguida, todo esse líquido foi transferido para outro recipiente, com a forma de um prisma reto, sendo 
sua base um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4 𝑐𝑚. Considere que as espessuras 
dos recipientes são desprezíveis e que as bases estão em planos horizontais, sendo as alturas 
definidas em relação às bases. 
 
A altura ℎ, em centímetros, que o líquido atingirá no segundo recipiente é: 
a) 10 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
 
2. (Famerp 2018) A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A 
altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 𝑐𝑚, como indicam 
as figuras. 
 
Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a 
a) 
4√3
3
 
b) 
3√3
2
 
c) √3 
d) 3√3 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
e) 
6√3
5
 
3. (Upe - 2018) Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna que tem a forma da figura abaixo? 
 
 
a) 3,2 × 104 
b) 5,2 × 103 
c) 6,4 × 103 
d) 9,6 × 104 
e) 10,5 × 104 
 
 
 
4. (Famerp 2021) Um recipiente tem a forma de pirâmide regular de base hexagonal, como mostra a 
figura. Sabe-se que 𝐹𝐸 = 80 𝑐𝑚 e que a distância do vértice Q ao plano que contém a base hexagonal 
FAMERP é igual a 30 𝑐𝑚. 
 
A área de cada face externa lateral desse recipiente, em 𝑐𝑚2, é igual a 
a) 150√21 
b) 200√21 
c) 120√21 
d) 180√21 
e) 100√21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
 
 
5. (Unicamp 2020, Adaptada) A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces 
triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos 𝑎,  𝑏 e 𝑐. 
 
 
 
A soma do número de vértices e de arestas desse poliedro é 
a) 28 
b) 25 
c) 20 
d) 16 
e) 15 
 
 
6. (Ufrgs 2019) Considere o paralelepípedo de vértices 𝐴,  𝐵,  𝐶,  𝐷,  𝐸,  𝐹,  𝐺,  𝐻 e a pirâmide de vértices 
𝐵,  𝐹,  𝐺,  𝐻, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir. 
 
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é 
a) 
1
6
. 
b) 
1
5
. 
c) 
1
4
. 
d) 
1
3
. 
e) 
1
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
 
 
7. (Uefs 2018) Um cubo de isopor foi cortado em dois paralelepípedos reto-retângulos congruentes, cada 
um com área total igual a 144 𝑐𝑚2. A medida da aresta desse cubo é 
a) 6 𝑐𝑚. 
b) 8 𝑐𝑚. 
c) 12 𝑐𝑚. 
d) 18 𝑐𝑚. 
e) 24 𝑐𝑚. 
 
 
8. (G1 - epcar (Cpcar) 2022) Uma caixa d’água no formato de paralelepípedo reto retângulo, como 
ilustrado na figura abaixo, está inicialmente vazia. 
 
 
 
Abre-se um registro com capacidade de 100 
𝑐𝐿
𝑚𝑖𝑛
 para encher a caixa d’água. Quando ela está cheia, 
abre-se um ladrão com capacidade de esvaziá-la a 0,04 
ℎ𝐿
𝑚𝑖𝑛
 e fecha-se simultaneamente o registro. 
A diferença entre o tempo de encher e esvaziar a caixa d’água, nessa ordem, em horas, é 
a) menor que 10 
b) exatamente 10 
c) maior que 10 e menor que 20 
d) maior que 20 e menor que 25 
e) maior que 25 
 
 
 
9. (Espcex (Aman) 2020) Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces 
formadas por polígonos do tipo 𝑃. Com base nessas informações, pode-se concluir que o polígono 𝑃 é 
um 
a) dodecágono. 
b) octógono. 
c) pentágono. 
d) quadrilátero. 
e) triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
 
 
10. (Unesp 2016) Um cubo com aresta de medida igual a 𝑥 centímetros foi seccionado, dando origem ao 
prisma indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista superior desse prisma, sendo que 𝐴𝐸𝐵 é um 
triângulo equilátero. 
 
 
 
Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a 2(4 − √3)𝑐𝑚3, 𝑥 é igual a 
a) 2 
b) 
7
2
 
c) 3 
d) 
5
2
 
e) 
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
Gabaritos 
 
1. C 
O volume de líquido contido no recipiente em forma de pirâmide é 
1
3
⋅ 42 ⋅ 9 = 3 ⋅ 42. 
 
Portanto, a altura atingida no segundo recipiente é tal que 
3 ⋅ 42 =
1
2
⋅ 42 ⋅ ℎ ⇔ ℎ = 6𝑐𝑚. 
 
2. D 
Calculando: 
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 =
6 ⋅ 4
2
⋅ 3 = 36 𝑐𝑚2 
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =
1
3
⋅ 𝑏2 ⋅ 4 = 36 ⇒ 𝑏2 = 27 = 3√3 𝑐𝑚 
 
3. D 
Desde que a base do prisma é um triângulo retângulo de hipotenusa 10 𝑚 e cateto 8 𝑚, é fácil ver que 
tal triângulo é semelhante ao triângulo retângulo pitagórico de lados 5 𝑚,  4 𝑚e 3 𝑚. Logo, o outro cateto 
da base do prisma mede 6 𝑚. 
Sabendo que 1 𝑚3 = 1000 e que 1 = 1 𝐿, temos 
3
3
4
1
6 8 4 96 m
2
96000dm
9,6 10 L.
   =
=
=  
 
4. B 
O segmento 𝐹𝐸 corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito à base. Logo, segue que o lado do 
hexágono mede 
80
2
= 40𝑐𝑚. Ademais, o apótema da base mede 
40√3
2
= 20√3𝑐𝑚. 
Considerando o triângulo retângulo cujos catetos são a altura da pirâmide e o apótema da base, e cuja 
hipotenusa é o apótema, 𝐴, da pirâmide, temos 
𝐴2 = 302 + (20√3)2 ⇒ 𝐴2 = 2100    ⇒ 𝐴 = 10√21𝑐𝑚. 
 
A resposta é 
1
2
⋅ 40 ⋅ 10√21 = 200√21. 
 
5. B 
Considere a figura. 
 
Da figura, segue que o poliedro possui 9 vértices e 16 arestas. 
A soma do número de vértices e de arestas é: 9 + 16 = 25. 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
6. A 
Calculando: 
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 ⇒ {𝐻𝐺 = 𝑥 𝐺𝐹 = 2𝑥 𝐺𝐵 = 3𝑥 
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =
1
3
⋅ (
𝑥⋅2𝑥
2
) ⋅ 3𝑥 = 𝑥3 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑥 ⋅ 2𝑥 ⋅ 3𝑥 = 6𝑥
3 ⟩ ⇒
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜
=
1
6
 
 
7. A 
Do enunciado, temos 
 
 
Daí, 
2𝑥2 + 4 ⋅
𝑥
2
⋅ 𝑥 = 1442𝑥2 + 2𝑥2 = 1444𝑥2 = 144𝑥2 = 36 
 
Como 𝑥 > 0, 
𝑥 = 6 𝑐𝑚 
 
8. B 
Vamos, inicialmente, calcular o volume da caixa em Litros. 
100 𝑐𝑚 = 10 𝑑𝑚0,02 ℎ𝑚 = 20 𝑑𝑚400 𝑚𝑚 = 4 𝑑𝑚 
 
Portanto o volume da caixa será dado por: 
𝑉 = 10 ⋅ 20 ⋅ 4 = 800 𝑑𝑚3 = 800 𝐿 
Capacidade do registro em Litros: 100 
𝑐𝐿
𝑚𝑖𝑛
𝐿
𝑚𝑖𝑛
 
Portanto, serão necessários 800 minutos para encher a caixa. 
Capacidade do ladrão: 0,04 
ℎ𝐿
𝑚𝑖𝑛
𝐿
𝑚𝑖𝑛
 
Portanto, serão necessários 200 minutos para esvaziar a caixa. 
A diferença pedida é de 600 minutos, ou seja, dez horas. 
 
9. E 
Seja 𝑛 o número de lados de cada polígono do tipo 𝑃. 
Se 𝑉 = 13 e 𝐹 = 19, então, pela Relação de Euler, vem 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 ⇔ 13 + 19 = 𝐴 + 2 ⇔ 𝐴 = 30. 
 
Por outro lado, temos 
2𝐴 = 18 ⋅ 𝑛 + 1 ⋅ 6 ⇔ 𝐴 = 9𝑛 + 3. 
 
Desse modo, encontramos 
9𝑛 + 3 = 30 ⇔ 𝑛 = 3, 
 
ou seja, 𝑃 é um triângulo. 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
10. A 
Com os dados do enunciado, pode-se calcular: 
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 2(4 − √3) = 𝑥 ⋅ (𝑥
2 −
𝑥2 ⋅ √3
4
) 
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 2 ⋅ (4 − √3) =
𝑥3
4
⋅ (4 − √3) →
𝑥3
4
= 2 → 𝑥3 = 8 → 𝑥 = 2