Panoramaa-3ano-mat 02-Douglas

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Panorama-3°ano-mat02-Douglas de Souza
1. (Ufjf-pism 2 2020) O octaedro regular apresentado na figura a seguir será seccionado por um plano que passará por pontos do interior desse octaedro.
Quais tipos de polígonos poderão ser produzidos por este tipo de secção? 
a) Apenas quadriláteros, pentágonos, hexágonos e octógonos. 
b) Apenas triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos. 
c) Apenas quadriláteros. 
d) Apenas quadriláteros e hexágonos. 
e) Apenas quadriláteros, pentágonos e hexágonos. 
 
2. (Ufjf-pism 2 2020) Um poliedro convexo tem oito vértices e apenas faces triangulares e quadrangulares. O número de faces triangulares é o quádruplo das quadrangulares. O número de arestas desse poliedro é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (Fgv 2020) Uma pirâmide regular tem base quadrada de lado e faces triangulares congruentes com o triângulo abaixo:
O volume da pirâmide é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. (G1 - cmrj 2020 - Adaptada) Dona Zilah vai construir em sua casa uma piscina. Ela terá o formato de um paralelepípedo com de volume, de altura e de largura.
Qual será a medida do comprimento da piscina? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. (G1 - cftmg 2020) Uma empresa construiu um reservatório de água com dois cilindros justapostos, como na figura a seguir.
Sabe-se que o raio do cilindro maior é vezes o raio do cilindro menor e e são os volumes do cilindro menor e maior, respectivamente. Considere que e 
Se o reservatório possui capacidade total de então, o raio do cilindro maior é, em metros, igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
6. (Unioeste 2020) Um monumento deverá ser construído. O projeto original prevê para este monumento uma esfera de 1 metro de diâmetro, confeccionada em titânio. Devido ao alto custo do titânio, apenas 60% do volume de titânio necessário foi adquirido. Os arquitetos decidiram substituir a esfera por um cilindro circular reto com o titânio adquirido. O diâmetro da base do cilindro deve ainda ser de 1 metro. Assim, é CORRETO afirmar que a altura, em centímetros, deste cilindro será: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Uece 2020) Considere um sólido que possui exatamente cinco vértices dos quais quatro são os vértices da base (face inferior) de um cubo e o quinto é um dos vértices da face superior desse cubo. Se a medida da aresta do cubo é então, a medida do volume desse sólido, em é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
8. (Ufrgs 2020) Considere o cubo e os tetraedros e nos quais os pontos e são pontos médios de arestas do cubo, como representado na figura abaixo.
A razão entre a soma dos volumes dos tetraedros e e o volume do cubo é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. (Efomm 2019) Duas caixas cúbicas e retangulares perfeitas, têm seis faces de quadrados perfeitos. As faces da primeira caixa tem de área, e casa face da segunda caixa tem de área. A razão entre o volume da primeira caixa e o volume da segunda é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. (Ime 2019) Em um tetraedro os ângulos e são idênticos e a aresta é ortogonal à A área do é igual à área do e o ângulo é igual ao ângulo onde é ponto médio de Calcule a área total do tetraedro em sabendo que e que o ângulo é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [E]
Considere as figuras.
 
Sejam os três planos que passam pelo centro do octaedro e contêm das arestas do mesmo. Tais planos determinam três quadrados. Qualquer secção corta, no máximo, dois lados de cada quadrado e, portanto, arestas do octaedro. Desse modo, uma secção poderá produzir, no máximo, hexágonos. Por exemplo, na figura acima temos um plano paralelo a duas faces opostas determinando um hexágono.
A figura abaixo exibe um exemplo de secção que produz um pentágono.
Seja uma secção paralela a um dos quadrados mencionados acima. É fácil ver que serão cortados dois lados de cada um dos outros dois quadrados, determinando, portanto, um quadrilátero.
Finalmente como nenhuma secção contendo pontos internos do octaedro pode produzir um triângulo, segue o resultado. 
Resposta da questão 2:
 [C]
Sejam e respectivamente, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares. Logo, como temos 
em que é o número de arestas.
Ademais, se é o número total de faces, então
Portanto pela Relação de Euler, temos
A resposta é 
Resposta da questão 3:
 [B]
Temos a seguinte pirâmide:
Em que:
E:
Logo:
Portanto, o volume da pirâmide é igual a:
 
Resposta da questão 4:
 [B] 
Sabendo que:
Altura: 
Largura: 
Comprimento: 
Temos:
 
Resposta da questão 5:
 [B] 
De acordo com as informações do problema, podemos escrever que:
Sabendo que podemos escrever que:
Portanto, o raio maior dado por:
 
Resposta da questão 6:
 [E]
O volume de titânio adquirido foi de
Portanto, se é a altura do cilindro, então
 
Resposta da questão 7:
 [B]
O sólido em questão é uma pirâmide quadrangular. Logo, como a aresta da base da pirâmide e sua altura medem segue que a resposta é
 
Resposta da questão 8:
 [A]
Seja a medida da aresta do cubo. Logo, a soma dos volumes do tetraedros é dada por
Por conseguinte, como o volume do cubo é segue que a resposta é
 
Resposta da questão 9:
 [C]
Considerando que e são as medidas das arestas destes cubos podemos escrever que:
Portanto, a razão entre os volumes será dada por:
 
Resposta da questão 10:
 [D]
Do enunciado, seguem as figuras:
No triângulo 
Note que os triângulos e são congruentes (caso logo, 
Dessa forma, os triângulos e são congruentes (caso 
Portanto, a área total do tetraedro é dada por:
 onde é a medida da área do triângulo 
Então,
 
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:	08/12/2020 às 20:35
Nome do arquivo:	Panoramaa-3ano-mat.02-Douglas
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova	Q/DB	Grau/Dif.	Matéria	Fonte	Tipo
 
1	191944	Elevada	Matemática	Ufjf-pism 2/2020	Múltipla escolha
 
2	191945	Média	Matemática	Ufjf-pism 2/2020	Múltipla escolha
 
3	195359	Baixa	Matemática	Fgv/2020	Múltipla escolha
 
4	195390	Média	Matemática	G1 - cmrj/2020	Múltipla escolha
 
5	190937	Média	Matemática	G1 - cftmg/2020	Múltipla escolha
 
6	195929	Média	Matemática	Unioeste/2020	Múltipla escolha
 
7	194662	Baixa	Matemática	Uece/2020	Múltipla escolha
 
8	192105	Média	Matemática	Ufrgs/2020	Múltipla escolha
 
9	183804	Média	Matemática	Efomm/2019	Múltipla escolha
 
10	183558	Elevada	Matemática	Ime/2019	Múltipla escolha
 
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