CALCULO NUMERICO resposta lista 1

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LISTA 01 
QUESTÃO 01: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎 
𝑎 = 2 
𝑥𝑛 = 𝑥0 = 1 
𝜀 = 10−4 
𝒙𝒏+𝟏 =
𝟏
𝟐
(𝒙𝒏 +
𝒂
𝒙𝒏
) 
𝑥0 = 1 
𝑥1 =
1
2
(1 +
2
1
) =
3
2
 = 1,5 
𝑥2 =
1
2
(1,5 +
2
1,5
) = 1,416 
𝑥3 =
1
2
(1,416 +
2
1,416
) = 1,41421 
𝑥4 =
1
2
(1,41421 +
2
1,41421
) = 1,4142135 
𝑥4 − 𝑥3 < 10
−4 
1,4142135 − 1,41421 < 10−4 
0,0000035 < 10−4 
𝒙𝟒 é 𝒓𝒂í𝒛 𝒅𝒆 𝒙
𝟐 − 𝟐 = 𝟎. 
QUESTÃO 02: 
𝑓(�̅�) = √2𝜋𝑛 ∗ (
𝑛
𝑒
)
𝑛
 
A) 
𝑛 = 5,10,15,20 
𝑓(5) = 5! = 120 
𝑓(10) = 10! = 3628800 
𝑓(15) = 15! = 1,3076 ∗ 1012 
𝑓(20) = 20! = 2,4329 ∗ 1018 
𝑓(5̅) = √2𝜋5 ∗ (
5
𝑒
)
5
= 118,01 
𝑓(10̅̅̅̅ ) = √2𝜋10 ∗ (
10
𝑒
)
10
= 3,5987 ∗ 106 
𝑓(15̅̅̅̅ ) = √2𝜋15 ∗ (
15
𝑒
)
15
= 1,30043 ∗ 1012 
𝑓(20̅̅̅̅ ) = √2𝜋20 ∗ (
20
𝑒
)
20
= 2,42279 ∗ 1018 
B) 
𝐸𝑅5 =
𝑓(5) − 𝑓(5̅)
𝑓(5)
= 0,016583 
𝐸𝑅10 =
𝑓(10) − 𝑓(10̅̅̅̅ )
𝑓(10)
= 0,008294 
𝐸𝑅15 =
𝑓(15) − 𝑓(15̅̅̅̅ )
𝑓(15)
= 0,0054833 
𝐸𝑅20 =
𝑓(20) − 𝑓(20̅̅̅̅ )
𝑓(20)
= 0,004155 
QUESTÃO 03: 
A) 
𝐸𝐴 = 0,0020 − 0,0021 = −0,0001 
𝐸𝑅 =
𝑥 − �̅�
𝑥
=
−0,0001
0,0020
= −0,05 
B) 
𝐸𝐴 = 530000 − 529400 = 600 
𝐸𝑅 =
𝑥 − �̅�
𝑥
=
600
530000
= 0,0011320 
 
LISTA 2 
QUESTÃO 01: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
 
 
3 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 
𝐼1 = [−1; −0,5] 
𝐼2 = [0; 0] 
𝐼3 = [0,5; 1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 
 
 
2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 
𝐼1 = [0; 0] 
𝐼2 = [2; 4] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟏 
 
 
3 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 
𝐼1 = [−2; −1] 
𝐼2 = [0; 1] 
𝐼3 = [0; 1] 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 
 
 
1 𝑟𝑎í𝑧 
𝐼 = [0,5; 1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − cos(𝑥) − 1 
 
 
3 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 
𝐼1 = [−1,8; −1,6] 
𝐼2 = [−1,4; −1,2] 
𝐼3 = [0,6; 0,8] 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 02: 
𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝟐 
 
 
𝐼 = [1; 1,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 −
𝟏
𝒙
 
 
 
𝐼 = [0,4; 0,6] 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 03: 
𝑎) 2𝑥 − 3𝑥 = 0 
 
 
𝐴 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0; 0,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏) 4 cos(𝑥) − 𝑒2𝑥 = 0 
 
 
𝑃𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠, 𝑎 1º 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−1,6; −1,4] 𝑒 𝑎 2º 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0,4; 0,6] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑐) 𝑥3 − 3𝑥 + 3 = 0 
 
 
𝑃𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑎í𝑧 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−3; −2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA 03: 
1) ENCONTRE UMA ESTIMATIVA PARA A RAÍZ DE 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 + 𝒙 COM UM ERRO MENOR OU 
IGUAL A 0,05. 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑥 
𝐼 = [𝑎; 𝑏] → [−1; 0] 
𝑒𝑥 = −𝑥 
𝜀 ≤ 0,05 
𝑓(−1) = 𝑒−1 − 1 = −0,6321 < 0 
𝑓(0) = 𝑒0 − 0 = 1 > 0 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑧𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑎í𝑧 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−1; 0] 
 
0,00728282 ≤ 0,05 
𝑳𝒐𝒈𝒐, 𝒂 𝒓𝒂í𝒛 é, 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
2) CALCULAR PELO MENOS UMA RAÍZ DE CADA FUNÇÃO ABAIXO COM ERRO MENOR OU 
IGUAL 10^-3. 
𝒂) 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑𝟎 
𝑰 = [𝒂; 𝒃] → [−𝟑; −𝟏] 
𝜀 ≤ 10−3 
𝑓(−3) = (−3)3 − 6(−3)2 − (−3) = −48 < 0 
𝑓(−1) = (−1)3 − 6(−1)2 − (−1) = 24 > 0 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑧𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑎í𝑧 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−3; −1] 
 
0 ≤ 10−3, 𝑙𝑜𝑔𝑜, −2 é 𝑟𝑎í𝑧. 
𝑰 = [𝒂; 𝒃] → [𝟐; 𝟒] 
𝜀 ≤ 10−3 
𝑓(2) = (2)3 − 6(2)2 − (2) = 12 > 0 
𝑓(4) = (4)3 − 6(4)2 − (4) = −6 < 0 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑧𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑎í𝑧 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [2; 4] 
 
0 ≤ 10−3, 𝑙𝑜𝑔𝑜, 3 é 𝑟𝑎í𝑧. 
𝑰 = [𝒂; 𝒃] → [𝟒; 𝟓] 
𝜀 ≤ 10−3 
𝑓(4) = (4)3 − 6(4)2 − (4) = −6 < 0 
𝑓(5) = (5)3 − 6(5)2 − (5) = 0 > 0 → 𝐹𝐴𝐿𝑆𝑂 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑧𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑎í𝑧 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [4; 5], 𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 5 é 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜. 
𝒃) 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 (𝒙) 
𝐼 = [0,1] 
 
0,0012 ≤ 10−3 
𝑳𝒐𝒈𝒐, 𝒂 𝒓𝒂í𝒛 é, 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟎, 𝟑𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 
 
 
 
𝒄) 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 
𝐼 = [−2; 0] 
 
𝑳𝒐𝒈𝒐, 𝒂 𝒓𝒂í𝒛 é, 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 − 𝟏, 𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 
𝒅) 𝒆𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟒 
𝐼 = [1,2] 
 
𝑳𝒐𝒈𝒐, 𝒂 𝒓𝒂í𝒛 é, 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟏, 𝟒𝟒𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
3) COMO VOCÊ PODERIA USAR O METODO DA BISSECÇÃO PARA ESTIMAR O VALOR DE √𝟕? 
ESTIME ESSE VALOR COM UMA PRECISÃO DE 0,1. 
𝑥 = √7 → 𝑥2 = 7 → 𝑥2 − 7 = 0 
𝑥2 − 7 = 0 
𝐼 = [2; 3] 
 
0,0556 ≤ 0,1 
𝑳𝒐𝒈𝒐, 𝒂 𝒓𝒂í𝒛 é, 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟐, 𝟔𝟓𝟔𝟐𝟓 
4) DADA A FUNÇÃO 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒙𝟐 + 𝟒: 
A) DETERMINE O INTERVALO QUE CONTÉM PELO MENOS UMA RAÍZ DE F(X). 
𝐼 = [2; 3] 
B) PARTINDO DESSE INTERVALO, ULTILIZE O MÉTODO DA BISSECÇÃO PARA 
DETERMINAR O VALOR DESSA RAÍZ APÓS 4 INTERAÇÕES. 
 
𝐴𝑝ó𝑠 4 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑎 𝑟𝑎í𝑧 é, 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2,1875 
C) QUAL É O ERRO NO SEU RESULTADO FINAL? 
𝑥 = 2,191673 𝑒 �̅� = 2,1875 
𝐸𝐴 = 𝑥 − �̅� = 2,191673 − 2,1875 = 0,004173 
𝐸𝑅 =
𝑥 − �̅�
𝑥
=
0,004173
2,191673
= 0,001904