88-95_1 2_da_Terra_a_Lua_parte_2

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v

v

a

a

Movimentos de satélites geoestacionários: características e 
aplicações destes satélites
1 O raio da Terra é 6 400 km. Quantas vezes é que o raio da órbita de um satélite 
geoestacionário é maior que o raio da Terra?
2	 A	órbita	da	figura	acima	está	à	escala?	Fundamente	a	resposta.
3	 Quantos	minutos	demora	um	satélite	geoestacionário	a	dar	a	volta	à	Terra?	E	quantos	
segundos? Compare esses valores com a duração de um dia terrestre.
Se	este	satélite	der	uma	volta	à	Terra	em	24	h	
(exactamente o mesmo tempo que a Terra 
demora a dar uma volta completa em torno do 
seu eixo de rotação), o satélite é visto da Terra 
como estando sempre no mesmo ponto do 
espaço.
Num movimento circular uniforme, a magnitude 
da velocidade é constante mas a direcção da 
velocidade está permanentemente a variar. A 
aceleração aponta para o centro da trajectória (é 
centrípeta).
Pólo Norte
Europa
Este	ângulo	é	
descrito pelo raio da 
órbita do satélite e 
pelo raio da Terra 
exactamente no 
mesmo intervalo de 
tempo...
As órbitas geoestacionárias estão no plano do 
equador.
Um dos tipos de movimento mais importantes é o movimento 
circular com rapidez constante.	Esse	é	o	tipo	de	movi-
mento de, por exemplo, a maioria dos satélites artificiais da 
Terra.
Num movimento deste tipo, a magnitude da velocidade é 
constante ou uniforme. Diz-se que é um movimento circular 
uniforme. Mas, note-se, a velocidade, que é uma grandeza 
vectorial,	tangente	à	trajectória,	está permanentemente 
a variar em direcção.	No	movimento	circular	uniforme	há,	
pois, aceleração, apesar da magnitude da velocidade não va-
riar. A aceleração no movimento circular uniforme aponta para 
o centro da trajectória, e é tanto maior quanto mais rápido for 
o movimento circular. Diz-se que a aceleração é centrípeta. 
Como veremos adiante, é possível calcular a magnitude desta 
aceleração	centrípeta,	conhecendo	a	velocidade	e	o	raio	da	
trajectória circular.
Há centenas de satélites que têm um movimento circular 
com uma velocidade tal que faz com que estejam sempre por 
cima do mesmo ponto da Terra.	Esses	satélites	dão	uma	volta	
completa	à	Terra	em	24	h,	exactamente	o	tempo	que	a	Terra	
demora a dar uma volta em torno do seu eixo de rotação. 
Assim, são vistos do mesmo local da Terra no mesmo ponto 
do céu. São, por isso, designados por satélites geoestacio‑
nários. A órbita desses satélites está no plano do equador.
As órbitas dos satélites geoestacionários (ou órbitas geo‑
estacionárias)	têm	um	raio	de	42	200	km	e	são	utilizadas	
para satélites de comunicações, apesar de estarem tão longe 
e terem tempos de lactência (isto é, atrasos na comunicação) 
relativamente grandes (cerca de 0,5 segundos). Sendo vistos 
sempre no mesmo ponto do espaço, as antenas na Terra po-
dem apontar apenas para esse ponto (daí o serem muito utili-
zados como satélites de comunicações).
As órbitas geoestacionárias são um caso particular das ór‑
bitas geosíncronas, isto é, órbitas em que o movimento do 
satélite	é	tal	que	na	mesma	hora	de	cada	dia	é	visto	da	Terra	
exactamente na mesma posição do céu. As órbitas dos satéli-
tes do sistema GPS são semi‑geosíncronas: têm um período 
orbital	de	12	h,	aparecendo	no	mesmo	ponto	do	céu,	vistos	da	
Terra, duas vezes por dia. O raio destas órbitas semi-geosín-
cronas	é	26	600	km.
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v

v

a

a

Velocidade angular no movimento circular uniforme
1	 Os	gira-discos	antigos	tinham	uma	velocidade	angular	de	33	rpm	(rotações	por	minuto).	Qual	
é a velocidade angular destes gira-discos, em graus por segundo?
2	 Qual	é	a	velocidade	angular,	em	graus	por	segundo,	da	Estação	Espacial	Internacional,	que	
completa 15,77 órbitas num dia, numa órbita aproximadamente circular a uma altitude de 
cerca de 400 km?
A roda gigante de Londres (London Eye)	demora	30	min	a	dar	
uma volta completa. Qual é a velocidade angular da roda, em 
graus	por	minutos?	E	em	graus	por	segundo?
Quer um satélite geoestacionário quer a 
Terra	descrevem	uma	volta	de	360º	em	24	
h.	Portanto,	podemos	dizer	que	o	raio	da	ór-
bita do satélite e o raio da Terra rodam com 
uma	rapidez	de	15	gaus	por	hora:
 
360º
15º /h
24	h
Esta	grandeza	física	que	descreve	a	rapi-
dez com que um objecto roda é designada 
por velocidade angular. (Nota: em rigor, 
a velocidade angular também é um vector 
pelo	que	15º/h	representa	apenas	a	magni-
tude da velocidade angular da Terra e do raio 
da órbita do satélite. A velocidade angular 
aponta numa direcção perpendicular ao plano 
de rotação.)
A velocidade angular, que se representa 
pela letra grega ómega, , pode ser facil-
mente	calculada	conhecendo	o	período	T de 
rotação (tempo que demora uma volta com-
pleta), para uma rotação uniforme:
 
360º
 = 
T
Por exemplo, se o período for 10 s, a ve-
locidade angular é 
360º/10	s	=	36º/s.
Já a velocidade angular de um satélite 
geoestacionário (e a da Terra!) vale, em 
graus por segundo, tendo em conta que um 
dia	tem	24	h,	que	1	hora	tem	60	minutos	e	
que 1 minuto tem 60 s:
para uma volta
completa, tem-se
ângulo descrito pelo raio da trajectória da partícula
velocidade angular
intervalo de tempo decorrido
=
t
q
w =
D
360º
T
w =
 =
´ ´
= = ´ -
360
24 60 60
0 0042 4 2 10 3
º
( )
, , º
 s
	º/s /s
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90
O grau, ou seja a fracção 1/360 de uma volta completa, 
é	uma	unidade	convencional	e	não	é	a	unidade	de	ângulo	do	
Sistema	Internacional	de	Unidades	(SI).	(A	razão	pela	qual	uma	
volta	completa	são	360º	tem	a	ver	com	o	facto	de	na	Antiguidade	
se	ter	considerado	que	a	Terra	demorava	360	dias	a	dar	uma	
volta completa ao Sol).
A unidade SI de ângulo é o radiano. Um radiano (1 rad) é 
o	ângulo	que	corresponde	a	um	arco	em	que	o	comprimento	do	
arco é igual ao comprimento do respectivo raio.
Assim,	um	ângulo	de	2	radianos	(2	rad)	é	um	ângulo	cujo	arco	
tem	um	comprimento	que	é	o	dobro	do	respectivo	raio.	E	um	ân-
gulo	de	3	rad	é	um	ângulo	cujo	comprimento	do	arco	é	o	triplo	do	
comprimento do raio.
O comprimento do arco que corresponde a uma volta completa 
é igual ao perímetro da circunferência. O perímetro vale 
2	×	3,14159...	×	raio	=	2	×	p	×	raio	=	6,28318...	×	r 	6,28	r
Logo,	o	arco	da	volta	completa	é	6,28	vezes	maior	que	o	raio	
da	circunferência	(em	rigor,	2	p	vezes	maior).	E,	portanto,	o ân‑
gulo correspondente a um volta completa vale 6,28 radia‑
nos.
E	quantos graus vale um radiano?	Simples:	se	360º	são	
6,28	rad,	então	1	rad	são	57,3º:
 
360
6 28
57 3
º
,
, º=
Um	raio	que	rode	à	rapidez	de	1	radiano	por	segundo,	1	rad/s	
(=	57,3º/s)	,	dá	uma	volta	completa	em	6,28	s.	E	se	demorar	
10 s a dar a volta completa, roda com uma rapidez de
 
6 28
10
0 628
,
,
 rad
 s
rad/s=
Mas	se	demorar	12	s,	a	rapidez	de	rotação,	que	é,	em	graus/s,	
 
 = =
360
30
º
º /
12	s
s
vale,	em	rad/s:
 

p
 = 
 rad
 s
 rad
 s
rad/s
2
12
6 28
12
0 524= =
, ...
,
Em	unidades	SI	(rad/s),	para	movimentos	uniformes,	a	veloci-
dade angular  pode ser calculada a partir da equação
 
2
T
ângulo	de	1	radiano:	o	
comprimento do arco é igual ao 
comprimento do raio
ângulo	de	2	radianos:	o	
comprimento do arco é igual ao 
dobro do comprimento do raio
ângulo	de	3	radianos:	o	
comprimento do arco é igual ao 
triplo do comprimento do raio
Uma volta completa corresponde 
a	uma	rotação	de	6,28	radianos	=	
2	p radianos. 
E	uma	rotação	de	meia	volta	a	
3,14	rad	=	p rad. 
E	uma	rotação	de	1/4	de	volta	a			
1,57 rad = p/2	rad.
Velocidade angular em graus por segundo e em radianos por 
segundo
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y
1	 Qual	é,	em	radianos,	o	ângulo	descrito	pelo	raio	da	órbita	de	um	satélite	geoestacionário	em24	h?
2	 A	velocidade	angular	de	um	satélite	geoestacionário	vale,	em	unidades	SI,
 
 =
´
´ ´( )
2 3 14159
24 60 60
, rad
s
	 Fundamente	a	escrita	desta	equação	e	obtenha	o	valor	da	velocidade	angular.
3	 Qual	é,	em	radianos,	o	ângulo	descrito	pelo	raio	da	órbita	de	um	satélite	do	sistema	GPS	em	
24	h,	tendo	em	conta	que	o	seu	período	é	de	12	h.
4	 Calcule	a	velocidade	angular	de	um	satélite	do	sistema	GPS,	em	unidades	SI.
Observe a foto abaixo e os dados da legenda. 
5	 Qual	é	a	velocidade	angular	da	Estação	Espacial	Internacional?
6	 Qual	é	o	raio	da	órbita	da	Estação	Espacial?	Tenha	em	conta	que	o	raio	da	Terra	vale	6400	km.
7	 Qual	é	a	distância	percorrida	pela	Estação	Espacial	numa	volta	completa?
Desenho	de	artista	representando	a	aproximação	da	nave	Júlio	
Verne	à	Estação	Espacial	Internacional,	que	está	numa	órbita	
aproximadamente circular a baixa altitude (cerca de 400 km), com 
uma	velocidade	de	28000	km/h	e	com	um	período	de	1,5	h.
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Movimento circular com velocidade de módulo constante e 
características das órbitas dos satélites geoestacionários
O movimento circular uniforme, seja de um satélite seja de qual-
quer outro objecto, é um movimento com aceleração centrípeta 
constante e, portanto, de acordo com a lei fundamental do movi-
mento, com resultante das forças constante, dirigida para o cen-
tro da trajectória.
Neste tipo de movimentos, a velocidade v tem módulo ou 
magnitude constante que é dada pelo quociente entre o compri-
mento da trajectória circular e o intervalo de tempo respectivo,
 
v
r
T
=
´ ´2 p
onde r é o raio da trajectória e T o período do movimento circular 
(tempo que demora uma volta completa).
Por outro lado, vimos que a velocidade angular  num movi-
mento	circular	é,	em	unidades	SI,	dada	por	
 
2
T
Combinando esta equação com a anterior, vem, para a magni-
tude da velocidade v:
 
v
r
T
v
T
r
v r
=
´ ´
=
´
´
= ´
2
2
p
p

E,	como	se	mostra	na	página	ao	lado,	a	aceleração	centrí-
peta a é é dada por
 
a
v
r
=
2
Substituindo o valor de v, obtém-se:
 
a
r
r
a
r
r
a r
=
´( )
=
´
= ´



2
2 2
2
Esta	última	equação	mostra	que:
 • a aceleração centrípeta a é directamente proporcional ao 
raio r da trajectória, mantendo constante a velocidade an-
gular .
 • a aceleração centrípeta a é proporcional ao quadrado da 
velocidade angular, 2, mantendo constante o raio r da tra-
jectória (ou seja, duplicando a velocidade angular , qua-
driplica a aceleração centrípeta a; triplicando , aumenta 
nove vezes a aceleração centrípeta a; etc.).
v

a

2 r
v
T
p
=
2v
a
r
=
comprimento de uma 
circunferência:
intervalo de tempo de
uma volta completa:
ângulo descrito numa volta 
completa, em radianos:
velocidade angular, em
radianos por segundo:
velocidade (também designada 
por “velocidade linear”):
aceleração centrípeta:
T
raio r
2 rp
2 p
2
T
p
w =
2a rw=
93
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A
r r r r
v
v
B
A B
Av

Av

Bv

Bv

s
distância s entre A e B
no intervalo de tempo t
v
a
t
D
»
D


AB s v t» » ´D
v s
v r
D
=

v v t
v r
D ´D
=

v v v
t r
D ´
=
D

2v
a
r
=
2v
a
r
=
vD

vD

A amarelo, dois triângulos semelhantes porque têm lados 
perpendiculares dois a dois. Entre triângulos semel-
hantes, os respectivos lados são proporcionais entre si.
Tendo em conta que a distância percorrida entre A e B é 
o produto da velocidade pelo tempo decorrido, vem:
Simplificando, e tendo em conta que a aceleração num 
instante qualquer da trajectória é o quociente entre a 
variação de velocidade e o intervalo de tempo respectivo,
quando esse intervalo de tempo é “muito pequeno”, vem:
Como calcular a magnitude da 
aceleração centrípeta, a, num 
movimento circular uniforme? 
B
O esquema acima mostra como se pode demonstrar que a aceleração centrípeta a num 
movimento circular uniforme é dada por a = v2/r em que v é a magnitude da velocidade e r é o 
raio da trajectória.
1	 A	órbita	de	um	satélite	geoestacionário	tem	um	raio	de	42200	km.	A	aceleração	a de um 
satélite	geoestacionário,	em	unidades	SI,	pode	ser	determinada	por:
 
a =
´ ´ ´
´ ´
æ
è
ççççç
ö
ø
÷÷÷÷÷
´
2 3 14159 42 200 10
24 60 60
42 200 10
3 2
3
,
	 Fundamente	a	equação	anterior	e	obtenha	o	valor	de	a.
2	 Para	onde	aponta	a	aceleração	de	um	satélite	geoestacionário?	E	para	onde	aponta	a	força	
gravítica no satélite? Qual destas grandezas, aceleração ou força gravítica, depende da massa 
do	satélite?	Fundamente	a	resposta.
3 Será possível colocar um satélite geoestacionário numa órbita de raio inferior ou superior a 
42200	km?	Fundamente	a	resposta.
4	 A	órbita	de	um	satélite	do	sistema	GPS	tem	um	raio	de	26200	km	e	período	orbital	de	12	h.	
Calcule	a	aceleração	de	um	satélite	do	sistema	GPS	em	unidades	SI.
5 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma 
órbita	de	raio	2r,	com	o	mesmo	período.	Qual	tem	maior	velocidade	angular?	Fundamente	a	
resposta, utilizando um esquema e as equações adequadas.
6 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma 
órbita	de	raio	2r,	com	o	mesmo	período.	Qual	tem	maior	aceleração?	Fundamente	a	resposta,	
utilizando um esquema e as equações adequadas.
7 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, ambas com o mesmo raio r, mas o período de 
um é o dobro do período do outro. Relacione a velocidade angular e a aceleração dos dois 
satélites, fundamentando a resposta, utilizando esquemas e as equações adequadas.
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O esquema abaixo mostra como se pode deduzir teoricamente a equação que permite calcular 
o raio da órbita dos satélites geoestacionários, a partir da lei da Gravitação Universal, da lei 
fundamental do movimento e das equações do movimento circular uniforme.
Tenha	em	conta	que:
 •	 a	massa	da	Terra	vale	5,97	×	1024 kg;
 • a constante de gravitação universal, G,	vale	6,67	×	10-11	(em	unidades	SI);
 • o raio da Terra são 6 400 km;
 • e, claro, não se esqueça do período dos satélites geoestacionários...
1 Qual é a equação que permite calcular o raio da órbita de um satélite geoestacionário? 
2	 Verifique	que	o	raio	dessa	órbita	é	dado	por
 
r = ´
´
´
´ ´
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷÷
-6 67 10
5 97 10
2 3 14159
24 60 60
11
24
23
,
,
,
 e calcule o respectivo valor em metros e em quilómetros.
3	 Fundamente	os	valores	utilizados	na	equação	anterior.
4	 Qual	é	a	altitude	dos	satélites	geoestacionários?	O	desenho	abaixo	está	à	escala?	Fundamente	
a resposta. 
5 Descreva resumidamente os passos da dedução teórica da equação que permite calcular o raio 
da órbita dos satélites geoestacionários.
Pólo Norte
Europa
v
 a

gF

T S
g 2
m m
F G
r
´
=
T S
g 2
m m
F G
r
´
=
SF m a= ´
massa do satélite, ms
massa da Terra, mT
2a rw= ´
força gravítica, a única 
força no satélite
pela lei fundamental do 
movimento, tem-se, para 
o satélite:
tendo em conta a lei da 
Gravitação Universal, 
e a equação da aceleração
centrípeta, vem: 
simplificando e resolvendo 
em ordem ao raio r: 
raio r
2
S T
S 2
m mv
m G
r r
´
=
( )
2
S T
S
2 T
2
T
2 T
2 2 T
3 T
2
T3
2
1
2
m mv
m G
r
m
v G
r
mr
G
T r
m
r G
r
m
r G
r
m
r G
m
r G
p
w
w
w
w
´
=
=
æ ö÷ç =÷ç ÷ç ÷è ø
=
=
=
=
95
 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
6 Calcule a velocidade dos satélites geoestacionários. 
7	 Qual	é	o	ângulo	entre	a	velocidade	dos	satélites	geoestacionários	e	o	raio	da	trajectória?	
Fundamente	a	resposta.
8 Calcule a aceleração dos satélites geoestacionários.
9	 Qual	é	o	ângulo	entre	a	aceleração	dos	satélites	geoestacionários	e	o	raio	da	trajectória?	
Fundamente	a	resposta.
10	A	aceleração	dos	satélites	geoestacionáriosdepende	da	massa	do	satélite?	Fundamente	a	
resposta.
11	Qual	é	a	razão	porque	se	utilizam	órbitas	geoestacionárias	nos	satélites	de	comunicações?	E	
que desvantagem apresentam essas órbitas?
A ideia da utilização de órbitas 
geoestacionárias	foi	publicada	em	1928	
pelo	engenheiro	esloveno	Herman	
Potocnik, pioneiro da astronáutica. Mais 
tarde, em 1945, foram popularizadas 
pelo escritor de divulgação científica 
Arthur	C.	Clarke,	recentemente	falecido,	
autor	de	inúmeros	romances	de	ficção	
científica e de diversos programas de 
televisão. As órbitas geoestacionárias 
são	também	conhecidas	como	órbitas	de	
Clarke,	em	sua	homenagem.
	1	Movimentos na Terra e no espaço
	AL 1.1 – Queda livre
	AL 1.2 – Salto para a piscina
	AL 1.3 – Será necessário uma força para que um corpo se mova?
	AL 1.4 – Satélite geoestacionário
	1.1 Viagens com GPS
	Funcionamento e aplicações do sistema GPS
	Posição na Terra e coordenadas geográficas
	Como funciona o sistema GPS?
	Posição num referencial e coordenadas cartesianas
	Tempo, trajectória e representações do movimento
	Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em função do tempo 
	Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante
	A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância percorrida em função do tempo
	Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade
	Vectores, magnitude e direcção
	Vectores e componentes vectoriais
	Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou negativa) 
	Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a velocidade não é constante
	Velocidade num “instante”: o significado físico 
	Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem do dia a dia e linguagem física
	1.2 Da Terra à Lua
	Interacção a distância e interacção por contacto
	Quatro tipos de interacção na Natureza
	3.ª Lei de Newton: as forças actuam aos pares
	Aceleração: a grandeza física que descreve a variação de velocidade
	Aceleração e declive no gráfico velocidade-tempo
	Distância percorrida e área no gráfico velocidade-tempo
	2.ª Lei de Newton: a aceleração é directamente proporcional à soma ou resultante das forças
	Lei da gravitação universal: todos os objectos com massa atraem-se mutuamente
	O efeito das forças: modificar a velocidade!
	Entrar em órbita ou cair na Terra? A ideia genial de Newton
	1.ª Lei de Newton: soma das forças nula, objecto em repouso ou em movimento uniforme e rectilíneo!
	1.ª Lei de Newton: soma das forças nula, objecto em repouso ou movimento uniforme e rectilíneo!
	Porque se movem os objectos: as ideias de Aristóteles (século IV a.C) comparadas com as de Galileu e Newton
	Queda na vertical com efeito de resistência do ar desprezável: movimento rectilíneo uniformemente acelerado
	Posição de um objecto em queda livre, num referencial Oxy
	Componente escalar da velocidade de um objecto em queda livre, num referencial Oxy
	Aceleração e componente escalar da aceleração de um objecto em queda livre, num referencial Oxy
	Lançamento na vertical com efeito de resistência do ar desprezável: na subida, mov. rect. uniformemente retardado
	Lançamento na vertical com efeito de resistência do ar desprezável: na descida, mov. rect. uniformemente acelerado
	Equações do movimento rectilíneo uniforme, uniformemente acelerado e uniformemente retardado
	Queda na vertical com efeito de resistência do ar apreciável: movimentos rectilíneos acelerado e uniforme
	Velocidade terminal
	O lançamento horizontal de um projéctil interpretado como a composição de dois movimentos
	Equações paramétricas do movimento de um projéctil lançado horizontalmente
	Movimentos de satélites geoestacionários: características e aplicações destes satélites
	Satélites geoestacionários
	Movimento circular com velocidade de módulo constante
	P
	Questões para pensar e para calcular