AD2-Q2-2022-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2022-2
Questão 2 (2,5 pontos) Um fazendeiro irá cercar um pasto em formato retangular, aproveitando
uma cerca já existente, conforme mostra a figura, e, para isso, dispõe de 80 metros de cerca.
Naturalmente, ele terá que distribuir estes 80 metros de cerca entre três lados do pasto; um deles de
medida em metros que chamaremos de x, e outros dois de mesma medida, como também pode ser
visto na figura.
(a) Determine a área do pasto cercado quando x = 10.
Solução: Como a cerca deve possuir 80 metros, com x = 10 restam 70 para serem divididas
entre os outros dois lados que serão constrúıdos. Assim, cada um deles medirá 35 metros, como
na figura abaixo:
A área do pasto será, portanto, 10 · 35 = 350 metros.
(b) Determine a expressão da área do pasto cercado em função de x.
Solução: Como a cerca deve possuir 80 metros, e como x já são utilizadas para a parte que é
paralela à cerca já existente, restam 80− x para serem divididas entre os outros dois lados que
serão constrúıdos. Assim, temos
Com isso, a área do pasto será dada por
A(x) = x · 80− x
2
= x
(
40− x
2
)
= −x
2
2
+ 40x
.
Note que, obviamente, 0 < x < 80.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2022-2 2
(c) Determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) a área do pasto cercado é 600m2.
Solução: Temos
A(x) = 600⇔ −x
2
2
+ 40x = 600⇔ −x
2
2
+ 40x− 600 > 0⇔ −x2 + 80x− 1200 = 0⇔
⇔ x =
−80±
√
802 − 4(−1)(−1200)
2(−1)
=
−80±
√
6400− 4800
−2
=
−80±
√
1600
−2
=
−80± 40
−2
,
ou seja,
x =
−80 + 40
−2
=
−40
−2
= 20 ou x =
−80− 40
−2
=
−120
−2
= 60.
(d) Determine os valores de x para os quais a área do pasto cercado é menor ou igual a 600m2.
Solução: Temos
A(x) 6 600⇔ −x
2
2
+ 40x 6 600⇔ −x
2
2
+ 40x− 600 6 0⇔ −x2 + 80x− 1200 6 0.
Como visto no item (b), as soluções de −x2 + 80x− 1200 = 0 são
x = 20 ou x = 60.
Com isso, podemos fatorar
−x2 + 80x− 1200 = −(x− 20)(x− 60),
e temos então o quadro de sinais abaixo:
20 60
(x− 20) − 0 + + +
(x− 60) − − − 0 +
−1 − − − − −
−(x− 20)(x− 60) − 0 + 0 −
Logo, −x2 + 80x− 120 6 0 se, e só se, 0 < x 6 20 ou 60 6 x < 80.
Com isso, a área cercada é maior ou igual a 600m2 quando 20 6 x 6 60.
(e) Determine o(s) valore(s) de x para o(s) qual(is) a área do pasto cercado é igual a 800m2.
Solução: Temos
A(x) = 800⇔ −x
2
2
+ 40x = 800⇔ −x
2
2
+ 40x− 800 > 0⇔ −x2 + 80x− 1600 = 0⇔
⇔ x =
−80±
√
802 − 4(−1)(−1600)
2(−1)
=
−80±
√
6400− 6400
−2
=
−80±
√
0
−2
=
−80
−2
= 40.
Assim, a área A(x) do pasto é igual a 800m2 apenas quando x = 40.
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(f) Determine os valores de x para os quais a área do pasto cercado é menor ou igual a 800m2.
Solução: Temos
A(x) 6 800⇔ −x
2
2
+ 40x 6 800⇔ −x
2
2
+ 40x− 800 6 0⇔ −x2 + 80x− 1600 6 0.
Por (e), a única solução de −x2 + 80x− 1600 = 0 é x = 40.
Com isso, podemos fatorar
−x2 + 80x− 1600 = −(x− 40)2.
Como (x − 40)2 é sempre maior ou igual a zero, temos que −x2 + 80x − 1600 − (x − 40)2 é
sempre menor ou igual a zero, consequentemente, A(x) 6 800 para todo valor de x válido, ou
seja, 0 < x < 80, que são os valores posśıveis para x, como visto no final do item (b).
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