Questão resolvida - Uma área retangular em uma fazenda será cercada e destinada para o plantio de soja, por um lado teremos uma cerca de cinco fios e nos outros lados, por uma cerca elétrica com 3 fio

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• Uma área retangular em uma fazenda será cercada e destinada para o plantio de 
soja, por um lado teremos uma cerca de cinco fios e nos outros lados, por uma cerca 
elétrica com 3 fios. Com de fio à disposição e considerando que uma área 18000 m
de quatro hectares nesta fazenda antige em média sacas, a maior área em 109
hectares (considerando ) que poderá ser cercada e a quantidade de 1 ha = 10000 m2
sacas estimada serão:
 
 a. □ 188, 75 ha e 5498, 5 sacas
 b. □ 16, 75 ha e 458, 5 sacas.
 c. ⬛ 168, 75 ha e 4598, 5 sacas.
 d. □ 128, 75 ha e 4558, 5 sacas.
 e. □ 18, 75 ha e 48, 5 sacas.
 
Resolução:
 
Um esboço dessa cerca, com representando a altura e o comprimento da área y x
retângular é visto na sequência;
 
A área dessa região é dada por;
 
A = x ⋅ y
 
 
y y
x
x
(1)
Já que em um dos lados teremos 5 fios e nos outros restantes 3 fio, em relação ao perímetro 
da cerca (considerando a quantidade de fios em cada lado), temos que a representação é;
Contabilizando a quantidade de fios em cada lado, o perímetro deve ter comprimento :P
 
P = 3y + 5x + 3x + 3y P = 6y + 8x→
 
Esse perímetro deve ter comprimento de metros, dessa forma temos a relação;1800 
 
18000 = 6y + 8x 6y + 8x = 18000 ÷ 2 3y + 4x = 9000→ ( ) →
 
Isolando na equação acima, temos;y
 
3y + 4x = 9000 3y = 900 - 4x y = y = - y = 3000 -→ →
9000 - 4x
3
→
9000
3
4x
3
→
4x
3
 
Substituindo a relação encontrada para na equação 1, temos;y
 
A = x ⋅ 3000 -
4x
3
Desenvolvendo os termos, temos;
 
A = x ⋅ 3000 - A = 3000x -
4x
3
→
4x
3
2
 
Perceba que se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo ( ), assim, a < 0
derivando em relação a e igualando a zero, chegamos à coordenada do ponto de A x x
 
 
3y 3y
5x
3x
(2)
máximo de , como feito na sequência;A
 
A = 3000x - A' = 3000 - 2 ⋅ A' = 3000 -
4x
3
2
→
4x
3
→
8x
3
 
igualando a zero e resolvendo;
 
3000 - = 0 - = - 3000 × -1 = 300 8x = 3000 ⋅ 3 8x = 9000
8x
3
→
8x
3
( ) →
8x
3
→ →
 
x = x = 1125 m
9000
8
→
Assim, a largura para que a área seja máxima deve ser de metros, substiutindo o 112, 5
valor da largura na equação 2, encontramos o valor da altura da área;y
 
y = 3000 - y = 3000 - y = 3000 - 4 ⋅ 375
4x
3
→
4 ⋅ 1125
3
→
 
y = 3000 - 1500 y = 1500 m→
 
Com os valores da altura ( ) e comprimento ( ) que fornecem a área máxima, podemos y x
substituir na equação 1 e encontrar essa área;
 
A = 1125 ⋅ 1500 A = 1687500 mMáx → Máx
2
 
Temos que transformar a área de para hectares , sendo assim, usando a relação m2 ha( )
fornecida de que , fazemos a regra de 3 a seguir;1 ha = 10000 m2
 
 
m2
1
1687500 A ha
10000
ha
Resolvendo;
 
=
10000
1687500
1
Aha
 
Fazendo o produto dos meios pelos extremos;
 
= 10000 ⋅A = 1687500 ⋅ 1 10000A = 1687500 A =
10000
1687500
1
Aha
→ ha → ha → ha
1687500
10000
 
A = 168, 75 haha
 
Como hectares produzem em média sacas, então, fazemos novamente uma regra de 4 109
3;
 
Resolvendo;
 
= 4 ⋅ n° = 168, 75 ⋅ 109 n° = = 4598, 4375
4
168, 75
109
n°sacas
→ sacas → sacas
168, 75 ⋅ 109
4
 
n° ≅ 4598, 5 sacassacas
 
 
109
168, 75 n°sacas
4
ha sacas
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)