Nota de aula 5 - Medidas de posicao e dispersao para dados agrupados

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NOTA DE AULA 
Disciplina: G037 – Técnicas Estatísticas Profa. Kayline Moreira 
Período 2021.1 
 
 
Nota de aula 05 
Unidade III 
 
Tema 
Medidas de posição e dispersão para dados agrupados 
 
Estrutura de conteúdo 
Média 
Variância 
Desvio padrão 
 
1. Média para dados agrupados em classes 
 
Na maioria dos casos as medidas de posição e variabilidade são calculadas utilizando-se os valores 
individuais dos dados. No entanto, às vezes os dados estão disponíveis somente na forma agrupada 
(distribuição de frequências). 
Pode-se utilizar uma variante da fórmula de cálculo da média ponderada para obter uma aproximação 
da média de uma distribuição de frequência. Os pesos são substituídos pelas frequências das 
classes. Assim a fórmula fica: 
 
�̅� =
∑𝑓! . 𝑀!
𝑛
 
 
 onde 𝑓! é a frequência da 𝑖 -ésima classe, 𝑀! é o ponto médio de classe e 𝑛 é o número de 
observações (igual a ∑𝑓!). 
 
 
Ponto médio de classe (𝑴𝒊) 
 
A utilização dos pontos médios das classes trata os pontos médios como médias de classes: 
 
𝑀! =
𝐿! + 𝐿#
2
 
 
onde 𝐿! é o limite inferior da classe e 𝐿# é o limite superior da classe. 
 
Exemplo: A seguir apresentamos uma distribuição de frequências do tempo, em dias, necessário à 
conclusão das auditorias de fim de ano realizadas pela empresa de contabilidade Sanderson & 
Clifford. 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo para conclusão das 
auditorias (dias) Frequência absoluta 
10-14 4 
15-19 8 
20-24 5 
25-29 2 
30-34 1 
TOTAL 𝜮 = 20 
 
 
Com os pontos médios das classes, 𝑀!, em uma posição intermediária entre os limites da classe, a 
primeira classe 10-14 da tabela tem o ponto médio em (10+14)/2 = 12. Os cinco pontos médios de 
classe e o cálculo da média ponderada pelas frequências estão resumidos na tabela a seguir: 
 
Tempo para 
conclusão das 
auditorias (dias) 
Ponto médio de classe 
(𝑴𝒊) 
Frequência de 
classe (𝒇𝒊 ) 𝒇𝒊.𝑴𝒊 
 
10-14 12 4 48 
15-19 17 8 136 
20-24 22 5 110 
25-29 27 2 54 
30-34 32 1 32 
TOTAL 𝜮 = 20 𝜮 = 380 
 
 
Média amostral: 
 
�̅� = ∑"!.$!
%
= &'(	
*(
= 19 dias 
 
 
2. Variância para dados agrupados em classes 
 
 
Para calcularmos a variância de dados agrupados, usamos uma versão ligeiramente modificada da 
fórmula da variância apresentada anteriormente. Nessa equação, os desvios quadráticos em torno 
da média amostral, �̅�, foram apresentados como (𝑥! − �̅�)². Entretanto, com dados agrupados esses 
valores não são conhecidos, de forma que trataremos o ponto médio da classe, 𝑀!, como 
representante dos valores 𝑥! da classe correspondente. Assim, os desvios quadráticos em torno da 
média amostral, (𝑥! − �̅�)², são substituídos por (𝑀! − �̅�)². 
 
Da mesma forma que agimos com os cálculos da média amostral para dados agrupados, ponderamos 
cada valor pela frequência absoluta de classe, 𝑓!. 
 
A soma dos desvios quadráticos em torno da média de todos os dados é aproximada por 
∑𝑓!(𝑀! − �̅�)². 
 
O termo 𝑛 − 1 em vez de n aparece no denominador afim de transformar a variância amostral na 
estimativa da variância populacional. 
 
 
 
 
A fórmula a seguir é usada para calcular a variância amostral de dados agrupados: 
 
𝑠² =
∑𝑓!(𝑀! − �̅�)²
𝑛 − 1
 
 
 
Exemplo: Cálculo da variância amostral para dados agrupados sobre o tempo para conclusão de 
auditorias (média amostral 𝒙7 =19). 
 
 
 
 
 
Variância amostral: 
 
 𝑠$ = ∑&!((!)*̅)
"
-).
= /01
.2
= 30 
 
 
 
3. Desvio padrão 
 
O desvio padrão de dados agrupados é simplesmente a raiz quadrada da variância dos dados 
agrupados. No exemplo dos tempos de auditoria, o desvio padrão amostral é 
 𝑠 = √30 = 5,48. 
 
 
Bibliografia 
 
SWEENEY, Dennis J; WILLIAMS, Thomas A; ANDERSON, David R. Estatística aplicada a 
Administração e Economia. 7ª. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
 
STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harbra, 2001.