Distribuição de frequência e Medidas Estatísticas (2)

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 Uma das formas de exposição de dados é a apresentação tabular. A vantagem da tabela 
estatística é a de condensar, de forma consistente, as informações necessárias ao estudo 
desejado. Isto porque, freqüentemente, o estudo de um determinado fenômeno requer a coleta de 
uma grande massa de dados numéricos, difícil de ser tratada se esses dados não forem organizados e 
condensados numa tabela. No caso específico das seriações, acontece normalmente que, ao coletar os 
dados referentes ao fenômeno objeto de estudo, o analista se defronta com valores que se repetem 
algumas vezes, sugerindo sua apresentação através de tabelas onde somente apareçam valores 
distintos uns dos outros. Essa providência favorece evidentemente uma análise e interpretação mais 
rápida da natureza e comportamento do fenômeno observado. A distribuição de freqüência é 
exatamente um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências ou 
repetições de seus valores. 
 
1. Dados Brutos 
 
Feita a coleta, os dados originais ainda não se encontram prontos para análise, por não 
estarem numericamente organizados. Por essa razão costuma-se chamá-los de dados brutos. 
2. Rol 
 
O rol é uma lista em que os valores estão dispostos em uma determinada ordem, 
crescente ou decrescente. 
Apesar de o rol propiciar ao analista mais informações e com menos esforço de 
concentração do que os dados brutos, ainda assim persiste o problema de a análise ter que se 
basear em todas as observações individuais. O problema se agravará quando o número de dados for 
grande. 
3. Frequência(fi) 
Denominamos freqüência o número de vezes que um determinado valor da variável 
aparece repetido no conjunto de dados. 
 
4. Distribuição de freqüência da variável qualitativa: 
Ex 1: Vamos fazer a distribuição de freqüência da variável grau de instrução, de 40 funcionários da 
rede estadual de ensino, em 2004: 
Dados Brutos 
Fundamental Fundamental Fundamental Médio Fundamental Fundamental 
Fundamental Fundamental Médio Médio Médio Fundamental 
Médio Fundamental Médio Médio Médio Fundamental 
Superior Médio Médio Fundamental Médio Médio 
Médio Superior Superior Médio Superior Fundamental 
Fundamental Médio Médio Médio Superior Fundamental 
Médio Superior Fundamental Fundamental 
 
Rol 
Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental 
Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental 
Fundamental Fundamental Fundamental Fundamental Médio Médio 
Médio Médio Médio Médio Médio Médio 
Médio Médio Médio Médio Médio Médio 
Médio Médio Médio Médio Superior Superior 
Superior Superior Superior Superior 
 
 2 
 
 
 
 
 
GRAU DE INSTRUÇÃO DE 40 FUNCIONÁRIOS DA REDE ESTADUAL DE ENSINO 
MACAPÁ/AP-2004 
Grau de Instrução fi 
(Freqüência absoluta) 
fr(%) 
(Freqüência relativa) 
Fundamental 
Médio 
Superior 
TOTAL 
 Fonte: fictícia 
5. Distribuição de freqüência da variável quantitativa: 
 5.1. Variável discreta: A variável discreta, normalmente, assume o comportamento que veremos 
a seguir, mas isso não significa que não poderemos dar a ela o tratamento que normalmente damos 
à variável contínua. 
Ex2: Uma Instituição financeira tem três operadores trabalhando diariamente com 
operações de ações negociadas na bolsa de valores. A tabela seguinte registra uma amostra 
aleatória de tamanho 30 do número diário de operações fechadas pelo operador B nos últimos dos 
anos. Vamos fazer a distribuição de freqüência dos referidos dados. 
Dados Brutos 
14 12 13 11 12 13 
16 14 14 15 17 11 
14 13 14 15 13 12 
14 13 14 13 15 16 
12 12 13 13 12 12 
Rol 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DIÁRIAS NEGOCIADAS PELO OPERADOR ‘B’ NA BOLSA DE VALORES 
Número diário de 
ações 
fi 
(freqüência absoluta) 
fr(%) 
(freqüência relativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
TOTAL 
Fonte: Fictícia 
 
 5.2. Variável contínua: A variável contínua tem um comportamento um tanto diferente da 
variável discreta, porém vale ressaltar que o que faremos a seguir não é uma regra e, dependendo 
do tipo de dado que tivermos e do que queremos mostrar com ele, este roteiro poderá modificar-se 
e, inclusive, assumir o comportamento da variável discreta. 
Ex 3: Vamos fazer a distribuição de freqüência da variável estatura, de 40 funcionários da rede 
estadual de ensino, em 2004: 
Dados Brutos 
150 162 156 167 160 153 
154 164 158 170 161 155 
155 166 160 152 163 156 
157 169 161 155 164 160 
160 151 162 156 168 160 
161 155 164 158 172 161 
163 165 168 173 
Rol 
150 151 152 153 154 155 
155 155 155 156 156 156 
157 158 158 160 160 160 
160 160 161 161 161 161 
162 162 163 163 164 164 
164 165 166 167 168 168 
169 170 172 173 
 
ROTEIRO SUGERIDO PARA ELABORAÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM 
DADOS EM CLASSE 
 
I. Verificação de n - número total da amostra (população); 
 
 
II. Amplitude total (AT): é a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
 
 
 
III. Determinação do número de classes (K): 
 
É importante que a distribuição conte com um número adequado de classes. Se o número de classe 
for excessivamente pequeno acarretará perda de detalhe, portanto, pouca informação se poderá 
extrair da tabela. Por outro lado, se forem utilizadas um número excessivo de classe, haverá alguma 
classe com freqüência nula ou muito pequena, não atingindo o objetivo de classificação que é tornar 
o conjunto de dados supervisionáveis. 
Não há uma regra exata para se determinar o número de classes, apenas orientações práticas para 
o analista. Por exemplo, se n for o número total de observações, a quantidade k de classes poderá 
ser obtida da seguinte maneira: 
a. Se o conjunto pesquisado for menor ou igual a 25 variáveis, o número de classes (k) 
será igual a 5, ou seja, para n  25, teremos, k = 5. 
 4 
b. Se o conjunto pesquisado for maior que 25 variáveis, o número de classes (k) será 
calculado pela raiz quadrada de “n”, ou seja, para n  25, teremos, k  n. 
 
Classe (a ├ b): é cada um dos subgrupos de valores do conjunto de dados observados, ou seja, 
são os intervalos de variação da variável. 
 
 
IV. Amplitude do intervalo de classe (i): é o comprimento da classe. O valor de (i) é calculado 
pelas equações a seguir, dependendo das variáveis que se tenha à disposição. 
 
 I. 
k
At
i  II. lilsi  
e) Limites de classe (li) e (ls): são os valores extremos de cada classe. 
Ex: Na classe 150 ├ 154 , o limite inferior, li = 150 e limite superior, ls = 154. 
 
f) Ponto médio das classes (Xi): é o valor representativo da classe para efeito de cálculo de 
certas medidas. Para fim de quantificação, o valor de (Xi) é a metade das somas entre o limite 
inferior e superior, ou seja, 
2
lsli
Xi

 
 
 
ESTATURA (CM) DE 40 FUNCIONÁRIOS DA REDE ESTADUAL DE ENSINO 
MACAPÁ/AP-2004 
ESTATURA Fi fr 
 
 
 
 
 
 
TOTAL 
 Fonte: Fictícia 
Ao agruparmos os valores da variável em classe, ganhamos em simplicidade, mas 
perdemos em pormenores. Assim, quanto maior a tabela, mais informações detalhada temos; da 
mesma forma que quanto mais resumidas as tabelas, mais detalhes perdemos. 
O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de essencial 
nos dados e, também, tornar possível o uso de técnicas analíticas para sua total descrição, até 
porque a estatística tem por finalidade específica analisar o conjunto de valores, 
desinteressando-se por casos isolados. 
OBS: Quando os dados são organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente 
denominados de dados agrupados. 
 
Ex 4: O conjunto de dados a seguir refere-se a uma amostra aleatória de tamanho 25 das vendas 
diárias em milhares de uma empresa. Vamos construir uma distribuição de freqüências absolutas e 
relativas. 
 5 
 
 
Rol 
280 280 305310 320 
330 330 340 341 355 
360 365 369 370 370 
370 371 375 380 390 
400 400 401 420 430 
 
Roteiro: 
1. Número de observações 
n = 
 
2. Amplitude Total 
AT = 
 
3. Número de classes 
K = 
 
4. Amplitude das classes 
I = 
 
VENDAS DIÁRIAS (EM MILHARES) DE UMA EMPRESA X - BRASIL/2007 
VENDAS fi fr 
 
 
 
 
 
TOTAL 
 
 
 
 
6. FREQUENCIAS ACUMULADAS 
 
 
A) Freqüência absoluta acumulada “abaixo de” (Fi): A freqüência absoluta acumulada “abaixo 
de” um valor individual ou de uma classe é a soma das freqüências simples absoluta da classe 
ou de um valor com a freqüência simples absoluta das classes ou dos valores anteriores. A 
expressão “abaixo de” refere-se ao fato de que as freqüências a serem acumulados 
correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor ou a classe cuja freqüência 
acumulada se quer obter, incluindo no cálculo o valor ou a freqüência da classe. Quando se quer 
saber quantas observações existem até uma determinada classe ou valor individual, recorre-se a 
freqüência acumulada “abaixo”. 
 6 
 
B) Freqüência relativa acumulada “abaixo de” (Fr): A freqüência relativa acumulada da classe 
ou do valor individual é igual a soma das freqüências simples relativa da classe ou do valor 
individual com as freqüências simples relativas das classes ou dos valores anteriores. As 
freqüências relativas acumuladas pode ser obtidas de duas formas: 
C) Acumulando as freqüências simples relativas de acordo com a definição de freqüência 
acumulada; 
 
D) Calculando as freqüências relativas diretamente a partir das freqüências absolutas de acordo 
com a definição de freqüências relativas. 
 
 
Vamos calcular agora as freqüências acumuladas dos exemplos anteriores: 
Variável Quantitativa 
AÇÕES DIÁRIAS NEGOCIADAS PELO OPERADOR ‘B’ NA BOLÇA DE VALORES 
Número 
diária de 
ações 
fi 
(freqüência 
absoluta) 
fr(%) 
(freqüência 
relativa) 
Fi 
(acum. 
Absoluta) 
Fr 
(acumul. 
Relativa) 
 
 
 
 
 
 
 
TOTAL 
Fonte: Fictícia 
 
 
VENDAS DIÁRIAS (EM MILHARES) DE UMA EMPRESA X - BRASIL/2007 
Vendas fi fr(%) Fi Fr(%) 
 
 
 
 
 
TOTAL ... ... 
Fonte: Fictícia 
 
 
7. Representação gráfica da distribuição de freqüência: 
 
 
 
 7 
 
Atividade 
 
1. Dá-se, a seguir, a distribuição dos pesos de 125 espécimes minerais coletados em uma 
excursão: 
 Pesos (gramas) No de Espécimes 
 0 ├ 20 16 
 20 ├ 40 38 
 40 ├ 60 35 
 60 ├ 80 20 
 80 ├ 100 11 
100 ├ 120 4 
120 ├ 140 1 
TOTAL 125 
 Fonte: fictícia 
 Se possível, determine quantos espécimes pesam: 
a) No máximo 60 gramas; 
b) Mais de 60 gramas; 
c) Mais de 80 gramas; 
d) 80 gramas ou menos; 
e) Exatamente 70 gramas; 
f) Entre 60 e 100 gramas. 
 
2. Conhecidas as notas de 50 alunos num teste cuja nota máxima é 100 pontos: 
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54 
Obtenha uma distribuição de freqüência apropriada, calcule todos os tipos de freqüência e faça uma 
breve análise dos dados. 
 
3. O diário de classe de um professor revelou o número de faltas de 60 alunos em uma disciplina 
de 36 horas: 
0 0 2 6 10 6 0 6 3 2 
2 0 6 6 6 10 0 3 6 5 
6 6 0 2 0 0 6 6 10 3 
0 6 0 2 6 10 3 6 0 0 
6 5 2 3 0 0 2 6 6 3 
6 10 3 0 2 0 6 6 0 6 
a) Construa uma distribuição que mostre o número de faltas dos alunos: 
b) Calcule todos os tipos de freqüências; 
c) Faça uma breve análise dos dados, considerando que o percentual de faltas que caracteriza a 
reprovação e de 25% mais uma falta. 
 
 
 8 
4. Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste 
de inteligência a um grupo de alunos, responda: 
a) Qual o intervalo de classe que tem a maior freqüência? 
b) Qual a amplitude total da distribuição? 
c) Qual o número total de alunos? 
d) Qual a freqüência do intervalo de classe 110 I 120? 
e) Quais os intervalos de classe que têm a mesma freqüência? 
f) Quais são os dois intervalos de classe tais que a freqüência de um é o dobro da freqüência do 
outro? 
g) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110? 
h) Quantos alunos receberam notas não inferiores a 100? 
 
NOTAS RELATIVAS À APLICAÇÃO DE UM 
TESTE DE INTELIGÊNCIA A UM GRUPO DE 
ALUNOS
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145
NOTAS
N
Ú
M
E
R
O
 D
E
 A
L
U
N
O
S
FONTE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
 
 
 1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Segundo a autora, VIEIRA (1980, p.27), os dados quantitativos, apresentados em 
tabelas e gráficos, constituem a informação básica do problema em estudo. Mas é conveniente 
apresentar, além dos dados, medidas que mostrem a informação de maneira resumida. As medidas de 
tendência central, definidas neste módulo, dão o valor do ponto em torno do qual os dados se 
distribuem. Estas medidas se classificam em: A média aritmética (simples e ponderada), a mediana e a 
moda. 
 
1.1. Média Aritmética Simples e Ponderada 
 
Representação: x (lê-se “x traço” ou “x barra”) 
A medida de tendência central mais comumente usada para descrever resumidamente 
uma distribuição de freqüência é a média, ou mais propriamente a média aritmética. Há vários tipos de 
médias, porém, para efeito de estudo para o Curso de Pedagogia, abordaremos apenas dois casos: 
 
A Média Aritmética Simples: 
 
A média aritmética simples para um conjunto de dados é igual ao quociente entre a 
soma dos valores do conjunto e o número total de valores. 
 
EX.: A Empresa Acme S.A. tem grande atuação nos mercados brasileiros e internacional. Com 1500 
funcionários, a empresa vem expandindo seus negócios a cada ano. Um funcionário do setor de 
vendas fez um levantamento da variação mensal dos preços de uma determinada peça, conforme o 
pedido de um cliente. Os preços da peça são os seguintes: 
0,67 0,66 0,67 0,69 0,65 0,68 0,67 0,71 0,73 0,69 0,67 0,66 
 Vamos calcular o preço médio da peça: 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULOS: (Genericamente podemos escrever) 
 
 
 
 
 
 
 
A média aritmética simples será calculada sempre que os valores não estiverem 
agrupados, ou seja, quando aparecem representados individualmente, como é o caso, por exemplo, 
dos dados brutos. 
 
 
 
 
 
 10 
b) Média Aritmética Ponderada: 
 
 b1) Dados sem intervalo de classes - A média aritmética ponderada será calculada 
sempre que os dados estiverem agrupados, ou seja, representados numa tabela. O termo 
“ponderada” ocorre devido a necessidade de considerar que os valores existentes possuem 
freqüências ou pesos diferentes. 
 Obtém-se uma média ponderada através do quociente entre os produtos dos valores 
da variável pelos respectivos pesos e a soma dos pesos. 
EX1.: Considerando o conjunto de dados anterior, analise as informações e responda: 
a) Qual a nota média ponderada dessa aluna no Curso? 
b) Qual a média aritmética apropriada para esse conjunto de dados? Por quê? 
NOTAS ATRIBUÍDAS A 20 ALUNOS 
DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DA FAMAP - MACAPÁ/AP - 2004 
5 5 5 5 
6 6 6 6 
6 6 6 7 
7 7 7 7 
8 8 8 9 
 Fonte: FICTÍCIA 
Como vimos, os dados acima podem ser agrupados em uma tabela, uma vez que os 
valores se repetem: 
 NOTAS ATRIBUÍDAS A 20 ALUNOS 
 DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 MACAPÁ/AP - 2004 
Notas(xi) fi fi.xi 
 
 
 
 
 
Total 
 
CÁLCULOS: (Genericamente podemos escrever) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b2) Dados com intervalo de classes - Quando os valores estão agrupados em classe, 
a tabela requer a presença dos pontos médios (Xi) das classes, onde a média ponderadaé 
calculada através do produto entre o ponto médio da classe pela respectiva freqüência, 
soma-se os produtos e divide-se a soma pelo total de elementos do conjunto. 
 11 
EX.2.: A partir da definição do cálculo da média aritmética ponderada, analise os 
dados abaixo e obtenha a média do conjunto. 
Distribuição de 175 empresas classificadas segundo o número de empregados – 
Macapá/2007 
Número de 
empregados 
fi 
0 ├ 10 5 
10 ├ 20 
20 
20 ├ 30 
35 
30 ├ 40 
60 
40 ├ 50 
30 
50 ├ 60 
15 
60 ├ 70 
10 
Total 175 
 
 
CÁLCULOS: (Genericamente podemos escrever) 
 
 
 
 
 
Atividade 
 
 A partir dos dados abaixo, calcule a média aritmética em todos os casos: 
a) Idades, em anos, de nove acadêmicos do Curso de Pedagogia do Pólo da Serra do 
Navio: 
 I = {23, 20, 24, 35, 36, 28, 32, 35, 40}. 
b) Nota de dez alunos do ensino médio na Prova do ENEM em 2004 
 N = { 35 ; 48 ; 51 ; 27 ; 39 ; 46 ; 52 ; 25 ; 32 ; 19 }. 
c) Rendimento escolar de uma 5a série na disciplina de português, referente ao 
primeiro bimestre do ano letivo de 2005: 
Nota fi xi . fi Fi 
13 2 
9 6 
11 10 
5 12 
8 3 
Total 33 ........ 
 
d) De salário, em reais, de 80 funcionários da educação atuando na rede pública 
durante o 1o semestre de 2005 
Salário fi Xi Xi . fi 
1100 ├ 1400 20 
“A hora de encontrar momentos de 
quietude e tranqüilidade é quando nos 
parece mais difícil de fazê-lo” 
(Bruce e Stan) 
 12 
1400 ├1700 15 
1700 ├2000 12 
2000 ├2300 8 
2300 ├2600 25 
Total 80 ........ 
 
2. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 Vimos anteriormente que um conjunto de valores pode ser convenientemente 
sintetizado por meio de procedimentos matemáticos em poucos valores representativos (médias, 
medianas e moda), tais valores podem servir de comparação para dar a posição de qualquer elemento 
do conjunto. 
Precisamos, às vezes, comparar fatos, como a reprodução de animal em um ano ou 
características de indivíduos, como sexo, tipo sanguíneo, altura, idade e outros. Para isso, 
necessitamos de uma média. Se soubermos, por exemplo, que a média de alturas das meninas recém 
nascidas de uma certa cidade é 47,3 cm e que, nesse mesmo local nasceu uma menina medindo 50 
cm, podemos afirmar que ocorreu uma variabilidade ou uma dispersão, em relação à média. Dizemos 
que houve um desvio de 2,7 cm em relação à média (50 cm – 46,3 cm). 
 
2.1. Desvio médio (Dm): 
 
EX: Consideremos os conjuntos referentes a presenças de alunos nas atividades de 
educação física do ensino fundamental, considerando as turmas X, Y e Z: 
 X = {70, 70, 70, 70, 70}, 
 Y = {68, 69, 70, 71, 72} 
 Z = {5, 15, 50, 120, 160}. 
Qual a dispersão (d) ou variabilidade de cada um dos conjuntos abaixo 
 
Cálculo da média aritmética: 
 Para o conjunto X: Para o conjunto Y: Para o conjunto Z: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de desvio médio para X, Y e Z: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dm = ( Ι d Ι)/ n Dm = ( Ι d Ι)/ n Dm = ( Ι d Ι)/ n 
 13 
2.2. Desvio Padrão: 
 
a1) Desvio padrão para dados não agrupados 
 
O desvio padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por 
ser a mais precisa. Ele determina a dispersão dos valores em relação à média. 
 
EX: Consideremos as notas de dois grupos de estudos dispostas nas tabelas abaixo. Qual o desvio 
padrão para cada grupo  
 Grupo A Grupo B 
Nota d d² Nota d d² 
30 10 
45 20 
45 30 
50 40 
50 50 
50 60 
65 70 
65 80 
70 90 
80 100 
  
 
 A média aritmética das notas são: 
Grupo A Grupo B 
 
 
 
 
 
 
 Vamos preencher (completar) a tabela calculando os desvios e seus quadrados 
 A média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância (υ). Calculemos 
as variâncias das duas distribuições: 
 
 
 
 
 
 
 A raiz quadrada da variância (υ) é o desvio padrão (Dp). Calculemos os desvios 
padrões das distribuições: 
 
 
 
 
 
 
 Comparando os dois valores: 
 Calculando a zona de normalidade: 
 
 
 
 
 
a2) Desvio padrão para dados agrupados 
 
Quando os dados estiverem os agrupados (em classe ou sem classe), apresentamos um 
método não apenas mais prático como mais preciso. Isso porque na maioria das vezes a média não é 
exata e tem que ser arredondada, assim cada desvio fica ligeiramente afetada de erro, devido a esse 
 υ = ( d2) / n 
Dp =  υ 
 14 
arredondamento. O mesmo acontece com os quadrados, podendo os resultados dos cálculos ser 
menos exato do que quando aplicado a fórmula a seguir: 
 
2
2
2 )(
.
x
n
xifi
S  
 
Exemplo: Vamos calcular o desvio padrão e a zona de normalidade dos conjuntos a 
seguir utilizando a relação acima: 
 
 Dados agrupados sem classe: 
 
 NOTAS ATRIBUÍDAS A 20 ALUNOS 
 DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 MACAPÁ/AP - 2004 
Notas(xi) fi 
5 4 
6 7 
7 5 
8 3 
9 1 
Total 20 
 Fonte: Dados Fictícios 
 
 Dados agrupados com em classe: 
 
Imóveis urbanos alugados por uma imobiliária X, Macapá- 2007 
Notas fi Xi fi.Xi Xi² fi.Xi² 
2├ 4 10 
4├ 6 40 
6├ 8 80 
8├ 10 50 
10├ 12 20 
 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Atividade 
 
1) Um professor aplicou um teste a seus alunos e obteve os seguintes resultados: 
 
 
30 
 
40 
 
45 
 
30 
 
30 
 
50 
 
35 
 
30 
 
40 
 
45 
 
40 
 
35 
 
50 
 
60 
 
50 
 
50 
 
30 
 
60 
 
50 
 
60 
 
30 
 
40 
 
50 
 
45 
 
 
a) Agrupe esse dados em uma distribuição de freqüência e baseado na tabela de dados agrupados, 
determine: 
a1) a média aritmética dos resultados 
a2) o desvio padrão 
a3) a zona de normalidade 
2) Se a média das alturas de um grupo de pessoas é de 175 cm e o desvio padrão é de 20 cm, uma 
pessoa com estatura de 150 cm está dentro da normalidade? Por quê? 
3) Numa escola, duas turmas conseguiram os seguintes resultados: 
Turma A: x = 45, S = 10 
Turma B: x = 45, S = 3,5 
 
Pergunta-se 
a) Qual a turma mais homogênea? Por quê? 
b) Um aluno com média 40 é considerado dentro da normalidade na turma A? E na turma B? Por quê? 
 
4) Na aplicação de um teste de motricidade, os 45 alunos de uma turma conseguiram os seguintes 
resultados: 
Rol: 
 
5 9 10 10 12 13 16 17 17 
 
18 18 19 19 19 19 19 20 20 
 
21 21 22 22 22 22 23 23 23 
 
24 24 24 24 25 25 25 26 26 
 
26 27 27 28 31 32 33 33 34 
 
a) Faça a distribuição de freqüência com dados agrupados em classe; 
b) Calcule o desvio padrão e a zona de normalidade. 
 
5) em um bairro da zona norte de Macapá, há três escolas estaduais ns quais a evasão escolar ocorre 
há cinco anos. As autoridades das escolasdivulgaram os dados de evasão bimestral em números de 
aluno, conforme abaixo: 
Escola A 16 10 12 17 14 18 25 37 29 14 
Escola B 13 12 17 43 18 20 23 15 10 11 
Escola C 11 17 15 16 10 28 39 33 8 9 
 
Qual escola possui o menor numero médio de alunos evadidos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
6) Quer se estudar o número de erros detectados em faturas de uma empresa X. Para isso escolheu-
se uma amostra de 50 faturas, encontrando-se o número de erros apresentados na tabela abaixo: 
Erros fi 
0 25 
1 20 
2 3 
3 1 
4 1 
Total 50 
 
a) Qual o número médio de erros por fatura? 
b) Qual é o desvio padrão? 
c) Se no período em que foi extraída a amostra circularam 500 faturas, qual o número esperado 
de erros?