Ejercicios Resueltos - EDO (2012-2)

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Matemática III (MAT-023)
3er Periodo de 2012
1. Dado el sistema lineal (
ẋ
ẏ
)
=
(
−2 −1
1 b
)(
x
y
)
Determine para que valores del parámetro real b, el (0, 0) es un sumidero en espiral para el sistema.
solución:
Para tener un sumidero en espiral en (0,0) se deben tener valores propios complejos, con parte imaginaria no
nula y parte real negativa. Hacer∣∣∣∣ −2− λ −11 b− λ
∣∣∣∣ = λ2 + (2− b)λ+ (1− 2b) = 0
Luego se debe tener :
b− 2
2
< 0 ∧ (2− b)2 − 4(1− 2b) < 0
b < 2 ∧ b2 + 4b < 0
b < 2 ∧ − 4 < b < 0
Por lo tanto cuando −4 < b < 0 el retrato de fase del sistema corresponde a un sumidero en espiral.
1
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2. Sea µ ∈ R . Considerar el sistema:
x′ = y
y′ = −x+ µy
a) ¿Para que valores de µ el (0,0) es un atractor y el retrato de fase corresponde a una espiral estable?
b) ¿Para qué valores de µ el retrato de fase corresponde a una fuente?
solución:
Considerar
(
−λ 1
−1 µ− λ
)
= −λ(µ− λ) + 1 = λ2 − µ+ 1 = ⇔ µ = µ ±
√
µ2 − 4
2
a) Luego para µ tal que µ2−4 < 0 y µ < 0 se tiene un retrato de fase en espiral y (0,0) como atractor .
Esto ocurre cuando:
µ < 0 ∧ µ2 − 4 < 0 ⇔ −2 < µ < 0
b) Para tener una fuente en (0,0) se necesitan 2 valores propios reales de signo positivo y esto ocurre cuando:
µ > 0 ∧ µ2 − 4 > 0 ⇔ µ > 2
2
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3. Usando transformada de Laplace, resuelva el siguiente problema de valor inicial.
ty
′′
− ty
′
+ y = 2(et − 1), y(0) = 0, y
′
(0) = −1
solución:
Sea Y (s) = L(y(t))(s). Tenemos
L(y′′(t))(s) = − dds (s
2Y (s)− Y (0)− Y ′(0)) = −2sY (s)− s2Y ′(s)
L(−ty′(t))(s) = dds (sY (s)− Y (0)) = Y (s) + sY
′
(s)
L(2et − 2)(s) = 2
s− 1
− 2
s
.
Entonces aplicando transformada de Laplace a la ecuación se obtiene:
−2sY (s)− s2Y
′
(s) + Y (s) + sY
′
(s) + Y (s) =
2
s− 1
− 2
s
Es decir
s(s− 1)Y
′
(s) + 2(1− s)Y (s) = 2
s− 1
− 2
s
O bien
Y
′
(s) +
2
s
Y (s) = − 2
s2(s− 1)2
.
Para resolver esta ecuación diferencial, encontramos primero la solución general de la ecuación homogénea
Y
′
(s) +
2
s
Y (s) = 0
que es
Yh(s) =
c
s2
Para resolver la ecuación completa por el método de variación de constantes, debemos encontrar c(s) tal que
c
′
(s)
s2
= − 2
s2(s− 1)2
⇒ c
′
(s) = − 2
(s− 1)2
⇒ c(s) = 2
s− 1
+ r
3
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Luego
Y (s) =
2
s2(s− 1)
+
r
s2
= 2
[
1
s− 1
− 1
s2
− 1
s
]
+
r
s2
.
Entonces aplicando transformada inversa, se obtiene
Y (s) = 2 [et − t− 1] + rt
Entonces para todo r, tenemos y(0) = 0. Pero la condición y
′
(0) = −1 implica r = −1, por lo que nuestra
solución es:
y(t) = 2 [et − 1]− 3t
4
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4. Resolver la ecuación
y(t) = t et +
∫ t
0
uy(t− u) du
solución:
Aplicando Laplace:
L[y] = L[t et] + L
[∫ t
0
u · y(t− u) du
]
[3ex] =⇒ L[y] = −
(
1
s− 1
)
+
1
s2
· L[y]
=⇒ L[y] = s
2
(s− 1)3(s+ 1)
=
1/8
s− 1
+
3/4
(s− 1)2
+
1/2
(s− 1)3
− 1/8
s+ 1
∴ y =
1
8
et +
3
4
t et +
1
4
t2 et−1
8
e−t
5
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5. Resuelva la ecuación utilizando Transformada de Laplace:
y′(t) + y(t)−
∫ t
0
y(v) sen(t− v) dv = − sen(t) , y(0) = 1
Solución:
Aplicando Laplace la ecuación queda:
L(y′) + L(y)− L
(∫ t
0
y(v) sen(t− v) dv
)
= −L(sen(t))
sL(y)− 1 + L(y)− L(y)
(
1
s2 + 1
)
= − 1
s2 + 1
L(y)
(
s+ 1− 1
s2 + 1
)
= 1− 1
s2 + 1
L(y) = s
s2 + s+ 1
L(y) =
s+ 12(
s+ 12
)2
+
(√
3
2
)2 − 1√3 ·
√
3
2(
s+ 12
)2
+
(√
3
2
)2
Aplicando transformada inversa:
y(t) = e−t/2 cos
(√
3
2
t
)
− 1√
3
e−t/2 sen
(√
3
2
t
)
6
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6. Si f(x) =

x si 0 ≤ x ≤ π
2
π − x si π
2
< x ≤ π
a) Encuentre el desarrollo en serie cosenoidal de f(x) .
b) Calcular la serie
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
.
solución:
a)
a0 =
4
π
∫ π/2
0
xdx =
π
2
an =
4
π
∫ π/2
0
x cos(2nx) dx
=
4
π
[
x sen(2nx)
2n
+
cos(2nx)
4n2
∣∣∣∣ π/2
0
]
=
1
n2π
[(−1)n − 1] =

0 si n es par
− 2
n2π
si n es impar
Por otra parte bn = 0 , para todo n . Por lo tanto:
f(x) =
π
4
− 2
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos [2(2n− 1)x]
b) Evaluando en x =
π
2
y como f es continua en
π
2
:
f
(π
2
)
=
π
2
=
π
4
− 2
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos
[
2(2n− 1)π
2
]
=
π
4
− 2
π
∞∑
n=1
−1
(2n− 1)2
=
π
4
+
2
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
De donde :
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π2
8
7
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7. Sea f : [0, π]→ R definida por f(x) = x(π − x)
a) Encontrar la serie senoidal de Fourier de f .
b) Use lo anterior para calcular la suma de la serie
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)3
.
solución:
bn =
2
π
∫ π
0
x(π − x) sen(nx) dx
=
2
π
(
π
∫ π
0
x sennx dx−
∫ π
0
x2 sennx dx
)
=
2
π
(
π2(−1)n+1
n
− (−1)
n+1π
n
+
2
n3
(1− (−1)n)
)
=
4
πn3
(1− (−1)n) =

0 n par
8
n3π
n impar
∴ x(π − x) = 8
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)3
sen((2n− 1)x) 0 ≤ x ≤ π
Evaluando en x =
π
2
π2
4
=
8
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)3
=⇒
∞∑
(2n−1)3
(−1)n+1
(2n− 1)3
=
π3
32
8
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8. Considerar f(x) = x2 con 0 ≤ x ≤ 1 . Encuentre su desarrollo en serie de fourier de tipo senoidal.
solución
Se trabaja con una extensión impar de f . Por tanto
bn = 2
∫ 1
0
x2 sen(nπx)dx
= 2
−x2 cos(nπx)
nπ
∣∣∣∣∣
1
0
+
2
nπ
∫ 1
0
x cos(nπx)dx

= 2
[
−cos(nπ)
nπ
+
2
nπ
∫ 1
0
x cos(nπx)dx
]
= −2 cos(nπ)
nπ
+
4
nπ
x sen(nπx)
nπ
∣∣∣∣∣
1
0
− 1
nπ
∫ 1
0
sen(nπx)dx

= −2 cos(nπ)
nπ
− 4
n3π3
cos(nπx)
∣∣∣∣∣
1
0
=
2 · (−1)n+1
nπ
− 4
n3π3
[(−1)n − 1]
Con esto
x2 =
∞∑
n=1
(
2 · (−1)n+1
nπ
− 4
n3π3
[(−1)n − 1]
)
sen(nπx)
Observación: Otra expresión para bn es
bn =

− 2
nπ
si n es par
2
nπ
+
8
n3π3
si n es impar
Con esto, otra expresión para f es:
x2 =
∞∑
n=1
2 · (−1)n+1
nπ
sen(nπx) +
∞∑
n=1
8
(2n− 1)3π3
sen [(2n− 1)πx]
9
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9. Sea α un número real no entero.
a) Encontrar el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) = cosαx − π < x < π
b) Usar esta serie para calcular el valor de la suma
1
π
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
solución
a) Los coeficientes de Fourier se calculan:
a0 =
1
π
∫ π
−π
cosαxdx =
1
π
senαx
α
∣∣∣∣π
−π
=
1
απ
(senαπ − sen(−απ))
=
2 senαπ
απ
an =
1
π
∫ π
−π
cosαx cosnx dx
=
2
π
∫ π
0
1
2
(cos(α+ n)x+ cos(α− n)x) dx
=
1
π
(
sen(α+ n)x
α+ n
+
sen(α− n)x
α− n
)π
0
=
1
π
(
sen(α+ n)π
α+ n
+
(α− n)π
α− n
)
=
1
π
(
senαπ cosnπ + sennπ cosαπ
α+ n
+
senαπ cosnπ − sennπ cosαπ
α− n
)
=
1
π
(
(−1)n senαπ
α+ n
+ (−1)n senαπ
α− n
)
=
(−1)n senαπ
π
(
1
α+ n
+
1
α− n
)
=
(−1)n senαπ
π
(
α− n+ α+ n
α2 − n2
)
=
(−1)n2α senαπ
π (α2 − π2)
bn = 0 pues f es par
∴ cosαx =
senαπ
απ
+
∞∑
k=1
2α(−1)k senαπ
π (α2 − k2)
cos kx
cosαx =
senαπ
απ
+
2α senαπ
π
∞∑
n=1
(−1)n
α2 − n2
cosnx
10
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b) En x = π se cumple que la serie converge a
f(π+) + f(π−)
2
=
cosαπ + cosαπ
2
= cosαπ
Luego
cosαπ =
senαπ
απ
+
2α senαπ
π
∞∑
n=1
(−1)n
α2 − n2
cosnπ
cotgαπ =
1
απ
+
2α
π
∞∑
n=1
1
α2 − n2
=
1
π
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
11