1o trab ALGA

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Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 
 
Resolução de Exercícios 
 
Fátima Júlio Luciano 
Cód.: 708211491 
 
Curso: Física 
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica (ALGA) 
Ano de Frequência: 2º Ano 
Turma: A 
 
 
 
Docente: 
Gedeon Mateus Sevene 
 
 
 
 
Cuamba, 2022 
 
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Folha de recomendações para melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
Índice 
1.Introdução ........................................................................................................................ 4 
1.1.Objectivos ..................................................................................................................... 4 
1.2.Metodologias................................................................................................................. 4 
2.Questão 1 ......................................................................................................................... 6 
3.Questão 2 ......................................................................................................................... 6 
4.Questão 3 ......................................................................................................................... 6 
5.Questão 4 ....................................................................................................................... 10 
6. Questão 5 ...................................................................................................................... 11 
7. Questão 6 ...................................................................................................................... 11 
8. Considerações finais ..................................................................................................... 14 
9.Referências Bibliográficas ............................................................................................. 15 
 
 
 
1.Introdução 
Boyer (2001, p. 13), regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares. A regra 
de Cramer é um método desenvolvido para resolver sistemas lineares. Sistema linear é um 
conjunto de equações que se relacionam. Para encontrar a solução das incógnitas de um 
sistema linear existem vários métodos, dentre eles a regra de Cramer. 
O conjunto das matrizes munidas das operações de adição, subtração e multiplicação e de 
características, como elemento neutro e inverso, forma uma estrutura matemática que 
possibilita sua aplicação em diversos campos dessa grande área do conhecimento (Eves, 
2002, p. 33). 
O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema linear em um 
sistema linear triangular superior equivalente, pois um sistema dessa forma pode ser 
resolvido diretamente com a resolução retroativa (Marques, 2003, p. 21). 
1.1.Objectivos 
Geral 
 Resolução dos exercícios propostos para fins avaliativos 
Específicos 
 Aplicar conhecimentos relacionado as matrizes; 
 Intender a lei de Gaus; 
 Calcular o determinante de matriz; 
 Perceber os métodos de Cramer; 
 Determinar uma transformação linear. 
1.2.Metodologias 
Para elaboração deste trabalho efectuou-se uma pesquisa bibliográfica, e pesquisa-ação, 
através da consulta de manuais que abordam assuntos ao tema do presente trabalho, e fez-
se também a consulta de artigos científicos e algumas explanações ou definições de 
conceitos importantes utilizados durante a pesquisa deste estudo, e por outro lado foi feita 
a pesquisa na internet como forma de conhecer as informações atualizadas. 
Introdução, desenvolvimento, conclusão ou considerações finais e Referencias 
bibliográficas é a ordem que o presente trabalho obedeceu, ao longo da sua abordagem. 
 
2.Questão 1 
1. Calcular a 𝐴 + 2𝐵 + 𝐶𝑇 
 
𝐴 = [
2 6 5
3 0 4
4 5 7
] 𝐵 = [
1
1
2
3
0
1
2
1
3
] 𝐶 = [
1 0 −1
−1 1 −2
0 −3 0
] 𝐺 = [
1 0 −2
−1 1 −1
0 −3 0
] 
𝐴 − 2𝐵 + 𝐶𝑇 
= [
2
3
4
6
0
5
5
4
7
] − 2 [
1 3 2
1 0 1
2 1 3
] + [
1 0 −1
−1 1 −2
0 −3 0
] 
= [
2 6 5
3 0 4
4 2 7
] − [
2 6 4
2 0 2
4 2 6
] + [
1 0 −1
−1 1 −2
0 −3 0
] 
= [
0 0 1
1 0 2
0 3 1
] + [
1 0 −1
−1 1 −2
0 −3 0
] 
3.Questão 2 
2. Determine o o valor de k, usando o método de Gaus 
{
𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0
𝑥 + 𝑦 + (𝐾2 − 5)𝑍 = 0
= |
1 1 −1
1 2 1
1 1 𝑘2 − 5
|
1
1
1
1
2
1
 
= (2𝑘2 − 10 + 1 + 1) − (2 + 1 + 𝑘2 − 5) = 2𝑘2 − 8 − 𝑘2 + 2 = 𝑘2 − 6 
𝑘 = ±√6 = ±2,449 
4.Questão 3 
3. Considerando-se que são x blindados do tipo BM3, y do tipo BM4 e z do tipo BM5, 
do enunciado infere-se imediatamente que 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓𝟎, pois existem 150 
blindados no acampamento. 
Como cada um dos blindados BM3, BM4 e BM5 possuem 3, 4 e 5 canhões respetivamente, 
que totalizam 530, poderemos também escrever: 
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟓𝟑𝟎 
 
Como a soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2/3 dos BM3, do enunciado vem 
imediatamente que 
𝑦 + 𝑧 = (
2
3
) ∙ 𝑥 
Já que são x blindados do tipo BM3, y do tipo BM4 e z do tipo BM5. Observe que se 
𝑦 + 𝑧 = (
2
3
) ∙ 𝑥 
 Poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade por 3 (para eliminar o 3 do 
denominador), obtendo: 
3(𝑦 + 𝑧) = 3 [(
2
3
) ∙ 𝑥] 
3𝑦 + 3𝑧 = 2𝑥 
Igualando a zero, fica: 
3𝑦 + 3𝑧 – 2𝑥 = 0 
Multiplicando ambos os membros da igualdade por (-1), o que não altera a igualdade, 
obteremos 
𝟐𝒙 – 𝟑𝒚 – 𝟑𝒛 = 𝟎 . 
 
Assim sendo, temos as 3 equações seguintes: 
 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓𝟎 
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟓𝟑𝟎 
𝟐𝒙 – 𝟑𝒚 – 𝟑𝒛 = 𝟎 
 
Poderemos resolver o sistema acima utilizando a Regra de Cramer ou o Método de 
escalonamento. 
Usaremos o segundo método, ou seja, vamos resolve-lo pelo método do escalonamento. 
 
Voltemos ao sistema acima. 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por (-3), vem: 
− 3𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = − 450 
isto não altera a igualdade, pois se A = B então n. A = n . B, ou seja: uma igualdade não se 
alteraquando multiplicamos ambos os membros por um mesmo número. 
 
O novo sistema (que é equivalente ao primeiro) fica então: 
− 𝟑𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒛 = − 𝟒𝟓𝟎 
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟓𝟑𝟎 
𝟐𝒙 – 𝟑𝒚 – 𝟑𝒛 = 𝟎 
 
Somando as duas primeiras equações membro a membro e substituindo a segunda por esta 
soma, vem: 
− 𝟑𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒛 = − 𝟒𝟓𝟎 
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟖𝟎 
𝟐𝒙 – 𝟑𝒚 – 𝟑𝒛 = 𝟎 
 
Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 3, vem: 
− 𝟔𝒙 – 𝟔𝒚 − 𝟔𝒛 = − 𝟗𝟎𝟎 
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟖𝟎 
𝟔𝒙 – 𝟗𝒚 – 𝟗𝒛 = 𝟎 
https://www.paulomarques.com.br/arq12-6.htm
https://www.paulomarques.com.br/arq12-5.htm
https://www.paulomarques.com.br/arq12-5.htm
 
Somando membro a membro a primeira equação com a terceira e substituindo o resultado 
na terceira, vem: 
− 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟔𝒛 = − 𝟗𝟎𝟎 
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟖𝟎 
– 𝟏𝟓𝒚 – 𝟏𝟓𝒛 = − 𝟗𝟎𝟎 
 
Multiplicando a segunda equação por 15, vem: 
 
− 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟔𝒛 = − 𝟗𝟎𝟎 
𝟏𝟓 𝒚 + 𝟑𝟎𝒛 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 
– 𝟏𝟓𝒚 – 𝟏𝟓𝒛 = − 𝟗𝟎𝟎 
 
Somando membro a membro a segunda e a terceira equações e substituindo o valor da 
soma na terceira, fica: 
− 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟔𝒛 = − 𝟗𝟎𝟎 
𝟏𝟓 𝒚 + 𝟑𝟎𝒛 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 
𝟏𝟓𝒛 = 𝟑𝟎𝟎 
 
Da terceira equação vem imediatamente que 𝑧 =
300
15
 = 𝟐𝟎. Substituindo z = 20 na 
segunda equação, vem: 
15𝑦 + 30(20) = 1200 
15𝑦 + 600 = 1200 
15𝑦 = 1200 − 600 
15𝑦 = 600 
𝑦 =
600
15
 = 𝟒𝟎 
 
Como y é o número de blindados tipo BM4, o problema está quase resolvido. Podemos 
calcular o valor de x, substituindo na primeira equação os valores de 𝑧 = 20 𝑒 𝑦 = 40 
obtidos anteriormente. Teremos: 
− 𝟔𝒙 – 𝟔(𝟒𝟎) – 𝟔(𝟐𝟎) = − 𝟗𝟎𝟎 
– 𝟔𝒙 – 𝟐𝟒𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 = − 𝟗𝟎𝟎 
– 𝟔𝒙 = −𝟗𝟎𝟎 + 𝟐𝟒𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 = − 𝟗𝟎𝟎 + 𝟑𝟔𝟎 = − 𝟓𝟒𝟎 
– 𝟔𝒙 = − 𝟓𝟒𝟎 
𝒙 = (−𝟓𝟒𝟎) / (−𝟔) = 𝟗𝟎 
𝒙 = 𝟗𝟎 
 
Resumindo temos: x = 90, y = 40 e z = 20, o que confirma que a soma dos blindados resulta 
em 150 conforme enunciado da questão. Voltemos ao problema: 
Já sabemos que x = 40 (blindados BM3), y = 40 (blindados BM4) e z = 90 (blindados 
BM5). 
Pelo enunciado da questão, cada blindado BM4 é equipado com 4 canhões. Como são 40 
blindados tipo BM4, resulta em 40 . 4 = 160 canhões. Como cada canhão carrega 12 
projéteis, o número de projéteis necessário para o grupo dos BM4 será igual a 160 . 12 = 
1920 
5.Questão 4 
4. Calcule o determinante: 
[
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 1 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑠𝑒𝑛 2𝛽 1 𝑐𝑜𝑠 2𝛽
𝑠𝑒𝑛 2𝛾 1 𝑐𝑜𝑠 2𝛾
] = [
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 1 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑠𝑒𝑛 2𝛽 1 𝑐𝑜𝑠 2𝛽
𝑠𝑒𝑛 2𝛾 1 𝑐𝑜𝑠 2𝛾
]
𝑠𝑒𝑛 2𝛼
𝑠𝑒𝑛 2𝛽
𝑠𝑒𝑛 2𝛾
1
1
1
 
= 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 × 𝑐𝑜𝑠 2𝛾 + 𝑐𝑜𝑠 2𝛽 × 𝑠𝑒𝑛 2𝛾 + 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 × 𝑠𝑒𝑛 2𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 × 𝑠𝑒𝑛 2𝛾 −
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 × 𝑐𝑜𝑠 2𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛽 × 𝑐𝑜𝑠 2𝛾 
6. Questão 5 
5. A inversa da matriz 
𝑤 = [
sin 𝛾 cos 𝛾
− cos 𝛾 sin 𝛾
] =
1
𝑑𝑒𝑡. (𝐴)
× 𝑎𝑑𝑗. (𝐴) 
1
sin 𝛾 × sin 𝛾 − (− cos 𝛾 × cos 𝛾)
× [
sin 𝛾
cos 𝛾
− cos 𝛾
sin 𝛾 ] 
1
𝑠𝑖𝑛2𝛾 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾
×
[
 
 
 
sin 𝛾
− cos2 𝛾 + sin2 𝛾
− cos 𝛾
− 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛾
cos 𝛾
− 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛾
sin 𝛾
− 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛾]
 
 
 
 
7. Questão 6 
6. Metodo de Cramer 
{
2𝑥
5𝑛
−
3𝑦
2𝑚
=
4𝑚2 − 15𝑛2
10𝑚𝑛
𝑥
3𝑚
+
𝑦
2𝑛
=
5
6
 
Primeiro vamos achas os (∆𝑥, ∆ 𝑒 ∆𝑦), para calcularmos 
∆𝑥
∆
 𝑒
∆𝑦
∆
 
∆= |
2
5𝑛
−
3
2𝑚
1
3𝑚
1
2𝑛
| = (
2
5𝑛
×
1
2𝑛
) − (
1
3𝑚
×
3
2𝑚
) =
1
5𝑛2
−
1
2𝑚2
=
2𝑚2 − 5𝑛2
10𝑚2𝑛2
 
∆𝑥= ||
4𝑚2 − 15𝑛2
10𝑚𝑛
5
6
−3
2𝑚
1
2𝑛
|| =
4𝑚2 − 5𝑛2
20𝑚𝑛2
−
15
12
=
(4𝑚2 − 15𝑛2) × 12 − 15 × 20𝑚𝑛2
20 × 12𝑚𝑛2
 
=
48𝑚2 − 180𝑛2 − 300𝑚𝑛2
240𝑚𝑛2
=
4(12𝑚2 − 45𝑛2 − 75𝑚𝑛2)
240
=
12𝑚2 − 45𝑛2 − 75𝑚𝑛2
60
 
=
3(4𝑚2 − 15𝑛2 − 25𝑚𝑛2)
60
=
4𝑚2 − 15𝑛2 − 25𝑚𝑛2
20
 
∆𝑦 = ||
2
5𝑛
 
4𝑚2 − 15𝑛2
10𝑚𝑛
1
3𝑚
 
5
6
|| =
4𝑚2 − 15𝑛2
10𝑚𝑛
−
10
30𝑛
=
120𝑚2 − 450𝑛2 − 100𝑚2𝑛
300𝑚2𝑛2
 
=
12𝑚2 − 45𝑛2 − 10𝑚2𝑛
30𝑚2𝑛2
 
𝑥 =
∆𝑥
∆
=
4𝑚2 − 15𝑛2 − 25𝑚𝑛2
20
2𝑚2 − 5𝑛2
10𝑚2𝑛2
=
4𝑚2 − 15𝑛2 − 25𝑚𝑛2
20
×
10𝑚2𝑛2
2𝑚2 − 5𝑛2
 
=
40𝑚4𝑛2 − 150𝑚2𝑛4 − 250𝑚3𝑛4
40𝑚2 − 100𝑛2
=
10(4𝑚4𝑛2 − 15𝑚2𝑛2 − 25𝑚3𝑛4)
10(4𝑚2 − 10𝑚2)
 
=
4𝑚4𝑛2 − 15𝑚2𝑛2 − 25𝑚3𝑛4
4𝑚2 − 10𝑚2
 
𝑦 =
∆𝑦
∆
=
12𝑚2 − 45𝑛2 − 10𝑚2𝑛
30𝑚2𝑛2
2𝑚2 − 5𝑛2
10𝑚2𝑛2
=
12𝑚2 − 45𝑛2 − 10𝑚2𝑛
30𝑚2𝑛2
×
10𝑚2𝑛2
2𝑚2 − 5𝑛2
 
=
12𝑚4𝑛2 − 45𝑛4𝑚2 − 10𝑚4𝑛3
3𝑚2𝑛2 × (2𝑚2 − 5𝑛2) 
=
2𝑚4𝑛2 − 45𝑛4𝑚2 − 10𝑚4𝑛3
6𝑚4𝑛2 − 15𝑚2𝑛4
 
7.Se 𝑇:ℝ2 → ℝ3 é uma transformação linear tal que 
𝑇(1,2) = (1,0,1), 𝑇(2,1) = (2,1, −2) 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑇(𝑥, 𝑦) 
{
(1,2)(2,1)é 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 ℝ2
𝑠𝑒𝑗𝑎 (𝑥, 𝑦) 𝜖 ℝ2
 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1,2) + 𝑏(2,1) 
(𝑥, 𝑦) = (𝑎, 2𝑎) + (2𝑏, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 + 𝑏) 
(𝑥, 𝑦) = {
𝑎 + 2𝑏 = 𝑥
2𝑎 + 𝑏 = 𝑦
⇒ {
_____
𝑎 =
𝑦 − 𝑏
2
⇒ {
𝑦 − 𝑏
2
+ 2𝑏 = 𝑥
________________
⇒ {
𝑦 − 𝑏 + 4𝑏
2
= 𝑥
________________
⇒ {
𝑦 − 3𝑏 = 2𝑥
_____________
 
⇒ {
𝑏 =
2𝑥 − 𝑦
3
𝑎 =
𝑦 − 𝑏
2
⇒ {
________________
𝑎 =
𝑦 −
2𝑥 + 𝑦
3
2
⇒ {
______________________
𝑎 =
3𝑦 − 2𝑥 + 𝑦
3
×
1
2
⇒ {
____
𝑎 =
4𝑦 − 2𝑥
6
 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑇(1,2) + 𝑏𝑇(2,1) 
(𝑥, 𝑦) =
4𝑦−2𝑥
6
× (1,0,1) + (
2𝑥−𝑦
3
) (2,1, −2) 
= (
4𝑦−2𝑥
6
, 0,
4𝑦−2𝑥
6
) + (
4𝑥−2𝑦
3
,
2𝑥−𝑦
3
,
−4𝑥+2𝑦
3
) 
= (𝑥,
2𝑥−𝑦
3
,
8𝑦+10𝑥
6
) 
 
 
8. Considerações finais 
A regra de Cramer é um dos métodos diretos de resolução de sistemas de equações lineares 
mais conhecidos. Embora, bastante restritivo na sua aplicação (exige matriz quadrada com 
determinante não nulo), desempenha um papel importante dentro dessa teoria. 
 
 
9.Referências Bibliográficas 
Boyer, C. B. (2001). História da Matemática. Pag. 424-427. São Paulo: Editora Edgard 
Blücher. 
Eves, H. (2002). Introdução à História da Matemática. 3a.ed. Pag.552-556. São Paulo: 
Editora da UNICAMP. 
Marques, P. (2003). Metodo de Gaus. Rio de Janeiro: Feira de Santana – BA.