ap 6 em2 anglo

Prévia do material em texto

Ensino Médio
ANGLO
Manual do Professor • Matemática
6
ª- série2
296321_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 1/23/17 9:52 AM
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
EM_REG_01a03_MAT_MP6_Iniciais.indd 1 1/23/17 2:40 PM
Direção de inovação e conteúdo: Guilherme Luz
Direção executiva de integração: Irina Bullara Martins Lachowski
Direção editorial: Renata Mascarenhas
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Gestão pedagógica e gestão de projeto editorial: Henrique Braga 
e Rodolfo Marinho
Coordenação pedagógica: Fábio Aviles
Supervisão da disciplina: Roberto Teixeira Cardoso
Fluxo de produção: Fabiana Manna, Paula P. O. C. Kusznir 
e Paula Godo
Gestão de área: Viviane Carpegiani e Pietro Ferrari
Edição: Tadeu Nestor Neto
Revisão: Hélia Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Danielle Modesto, 
Marília Lima, Marina Saraiva, Tayra Alfonso e Vanessa Lucena
Edição de arte: Daniela Amaral (coord.) e Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia e licenciamento de texto: Sílvio Kligin (superv.); 
Denise Durand Kremer (coord.); Claudia Bertolazzi,  
Claudia Cristina Balista, Ellen Colombo Finta, Jad Silva, 
Karina Tengan e Sara Plaça (pesquisa iconográfica); Liliane Rodrigues e 
Thalita Corina da Silva (licenciamento de textos)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Ilustrações: Casa de Tipos e Avits
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
Todos os direitos reservados por SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro
CEP: 04755-070 – São Paulo – SP
(0xx11) 3273-6000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : cadernos de 5 a 8 : manual do 
professor / Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van 
Amson, Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : 
SOMOS Sistemas de Ensino, 2017.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Glenn Albert Jacques van. 
II. Cardoso, Roberto Teixeira. III. Título.
16-08085 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2017
ISBN 978 85 4680 373 6 (PR)
Código da obra 826251217
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
EM_REG_01a03_MAT_MP6_Iniciais.indd 2 1/23/17 2:40 PM
Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................ 4
Setor A ...................................................................................................................................................................... 5
Aulas 19 e 20 – Função seno e função cosseno ................................................................................................... 5
Aula 21 – Funções trigonométricas ........................................................................................................................ 6
Aulas 22 e 23 – Matrizes: conceito, igualdade, adição e multiplicação por um número .................................. 6
Aula 24 – Matrizes: multiplicação de matrizes ....................................................................................................... 6
Aula 25 – Potências naturais de matrizes quadradas ........................................................................................... 7
Aulas 26 e 27 – Sistemas lineares: introdução ....................................................................................................... 7
Aula 28 – Sistemas lineares: sistemas escalonados .............................................................................................. 7
Aulas 29 e 30 – Sistemas lineares: escalonamento e classificação ..................................................................... 7
Aulas 31 e 32 – Determinantes de ordem 1, 2 ou 3 ............................................................................................... 8
Aulas 33 e 34 – Determinantes, matriz inversa e sistemas lineares ....................................................................... 9
Aula 35 – Sistemas lineares: discussão ................................................................................................................... 9
Aula 36 – Sistemas lineares e matriz inversa ........................................................................................................ 1 0
Setor B .................................................................................................................................................................... 1 1
Aulas 13 e 14 – Estudo da reta: retas perpendiculares ....................................................................................... 1 1
Aulas 15 e 16 – Distância de ponto a reta ........................................................................................................... 1 1
Aulas 17 e 18 – Representações gráficas de inequações .................................................................................. 1 2
Aula 19 – Circunferência: equação reduzida ...................................................................................................... 1 3
Aula 20 – Circunferência: equação normal ........................................................................................................ 1 4
Aulas 21 e 22 – Reta e circunferência .................................................................................................................. 1 4
Aulas 23 e 24 – Áreas ............................................................................................................................................. 1 5
Atividades Interdisciplinares .............................................................................................................................. 17
EM_REG_01a03_MAT_MP6_Iniciais.indd 3 1/23/17 2:40 PM
Matemática
Caderno 6
Neste caderno, temos uma progressão natural dos temas trabalhados no Caderno 5, tanto no setor A como no setor B. Damos assim 
continuidade ao nosso curso no segundo ano.
No setor A, concluiremos o estudo da Trigonometria, iniciado no Caderno 5, agora com foco nas funções trigonométricas. É muito 
importante que o aluno perceba que essas funções constituem um excelente modelo matemático para diversos fenômenos da Biologia, 
Medicina, Física, Economia, entre outros. Portanto, é essencial que, ao apresentar o modelo das funções seno e cosseno, exponha também 
algumas das suas aplicações nessas ciências, construindo assim um aprendizado com significado para o aluno.
Em seguida, trabalharemos com a teoria das matrizes, por entendermos a importância dessa estrutura algébrica. Uma boa estratégia 
é apresentar esse tema juntamente com planilhas de dados (por exemplo, as do Excel); assim, a necessidade desse conceito já se justifica 
automaticamente.
Após esse estudo, trabalharemos um pouco com determinantes. Note que esse tema foi bem reduzido propositadamente, pois, 
apesar de as orientações nos documentos oficiais sugerirem a supressão desse tema no Ensino Médio, julgamos pertinente tratar ao 
menos as técnicas mais utilizadas e trabalhar com os determinantes como um padrão útil em sistemas lineares e em Geometria analítica. 
Finalizamos o setor A com o estudo da teoria dos sistemas lineares, trabalhando com técnicas de resolução e com a discussão das 
soluções de um sistema.
O setor B é inteiramente dedicado à Geometria analítica, começando com o estudo da perpendicularidade entre retas, seguido da 
distância de ponto a reta, representações gráficas de inequações, estudo da circunferência e finalizando com o estudo de áreas de figuras 
no plano cartesiano.
Duas escolhasdevem ser destacadas. A primeira é a introdução das representações gráficas de inequações, pois existem muitos 
problemas de restrições com duas variáveis que podem ser modelados com o auxílio desse tema. A segunda é de deixar o estudo das 
áreas após o estudo da circunferência, pois o aluno já estará mais experiente, uma vez que teve a oportunidade de trabalhar com de-
terminantes no setor A.
4
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 4 1/23/17 2:43 PM
Setor A
aulas 19 e 20
Função seno e função cosseno
Objetivos
Estudar os significados dos parâmetros a, b, c e d nas funções 
dadas por uma equação da forma y 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) e 
operar com seus gráficos.
Encaminhamento
Inicie a aula com a resolução do primeiro exercício, mostrando 
como a constante b influi na amplitude. Terminado o exercício 1, 
comente o papel da constante a nos gráficos das funções dadas 
por f(x) 5 a 1 b ? sen x. Faça comentários sobre máximo, mínimo 
e conjunto imagem dessas funções. 
Explique como esboçar o gráfico de uma função dada por uma 
equação da forma y 5 sen (cx 1 d) ou y 5 cos (cx 1 d), com c Þ 0; 
como no exercício 2, é conveniente montar uma tabela iniciando 
com as colunas cx 1 d, cos (cx 1 d), ou, se for o caso, sen (cx 1 d). 
Facilita muito dar os valores 0, p
2
, p, 
3
2
p
 e 2p à expressão cx 1 d, 
isto é, comece a tabela da seguinte maneira:
cx 1 d cos (cx 1 d) x y
0
2
p
p
3
2
p
2p
Dessa forma, ficará mais fácil explicar ao aluno o porquê de o 
período ser 2
c
p .
Sugestão de exercícios extras
1. (UEPB) Sendo f(x) 4cos
2
x 2cos x,p5 2 2 1

 o valor de 
f 7
4
p
2




 é: 
a) 2
b) 2
 cc) 2 2
d) 21
e) 2
2
2. (FGV-SP) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a 
altura da água do mar em um certo ponto era dada por 
f(x) 4 3cos x
6
p
5 1



 , em que x representa o número de 
horas decorridas a partir de zero hora de determinado 
dia, e a altura f(x) é medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a 
altura de 2,5 m naquele dia?
a) 5 e 9 horas
b) 7 e 12 horas
 cc) 4 e 8 horas
d) 3 e 7 horas
e) 6 e 10 horas
3. (Unifesp) Um jogo eletrônico consiste de uma pista 
retangular e de dois objetos virtuais, O
1
 e O
2
, os quais se 
deslocam, a partir de uma base comum, com O
1
 sempre 
paralelamente às laterais da pista e O
2
 formando um 
ângulo x com a base, x 0,
2
p
[



 . Considere v1 e v2 os 
módulos, respectivamente, das velocidades de O
1
 e O
2
. 
Considere, ainda, que os choques do objeto O
2
 com 
as laterais da pista (lisas e planas) são perfeitamente 
elásticos e que todos os ângulos de incidência e de 
reflexão são iguais a x.
x
x
x Base
O
2
O
1
5
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 5 1/23/17 2:43 PM
a) Exiba o gráfico da função y 5 f(x) que fornece o 
módulo da componente da velocidade de desloca-
mento do objeto O
2
, no sentido do deslocamento do 
objeto O
1
, em função do ângulo, x 0,
2
p
[



 .
b) Se v
1
 5 10 m/s e v
2
 5 20 m/s, determine todos os valo-
res de x, x 0,
2




p
[ , para os quais os objetos O
1
 e O
2
, 
partindo num mesmo instante, nunca se choquem. 
Respostas:
a) f(x) 5 v
2
 ? sen x (para x agudo)
2
p
y
x
v
2
b) Não ocorre o choque ⇔ 20sen x Þ 10.
 Portanto, sen x Þ 1
2
, ou seja, no intervalo 0 , x , 
2
p , 
temos x Þ 
6
p
.
aula 21
Funções trigonométricas
Objetivos
Estudar e resolver funções dadas por y 5 A ? cos x 1 B ? sen x, 
com A . 0 e B . 0.
Encaminhamento
Comece a aula com a resolução do exercício 1. Após a resolução, 
mostre que se cos x 5 1, então sen x 5 0; portanto, não existe x 
tal que cos x 5 1 e sen x 5 1. Resolva o exercício 2a, pedindo aos 
alunos que não copiem a resolução enquanto estiver explicando, 
pois ela é diferente e exige concentração e participação para en-
tendê-la. Terminada a resolução, mostre que, se no item b tivés-
semos y 5 3 ? cos x 2 sen x, teríamos y 5 2 ? sen x
3
2
p


 . 
Mesmo assim, a “montagem” do triângulo retângulo de catetos 1 
e 3 não seria alterada. Se sobrar tempo, aproveite as sugestões 
de exercícios extras da aula anterior.
aulas 22 e 23
Matrizes: conceito, igualdade, adição 
e multiplicação por um número
Objetivos
Apresentar e explicar alguns dos conceitos fundamentais da 
teoria das matrizes.
Encaminhamento
Apresente os conceitos, seguindo o resumo da aula, e, se for 
necessário, complemente com mais exemplos. Os primeiros três 
exercícios da aula mostram como o conceito de matriz é ideal 
para apresentar e representar dados de um modo organizado e 
eficiente.
Neste curso, vamos usar as matrizes para representar sistemas 
lineares. Assim, por exemplo, o sistema 
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎪
x 1 2y 1 3z 5 1
3x 1 5y 2 z 5 2
6y 1 7z 5 3
 pode 
ser representado pela matriz 
1 2 3
3 5 1
0 6 7
1
2
3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 se for considera-
do que nas equações do sistema as variáveis x, y e z ocorrem 
na mesma ordem. Historicamente, com o desenvolvimento de 
teorias sobre matrizes e sistemas lineares, surgiram os determi-
nantes. Excluindo casos particulares, o cálculo de determinantes 
de ordem maior que 3 pode ser extremamente trabalhoso e, para 
a resolução de sistemas lineares, existem algoritmos elaborados 
com base no conceito de escalonamento. Mesmo usando com-
putadores, esses algoritmos são preferidos e os determinantes são 
usados em outras aplicações. O exercício 4 mostra um aspecto 
fundamental da teoria: o tratamento de equações matriciais. A 
teoria das matrizes tem uma estrutura algébrica completa, como 
veremos nas próximas aulas.
Essas aulas mostrarão também que, com o auxílio das matrizes 
e o conceito de escalonamento, podemos lidar com os sistemas 
lineares de modo relativamente simples, sem o uso de computador. 
Os determinantes podem ser úteis na resolução de sistemas de três 
equações a três incógnitas.
aula 24
Matrizes: multiplicação de matrizes
Objetivos
Apresentar o conceito de multiplicação de matrizes.
6
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 6 1/23/17 2:43 PM
Encaminhamento
Inicie a aula com a apresentação da condição de existência do pro-
duto A
m 3 k
 ? B
p
 
3 n
. Esse produto existe se, e somente se, k 5 p, isto é, 
o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de 
linhas da segunda matriz. Sendo AB 5 C, o tipo da matriz C é m 3 n.
Mostre, no exemplo do resumo da aula, como obter cada um 
dos elementos do produto C. Genericamente, para obter o elemen-
to c
ij
 do produto de A por B (nesta ordem), multiplica-se cada um 
dos elementos da linha i de A pelo elemento correspondente da 
coluna j de B. A soma dos produtos obtidos é o elemento c
ij
 de AB 
e há muitas situações em que é necessário calcular apenas um dos 
elementos do produto. Assim, não é necessário efetuar todos os 
cálculos. Por exemplo, para obter o elemento c
57
 de um produto 
matricial, basta considerar a 5a linha da primeira matriz e a 7a coluna 
da segunda matriz, multiplicar os elementos “correspondentes” e 
somar os produtos obtidos.
No exercício 1 da aula, mostre aos alunos que AB pode ser diferen-
te de BA; em outras palavras, a operação multiplicação (de matrizes) 
não é comutativa. Fale do elemento neutro, da matriz identidade. 
No livro-texto, no último item do capítulo sobre matrizes, temos 
uma situação comum na prática que mostra como é conveniente 
conceituar a multiplicação de matrizes do modo que foi feito.
aula 25
Potências naturais de matrizes 
quadradas
Objetivos
Apresentar o conceito de An, em que n é um número natural 
e A é uma matriz quadrada.
Encaminhamento
Apesar de não haver muitas “novidades” teóricas, com os exer-
cícios da aula, auxilie os alunos a descobrirem se há regularidades 
(padrões) ao calcular as potências naturais de uma matriz quadrada.
Em cada exercício, é importante mostrar aos alunos que essas 
regularidades podem ser descobertas ao calcular e comparar as 
primeiras potências da matriz. Calcule, em cada caso, A1, A2,A3, ... 
e compare os resultados obtidos.
aulas 26 e 27
Sistemas lineares: introdução
Objetivos
Apresentar os conceitos de equação linear e sistema linear.
Encaminhamento
Mostre o conceito de equação linear por meio de exemplos 
e das equações nas quais aparecem produtos, quocientes ou po-
tências de incógnitas que não são classificadas como equações 
lineares. Uma equação linear de n incógnitas x
1
, x
2
, ..., x
n
 é uma 
equação da forma:
a
1
x
1
 1 a
2
x
2
 1 ... 1 a
n
x
n
 5 b
em que a
1
, a
2
, ..., a
n
 são constantes quaisquer, com pelo menos um 
deles diferente de 0, e b é uma constante qualquer.
Nos vestibulares atuais, os sistemas lineares são apresentados 
dentro de um contexto, e cabe ao aluno “montar” o sistema (equa-
cionar) e resolvê-lo.
Na próxima aula veremos uma técnica de resolução de siste-
mas: o escalonamento. Mas é válido lembrar que, dependendo 
das equações, essa técnica pode não ser a mais adequada, e então 
outras particularidades do sistema devem ser sempre exploradas, 
como no exercício 3 das aulas.
aula 28
Sistemas lineares: sistemas 
escalonados
Objetivos
Mostrar o conceito de forma escalonada de um sistema linear 
e as facilidades de resolver um sistema apresentado nessa forma.
Encaminhamento
Desenvolva o conceito da forma escalonada seguindo o resumo 
da aula e a sequência dos seus exercícios. Como esta aula é mais 
técnica, não deve apresentar dificuldades conceituais.
aulas 29 e 30
Sistemas lineares: escalonamento 
e classificação
Objetivos
Apresentar técnicas para obter uma forma escalonada de um 
sistema linear e praticá-las na resolução dos exercícios.
Encaminhamento
Relembre o conceito de forma escalonada, visto na última aula, 
e apresente os procedimentos que podem ser seguidos para ten-
tar obter uma forma escalonada, por meio de uma sequência de 
sistemas equivalentes.
7
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 7 1/23/17 2:43 PM
P
1
: Trocar a ordem de duas equações (“linhas”) do sistema. 
P
2
: Multiplicar ambos os membros de uma equação (“linha”) 
por uma constante não nula.
P
3
: Somar a uma equação (“linha”) um “múltiplo” de uma 
outra equação (“linha”) do sistema.
Mantendo uma ordem única das incógnitas, podemos repre-
sentar cada sistema obtido, simplesmente, por uma matriz. Desse 
modo, além de obter uma economia de tempo, passamos por 
experiências que serão úteis no futuro, se eventualmente o aluno 
tiver um curso de Álgebra linear.
Veja como interpretar as matrizes e as transformações no exer-
cício 1b.
−
−










1 2 4
2 3 1
3 4 6
0
0
0
 representa 






1 1 5
1 2 5
1 2 5
x 2y 4z 0
2x 3y z 0
3x 4y 6z 0
Subtraia da segunda equação o dobro da primeira e subtraia 
da terceira equação o triplo da primeira, 22 ? L
1
 1 L
2
 → L
2
 e 
23 ? L
1
 1 L
3
 → L
3
:










1 2 4
0 1 9
0 2 18
0
0
0
2 2
2 2
 representa 






1 1 5
2 2 5
2 2 5
x 2y 4z 0
y 9z 0
2y 18z 0
Multiplique a segunda linha por 21 (21 ? L
2
 → L
2
):










1 2 4
0 1 9
0 2 18
0
0
02 2
 representa 






1 1 5
1 5
2 2 5
x 2y 4z 0
y 9z 0
2y 18z 0
Some o dobro da segunda linha à terceira linha (2 ? L
2
 1 L
3
 → L
3
 ):










1 2 4
0 1 9
0 0 0
0
0
0
 representa 





1 1 5
1 5
5
x 2y 4z 0
y 9z 0
0z 0
 
Esse sistema é equivalente a 




1 1 5
1 5
x 2y 4z 0
y 9z 0
, pois 0z 5 0 
para qualquer valor de z.
Desenvolva com os alunos o processo de escalonamento, pois 
às vezes exige uma certa iniciativa, habilidade de lidar com números 
e experiência. Por esse motivo, foram reservadas duas aulas para 
tratar do assunto.
Um fato que pode causar a sensação de insegurança em al-
guns alunos é que há vários caminhos diferentes de chegar à forma 
escalonada. É claro que um caminho mais curto, isto é, com um 
número menor de passagens, pode ser mais elegante. Porém, deve-
-se mostrar que essa não é a meta.
Deve ser mencionado aos alunos que o método por 
escalonamento pode ser evitado em alguns casos. Em sistemas 
que apresentam equações “incompletas”, isto é, incógnitas com 
coeficientes nulos, pode ser vantajoso seguir outros caminhos. 
Um bom exemplo é dado pelo sistema 





1 5
1 5
1 5
x y 1
y z 2
z x 3
;
somando membro a membro, temos:
2x 1 2y 1 2z 5 6, ou seja, x 1 y 1 z 5 3.
De x 1 y 5 1 e x 1 y 1 z 5 3, temos z 5 2.
De y 1 z 5 2 e x 1 y 1 z 5 3, temos x 5 1.
De z 1 x 5 3 e x 1 y 1 z 5 3, temos y 5 0.
Em sistemas de duas equações a duas incógnitas, o escalona-
mento também pode ser evitado.
aulas 31 e 32
Determinantes de ordem 1, 2 ou 3
Objetivos
Apresentar regras práticas para calcular um determinante de 
ordem menor que 4.
Encaminhamento
A finalidade de introduzir os determinantes é simplificar as 
análises necessárias para classificar sistemas lineares (SPD, SPI ou SI). 
Neste curso, não serão estudados os aspectos teóricos dos deter-
minantes. Na verdade, com o fácil acesso aos computadores e seus 
aplicativos, o cálculo manual de determinantes de ordem maior 
que 3 ficou ultrapassado.
Siga o resumo teórico da aula e, se achar conveniente, exponha al-
gumas das propriedades de determinantes apresentadas no livro-texto.
Definição geral do determinante de ordem n
A definição do determinante de ordem n, n > 2, é a soma 
dos n! produtos existentes da forma (21)t ? a1j1? a2j2? ... ? anjn . 
O expoente t é o número de trocas necessárias para colocar os 
segundos índices j
1
, j
2
, ..., j
n
 na ordem natural 1, 2, 3, ..., n. Note que 
(21)t 5 1 se t for par e (21)t 5 21 se t for ímpar. Os primeiros 
índices são mantidos na ordem.
Exemplos:
1. Com A 5 








a a
a a
11 12
21 22
, temos n! 5 2! 5 2. Temos 2 
produtos existentes.
• a
11
 ? a
22
: não há necessidade de troca dos segundos índices; 
(21)0 5 1
8
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 8 1/23/17 2:43 PM
• a
12
 ? a
21
: há necessidade de uma troca dos segundos índices; 
(21)1 5 21
Logo, 
a a
a a
11 12
21 22
 5 (11)a
11
a
22
 1 (21)a
21
a
12
2. Com A 5 












a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, temos n! 5 3! 5 6. Temos 6 
produtos existentes.
• a
11
a
22
a
33
: não há necessidade de troca dos segundos índices; 
(21)0 5 11
• a
11
a
23
a
32
: há necessidade de uma troca dos segundos índices; 
(21)1 5 21
• a
12
a
21
a
33
: há necessidade de uma troca dos segundos índices; 
(21)1 5 21
• a
12
a
23
a
31
: há necessidade de duas trocas dos segundos índices; 
(21)2 5 11
• a
13
a
21
a
32
: há necessidade de duas trocas dos segundos índices; 
(21)2 5 11
• a
13
a
22
a
31
: há necessidade de uma troca dos segundos índices; 
(21)1 5 21
Logo, 
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 5 a
11
a
22
a
33
 2 a
11
a
23
a
32
 2 a
12
a
21
a
33
 1 
1 a
12
a
23
a
31
 1 a
13
a
21
a
32
 2 a
13
a
22
a
31
.
Em um determinante de ordem 4, temos 24 (5 4!) desses pro-
dutos com 4 fatores e, num determinante de ordem 5, temos 120 
(5 5!) desses produtos com 5 fatores. Sabendo disso, fica claro 
por que existem algumas regras práticas como a de Sarrus (que 
infelizmente só vale para a ordem 3), Chió e Laplace, descobertas 
antes da era dos computadores.
aulas 33 e 34
Determinantes, matriz inversa 
e sistemas lineares
Objetivos
Apresentar a regra de Cramer e uma condição necessária e 
suficiente para a existência da matriz inversa.
Encaminhamento
Siga o resumo da aula e, se achar conveniente, reserve a aula 
34 para apresentar a regra de Cramer. A escolha dessa regra para 
a resolução de um sistema deve ser feita com cautela, pois, em 
geral, ela proporciona uma tarefa muito trabalhosa, em virtude da 
quantidade de cálculos. Raramente essa regra é exigida nas provas 
de vestibulares.
Em geral, para resolver sistemas lineares, o método de esca-
lonamento é o mais indicado. Em cursos superiores nas áreas de 
cálculo, serãoapresentados métodos e algoritmos computacio-
nais cujos desenvolvimentos partem do conceito de sistemas 
escalonados.
Um erro grave:
Há alguns livros com a seguinte afirmação: nos casos em que os 
determinantes D, D
x
, D
y
 e D
z
 são todos iguais a 0 (zero), o sistema 
é possível e indeterminado (SPI). O exemplo a seguir mostra que 
tal afirmação é FALSA.






1 1 5
1 1 5
1 1 5
x y z 1
x y z 2
x y z 3
Temos: 
D 5 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, D
x
 5 
1 1 1
2 1 1
3 1 1
, D
y
 5 
1 1 1
1 2 1
1 3 1
 e 
D
z
 5 
1 1 1
1 1 2
1 1 3
Os quatro determinantes são nulos, pois têm duas colunas 
iguais. No entanto, o sistema é claramente impossível.
aula 35
Sistemas lineares: discussão
Objetivos
Discutir o número de soluções de um sistema linear de n equa-
ções a n incógnitas, a partir do determinante da matriz dos coe-
ficientes do sistema, nos casos em que pelo menos um deles não 
é conhecido.
Encaminhamento
Desenvolva o resumo da aula, em que vimos que, se o deter-
minante D da matriz dos coeficientes é diferente de zero, então 
o sistema é possível e determinado (SPD). Nesse caso, a solução 
pode ser obtida pela regra de Cramer, pois, sendo D 5 0 e o sis-
tema homogêneo, podemos concluir que ele é possível e indeter-
minado (SPI). E com D 5 0 e o sistema não homogêneo, há duas 
possibilidades: o sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) ou 
o sistema pode ser impossível (SI). O processo de escalonamento 
ajudará a fazer essa distinção.
9
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 9 1/23/17 2:43 PM
aula 36
Sistemas lineares e matriz inversa
Objetivos
Mostrar como um sistema linear de n equações a n incógni-
tas pode ser representado por uma equação matricial da forma 
A ? X 5 B e, caso exista A21, mostrar como determiná-la.
Encaminhamento
Explique a parte teórica usando o seguinte exemplo: o sis-
tema 




1 5
1 5
a x a y b
a x a y b
11 12 1
21 22 2
 é equivalente à equação matricial 
1 244 344








a a
a a
11 12
21 22
A
 ? 









x
y
X
 5 
123








b
b
1
2
B
. Se o determinante de A é 
diferente de zero, existe A21. Nessa condição, temos as equações 
equivalentes AX 5 B e X 5 A21B.
No primeiro exercício da aula, é explorada a habilidade de lidar 
com a propriedade fundamental de matriz inversa: A ? A21 5 I, 
em que I é a matriz identidade, elemento neutro da multiplicação.
O segundo exercício mostra o elo estreito entre as equações 
matriciais da forma AX 5 B e os sistemas de n equações a n incóg-
nitas. No nosso curso, trata-se de um aprofundamento, e, em um 
curso superior, trata-se de um tópico introdutório para algumas 
teorias da Álgebra linear.
10
a
n
o
ta
•
›
e
s
EM_REG_04a10_MAT_A_MP6.indd 10 1/23/17 2:43 PM
Setor B
aulas 13 e 14
Estudo da reta: retas perpendiculares
Objetivos
Caracterizar retas perpendiculares usando Geometria analítica. 
Encaminhamento
Inicie a aula retomando as posições relativas entre duas retas e 
explicando como é possível, na maioria das vezes, usar o coeficiente 
angular para decidir a posição relativa entre elas.
Relembre aos alunos que a perpendicularidade é um caso par-
ticular da concorrência de retas e que nestas aulas analisaremos 
esse caso particular.
Mostre, como primeiro exemplo, um par de retas perpendicu-
lares cujas inclinações estejam associadas a ângulos notáveis (por 
exemplo, 60° e 120°), calcule os coeficientes angulares e mostre que 
nesse caso o produto dos coeficientes angulares dessas duas retas 
é 21. Comente que esse resultado é verdadeiro para qualquer caso 
em que as retas são oblíquas.
Em seguida, apresente um caso em que uma das retas é per-
pendicular ao eixo das abscissas e comente que, como essa reta não 
tem coeficiente angular, a relação apresentada anteriormente não é 
válida, mas nesse caso basta verificar se a outra reta é perpendicular 
ao eixo das ordenadas.
Caso a turma seja mais avançada, demonstre a relação. A de-
monstração se encontra no Livro-texto.
Disponibilize um tempo para que os alunos façam os exercícios, 
corrigindo-os em seguida.
Sugestão de exercícios extras
1. (ESPM-SP) Seja A 5 (4, 2) um ponto do plano cartesiano 
e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos 
coordenados. A equação da reta que passa por A e é 
perpendicular à reta que passa por B e C é: 
 ca) 2x 2 y 5 6
b) x 2 2y 5 0
c) x 2 y 5 2
d) x 1 2y 5 8
e) x 1 y 5 6
2. (AFA-SP) Considere no plano cartesiano as retas 





5
5 1
r:
x 2t
y 3t 1
2
 e s: (k 1 1)x 2 y 2 
k
2
 5 0, onde R[k . 
Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão 
a) concorrentes perpendiculares.
b) concorrentes oblíquas.
c) paralelas distintas.
 cd) paralelas coincidentes.
3. (Ufscar-SP – Adaptada) Considere P um ponto pertencente 
à reta (r) de equação 3x 1 5y 2 10 5 0 e equidistante 
dos eixos coordenados. A equação da reta que passa 
por P e é perpendicular a (r) pode ser a 
 ca) 10x 2 6y 2 5 5 0.
b) 6x 2 10y 1 5 5 0.
c) 15x 2 9y 2 16 5 0.
d) 5x 1 3y 2 10 5 0.
e) 15x 2 3y 2 4 5 0.
aulas 15 e 16
Distância de ponto a reta
Objetivos
Determinar a distância entre um ponto e uma reta.
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando o conteúdo da Geometria plana se-
gundo o qual a distância entre um ponto P e uma reta r é dada 
pela medida do segmento de reta perpendicular a r com extremos 
em P e em r.
Mostre, em seguida, com uma figura em escala, como determi-
nar a distância de um ponto P a uma reta r perpendicular ao eixo 
das ordenadas e a uma reta s perpendicular ao eixo das abscissas. 
Comente que para esses casos não precisamos do auxílio de uma 
fórmula.
Em seguida sugerimos duas estratégias distintas para turmas 
com perfis diferentes.
• Caso a turma seja menos avançada ou mediana, apresente 
a fórmula sem demonstração e faça exemplos numéricos.
11
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 11 1/23/17 2:58 PM
• Caso a turma seja mais avançada, escolha um exemplo 
com uma reta r e um ponto P e calcule a distância, determi-
nando uma equação da reta s perpendicular a r que passa 
por P, o ponto Q de intersecção entre r e s e finalmente a 
distância de P a Q. Em seguida apresente a fórmula (também 
sem demonstração) e refaça o cálculo da distância, agora 
usando a fórmula, para que os alunos entendam a vantagem.
Sugerimos que a fórmula não seja demonstrada nestas aulas. 
Caso algum aluno se interesse, a demonstração está no Livro-texto.
Finalmente, comente que, se o ponto pertence à reta, a distância 
é 0 – faça isso ao mostrar um exemplo. Em seguida disponibilize 
um tempo para que os alunos façam os exercícios da aula. Caso 
sobre tempo seguem mais alguns exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. Calcule a altura relativa ao lado AC do triângulo de 
vértices A(1, 2); B(3, 5) e C(5, 3). 
Resposta: 10 17
17
2. (UEL-PR) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme 
mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e 
paralela à calçada.
135º
Calçada
Muro de
apoio
3 m
a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135° 
com a calçada, conforme mostra a figura, e que a 
distância do muro de apoio até o pé da rampa é de 
3 metros, calcule o comprimento da rampa.
b) Determine a menor distância entre o pássaro e a 
rampa no instante em que o pássaro se encontra a 
5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que 
se apoia a rampa. 
Apresente os cálculos realizados na resolução de 
cada item.
Respostas:
a) 3 2 m b) 4 2 m
aulas 17 e 18
Representações gráficas 
de inequações
Objetivos
Representar regiões do plano delimitadas por retas ou partes 
de retas.
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando que toda reta oblíqua possui uma 
equação reduzida. Represente uma reta r no plano cartesiano e 
mostre que r determina dois semiplanos opostos com origem 
em r. Em seguida, peça aos alunos que escolham alguns pontos 
“abaixo” de r e substitua todos na equação da reta; faça o mesmo 
para pontos da reta e para pontos “acima”da reta.
Com isso os alunos terão a oportunidade de constatar a proprie-
dade da inequação. Na sequência, mostre como resolver inequações 
como essas no R2. Comente que, quando a reta é perpendicular 
ao eixo x, não existe a noção “acima e abaixo”, e sim “à direita e à 
esquerda”.
Caso sobre tempo, seguem mais alguns exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. (FGV-SP) Considere a região do plano cartesiano cujos 
pontos satisfazem simultaneamente as inequações:






<
1 <
1
>
>
x 2y 6
x y 4
x 0
y 0
A área dessa região é: 
a) 6
 cb) 7
c) 8
d) 9
e) 10
2. (FGV-SP) Uma companhia do setor químico fabrica um 
produto a partir de dois componentes químicos, A e B. 
Cada quilograma de A contém 4 gramas da substância S
1
, 
1 grama da substância S
2
, 1 grama da substância S
3
 e 
custa R$ 30,00 para a companhia. Cada quilograma 
de B contém 1 grama da substância S
1
, 2 gramas da 
substância S
2
, não contém a substância S
3
 e custa 
R$ 20,00 para a companhia. O produto fabricado deve 
conter uma mistura de, pelo menos, 20 gramas da 
substância S
1
, 10 gramas da substância S
2
 e 2 gramas 
da substância S
3
. 
12
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 12 1/23/17 2:58 PM
Adote na resolução do problema a letra x para a quan-
tidade do componente A (em quilogramas), y para a 
quantidade do componente B (em quilogramas) e C 
para o custo total do produto fabricado, em reais.
a) Liste três pares ordenados (x, y), com x e y inteiros 
positivos, que atendam simultaneamente a todas as 
restrições do problema. Em seguida, calcule o valor 
de C para cada um dos três pares (x, y) listados.
b) Determine o par ordenado (x, y), com x e y racionais, 
que atenda simultaneamente a todas as restrições do 
problema e para o qual C atinja o menor valor possí-
vel. Em seguida, determine C, que também será um 
número racional, para o par ordenado (x, y) solicitado. 
Respostas:
a) Resposta possível:
• (x, y) 5 (2, 12); C 5 R$ 300,00
• (x, y) 5 (3, 8); C 5 R$ 250,00
• (x, y) 5 (4, 4); C 5 R$ 200,00
b) (x, y) 5 30
7
, 20
7



 ; e C é aproximadamente R$ 185,71. 
3. (UEG-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado 
para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de dois 
hectares, sendo que cada hectare corresponde a um 
quadrado de 100 metros de lado. Observações técnicas 
indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de, no 
mínimo, 1 000 m2 e cada bezerro de, no mínimo, 400 m2.
a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto 
comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua 
resposta.
b) Represente algébrica e graficamente as condições 
dessa situação, respeitando as observações técnicas. 
Respostas:
a) O pasto não comportará 15 vacas e 15 bezerros, pois 
eles juntos ocupariam 21 000 m2 e há apenas 20 000 m2 
de pasto.
b) Com x 5 número de vacas e y 5 número de bezerros, 
temos:





>
>
1 <
x 0
y 0
5x 2y 100
20
50
O
y
x
aula 19
Circunferência: equação reduzida
Objetivos
Apresentar a equação reduzida da circunferência. 
Encaminhamento
Inicie a aula retomando o conceito geométrico de circunferência 
e como calcular a distância entre dois pontos na Geometria analítica.
Utilize, em seguida, em um plano cartesiano, uma circunferência 
com centro no ponto (a, b) e raio R e um ponto (x, y) genérico que 
pertença a ela para mostrar a equação reduzida para esse caso genérico.
Apresente alguns exemplos e disponibilize um tempo para que 
os alunos trabalhem com os exercícios da aula. Caso sobre tempo, 
seguem mais alguns exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. (Uece) No plano, com o sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonal usual, a reta tangente à circunfe-
rência x2 1 y2 5 1 no ponto 




1
2
,  3
2
 intercepta o eixo y 
no ponto:
 ca) 




0,  2
3
b) ( )0,  3
c) ( )0, 2 3
d) 




0, 1
3
2. (Unisc-RS) Observando o círculo abaixo, representado no 
sistema de coordenadas cartesianas, identifique, entre as 
alternativas apresentadas, a equação que o representa.
0 x
y
a) x2 1 (y 1 2)2 5 10
b) (x 1 3)2 1 y2 5 10
c) (x 1 3)2 1 (y 1 2)2 5 13
 cd) (x 1 3)2 1 (y 2 2)2 5 13
e) (x 2 3)2 1 (y 1 2)2 5 13
13
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 13 1/23/17 2:58 PM
3. (UPF-RS) Considere uma circunferência C definida 
pela equação x2 1 y2 5 36. O ponto P de coordenadas 
(x, 4) pertence a essa circunferência e está localizado no 
1o quadrante. Considerando que o ponto O é o centro da 
circunferência e o ângulo a é formado pelo segmento 
OP com o lado positivo do eixo x, o cosseno dos ângulos 
a e (180° 2 a) será igual a: 
a) 5
6
 e 2 5
6
b) 2
3
 e 22
3
c) 5
6
 e 4
5
d) 2 5
3
 e 22 5
3
 ce) 
5
3
 e 2 5
3
aula 20
Circunferência: equação normal
Objetivos
Apresentar a equação normal da circunferência. 
Encaminhamento
Inicie a aula fazendo o seguinte paralelo: assim como existe 
mais de um modo de representar uma reta por meio de equações, 
também é possível fazer o mesmo com uma circunferência.
Demonstre a equação normal e explique como obter o centro 
e o raio de uma circunferência a partir da equação normal. Em se-
guida, retome a noção de quadrado de uma soma e de quadrado 
de uma diferença para mostrar como obter a equação reduzida a 
partir da normal completando os trinômios do quadrado perfeito.
Apresente alguns exemplos antes de pedir aos alunos que tra-
balhem com os exercícios de aula. Caso sobre tempo, seguem mais 
alguns exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. (Uern) O raio da circunferência determinada pela 
equação x2 1 y2 1 4x 2 6y 2 3 5 0 é, em unidades de 
medida: 
a) 1
b) 2
c) 3
 cd) 4
2. (UFRGS-RS) A área de um quadrado inscrito na 
circunferência de equação x2 2 2y 1 y2 5 0 é 
a) 1
2
.
b) 1.
c) 2.
 cd) 2.
e) 2 2.
3. (Uern) Sejam duas circunferências C
1
 e C
2
, cujas equações 
são, respectivamente, iguais a x2 1 y2 1 6y 1 5 5 0 e 
x2 1 y2 2 12x 5 0. A distância entre os pontos A e B dessas 
circunferências, conforme indicada na figura, é
y
x
C
2
C
1
A
B
 ca) 13.
b) 14.
c) 17.
d) 19.
aulas 21 e 22
Reta e circunferência
Objetivos
Reconhecer a posição relativa entre uma reta e uma circunfe-
rência a partir de suas equações. 
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando que na Geometria plana uma reta e 
uma circunferência podem ser secantes, tangentes ou não possuir 
pontos em comum.
Mostre que podemos decidir a posição relativa calculando a 
distância entre o centro da circunferência e a reta e comparar esse 
valor com a medida do raio.
14
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 14 1/23/17 2:58 PM
Lembre também que, para determinar as coordenadas dos pon-
tos de intersecção, podemos resolver um sistema com equações 
desses elementos.
Também é conveniente lembrar que, no caso da tangência, a 
reta tangente é perpendicular ao segmento cujos extremos são o 
centro da circunferência e o ponto de tangência. Caso sobre tempo, 
seguem mais alguns exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. (UPF-RS) Sabendo que o ponto P(4, 1) é o ponto médio 
de uma corda AB da circunferência x2 2 6x 1 y2 1 4 5 0, 
então a equação da reta que passa por A e B é dada 
por:
 ca) y 5 2x 1 5
b) y 5 x 1 5
c) y 5 2x 1 3
d) y 5 x 2 3
e) y 5 20,5x 1 5
2. (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência 
tem centro C(5, 3) e tangencia a reta de equação 
3x 1 4y 2 12 5 0. A equação dessa circunferência é: 
 ca) x2 1 y2 2 10x 2 6y 1 25 5 0
b) x2 1 y2 2 10x 2 6y 1 36 5 0
c) x2 1 y2 2 10x 2 6y 1 49 5 0
d) x2 1 y2 1 10x 1 6y 1 16 5 0
e) x2 1 y2 1 10x 1 6y 1 9 5 0
3. (UFPE) Uma circunferência está circunscrita ao triângulo 
com lados sobre as retas com equações x 5 0, y 5 0 e 
4x 1 3y 5 24, conforme a ilustração abaixo. Encontre 
a equação da circunferência e indique a soma das 
coordenadas de seu centro e de seu raio.
y
x
 
Resposta: 12
4. (UFJF-MG) No plano cartesiano, considere os pontos 
A(21, 2) e B(3, 4). 
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e 
forma com o eixo das abscissasum ângulo de 135°, 
medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à 
reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determi-
nado pela intersecção das retas r e s.
c) Determine a equação da circunferência que possui 
centro no ponto Q(2, 1) e tangencia as retas r e s. 
Respostas:
a) y 5 2x 1 1
b) P(0, 1)
c) (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 2
aulas 23 e 24
Áreas
Objetivos
Calcular a área de um triângulo dadas as coordenadas de seus 
vértices. 
Encaminhamento
Inicie a aula com alguns exemplos de triângulos em posições 
convenientes (por exemplo, com um dos lados paralelo a um dos 
eixos), em que é possível calcular a área de modo direto, e comente 
que essas são situações especiais. Em seguida, mostre um caso em 
que a fórmula torna mais fácil o cálculo. 
Vale ressaltar que, mesmo os alunos tendo estudado há pouco 
tempo os determinantes, muitos deles não se lembram de como 
calcular um de ordem três. Caso isso ocorra, apresente ao menos 
um exemplo separado da Geometria.
Para turmas mais avançadas, a fórmula pode ser demonstrada. 
Caso sobre tempo, seguem mais alguns exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. (Vunesp) Um triângulo tem vértices P 5 (2, 1), Q 5 (2, 5) 
e R 5 (x
0
, 4), com x
0
 . 0. Sabendo-se que a área do 
triângulo é 20, a abscissa x
0
 do ponto R é: 
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
 ce) 12
15
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 15 1/23/17 2:58 PM
2. (FGV-SP) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 1) e que determina com os eixos Ox e Oy um triângulo 
localizado no primeiro quadrante e de área igual a 25
4
 cm2. 
Resposta: x 1 2y 2 5 5 0 ou 2x 1 9y 2 15 5 0.
3. (Uerj) Na região conhecida como Triângulo das Bermudas, localizada no oceano Atlântico, é possível formar um 
triângulo com um vértice sobre a cidade porto-riquenha de San Juan, outro sobre a cidade estadunidense de Miami 
e o terceiro sobre as ilhas Bermudas.
A figura abaixo mostra um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com os vértices do triângulo devidamente 
representados. A escala utilizada é 1 : 17 000 000, e cada unidade nos eixos cartesianos equivale ao comprimento de 1 cm.
Miami
x
9
y
2
0 97
San Juan
Bermudas
N
250
km
0
Calcule, em km2, a área do Triângulo das Bermudas, conforme a representação plana da figura. 
Resposta: 1 112 650 km2
4. (Fuvest-SP) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto P 5 (2, 1), e a reta t é tangente a C no 
ponto Q 5 (21, 5). 
a) Determine o raio da circunferência C. 
b) Encontre uma equação para a reta t. 
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de intersecção de t com o eixo Ox. 
Respostas:
a) 5
b) 3x 2 4y 1 23 5 0
c) 125
6
 
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
16
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 16 1/23/17 2:58 PM
Atividades Interdisciplinares
As atividades interdisciplinares propostas para o Caderno 
6 têm a Revolução Industrial como tema central e associam a 
Física à Biologia e à Língua Inglesa. 
Essas atividades foram concebidas para ser uma ação con-
junta dos professores de Física, de Biologia e de Inglês e estão 
alicerçadas em três textos: um em português e os outros dois em 
inglês. Nesse sentido, a leitura atenta combinada com o repertó-
rio de conceitos desenvolvidos até esse momento são as ações 
que guiarão essas atividades. Como nas atividades anteriores, o 
papel dos professores concentra-se em uma tutoria, no sentido 
de conduzir as discussões e, eventualmente, fazer as devidas in-
tervenções teóricas.
O primeiro texto remete ao contexto histórico que precede 
a Revolução Industrial (hoje denominada Primeira Revolução 
Industrial) e avança sobre a importância do conceito e do domí-
nio da energia e sua conservação. Sugerimos que uma primeira 
leitura (conduzida pelo professor de Física ou de Biologia) seja 
realizada sem interrupções, a fim de capturar as ideias centrais. Já 
uma segunda leitura poderia ser pausada, parágrafo a parágrafo, 
observando os detalhes das informações e correlacionando-as 
com os conceitos desenvolvidos.
Após a leitura do terceiro parágrafo, peça aos alunos que 
resolvam a questão 1, que trata do conceito de energia poten-
cial gravitacional. Nesse ponto, recomenda-se que o professor 
de Física aprofunde um pouco a discussão e mostre como se 
determina a intensidade da potência hidráulica (P = d ∙ z ∙ g ∙ h, 
em que z é a vazão) e destaque a importância de se conhecer 
a vazão de uma porção de água em movimento. Se a mesma 
quantidade de água cair durante 1 minuto em um local e du-
rante 20 segundos em outro, a potência fornecida em cada caso 
seria diferente. Daí a necessidade de a Física trabalhar com vazão 
e não com volume. 
Na atividade 2, o professor de Física pode fazer uma bre-
ve explicação sobre a máquina de Carnot, com destaques para 
sua função (determinar o rendimento máximo de uma máquina 
térmica que opera entre duas temperaturas) e para o cálculo do 
seu rendimento. Aqui, os alunos devem concluir que, embora 
as diferenças de temperaturas propostas sejam as mesmas, os 
rendimentos serão diferentes.
Sugerimos que o professor de Biologia conduza as ativida-
des 4 a 6 após a leitura do quarto parágrafo. A proposta da 
atividade 4 é propiciar aos alunos trabalharem com os proces-
sos de armazenamento e transferência de energia nos sistemas 
biológicos. O professor deve mostrar como a energia contida 
nas ligações químicas das moléculas de carboidratos armaze-
nados nos vegetais é transferida para as moléculas de ATP, que 
fornecerão energia para a atividade muscular. Ele deve recordar 
que a energia é transferida dos carboidratos para o ATP pelos 
processos da respiração aeróbica e da fermentação lática e que 
boa parte dessa energia é liberada na forma de calor. 
Já a atividade 5 proporciona uma revisão e um aprofunda-
mento da fisiologia animal, possibilitando aos alunos estabele-
cerem a integração entre os diferentes sistemas fisiológicos. O 
professor deve destacar a necessidade de integração entre o 
digestório, que fornece a matéria necessária para a obtenção 
da energia, o respiratório, que possibilita o aporte do oxigênio 
indispensável ao funcionamento eficiente das reações energé-
ticas, e o circulatório, pelo seu papel na condução do alimento 
para as células, assim como na distribuição do calor corporal.
Na atividade 6, a análise da liberação de calor possibilita ao 
professor de Biologia trabalhar com os conceitos de endotermia 
e ectotermia. Deve ser destacado como a energia dos alimen-
tos é utilizada, pelos animais endotérmicos, para a manutenção 
da temperatura corporal em um nível ótimo para a atividade 
metabólica. Ressaltar que essa manutenção exige um sistema 
sofisticado de controle da temperatura e estruturas e mecanismos 
de isolamento e de refrigeração. Essas condições não ocorrem 
nos animais ectotérmicos, que dependem primordialmente da 
temperatura ambiental para regular sua temperatura corporal.
Após a leitura do sexto parágrafo, o professor de Física pode 
voltar a intervir e propor a atividade 3. A proposta aqui é inter-
pretação de texto, contextualizando que, com o aumento do 
consumo de energia (que está relacionado ao desenvolvimento 
da sociedade), a sua obtenção torna-se cada vez mais complexa, 
exigindo novas tecnologias para superar esse desafio.
Agora trabalharemos as atividades 7 a 9 em inglês. Antes de 
discutir o texto que precede as atividades, faça um warm-up sobre 
o que os alunos sabem sobre as revoluções industriais. Pergunte 
quantas já tivemos e as características de cada uma. Se preferir, 
peça que situem no tempo a época de cada uma delas. Pergunte, 
em seguida, se já ouviram falar da Quarta Revolução Industrial. 
Se sim, anote na lousa o que eles responderem.
No momento do trabalho com o texto, leia o título, peça 
aos alunos que analisem a imagem e o pequeno infográfico que 
resume os dados da discussão inicial.
Para a leitura do texto, divida asala em grupos. Cada grupo 
deve ficar responsável por um parágrafo, ou seja, deve explicar 
para a turma o assunto tratado. Feito isso, eles devem responder 
às perguntas. Peça a eles que prestem atenção aos enunciados.
Para finalizar, resolva a questão 10, que trata exatamente 
desse assunto.
17
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 17 1/23/17 2:58 PM
18
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
EM_REG_11a18_MAT_B_MP6.indd 18 1/23/17 2:58 PM
prof.:
aula 19
aula 26
P.110
P.122
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 20
aula 27
P.110
P.122
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 21
aula 28
P.114
P.125
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 22
aula 29
P.116
P.127
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 23
P.116
 AD TM TC 
aula 30
P.127
 AD TM TC 
aula 31
P.130
 AD TM TC 
aula 24
P.119
 AD TM TC 
aula 25
P.121
 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
V
IC
T
O
R
 H
A
B
B
IC
K
 V
IS
IO
N
S
/G
E
T
T
Y
 I
M
A
G
E
S
aula 32
P.130
 AD TM TC 
aula 33
P.132
 AD TM TC 
aula 34
P.132
 AD TM TC 
aula 35
P.135
 AD TM TC 
aula 36
P.137
 AD TM TC 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor A
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 109 1/23/17 10:58 AM
aulas 19 e 20
Enem: Conhecimentos algébricos
Função seno e função cosseno
110
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
nestas aulas
em classe
a 1|b|
y 5 a 1 bsen (cx 1 d)
y 5 sen (...
a 2|b|
|b|
|b|
x
y
h
Período
a
a 1|b|
y 5 a 1 bcos (cx 1 d)
y 5 cos (...
a 2|b|
|b|
|b|
x
y
h
a
Per’odo
• Período: P 5 
2
c
p
• Deslocamento horizontal: h 5 d
c
2
 (h é a raiz da equação: cx 1 d 5 0)
1. Esboce, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções dadas por:
a) f(x) 5 sen x b) g(x) 5 2sen x c) h(x) 5 1
2
sen x
y 5 g(x)
y 5 f(x)
y 5 h(x)
y
2
22
1
21
1 2 2π3 4 5 6 7 x
0
0
π
2
π
2
3π
x sen x 2sen x
1
2
sen x
0 0 0 0
2
p
1 2
1
2
p 0 0 0
3
2
p
21 22
1
2
2
2p 0 0 0
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 110 1/23/17 10:58 AM
111
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. Esboce, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções dadas por:
a) f(x) 5 cos x
b) g(x) 5 cos 2x
c) h(x) 5 cos 1
2
x
1
1
0
0
y
21
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
y 5 g(x)
y 5 f(x)
y 5 h(x)
x cos x
0 1
2
p
0
p 21
3
2
p
0
2p 1
x 2x cos 2x
0 0 1
4
p
2
p
0
2
p
p 21
3
4
p 3
2
p
0
p 2p 1
x
x
2
cos 
x
2
0 0 1
p
2
p
0
2p p 21
3p
3
2
p
0
4p 2p 1
3. (PUC-RS) A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma função y A Bsen x
4
,

5 1 que é muito útil quando 
se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das 
constantes A e B é:
1
21
22
0
2
3
4
5
5 10 15 20 25 x
y
 c a) 6
b) 10
c) 12
d) 18
e) 50
Máximo: 5 ∴ A 1 |B| 5 5
Mínimo: 21 ∴ A 2 |B| 5 21
Logo, A 5 2 e |B| 5 3.
Como a função é crescente em ]0, 5[, temos B . 0, ou seja, B 5 3.
A 5 2 e B 5 3 ⇒ AB 5 6
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 111 1/23/17 10:58 AM
112
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
4. (UFPR) O pistão de um motor se movimenta para cima e 
para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura 
h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela 
expressão h(t) 4sen 2 t
0,05
4.



5
p
1
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão 
atinge.
A altura máxima ocorre quando o valor do seno é máximo, ou 
seja, sen
2 t
0,05
1.




p
5
Nesse caso, h 5 4 ? 1 1 4.
h
máx.
 5 8 cm
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza funcio-
nando durante um minuto? 
Sendo P o período da função, temos P 5 2
2
0,05
p
p
 5 0,05 s.
Se 1 ciclo realiza-se em 0,05 s, então em 1 minuto temos
60
0,05
 5 1 200 ciclos completos.
H21
5. (Vunesp) Em situação normal, observa-se que os su-
cessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A velo-
cidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de 
um indivíduo está representada pela curva do gráfico, 
considerando apenas um ciclo do processo.
V (1/s)
t (s)
Aspiração Expiração
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repou-
so, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre 
a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e 
exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função 
cujo gráfico mais se aproxima da curva representada 
na figura é:
a) 



V(t)
2
5
sen 3
5
t5 p
b) 



V(t)
3
5
sen 5
2
t5
p
c) 



V(t) 0,6cos
2
5
t5 p
 c d) 



V(t) 0,6sen
2
5
t5 p
e) ( )V(t) 5
2
cos 0,6t5
p
Como V(0) 5 0, as alternativas C e E ficam excluídas.
Pelas demais alternativas, temos V(t) 5 a ? sen ct, em que a e c são 
constantes positivas.
Do texto, temos que o período é 5; logo, 2
c
p 5 5, ou seja, c 5 2
5
p .
V(t) 5 a ? sen ( )25 tp
Do texto, temos que a amplitude é 0,6, portanto a 5 0,6.
∴ V(t) 5 0,6sen ( )25 tp
H20
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 112 1/23/17 10:58 AM
113
M
a
te
m
‡
ti
c
a
6. (UFSM-RS) Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo 
excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do 
tempo por:
P(t) 100 20cos 8
3
t ,

5 2
p
onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco.
Analise as afirmativas:
 I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto.
 II. A pressão em t 5 2 segundos é de 110 mmHg.
 III. A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg.
Está(ão) correta(s) 
a) apenas I.
 c b) apenas I e II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
I. O período, em segundos, é dado por 2
8
3
p
p
 5 
3
4
.
 Logo, a frequência é 
4
3
 de batimentos por segundo, ou seja, 80 batimentos por minuto.
II. P(2) 5 100 – 20cos 16
3( )p
P(2) 5 100 – 20cos 4
3( )p
P(2) 5 100 – 20 ( )122
P(2) 5 110 mmHg
III. A amplitude é de 20 mmHg, e não de 30 mmHg.
H22
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 8
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 8
Tarefa Mínima
Aula 19
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 e 2, cap. 5.
Aula 20
• Faça os exercícios 3 e 7, cap. 5.
Tarefa Complementar
Aulas 19 e 20
• Leia os itens 1 e 2, cap. 5.
• Faça os exercícios 11 a 14, cap. 5.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 113 1/23/17 10:58 AM
aula 21
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções trigonométricas
nesta aula
114
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
• Para quaisquer valores reais de a e b, temos:
sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a
cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b
• Sendo a, b e c constantes, com c ? 0, e f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) ou f(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d), então:
• o valor máximo de f(x) é: a 1 |b|;
• o valor mínimo de f(x) é: a 2 |b|;
• o período de f é: 
2
c
p
;
• o deslocamento vertical é: a e o deslocamento horizontal é: h 5 
d
c
.2 
a 1|b|
y 5 a 1 bsen (cx 1 d)
y 5 sen (...
a 2|b|
|b|
|b|
x
y
h
Período
a
a 1|b|
y 5 a 1 bcos (cx 1 d)
y 5 cos (...
a 2|b|
|b|
|b|
x
y
h
a
Per’odo
em classe
1. Qual é o valor máximo de:
a) 
2
2
cos x 1 2
2
sen x
y 5 
2
2
cos x 1 
2
2
sen x
y 5 sen 
4
p
 ? cos x 1 sen x ? cos 
4
p
( )y sen x 45 1
p
Logo, o valor máximo de y é 1.
b) 3
2
cos x 1 
1
2
sen x
y 5 
3
2
cos x 1 
1
2
sen x
y 5 sen 
3
p
 ? cos x 1 sen x ? cos 
3
p
( )y sen x 35 1
p
Logo, o valor máximo de y é 1.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 114 1/23/17 10:58 AM
115
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. a) Sendo y 5 A ? cos x 1 B ? sen x, em que A e B são constantes positivas, obtenha o valor máximo de y.
Para quaisquer constantes positivas A e B, existe um triângulo retângulo de catetos medindo A e B. 
Com isso, a hipotenusa mede A B .2 21
α
A
B
A2 1 B2
Sendo a a medida do ângulo oposto ao cateto que medeA, temos:
sen a 5 A
A B2 21
 e cos a 5 
B
A B2 21
, ou seja, A 5 A B2 21 ? sen a e B 5 A B2 21 ? cos a.
Logo, y 5 A B2 21 ? sen a ? cos x 1 A B2 21 ? cos a ? sen x.
y 5 A B2 21 (sen a ? cos x 1 cos a ? sen x)
y 5 A B2 21 ? sen (x 1 a)
Como o valor máximo do seno é 1, temos que o valor máximo de y é A B2 21 .
b) Esboce o gráfico da função dada por y 5 3 ? cos x 1 sen x
Comparando com o item anterior, temos A 5 3, B 5 1 e 
A B2 21 5 2.
α
α 5 60°
1
2 3
y 5 3 ? cos x 1 sen x
y 5 2




3
2
cos x
1
2
sen x? 1 ?
y 5 2 sen
3
cos x cos
3
sen x( )p ? 1 p ?
y 5 2 ? sen x
3( )1 p
Com isso, temos:
máx. 5 2, mín. 5 22, período 5 2p e deslocamento horizontal 5 
3
2p
1
1
0
0
21
21
y
2
2
22
3 4 5 6 7 8 9 x
2ππ
2
π
2
3π
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 8
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 8
Tarefa Mínima
• Refaça o exercício 1 da aula.
• Faça os exercícios 4 a 6, cap. 5.
Tarefa Complementar
• Leia o item 3, cap. 5
• Faça os exercícios 15 a 17, cap. 5.
• Faça os exercícios 1 e 2 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 115 1/23/17 10:58 AM
116
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Uma matriz m × n é uma tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Assim, por exemplo, 










5 0
1
2
1 5 32
 é uma 
matriz com 2 linhas e 3 colunas, ou seja, é uma matriz do tipo 2 × 3 (leia-se 2 por 3).
Matriz quadrada de ordem n é uma matriz do tipo n × n, isto é, que tem n linhas e n colunas. Podemos usar a notação M
n
 em vez 
de M
n × n
 para a matriz M.
2. Os elementos de uma matriz são representados por uma variável (letra) com dois índices, que indicam sua posição na matriz. 
Assim, a
ij
 indica o elemento da linha i e coluna j.
Exemplo: Sendo [a
ij
]
2 × 3
 5 










5 0
1
2
1 5 32
, temos a
12
 5 0 e a
21
 5 –1.
3. Duas matrizes [a
ij
]
 m × n
 e [b
ij
]
 p × q
 são iguais se, e somente se, são do mesmo tipo (m 5 p e n 5 q) e seus elementos correspondentes 
são iguais (a
ij
 5 b
ij
).
4. Chama-se transposta de uma matriz M a matriz MT em que a enésima coluna corresponde à enésima linha de M.
Assim, por exemplo, a transposta de 
5 0
1
2
1 5 32










 é a matriz 












5 1
0 5
1
2
3
2
.
5. Matriz nula, denotada por 0, é aquela em que todos os elementos são iguais a 0.
6. A matriz oposta de [a
ij
] é a matriz [2a
ij
]. Assim, sendo A 5 










5 0
1
2
1 5 32
, sua oposta é dada por 2A 5 










5 0
1
2
1 5 3
2
2
2 2
.
7. Sendo A e B matrizes, existem A 1 B e A 2 B se, e somente se, A e B são do mesmo tipo.
Exemplo: Com A 5 










5 0
1
2
1 5 32
 e B 5 










1 1
5
2
2 5 0
, temos:
A 1 B 5 








6 1 3
1 10 3
, A 2 B 5 








4 1 2
3 0 3
2 2
2
 e 2A 5 








10 0 1
2 10 2 32
.
aulas 22 e 23
Enem: Conhecimentos algébricos
Matrizes: conceito, igualdade, adição e multiplicação por um número
nestas aulas
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 116 1/23/17 10:58 AM
117
M
a
te
m
‡
ti
c
a
3. (UFSM-RS)
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplifi-
cada de um determinado ecossistema. As setas indicam 
a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta 
de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a 
seguinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
A matriz A 5 (a
ij
)
4 3 4
, associada à tabela, possui a se-
guinte lei de formação:
a) 




a
0, se i j
1, se i jij
5
<
.
b) 




a
0, se i j
1, se i jij
5
5
±
 c c) 




a
0, se i j
1, se i jij
5
>
,
d) 




a
0, se i j
1, se i jij
5
5
±
e) 




a
0, se i j
1, se i jij
5
,
.
i 5 j (entradas da diagonal principal): a
ij
 5 0
i > j (entradas abaixo da diagonal principal): a
ij
 5 0
i < j (entradas acima da diagonal principal): a
ij
 5 1
H22
1. Represente, na forma de tabela, a matriz quadrada [a
ij
] 
de ordem 3, em que a
ij
 5 
i,  se  i j
0,  se  i j 
i j,  se  i j
.
5
.
1 ,






























a a a
a a a
a a a
1 a a
a 2 a
a a 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
12 13
21 23
31 32
5












1 a a
0 2 a
0 0 3
12 13
23
5










1 3 4
0 2 5
0 0 3
5
2. (Uerj) A temperatura corporal de um paciente foi medi-
da, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco 
dias. Cada elemento a
ij
 da matriz abaixo corresponde 
à temperatura observada no instante i do dia j.










35,6 36,4 38,6 38,0 36,0
36,1 37,0 37,2 40,5 40,4
35,5 35,7 36,1 37,0 39,2
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a 
maior temperatura;
O valor máximo de a
ij
 ocorre com i 5 2 e j 5 4: a
24
 5 40,5 (oC).
Resposta: 2o instante do 4o dia.
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de 
observação.
38,6 37,2 36,1
3
111,9
3
37,3
1 1
5 5
Resposta: 37,3 oC.
H20
em classe
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 117 1/23/17 10:58 AM
118
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
4. Sendo 0
2
 a matriz nula de ordem 2, resolva a equação 
matricial 2X 1 2 ? −
−






1 2
3 4
 2 








0 1
2 32
 5 0
2
.
























2X
2 4
6 8
0 1
2 3
0 0
0 0
1
2
2
2
2
5
2
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2X
2 5
4 5
0 0
0 0
1 5








2X
2 5
4 5
5
2
2












X
1
5
2
2
5
2
5
2
2
5. (Mack-SP – Adaptada) Uma matriz quadrada é dita si-
métrica se, e somente se, ela for igual a sua transposta. 
Se a matriz










1 x y z 3y z 2
4 5 5
y 2z 3 z 0
1 1 2 1
2
2 1
é simétrica, o valor de x é 
a) 0
b) 1
 c c) 6
d) 3
e) 25






















1 x y z 3y z 2
4 5 5
y 2z 3 z 0
1 4 y 2z 3
x y z 5 z
3y z 2 5 0
1 1 2 1
2
2 1
5
2 1
1 1
2 1 2
 
Logo,
x 1 y 1 z 5 4 (1)
3y 2 z 1 2 5 y 2 2z 1 3 (2)
Pela matriz, temos que z 5 25.
Substituindo z por 25, na igualdade 2, temos:
3y 1 5 1 2 5 y 1 10 1 3
∴ y 5 3
Substituindo z por 25 e y 5 3, na igualdade 1, temos:
x 1 3 2 5 5 4
∴ x 5 6
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 9
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 9
Tarefa Mínima
Aula 22
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 e 2, cap. 1.
Aula 23
• Faça os exercícios 3 e 4, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aulas 22 e 23
• Leia os itens 1 e 2, cap. 1.
• Faça os exercícios 5 a 12, cap. 1.
• Faça os exercícios 3 e 4 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 118 1/23/17 10:58 AM
aula 24
Enem: Conhecimentos algébricos
Matrizes: multiplicação de matrizes
nesta aula
119
M
a
te
m
‡
ti
c
a
A
m 3 k
 B
k 3 n
5
C
m 3 n
C 5 AB
Condição de existência do produto matricial AB: o número 
de colunas de A é igual ao número de linhas da matriz B.
Exemplo:
Com A
2 × 3
 5 
1 2 0
3 5 7








 e B
3 × 4
 5 
1 7 5 3
2 3 6 3
4 5 1 5










 
temos:
C 5 (AB)
2 × 4
 ⇒ C 5 
* c * *
* * * *
12








Podemos obter c
12
, variando h de 1 a 3: multiplique o ho ele-
mento da linha 1 de A pelo ho elemento da coluna 2 de B e some 
os produtos obtidos: 
c
12
 5 1 ? 7 1 2 ? 3 1 0 ? 5 5 13
Propriedades:
Considerando que cada produto indicado exista, temos:
• ABC 5 (AB)C 5 A(BC)
• A(B 1 C) 5 AB 1 AC
• (A 1 B)C 5 AC 1 BC
• A
m × n
 ? I
n
 5 A
• I
m
 ? A
m × n
 5 A
• (A ? B)T 5 BT ? AT
Observações:
Considerando que cada produto indicado exista, é possível que:
• AB Þ BA
• AB 5 0, com A Þ 0 e B Þ 0
• AB 5 AC, com A Þ 0
1. Sendo A 5 






1 2
3 4
 e B 5 






5 6
7 8
, obtenha AB 1 BA.
























∴







1 2
3 4
5 6
7 8
1 5 2 7 1 6 2 8
3 5 4 7 3 6 4 8
AB
19 22
43 50
5
? 1 ? ? 1 ?
? 1 ? ? 1 ?
5
5 6
7 8
1 2
3 4
5 1 6 3 5 2 6 4
7 1 8 3 7 2 8 4
BA
23 34
31 46
























∴








5
? 1 ? ? 1 ?
? 1 ? ? 1 ?
5
AB BA
19 22
43 50
23 34
31 46
42 56
74 96
























1 5 1 5
Nota importante: AB Þ BA
em classe
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 119 1/23/17 10:58 AM
120
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
2. Se I é a matriz identidade de ordem 2 e 








1 0 0
0 0 2
 ? 










a b
23 34
c d
 5 2I, então a 1 b 1 c 1 d é igual a:
a) 2
 c b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
















a b
2c 2d
2 0
0 2
5
a 5 2, b 5 0, c 5 0 e d 5 1
∴ a 1 b 1 c 1 d 5 3
3. (UEG-GO) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produ-
to entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 3 2, onde cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, 
a 5 1, b 5 2, c 5 3, ..., z 5 26. Por exemplo, se a resolução de A ? B for igual a 








1 13
15 18
, logo a mensagem recebida 
é amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz 





B
1 1
2 1
5
2
, então a matriz A é 
a) 








8 7
8 10
2
2
 c b) 






6 6
7 11
2
2
c) 






8 5
7 11
2
2
d) 






6 7
6 11
2 2
flor 5 








6 12
15 18
A 5 
















a b
c d
 e B
1 1
2 1
5
2
AB 5 








a 2b a b
c 2d c d
1 2 1
1 2 1
a 1 2b 5 6 e 2a 1 b 5 12 ⇒ b 5 6 e a 5 26
c 1 2d 5 15 e 2c 1 d 5 18 ⇒ d 5 11 e c 5 27
∴ A 5 








6 6
7 11
2
2
H21
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 9
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 9
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça o exercício 15, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Leia o item 3, cap. 1.
• Faça os exercícios 16 a 19, cap. 1.
• Faça o exercício 6 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 120 1/23/17 10:58 AM
aula 25
Enem: Conhecimentos algébricos
Potências naturais de matrizes quadradas
nesta aula
121
M
a
te
m
‡
ti
c
a
Sendo A uma matriz quadrada e I a matriz identidade, ambas de ordem n, temos:
A0 5 I, A1 5 A e, para todo número natural h, h > 2, Ah 5 
1 24 34
A A  ... A
h fatores
? ? ?
Exemplo:
Com A 5 








0 1
2 0
, temos A0 5 I
2
 5 








1 0
0 1
, A1 5 A 5 








0 1
2 0
 e A2 5 








2 0
0 2
.
1. (Vunesp) Dada a matriz A 2 3
1 2
5
2
2





 e definindo-se 
A0 5 I, A1 5 A e AK 5 A ? A ? A ? … ? A, com k fatores, onde 
I é uma matriz identidade de ordem 2, k [ N e k > 2, a 
matriz A15 será dada por:
a) I
 c b) A
c) A2
d) A3
e) A4
















∴








A
2 3
1 2
2 3
1 2
A
1 0
0 1
2 2
5
2
2
2
2
5
A15 5 (A2)7 ? A
A15 5 I7 ? A
A15 5 A
em classe
2. Se I é a matriz identidade de ordem 2 e 
A 5 








0 1
1 02
, então A2 019 é igual a:
a) I
b) A
c) 2I
 c d) 2A
e) 3A
















∴








A
0 1
1 0
0 1
1 0
A
1 0
0 1
2 2
5
2 2
5
2
2
A2 5 2I, em que I é a matriz identidade
A4 5 A2 ? A2
A4 5 (2I)(2I) ∴ A4 5 I
Na divisão de 2 019 por 4, o quociente é 504 e o resto é 3.
2 019 5 4 ? 504 1 3, logo:
A2 019 5 (A4)504 ? A3
A2 019 5 I504 ? A2 ? A
A2 019 5 I ? (2I) ? A
A2 019 5 2A
H3
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 9
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 9
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça o exercício 25, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Faça os exercícios 26 e 27, cap. 1.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 121 1/23/17 10:58 AM
aulas 26 e 27
Enem: Conhecimentos algébricos
Sistemas lineares: introdução
nestas aulas
122
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Uma equação linear a
n
 (n > 1), com incógnitas x
1
, x
2
, ..., x
n
, é uma equação da forma 
a
1
x
1
 1 a
2
x
2
 1 ... 1 a
n
x
n
 5 b,
em que a
1
, a
2
, ..., a
n
 são constantes quaisquer, com pelo menos um deles diferente de 0, e b é uma constante qualquer. As constantes 
a
1
, a
2
, ..., a
n
 são chamadas de coeficientes e b é o termo independente. 
Se b 5 0, temos a
1
x
1
 1 a
2
x
2
 1 ... 1 a
n
x
n
 5 0, chamada de equação linear homogênea. Uma solução para essa equação é dada por 
x
1
 5 0, x
2
 5 0, ..., x
n
 5 0, isto é, (x
1
, x
2
, ..., x
n
) 5 (0, 0, ..., 0). Essa sequência é chamada de solução trivial.
2. Um sistema linear de m equações a n incógnitas, x
1
, x
2
, ..., x
n
, é um conjunto de m equações lineares nessas n incógnitas 
(m > 1 e n > 1).
1. (Vunesp) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores 
usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão 
com os respectivos preços.
1 2 3 4
R$ 12,90 R$ 12,10 R$ 14,60
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
 c a) R$ 15,30
b) R$ 16,20
c) R$ 14,80
d) R$ 17,00
e) R$ 15,50
Dado que 





2x y z 12,90
x 2y z 12,10
2x 2z 14,60
1 1 5
1 1 5
1 5
, pede-se o valor numérico de 2x 1 2y 1 z.
Dividindo ambos os membros da 3a equação por 2, temos:





2x y z 12,90
x 2y z 12,10
x z 7,30
1 1 5
1 1 5
1 5
 
Subtraindo a terceira igualdade da segunda, temos 2y 5 4,8; portanto, y 5 2,4.
De 2x 1 y 1 z 5 12,90 e y 5 2,4, resulta 2x 1 2y 1 z 5 15,3.
H21
em classe
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 122 1/23/17 10:58 AM
123
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. (Uerj) A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão 
dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está registrado um número exatamente 
igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. Por exem-
plo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do cartão X.
1 Z 15
X Y
4
Determine os valores de X, Y e Z. 
4 Y X
X Z 1
Y 15 Z





5 2
5 2
5 2
Somando, membro a membro, a 2a e a 3a equação, obtemos X 1 Y 5 14.
Somando, membro a membro, esta equação a Y 2 X 5 4, temos 2Y 5 18, ou seja, Y 5 9.
De Y 5 9 e Y 2 X 5 4, resulta X 5 5.
De X 5 Z 2 1 e X 5 5, resulta Z 5 6.
Logo, (X, Y, Z) 5 (5, 9, 6).
3. Existem números reais x, y e z, tais que 





x y 11
y z 12
z x 13
1 5
1 5
1 5
. Obtenha z.
Somando, membro a membro, as três equações, obtemos 2x 1 2y 1 2z 5 36, ou seja, x 1 y 1 z 5 18.
De x 1 y 5 11 e x 1 y 1 z 5 18, temos 11 1 z 5 18; portanto, z 5 7.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 123 1/23/17 10:58 AM
124
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
4. (UFU-MG) Dois colecionadores de obras de arte, durante a realização de um leilão, compraram diversos quadros dos 
artistas A, B e C. Sabe-se que:
 I. cada artista vende seus quadros por um valor fixo (em reais);
 II. um dos colecionadores comprou 1 quadro do artista A, 2 quadros do artista B e 3 quadros do artista C por 
R$ 10 000,00;
 III. o outro colecionador comprou 2 quadros do artista A, 5 quadros do artista B e 8 quadros do artista C por R$ 23 500,00.
Nessas condições, execute planos de resolução, respondendo:
a) Qual é o valor total a ser pago por um colecionador que comprou um quadro de cada um desses três artistas?
Sendo x, y e z, nessa ordem, os preços de um quadro de A, um quadro de B e um quadro de C, temos:
x 2y 3z 10000
2x 5y 8z 23500




1 1 5
1 1 5
Multiplicando, membro a membro, a primeira equação por 3 e a segunda por –1, temos: 
3x 6y 9z 30000
2x 5y 8z 23500




1 1 5
2 2 2 5 2
Somando, membro a membro, as duas equações, obtemos x 1 y 1 z 5 6 500.
O valor total pago pelo colecionador foi de R$ 6 500,00.
b) Se, no leilão,cada quadro do artista B é vendido no mínimo por R$ 1 000,00, qual é o preço máximo de venda de 
um quadro do artista C? 
Sendo x, y e z, nessa ordem, os preços de um quadro de A, um quadro de B e um quadro de C, temos:
x 2y 3z 10000
2x 5y 8z 23500




1 1 5
1 1 5
Multiplicando, membro a membro, a primeira equação por 22, temos:
2x 4y 6z 20000
2x 5y 8z 23500




2 2 2 5 2
1 1 5
Somando, membro a membro, as duas equações, obtemos y 1 2z 5 3 500.
Como y > 1 000, segue 2z < 2 500, ou seja, z < 1 250.
Logo, o valor máximo de venda de um quadro do artista C é de R$ 1 250,00.
H22
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 9
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 9
Tarefa Mínima
Aula 26
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 3, cap. 2.
Aula 27
• Faça os exercícios 4 e 5, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aulas 26 e 27
• Leia o item 1, cap. 2.
• Faça os exercícios 6 a 10, cap. 2.
• Faça o exercício 7 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 124 1/23/17 10:58 AM
aula 28
Enem: Conhecimentos algébricos
Sistemas lineares: sistemas escalonados
nesta aula
125
M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Todo sistema linear classifica-se em um dos casos a seguir:
• Sistema possível e determinado (SPD): admite apenas uma 
solução.
• Sistema possível e indeterminado (SPI): admite mais de 
uma solução.
• Sistema impossível (SI): não admite solução.
2. Um sistema linear está na forma escalonada (ou é um sistema 
escalonado) se são verificadas as seguintes condições:
• em cada equação, há pelo menos um coeficiente não nulo;
• o número de coeficientes nulos que antecedem o primeiro 
coeficiente não nulo aumenta de uma equação para a 
próxima.
3. Todo sistema linear escalonado classifica-se em um dos casos 
a seguir:
• Sistema possível e determinado (SPD): admite apenas uma 
solução.
• Sistema possível e indeterminado (SPI): admite mais de 
uma solução.
4. Variáveis livres de um sistema escalonado são aquelas que 
não iniciam qualquer uma das equações do sistema escalonado. 
Nesse caso, para resolver o sistema escalonado, damos um valor 
arbitrário a cada uma das variáveis livres e resolvemos o sistema 
em função desses valores.
5. Se, em um sistema linear, todos os termos independentes 
forem nulos, dizemos que se trata de um sistema linear homo-
gêneo. Todo sistema linear homogêneo a n incógnitas admite 
como solução a sequência de n termos nulos (0, 0, ..., 0), que 
é chamada de solução trivial. Assim, por exemplo, (0, 0, 0) é 
solução do sistema 






x 2y z 0
3x y 4z 0
2x 3y 3z 0
1 2 5
2 1 1 5
2 2 5
. Dependendo dos 
coeficientes, um sistema linear homogêneo pode admitir outras 
soluções, além da trivial.
Exemplo:
Em 




x y 2z 9
z 3
1 1 5
5
, y é a única variável livre. Sendo a um 
valor arbitrário de y, temos, da primeira equação, x 1 a 1 6 5 9, 
ou seja, x 5 3 2 a. Qualquer solução do sistema é da forma 
(3 2 a, a, 3), em que a é um número qualquer.
1. Em cada caso, dê o conjunto solução do sistema de 
equações.
a) 
+ + =
+ =
=





x y 2z 12
y z 7
z 5
b) 
+ + =
− =
=





x 2y 3z 0
y z 0
z 0
y 1 5 5 7 ∴ y 5 2
x 1 2 1 2 ? 5 5 12 ∴ x 5 0
S 5 {(0, 2, 5)}
S 5 {(0, 0, 0)}
Observação: Trata-se de um sistema line-
ar homogêneo determinado; nesse caso, 
(0, 0, 0), chamada de solução trivial, é a úni-
ca solução. Somente os sistemas lineares 
homogêneos admitem a solução trivial.
em classe
c) 
+ + − =
− + =




x 2y 3z t 0
y 3z 2t 0
z 5 a e t 5 b (variáveis livres)




x 2y 3z t
y 3z 2t
1 5 2 1
5 2
Substituindo z e t, temos na 2a equação:
y 5 3a 2 2b
Logo, na 1a equação obtemos:
x 1 6a 2 4b 1 3a 2 b 5 0
∴ x 5 29a 1 5b
S 5 {(29a 1 5b, 3a 2 2b, a, b)}
Observação: Trata-se de um sistema linear homogêneo indeter-
minado; além da solução trivial, há outras.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 125 1/23/17 10:58 AM
126
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
2. Tomemos, por exemplo, a equação 216x 1 45y 5 2 017. Com x e y reais, essa equação tem infinitas soluções. Essas 
infinitas soluções correspondem, no plano cartesiano xOy, aos pontos de uma reta. Porém, se restringirmos o universo 
para pares de números inteiros, não haverá solução alguma. O conjunto solução é vazio, pois, para quaisquer valores 
inteiros de x e y, 216x 1 45y é múltiplo de 3 e 2 017 não é. Esse exemplo mostra a importância do conjunto universo.
Consideremos o sistema 




x y z 0v 6
10y z 9v 10
2 2 1 5 2
1 2 5
, com x, y, z e v inteiros de 1 a 9.
Na verdade, esse sistema é uma versão de uma brincadeira muito popular no Brasil. Siga a seguinte sequência de 
procedimentos:
• escolha um valor inteiro de 1 a 9, para a variável v;
• calcule os valores de y e z, lembrando que eles são inteiros de 1 a 9;
• calcule o valor de x;
• tome a letra do alfabeto que está na posição x (A 5 1, B 5 2, C 5 3, D 5 4, etc.);
• pense num país cujo nome começa com essa letra;
• tome a quinta letra desse nome;
• pense em um animal cujo nome começa com essa letra;
• complete a frase com o nome do país e do animal respectivamente:
No(a) pode haver .
Para a grande maioria das pessoas, a frase “Na Dinamarca pode haver macaco” fará sentido. Por quê?
Exemplo:
Com v 5 1, temos:
10y 1 z 2 9 5 10
10y 1 z 5 19
y 5 1 e z 5 9 (possibilidade única, pois y e z são inteiros de 1 a 9)
x 2 1 2 9 1 0 5 26 ∴ x 5 4
o que corresponde à letra D.
A maioria das pessoas pensa na Dinamarca.
A quinta letra desse nome é M.
A maioria das pessoas pensará em macaco.
Vamos mostrar que, em todos os casos, x 5 4.
Note que, sendo todos os números inteiros, temos:
v ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10y 1 z 5 9v 1 10
10y 1 z ∈ {19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91}
10y 1 z ∈ {10 1 9, 20 1 8, 30 1 7, 40 1 6, ..., 90 1 1}
y 1 z ∈ {1 1 9, 2 1 8, 3 1 7, 4 1 6, ..., 9 1 1}
Em todos os casos, y 1 z 5 10.
Da primeira equação, temos:
x 5 y 1 z – 6 ∴ x 5 4
Note que o termo “variável livre” não é adequado, pois não podemos dar valores quaisquer para z e v.
H5
em casa
Consulte:
Livro-texto 3 – Unidade 9
Caderno de Exercícios 3 – Unidade 9
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 11 a 13, cap. 2.
Tarefa Complementar
• Leia os itens 2.1 a 2.3, cap. 2.
• Faça os exercícios 14 a 17, cap. 2.
EM_REG_109a142_MAT_A_CA6.indd 126 1/23/17 10:58 AM
127
M
a
te
m
á
ti
c
a
1. Para obter um sistema escalonado equivalente a um sistema linear S, podemos usar os seguintes procedimentos:
P
1
: Trocar a ordem de duas equações (“linhas”) do sistema. 
P
2
: Multiplicar ambos os membros de uma equação (“linha”) 
por uma constante não nula.
P
3
: Somar a uma equação (“linha”) um “múltiplo” de uma 
outra equação (“linha”) do sistema.
Exemplos:
a) Os sistemas 






2x 3y z 2
x y z 1
3x 4y 2z 3
1 1 5
1 1 5
1 1 5
 e 






x y z 1
2x 3y z 2
3x 4y 2z 3
1 1 5
1 1 5
1 1 5
 são equivalentes, pois eles contêm as mesmas equações em outra ordem.
b) Os sistemas 






2x 3y z 2
x y z 1
3x 4y 2z 3
1 1 5
1 1 5
1 1 5
 e 






2x 3y z 2
2x 2y 2z 2
3x 4y 2z 3
1 1 5
2 2 2 52
1 1 5
 são equivalentes, pois a segunda equação do primeiro sistema foi 
multiplicada por 22.
c) Os sistemas 






x y z 1
2x 3y z 2
3x 4y 2z 3
1 1 5
1 1 5
1 1 5
 e 






x y z 1
y z 0
3x 4y 2z 3
1 1 5
2 5
1 1 5
 são equivalentes, pois somou-se à segunda equação o oposto do dobro 
da primeira equação, isto é, a 1a equação foi multiplicada por 22 e, em seguida, somada à 2a equação.
2. Podemos representar um sistema linear por uma matriz; cada equação do sistema será representada por uma linha da matriz.
3. Mantendo a ordem das incógnitas nas equações, podemos fazer as transformações diretamente na matriz.
No processo de escalonamento, pode ocorrer na matriz aumentada uma linha da forma (0, 0, ..., 0, b), o que corresponde a uma 
equação da forma 0 0 ... 0 bx1 x2 xn1 1 1 5 .
Se b 5 0, podemos simplesmente excluir