UNIDADE III-Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações

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Metodologia de 
Ensino de Matemática: 
Números, Operações, 
Grandezas e Medidas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Edvonete Souza de Alencar
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Márcia Ota
Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Possibilidade para o Ensino 
dos Números e Operações
 
 
• Relacionar sua prática docente e a consciência socioambiental, desenvolvendo estratégias 
de ensino que envolvam criatividade, autonomia e flexibilidade;
• Perceber as relações e diferenças entre o conhecimento matemático e a matemática escolar;
• Conhecer e analisar criticamente propostas curriculares de Matemática para a educação bá-
sica que envolvam os números e as operações;
• Promover maior ênfase aos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e algoritmos;
• Relacionar a Matemática a outras áreas do conhecimento, desenvolvendo estratégias de en-
sino que envolvam criatividade, autonomia e flexibilidade;
• Perceber as relações e diferenças entre o conhecimento matemático e a matemática escolar;
• Refletir sobre possíveis propostas de ensino-aprendizagem das operações na educação básica;
• Refletir e analisar criticamente propostas curriculares de Matemática para a educação básica 
que envolvam operações;
• Promover maior ênfase aos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e algoritmos.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Expectativas de Aprendizagem;
• Contagem;
• Escritas Numéricas;
• Números Naturais;
• Números Primos;
• Números Racionais;
• Números Irracionais;
• Atividades com Materiais Recicláveis;
• Expectativas de Aprendizagem;
• Atividades com Materiais Recicláveis;
UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Contextualização
Para iniciarmos nossos estudos nesta unidade, é importante sabermos algumas 
possibilidades para o ensino dos números e das operações. 
Vimos nas unidades anteriores um pouco de história e como os números foram 
se consolidando como os números que atualmente utilizamos.
Importa notar que nossa busca, nesta unidade, contempla como aprendemos e 
ensinamos os números e não como historicamente eles foram construídos. 
Salientamos que a contagem é estabelecida por relações cotidianas desde nossas 
primeiras observações sobre o ambiente. Desse modo, quando percebemos que um 
pedaço de bolo é maior ou menor que outro, envolvem-se as propriedades de análise 
da contagem ou quando identificamos quantos bombons ganhamos, qual a quantida-
de de dinheiro possuímos estamos realizando contagens.
Assim sendo, pode-se observar que as ações de contagem estão presentes no 
nosso dia adia.
Além disso, alguns estudiosos como Constance Kamii estudaram de modo apro-
fundado como a criança constrói o número, utilizando, para isso, os fundamentos de 
estudo de Piaget. Toledo e Toledo (1997, p. 22) apresentam um texto que anuncia 
de modo simplificado um dos casos de estudo, no qual é indicado que relações são 
necessárias para que o aluno construa o número.
João Pedro estava com 5 anos de idade e sabia contar até mais ou menos trinta 
quando sua mãe lhe pediu que colocasse um guardanapo para cada um dos pratos 
que já estavam colocados à mesa para o almoço. Eram quatro pratos. O menino foi 
ao armário, pegou um guardanapo e o colocou sobre o primeiro prato; voltou para 
pegar o segundo e assim foi fazendo até completar os quatro. Em várias ocasiões, 
continuou realizando esse trabalho para a mãe, com suas quatro viagens ao armário. 
Aos 5 anos e 4 meses , ele contou espontaneamente os quatro pratos, foi ao armário, 
contou quatro guardanapos e os trouxe para a mesa. Continuou nos outros dias com 
essa estratégia.
Alguns dias depois, sua mãe avisou que naquele dia teriam um hóspede para almoçar 
com eles. João Pedro pegou seus habituais quatro guardanapos e ao distribuí-los per-
cebeu que um dos pratos estava sem guardanapo. Recolheu todos os já distribuídos e 
retornou a estratégia anterior, fazendo cinco viagens para completar sua tarefa.
Esse texto revela que para a construção do número é preciso que o aluno conser-
ve as quantidades, mesmo que estejam em ordens espaciais diferentes. Essa habili-
dade é promovida pela reversibilidade, que segundo Piaget é a capacidade de fazer 
e desfazer mentalmente uma ação. Desse modo, a habilidade é essencial para a 
construção numérica e para o desenvolvimento das operações. 
Desse modo, apresentaremos, nesta unidade, como o número e as operações 
podem ser desenvolvidos em sala de aula.
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Agora apresentaremos as principais ideias sobre A Teoria dos Campos Conceitu-
ais de Vergnaud que auxiliam os professores no ensino das operações.
O autor aborda que os Campos conceituais são compostos pelas estruturas e 
classes de determinados problemas. Assim, um campo conceitual é formado por 
esquemas que são definidos como: [...] a organização invariante da conduta para uma 
classe de situações dadas. (VERGNAUD, 1990, p. 134). Desse modo, os esquemas 
são os processos mentais que realizamos para resolver uma determinada situação.
Em uma situação, na qual sabemos que 1 carro possui 4 rodas. Sabe-se que 3 
carros podem ter? 
Carro
1
3
Roda
(x4)
(x4)
(x3)(x3)
4
?
Os esquemas permitem a formação de conceitos, que são formados pela tríade: 
S conjunto de situações, I, i nvariantes operatórios e R diferentes representações . 
Vergnaud (1990) aprofundou seus estudos em dois campos conceituais: o aditivo 
e o multiplicativo, cada um apresentando uma classe de situações que devem ser 
estimuladas ao se ensinar as operações. 
No campo conceitual aditivo, temos as situações de transformação positiva ou /e 
negativas, combinação de medidas, comparação e composição de transformações. 
Para o campo conceitual multiplicativo, temos multiplicação, divisão por partes, 
divisão por cotas e quarta proporcional. 
Vamos ler dois textos sobre o campo conceitual aditivo e multiplicativo e suas classes de 
situações, pensando em quais estratégias posso utilizar em sala de aula com meus alunos. 
Para tanto, acesse os links abaixo: 
• Teoria Operações irmãs, disponível em: https://bit.ly/3ecwXmM
• Teoria de vezes e de dividir, disponível em: https://bit.ly/2O5bFwP
Assim sendo, diante dessas reflexões, iniciais sobre as diferentes situações dos 
campos conceituais, veremos algumas possibilidades de como desenvolver o ensino 
das operações com os alunos.
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UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Expectativas de Aprendizagem
As expectativas de aprendizagem foram criadas para que os docentes tivessem 
uma diretriz de quais conteúdos devem ser ensinados na disciplina de matemática.
Entre as diversas abordagens no Brasil citadas por diferentes estados, apresentare-
mos uma das possibilidades de expectativas de aprendizagem baseada nos documen-
tos federais Parâmetros Curriculares Nacionais para o terceiro e quarto ciclo, além 
das orientações para o ensino médio. Os conteúdos para cada ano são:
Tabela 1
6º ano do Ensino 
Fundamental
7º ano do Ensino 
Fundamental
8º ano do Ensino 
Fundamental
9º ano do Ensino 
Fundamental
Números Números NúmerosNúmeros Racionais
Números
Números reais
• Múltiplos e divisores;
• Números primos;
• Operações básicas 
(+, –, . , ÷);
• Introdução às potências.
• Sistemas de numeração;
• O sistema posicional decimal.
• Transformação de decimais 
finitos em fração;
• Dízimas periódicas e 
fração geratriz.
• Conjuntos numéricos;
• Números irracionais;
• Potenciação e Radiciação 
em R;
• Notação científica.
Frações Números negativos Potenciação
• Representação;
• Comparação e Ordenação;
• Operações.
• Representação;
• Operações,
• Propriedades para expoen-
tes inteiros;
• Problemas de contagem.
Números decimais Números racionais
• Representação;
• Transformação em 
fração decimal;
• Operações Sistemas 
de medida;
• Medidas de comprimento, 
massa e capacidade;
• Sistema métrico decimal: 
múltiplos e submúltiplos 
da unidade.
• Representação fracionária e 
decimal;
• Operações com decimais 
e frações.
Tabela 2
1º ano do Ensino Médio 2ºano do Ensino Médio 3º ano do Ensino Médio
Números 
Números e sequências
Números/Relações
Matrizes, determinantes 
e sistemas lineares
Números complexos: operações 
e representação geométrica
• Conjuntos numéricos;
• Regularidades numéricas: sequências;
• Progressões aritméticas e progressões;
• Geométricas;
• Relações;
• Funções;
• Relação entre duas grandezas;
• Proporcionalidades: direta, inversa, direta 
com o quadrado.
• Matrizes: significado como tabelas, ca-
racterísticas e operações;
• A noção de determinante de uma ma-
triz quadrada;
• Resolução e discussão de sistemas line-
ares: escalonamento;
• Números;
• Análise combinatória e probabilidade.
Tais expectativas demonstram os conteúdos básicos para cada respectivo ano. 
No entanto, vemos a necessidade de aprofundar algumas temáticas apresentadas a 
seguir nas próximas seções.
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Contagem
Sabemos que a contagem está extremamente ligada a fatos do nosso cotidiano. 
Desde as primeiras aprendizagens, os alunos, quando crianças, já realizam relações 
que envolvem a contagem e a observação de aspectos do dia a dia.
Assim, mostrar os diferentes modos de extensão do intervalo numérico é um 
modo de se trabalhar com a contagem mesmo com alunos com maiores dificuldades. 
Como: contar a partir de um ou contar a partir de um número dado.
A contagem permite com que se desenvolva a percepção de organização sobre 
o sistema numérico. É preciso, desse modo, trabalhar com a contagem de coleções 
desde os primeiros anos escolares. Pode-se, ainda, possibilitar as rodas de conta-
gem de um e um, dois em dois e outras, contar objetos na sala e contar objetos de 
figuras desenhadas.
Piaget, um dos pesquisadores que sustentam como aprendemos a contar, relata 
em um pequeno texto que o conhecimento matemático é desenvolvido por meio das 
relações que estabelecemos com os objetos.
O Conhecimento Humano
Segundo Piaget, há três tipos de conhecimentos: o físico, o social e o lógico-matemático.
Conhecimento físico é o que obtemos por meio da observação dos objetos na reali-
dade externa. Exemplos: a cor de um objeto, o materia de que ele é feito, o peso, o 
tamanho, etc.
Conhecimento social é aquele que herdamos da cultura do meio em que vivemos. 
Por exemplo: dizer “alô” quando atendemos ao telefone; saber o nome do “homem 
que descobriu o Brasil”. Esse tipo de conhecimento só pode ser adquirido por trans-
missão e é totalmente arbitrário, exigindo, por isso mesmo, memorização. Embora 
não seja recomendável o ensino de matemática calcado unicamente na memoriza-
ção de regras e definições, não se pode desprezar essa forma de reter o conhecimen-
to. Ao estudar matemática, é necessário que decoremos a seqüência dos números 
naturais, os nomes das figuras geométricas e muitos outros dados.
O conhecimento lógico-matemático resulta das relações que o sujeito estabelece 
com ou entre os objetos, ao agir sobre eles. Por exemplo, ao observar duas bolas, 
uma azul e uma vermelha, a criança pode perceber-lhes a forma (conhecimento 
físico) e aprender que se chamam “bolas” (conhecimento social). No âmbito da ex-
periência lógico-matemática, ela pode pensar que as bolas são “iguais” (ambas são 
bolas) ou “diferentes” *(uma é azul, a outra é vermelha). Essa semelhança ou dife-
rença não está em cada uma das bolas, isoladamente, mas foi criada na mente da 
criança no momento em que ela relacionou os objetos “bolas”. 
Assim, enquanto o conhecimento físico deriva das propriedades físicas dos próprios 
objetos, o conhecimento lógico-matemático tem origem no próprio sujeito.
Na verdade, porém, é impossível separar totalmente os três tipos de conhecimento, 
pois eles sempre se apresentam juntos.
Fonte: TOLEDO e TOLEDO, 1997, p.18
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UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Escritas Numéricas
As escritas numéricas também desempenham papel muito importante na cons-
trução dos conteúdos matemáticos e desde os anos iniciais, no ensino de matemá-
tica, devem ser incentivadas por meio de ditado de números, o uso de calculadoras 
e outras. Além disso, o professor deve notar as relações que o aluno demonstra nas 
suas escritas, observando as hipóteses numéricas, bem como de apoiar ainda as ati-
vidades de escritas numéricas, construindo cartelas sobrepostas.
Figura 1
Salienta-se que é possível utilizar também os quadros numéricos, instigando os 
alunos a perceberem:
• O que há de comum nas escritas dos números;
• Qual número fica entre um e outro;
• Qual número fica antes ou depois de determinado número. 
Importante notar que esses quadros numéricos podem ser apresentados nas dife-
rentes escolaridades com números maiores ou com números intercalados.
Tabela 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Números Naturais
Os números naturais são um dos primeiros assuntos abordados na disciplina de 
Matemática. Portanto, retomaremos alguns aspectos importantes:
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Os números naturais são definidos por Peano, como as propriedades repre-
sentadas pelo conjunto N. Para tanto, sabemos que zero é um número natural; 
zero não possui sucessor natural; sendo n natural seu sucessor também o será; se 
n e m tem o mesmo sucessor, então, estes são o mesmo número natural; se zero 
pertence a um conjunto que possui um número, seu sucessor também pertence a 
esse conjunto.
As formulações do axioma de Peano utilizavam o 1 como primeiro número natural, no en-
tanto, as interpretações mais novas do axioma de Peano se iniciam com o zero. 
Disponível em: https://bit.ly/2VKpOUt
Os números naturais são organizados pelos sistemas de numeração decimal, que 
possuem uma organização por grupos e subgrupos das unidades que formam os gru-
pos. Assim, uma quantidade de unidades constitui uma unidade de ordem superior.
Tabela 4 – Leitura de Números
Classe 
dos Bilhões
Classe dos milhares 
de Milhão
Classe 
dos Milhões
Classe 
dos Milhares
Classe 
das Unidades
Ce
nt
en
as
De
ze
na
s
Un
ida
de
s
Ce
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en
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De
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De
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s
Un
ida
de
s
Ce
nt
en
as
De
ze
na
s
Un
ida
de
s
3 7 8 0 0 4 5 0 1 3 9 2 0
Legenda: Três bilhões, setecentos e oitenta milhares de milhão, quarenta e 
cinco milhões, treze milhares e novecentos e vinte unidades.
Com os números naturais, é possível realizar algumas operações como a adição 
que possui propriedade fechamento, associativa, comutativa e elemento neutro. Já a 
subtração não possui a propriedade de fechamento, a associativa, a comutativa e o 
elemento neutro.
Você Sabia?
A subtração não é considerada uma operação nos números naturais, pois nem sempre é 
possível achar a diferença de outros dois números naturais.
A multiplicação é considerada operação nos números naturais, pois possui 
como propriedades: o fechamento, a associativa, a comutativa e o elemento neutro. 
A adição e a multiplicação estão relacionadas pela propriedade distributiva da multi-
plicação em relação à adição.
Assim como a subtração, a divisão não é considerada uma operação dos números 
naturais, pois não possui as propriedades de fechamento, associativa, comutativa e 
elemento neutro. E mesmo não há um número natural que seja quociente de dois 
números naturais.
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UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Números Primos
Os números primos são muito importantes na história da Matemática, princi-
palmente em aspectos da Grécia Antiga. Até hoje, pesquisadores são instigados a 
investigar números primos maiores. Esses são tão importantes que aparecem logo 
nos primeiros anos da Educação básica, quando se pede para realizar os cálculos de 
mmc ou mdc.
Assim, um número primo é aquele que é divisível por um ou por ele mesmo. 
Houve vários estudiosos que o definiram.
Você sabia?
A primeiradefinição dos números primos foi proposta por Euclides.
No entanto, foi Crivo de Erastóstenes que propôs o primeiro método para os nú-
meros primos. Seu método propunha que se escrevesse todos os números em ordem 
e posteriormente eram riscados os números compostos. Primeiro, risca-se o número 
dois e depois, todos os múltiplos de três.
Tabela 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
É interessante ainda a construção da tabela de crivos com os estudantes para que 
eles investiguem os números e percebam suas regularidades. 
Números Racionais
Os números racionais, no ano 300 da nova era, citados por Diofanto, foram 
considerados uma fração. No entanto, as frações também aparecem no Livro de 
Proporções de Euclides. Para tanto, os números racionais envolvem a relação com 
outros números, a ordenação, a densidade e as operações.
Os números racionais têm como propriedade a igualdade, pois possuem infinitas 
representações fracionárias que são diferentes da igualdade dos números inteiros. 
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Além dessas propriedades, os números racionais possuem a comutativa da adi-
ção, associativa da adição, a comutativa da multiplicação, a associativa da multipli-
cação e distributiva.
As operações realizadas com os números racionais são: a adição, a multiplicação, 
a divisão e a subtração.
Números Irracionais
Os números irracionais vão no caminho inverso aos aspectos de medidas e cam-
po dos racionais. A fundamentação dos números racionais ocorre pela incomensura-
bilidade. Assim, os números irracionais não podem ser representados pelas frações 
de números inteiros, mas dão origem aos números decimais. Surge, com isso, o 
numero pi no campo dos números irracionais.
Você Sabia?
Você sabia que, antes do surgimento do pi, as circunferências eram medidas por meio do 
perímetro do polígono inscrito e circunscrito?
Um dos princípios dos números racionais é que eles possuem representação de-
cimal infinita.
Atividades com Materiais Recicláveis
Muitas são as atividades que podem se construir com materiais recicláveis para o 
ensino de matemática. Trazemos aqui alguns exemplos explanados por, Lorenzato 
(2006), Pires (2013) e Smole Diniz Mineli (2006):
Lorenzato (2006) apresenta o bingo realizado com garrafas pet, no qual será feito 
a gondola para o sorteio dos números.
Figura 2
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UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Pires (2013) apresenta a importância de se trabalhar contagem, utilizando para isso 
tampinhas de garrafas pet. Essas contagens podem ser realizadas feitas por meio de 
jogos de competição ou mesmo para estabelecer contagens das operações básicas.
Figura 3
Fonte: Getty Images
Smole, Diniz e Milani (2007) apresenta diversos jogos de matemática a serem re-
alizados com turmas de 6º a 9º ano no Livro Caderno do Mathema, como exemplo 
citamos a Pescaria de números Potências, que devem ter cartas de bases negativas, 
cartas com expoentes negativos, cartas com números racionais e cartas com poten-
cias com números reais.
Para jogar, as cartas são embaralhadas e cada jogador deve receber 5 cartas. 
As outras cartas ficam no centro da mesa com faces voltadas para baixo. O objetivo 
é formar o maior número de pares. O jogo acaba quando não é mais possível formar 
pares ou quando as cartas terminam.
Diante do que aprendemos nessa unidade, quais exemplos de ações pedagógicas podem ser 
implementadas na sala de aula para o ensino dos números? Coloque suas reflexões no fórum!
Expectativas de Aprendizagem
Como visto na unidade anterior, as expectativas de aprendizagem foram criadas 
com o intuito de auxiliar os docentes para que tivessem uma diretriz de quais conte-
údos devem ser ensinados na disciplina de matemática. Especificamente, apresenta-
remos, nessa seção, os conteúdos que envolvem o ensino das operações.
Mostraremos uma das possibilidades de expectativas de aprendizagem baseada 
nos documentos federais Parâmetros Curriculares Nacionais para o terceiro e quarto 
ciclo, além das orientações para o ensino médio. Os conteúdos para cada ano são:
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Tabela 6
6º ano do Ensino 
Fundamental
7º ano do Ensino 
Fundamental
8º ano do Ensino 
Fundamental
9º ano do Ensino 
Fundamental
• Operações;
• Números Decimais;
• Operações Sistemas 
de medida;
• Operações dos 
números decimais;
• Calculo de área por com-
posição e decomposição.
• Operações;
• Números Racionais;
• Operações com decimais 
e frações;
• Operações com 
números negativos;
• Proporcionalidade;
• Variação de grandezas direta ou 
inversamente proporcionais;
• Conceito de razão;
• Porcentagem;
• Razões constantes 
na Geometria: 
• Construção de gráficos 
de setores;
• Problemas envolvendo 
probabilidade.
• Potenciação;
• Propriedades para 
expoentes inteiros;
• Problemas de contagem;
• Expressões algébricas;
• Equivalências e transformações;
• Produtos notáveis;
• Fatoração algébrica – Equações;
• Resolução de equações 
de 1º grau;
• Sistemas de equações e 
resolução de problemas;
• Inequações de 1º grau.
• Potenciação e radiciação 
em R – Álgebra;
• Equações de 2ºgrau: resolu-
ção e problemas – Funções;
• Noções básicas sobre função;
• A ideia de variação;
• Construção de tabelas e gráfi-
cos para representar funções 
de 1º e de 2º graus.
Tabela 7
1º ano do Ensino Médio 2º ano do Ensino Médio 3º ano do Ensino Médio
• Proporcionalidades: direta, inversa, 
direta com o quadrado;
• Funções;
• Relação entre duas grandezas;
• Proporcionalidades: direta, inversa, 
direta com quadrado;
• Função de 1º grau;
• Função de 2ºgrau;
• Funções exponencial e logarítmica;
• Crescimento exponencial;
• Função exponencial: equações 
e inequações;
• Logaritmos: definição e propriedades;
• Função logarítmica: equações 
e Inequações.
• Matrizes: significado como tabelas, ca-
racterísticas e operações;
• Resolução e discussão de sistemas 
lineares: escalonamento;
• Números;
• Análise combinatória e probabilidade;
• Análise combinatória e probabilidade;
• Princípios multiplicativo e aditivo;
• Probabilidade simples;
• Arranjos, combinações e permutações;
• Probabilidade da reunião e/ou da inter-
secção de eventos;
• Probabilidade condicional;
• Distribuição binomial de proba-
bilidades: o triângulo de Pascal e o 
binômio de Newton.
• Números complexos: operações 
e representação geométrica;
• Equações algébricas e 
números complexos;
• Equações polinomiais;
• Números complexos: operações e re-
presentação geométrica;
• Teorema sobre as raízes de uma equa-
ção polinomial;
• Relações de Girard;
• Estudo das funções;
• Qualidades das funções;
• Gráficos: funções trigonométricas, ex-
ponencial, logarítmica e polinomiais;
• Gráficos: análise de sinal, crescimento e 
taxa de variação;
• Composição: translações e reflexões;
• Inversão.
Tais expectativas demonstram os conteúdos básicos para cada respectivo ano. 
No entanto, vemos a necessidade de aprofundar algumas das operações apresen-
tadas a seguir nas próximas seções.
Adição
Estudamos nas unidades anteriores sobre a história dos números que sua corres-
pondência é biunívoca. Assim, o princípio da adição é a contagem.
Se perguntarmos “quanto é 2+3”. Logo, responderemos utilizando os axiomas de 
Peano, os quais propõem que o conceito de sucessor nos promove a compreensão 
da adição.
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UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Assim, partimos do 2 e contamos o seus sucessor 3 vezes.
2 3 4 5
Vemos, com isso, como funciona o Sistema de Adição. No entanto, quando 
temos um número maior, devemos elaborar um meio de fazê-lo, para que não 
haja um desgaste mental. Para isso, Caraça (1989) chama de princípio geral da 
economia de pensamento. Com isso, os humanos criaram técnicas operatórias 
chamadas de algoritmos.
Você Sabia?
A palavra algoritmotem origem no nome Al Khowarizmi, retirado de um livro chamado 
Livro da Adição e da Subtração, segundo o cálculo dos indianos.
Vemos ainda que alguns instrumentos foram criados para facilitar o cálculo de 
mercadorias, sendo um deles o ábaco.
Importante destacar que o ábaco foi utilizado para facilitar o cálculo com núme-
ros maiores.
Figura 4
Fonte: Getty Imges
Além disso, o ábaco auxilia a formar agrupamentos de dez em dez, ajudando 
ainda no reconhecimento do valor posicional do número. Assim, para somar ou sub-
trair é preciso realizar trocas. Portanto, o ábaco é um material que auxilia o aluno a 
compreender o sistema posicional da adição e subtração.
Outro material utilizado é o material dourado que também auxilia o aluno a com-
preender as operações, agrupando as quantidades de dez em dez. Este material foi 
criado por Maria Montessori, possuindo quatro tipos de peças:
18
19
Cubo
1 milhar ou
10 centenas ou
100 dezenas ou
1000 unidades
1 centena ou
10 dezenas ou
100 unidades
1 dezena ou
10 unidades
1 unidade
Placa Barra Cubinho
Figura 5
Há ainda a utilização dos quadrados mágicos, nos quais todas as somas das linhas 
devem dar o mesmo número, assim como o Sudoku que possui suas origens no 
quadrado mágico.
TAHAN, M. As Maravilhas da Matemática. Edições Bloch. 1973.
Subtração
A subtração é a operação inversa da adição, pois algebricamente a+b=c, a-c=b. 
Suas denominações incluem: minuendo, subtraendo e diferença ou resto.
Sabemos, ainda, que os materiais utilizados no ensino da adição podem ser usa-
dos para o ensino da subtração, pois é possível com eles fazer o agrupamento e o 
desagrupamento.
Podemos falar o mesmo para a subtração na Teoria dos Campos Conceituais que 
possui estreita relação com o Campo Conceitual Aditivo relatado na seção anterior. 
Multiplicação
A multiplicação pode ser resultado também da adição. Um exemplo disso é quando 
queremos somar muitas parcelas iguais como: 3+3+3=. No entanto, quando se quer 
saber a multiplicação de um número maior, realize a multiplicação, utilizando-se, para 
isso, a soma pode se tornar desgastante. Por isso, o homem criou a representação de 
3X3, com o intuito de demonstrar o multiplicador e o multiplicando.
A multiplicação possui como propriedades: a comutativa, a associativa, o ele-
mento neutro, anulamento e a distributiva. Destaca-se que conhecer as propriedades 
permitem que possamos compreender mais os algoritmos.
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UNIDADE Possibilidade para o Ensino dos Números e Operações
Neste tópico sobre a multiplicação, há uma forte discussão sobre a memoriza-
ção ou não da tabuada. Há pesquisadores que a defendem, pois auxilia no rápido 
cálculo mental que poderá ser utilizado em situações do cotidiano e há outros que 
contrapõem, pois relatam a importância do aluno compreender como multiplica e 
se dá os resultados.
Entre os recursos, que podem auxiliar no ensino da multiplicação, está a Tábua 
de Pitágoras, que consiste no preenchimento da primeira linha e da primeira coluna 
com os números de 1 a 9.
X
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 38 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 6
Outro modo é o ensino da multiplicação por decomposição. Um exemplo é quan-
do temos 23 × 12 , podemos resolver 23 × 1 e 23 × 2 e depois somar os resultados.
Há ainda o método hindu que compõem realizar a multiplicação pela quadriculagem:
5
5
2 1 1
123
3 9 9
5 1 4
5 05
7
0
0
3 2
Figura 7
Divisão
Assim como a subtração é o inverso da adição, a divisão é o inverso da multi-
plicação. Com isso, sabendo que b.c=a , na divisão a:c=b. Portanto, chamamos de 
dividendo, divisor e quociente.
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Para a resolução da divisão, podem-se utilizar as seguintes estratégias: 
• Por multiplicação, até se obter o resultado;
• Por subtrações sucessivas; e 
• O tradicional método chave.
Método de multiplicação e divisão dos egípcios. Disponível em: https://bit.ly/3fdhBA2
Do mesmo modo que o campo conceitual aditivo refere-se ao estudo de situações 
que envolvem adição e subtração, o campo conceitual multiplicativo envolve situa-
ções da multiplicação e divisão abordadas na seção anterior.
Potencialização
A potenciação é a multiplicação de parcelas iguais. Define-se, então, que an= 
a.a.a.a.... Assim, o número que se repete é chamado de base e a quantidade de fato-
res, expoente. Com isso, a potenciação não é comutativa, uma determinando a base 
e a outra determinando o expoente.
Um dos métodos para se calcular a potenciação é o método de Pitágoras. “O qua-
drado de um número inteiro n é igual à soma dos n primeiros números inteiros 
ímpares.” (PITÁGORAS, VI AC)
Vemos assim que : 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 × 5 = 25 (n = 5)
Radiação 
A radiciação é a operação para se descobrir a base, um exemplo disso é b= na. 
Para tanto, b é considerado quadrado, cubo, quarta potência ou quinta potência.
Na radiciação, temos a potenciação de radicais...
3 3( 2) 2=
e a divisão dos radicais.
4 4
9 9
=
Logaritmização
A logaritmização determina o expoente, sendo b= an temos n= logab. Assim, 
sabemos que ao inverter não se pode ter 0 e 1 , pois ao calcular-se utilizando esses 
números, seriam eles mesmos.
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O Ensino de Álgebra. Disponível em: https://bit.ly/2CezK1Q
Observando a importância materiais recicláveis e jogos, para se ensinar as opera-
ções, apresentamos na próxima seção algumas atividades. 
Atividades com Materiais Recicláveis 
As atividades descritas nessa seção são algumas das possibilidades para se ensinar 
as operações, utilizando-se diversos materiais.
Smole, Diniz e Milani (2007) relatam muitos jogos que podem ser utilizados para 
se ensinar operações. Uma das sugestões é o bingo das operações que é feito com:
• caixas de cereais ou papelão para confecção das cartelas com 
operações matemáticas;
• 60 Tampas de garrafas PET (média);
• 2 garrafas PET;
• 1 caixa de sapato, jornal, régua, canetinhas, fita adesiva e grão para a marcação.
O bingo joga-se do mesmo modo que um bingo convencional, com a exceção que 
os alunos devem acertar os resultados (Figura 8).
Outro jogo interessante relatado pelas autoras é o dominó de equações, o qual 
pode ser feito com papel ou material reciclado, possuindo 40 peças. No jogo, cada 
peça possui uma equação e suas possíveis soluções. As peças devem ser encaixadas 
adequadamente como no dominó convencional (Figura 9).
8-6 18:6 36:620+20
BINGO
6x7
14+3 8+7 25+77x8 90:9
2x4 23-11 4x915-6 8-3
Figura 8 Figura 9
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Números e Operações
CENTURION, M. Números e Operações, Série Didática, Editora Scipione, 1994.
Números e Operações
LORENZATO, S. A. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos 
manipuláveis. In: LORENZATO, S. (org.). O Laboratório de ensino de matemática 
na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
Didática da Matemática como dois em dois a construção da Matemática 
TOLEDO M.; TOLEDO M. Didática da Matemática como dois em dois 
a construção da Matemática. FTD, 1997.
 Leitura
Parâmetros curriculares nacionais: matemática
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: 
matemática/Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SE, 1997. 
https://bit.ly/38rvZCg
Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: 
Ensino Médio/Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 2000. 
https://bit.ly/2ZAqA7F
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Referências
DIAS, M. da S. Números e Operações: elementos lógico-históricospara atividade 
de ensino. Curitiba, InterSaberes, 2012. 
MUNHOZ, M. de O. Propostas metodológicas para o ensino de matemática. 
Curitiba, InterSaberes, 2013.
PIRES, C. M. C. Números Naturais e Operações. São Paulo: Editora Melhoramen-
tos, 2013.
SMOLE, K. S. DINIZ e MILANI Jogos de matemática de 6º a 9º ano Série Cader-
nos do Mathema – Ensino Fundamental- Porto alegre: Artmed, 2007.
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