LPLbook_-_Captulo_02_-_A_Lgica_de_Sentenas_Atmicas

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Caṕıtulo 2
A Lógica de Sentenças Atômicas
Uma das principais preocupações em lógica é o conceito de consequência
lógica: Quando é que uma sentença, declaração ou proposição segue-se logi-
camente de outras? Realmente, uma das principais motivações do projeto de
fol foi tornar a consequência lógica tão clara quanto posśıvel. Pensou-se que
evitando as ambiguidades e complexidades da linguagem comum, seŕıamos
capazes de reconhecer as consequências de nossas proposições com mais faci-
lidade. Isto é, até certo ponto, verdade, mas também é verdade que devemos
ser capazes de reconhecer as consequências de nossas proposições sejam elas,
ou não, expressas em fol.
Neste caṕıtulo, vamos explicar o que queremos dizer com “consequência
lógica”, ou de maneira equivalente, o que queremos dizer quando dizemos que
um argumento é “logicamente válido.” Este é um conceito bastante simples
de entender, mas também pode ser diabolicamente dif́ıcil de aplicar em casos
espećıficos. De fato, em matemática, há muitos, muitos exemplos em que não
sabemos se uma determinada proposição é uma consequência de outras ver-
dades conhecidas. Os matemáticos podem trabalhar por anos ou décadas ten-
tando responder tais perguntas. Depois de explicar a noção de consequência,
descreveremos as principais técnicas para mostrar que uma proposição é ou
não é uma consequência de outras proposições, e começaremos a apresentar
o que é conhecido como um sistema formal de dedução, um sistema que nos
permite mostrar que uma sentença de fol é uma consequência de outras.
Continuaremos a desenvolver este sistema à medida que aprendermos mais
sobre fol em caṕıtulos posteriores.
Seção 2.1
Argumentos válidos e corretos
O que se entende exatamente por consequência lógica? Ou melhor, uma vez
que esta sentença é usada às vezes em contextos bastante diferentes, o que
um lógico quer dizer com consequência lógica?
Alguns exemplos ajudarão. Primeiro, vamos dizer que um argumento é argumentos, premissas
e conclusõesqualquer série de afirmações em que uma (a chamada conclusão) é destinada
a ser o resultado das, ou ser apoiada pelas, outras (chamadas de premissas).
45
46 / A Lógica de Sentenças Atômicas
Não pense em duas pessoas discutindo entre si, mas em uma pessoa que está
tentando convencer outra de alguma conclusão com base em premissas aceitas
por ambas. Para nós, argumentos podem aparecer como parte de um tipo de
“argumento” mais desagradável—o tipo que os pais têm com seus filhos—
mas nossos argumentos também aparecem em editoriais de jornais, em livros
acadêmicos, e em todas as formas de discurso cient́ıfico e racional. Xingamen-
tos não contam.
Existem muitos dispositivos na linguagem comum para indicar premissas
e conclusões de argumentos. Palavras como dáı, assim, então e consequente-identificando premissas
e conclusões mente são usadas para indicar que o que se segue é a conclusão de um ar-
gumento. As palavras porque, uma vez que, afinal, e outras semelhantes são
geralmente usadas para indicar as premissas. Aqui estão alguns exemplos de
argumentos:
Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Portanto,
Sócrates é mortal.
Lucrécio é um homem. Afinal, Lucrécio é mortal e todos os homens
são mortais.
Uma diferença entre estes dois argumentos é a colocação da conclusão. No
primeiro argumento, a conclusão vem no final, enquanto no segundo, ela vem
no ińıcio. Isto é indicado pelas palavras portanto e afinal, respectivamente.
A diferença mais importante é que o primeiro argumento é bom, enquanto
o segundo é ruim. Nós vamos dizer que o primeiro argumento é logicamente
válido, ou que a sua conclusão é uma consequência lógica de suas premissas.consequência lógica
A razão pela qual dizemos isso é que é imposśıvel que esta conclusão seja falsa
se as premissas forem verdadeiras. Por outro lado, a nossa segunda conclusão
pode ser falsa (suponha que Lucrécio é o meu peixinho dourado), embora
as premissas sejam verdadeiras (os peixinhos são notoriamente mortais). A
segunda conclusão não é uma consequência lógica de suas premissas.
A grosso modo, um argumento é logicamente válido se, e somente se, a con-argumentos logicamente
válidos clusão deve ser verdadeira na suposição de que as premissas sejam verdadeiras.
Note que isso não significa que as premissas de um argumento tenham que
ser verdadeiras para que ele seja válido. Quando fornecemos argumentos, nós
naturalmente pretendemos que as premissas sejam verdadeiras, mas às vezes
a gente está errado sobre isso. Vamos falar mais sobre essa possibilidade em
um minuto. Entretanto, note que o nosso primeiro exemplo acima seria um
argumento válido, mesmo que fosse descoberto que estávamos enganados so-
bre uma das premissas, por exemplo, se Sócrates fosse um robô, em vez de
um homem. Ainda seria imposśıvel que as premissas fossem verdadeiras e
Caṕıtulo 2
Argumentos válidos e corretos / 47
a conclusão falsa. Nessa eventualidade, ainda diŕıamos que o argumento era
logicamente válido, mas como ele tinha uma premissa falsa, não nos seria
garantido que a conclusão era verdadeira. Seria um argumento válido com
uma premissa falsa.
Aqui está outro exemplo de um argumento válido, desta vez um expresso
na linguagem de blocos. Suponha que é dito para nós que Cube(c) e que
c = b. Então, certamente, temos Cube(b) como resultado. Por quê? Porque
não há nenhuma maneira posśıvel de as premissas serem verdadeiras—por
c ser um cubo e por c ser o mesmo objeto que b—sem que a conclusão seja
verdadeira também. Note-se que podemos reconhecer que a última afirmação é
uma consequência das duas primeiras sem saber que as premissas são, de fato,
verdadeiras. Uma observação crucial é que se as premissas são verdadeiras,
então a conclusão deve também ser verdadeira.
Um argumento válido é aquele que garante a verdade de sua conclusão na
suposição de que as premissas são verdadeiras. Agora, como dissemos antes,
quando realmente apresentamos argumentos, nós queremos que eles sejam
mais do que apenas válidos: também queremos que as premissas sejam ver-
dadeiras. Se um argumento é válido e a premissas também são verdadeiras,
então se diz que o argumento é correto. Assim, um argumento correto garante argumentos corretos
a verdade da sua conclusão. O argumento sobre Sócrates dado acima não só
era válido, mas também correto, já que suas premissas eram verdadeiras. (Ele
não era, ao contrário do que diziam os rumores, um robô.) Mas aqui está um
exemplo de um argumento válido que não é correto:
Todos os atores ricos são bons atores. Brad Pitt é um ator rico. Logo,
ele deve ser um bom ator.
A razão pela qual este argumento é incorreto é que a sua primeira premissa
é falsa. Devido a isso, embora o argumento seja realmente válido, não nos é
garantido que a conclusão seja verdadeira. Pode ser, mas também pode não
ser. Nós de fato achamos que Brad Pitt é um bom ator, mas o argumento não
demonstra isso.
A lógica foca, em sua maior parte, na validade dos argumentos, do que
na sua corretude. Há uma razão simples para isso. A verdade de uma pre-
missa do argumento é geralmente uma questão que não é de responsabilidade
do lógico: a verdade de “Sócrates é um homem” é algo que os historiadores
tinham que verificar, a falsidade de “Todos os atores ricos são bons atores” é
algo que um cŕıtico de cinema pode discutir em uma matéria. O que lógicos
podem dizer a você é como raciocinar corretamente, dado o que você sabe ou
acredita ser verdade. Certificando-se de que as premissas de seus argumentos
são verdadeiras é algo que, de modo geral, deixamos para você.
Seção 2.1
48 / A Lógica de Sentenças Atômicas
Neste livro, muitas vezes usamos um formato especial para apresentar
argumentos,o qual chamamos “Formato Fitch” em homenagem ao lógicoformato Fitch
Frederic Fitch. O formato torna claro quais sentenças são premissas e qual é
a conclusão. No formato Fitch, exibiŕıamos o argumento incorreto acima da
seguinte forma:
Todos os atores ricos são bons atores.
Brad Pitt é um ator rico.
Brad Pitt é um bom ator.
Aqui, as sentenças acima da linha horizontal curta são as premissas, e a
sentença abaixo da linha é a conclusão. Chamamos a linha horizontal de barraBarra Fitch
Fitch. Observe que omitimos as palavras “Então. . . deve ser . . .” na conclusão,
porque elas estavam no original apenas para tornar claro qual sentença deveria
ser a conclusão do argumento. No nosso formato convencional, a barra Fitch
nos dá essa informação, e por isso estas palavras não são mais necessárias.
Lembre-se
1. Um argumento é uma série de declarações em que uma, chamada de
conclusão, destina-se a ser uma consequência das outras, chamadas de
premissas.
2. Um argumento é válido se a conclusão deve ser verdadeira em qualquer
circunstância em que as premissas são verdadeiras. Dizemos que a
conclusão de um argumento logicamente válido é uma consequência
lógica de suas premissas.
3. Um argumento é correto se ele é válido e as premissas são todas ver-
dadeiras.
Exerćıcios
2.1
�|�
(Classificando argumentos) Abra o arquivo Socrates’ Sentences. Este arquivo contém oito ar-
gumentos separados por linhas tracejadas, com as premissas e conclusão de cada uma rotuladas.
Caṕıtulo 2
Argumentos válidos e corretos / 49
1. Na primeira coluna da tabela a seguir, classifique cada um desses argumentos como
válido ou inválido. Ao fazer estas avaliações, você pode pressupor quaisquer carac-
teŕısticas gerais dos mundos que podem ser constrúıdos em Tarski’s World (por exem-
plo, que dois blocos não podem ocupar o mesmo quadrado no tabuleiro).
Correto no Correto no
Argumento Válido? Mundo de Sócrates? Mundo de Wittgenstein?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2. Agora abra Socrates’ World e avalie cada sentença. Use os resultados da sua avaliação
para escrever correto ou incorreto em cada uma das linhas da segunda coluna da tabela,
dependendo se o argumento é correto ou incorreto neste mundo. (Lembre-se que só os
argumentos válidos podem ser corretos; argumentos inválidos são automaticamente
incorretos).
3. Abra Wittgenstein’s World e preencha a terceira coluna da tabela.
4. Para cada argumento que você marcou inválido na tabela, construa um mundo em que
as premissas do argumento são todas verdadeiras, mas a conclusão é falsa. Envie o
mundo como World 2.1.x, onde x é o número do argumento. (Se você tiver problemas
para fazer isso, você pode desejar repensar a sua avaliação da validade do argumento.)
Entregue sua tabela conclúıda a seu instrutor.
Este problema frisa um ponto muito importante, que os alunos de lógica às vezes esquecem:
a validade de um argumento depende apenas do argumento, e não de fatos sobre o mundo
espećıfico sobre as quais as declarações são. A corretude de um argumento, por outro lado,
depende tanto do argumento quanto do mundo.
A propósito, o Grade Grinder só irá dizer-lhe que os arquivos que você enviar são ou não
contraexemplos. Por razões óbvias, se há um contraexemplo para um argumento, mas você não
mandar um, o Grade Grinder não vai reclamar (para você, mas ele vai dizer ao instrutor).
2.2
�
(Classificando argumentos) Para cada um dos argumentos abaixo, identifique as premissas e
a conclusão, colocando o argumento no formato Fitch. Em seguida, diga se o argumento é
válido. Para os primeiros cinco argumentos, também dê a sua opinião sobre se eles são corretos.
Seção 2.1
50 / A Lógica de Sentenças Atômicas
(Lembre-se que só os argumentos válidos pode ser corretos.) Se a sua avaliação de um argumento
depender de interpretações particulares de predicados, explique essas dependências.
1. Qualquer um que ganha um Oscar é famoso. Meryl Streep ganhou o Oscar. Assim,
Meryl Streep é famosa.
2. Harrison Ford não é famoso. Afinal de contas, os atores que ganham prêmios da
acadêmia são famosos, e ele nunca ganhou um.
3. O direito de portar armas é a liberdade mais importante. Charlton Heston afirmou
isso, e ele nunca está errado.
4. Al Gore deve ser desonesto. Afinal de contas, ele é um poĺıtico e quase todos os poĺıticos
são honestos.
5. Mark Twain viveu em Hannibal, Missouri, visto que Sam Clemens nasceu lá, e Mark
Twain é Sam Clemens.
6. Ninguém com menos de 21 anos comprou cerveja aqui ontem à noite, seu guarda.
Nossa, nós estávamos fechados, portanto ninguém comprou nada na noite passada.
7. Claire deve viver na mesma rua de Laura, pois ela vive na mesma rua de Max e ele e
Laura vivem na mesma rua.
2.3
�
Para cada um dos argumentos abaixo, identifique as premissas e conclusão, colocando o argu-
mento no formato Fitch, e indique se o argumento é válido. Se a sua avaliação de um argumento
depender de interpretações particulares de predicados, explique essas dependências.
1. Muitos dos alunos do curso de cinema frequentam as exibições de filmes. Consequente-
mente, deve haver muitos alunos no curso de cinema.
2. Há poucos alunos no curso de cinema, mas muitos deles frequentam as exibições de
filmes. Portanto, há muitos alunos no curso de cinema.
3. Há muitos alunos no curso de cinema. Afinal, muitos estudantes frequentam as exibições
de filmes e apenas os alunos do curso de cinema assistem as exibições.
4. Há trinta alunos em meu curso de lógica. Alguns dos estudantes entregaram sua lição
de casa na hora certa. A maioria dos alunos foi para a festa que durou a noite toda.
Assim, alguns estudantes que foram para a festa conseguiram entregar a lição de casa
na hora certa.
5. Há trinta alunos no meu curso de lógica. Alguns alunos que foram para a festa que
durou a noite toda devem ter entregado a lição de casa na hora certa. Alguns alunos
entregaram a lição de casa no tempo certo, e todos eles foram para a festa.
6. Há trinta alunos no meu curso de lógica. A maior parte dos estudantes entregaram a
lição de casa na hora certa. A maioria dos alunos foi para a festa que durou a noite
toda. Assim, alguns estudante que foram à festa entregaram a lição de casa na hora
certa.
2.4
�
(Validade e verdade) Um argumento válido pode ter premissas falsas e uma conclusão falsa?
Premissas falsas e uma conclusão verdadeira? Premissas verdadeiras e uma conclusão falsa?
Premissas verdadeiras e uma conclusão verdadeira? Se você responder sim para qualquer uma
dessas perguntas, dê um exemplo de tal argumento. Se sua resposta for não, explique o porquê.
Caṕıtulo 2
Métodos de prova / 51
Seção 2.2
Métodos de prova
Nossa descrição da relação de consequência lógica está boa, até o momento.
Mas ela não nos dá tudo o que gostaŕıamos. Em particular, ela não nos diz
como demonstrar que uma determinada conclusão é resultado, ou não, de
algumas premissas P,Q,R, . . . . Nos exemplos que examinamos, isso pode não
parecer muito problemático, uma vez que as respostas são bastante óbvias.
Mas, quando estamos lidando com sentenças mais complexas ou um racioćınio
mais sutil, as coisas às vezes estão longe de ser simples.
Neste curso, você vai aprender os métodos fundamentais de demonstrar
quando proposições são resultados de outras proposições e quando não o são.
A principal técnica para fazer esta última, para demonstrar que uma dada
conclusão não é resultado de algumas premissas, é encontrar uma posśıvel cir-
cunstância em que as premissas são verdadeiras mas a conclusão falsa. Na ver-
dade, nós já utilizamos este método para demonstrar que o argumento sobre
Lucrécio era inválido. Vamos usar o método repetidamente, e introduziremos
versões mais precisas a medida que progredirmos.
Quais métodos estãodispońıveis para nós para demonstrar que uma de-
terminada proposição é uma consequência lógica de algumas premissas? Aqui,
a noção chave é a de uma prova. A prova é uma demonstração passo-a-passo prova
que uma conclusão (digamos S) é resultado de algumas premissas (digamos
P,Q,R). A maneira como uma prova funciona é através da criação de uma
série de conclusões intermediárias, cada uma das quais é uma consequência
óbvia das premissas originais e das conclusões intermediárias previamente es-
tabelecidas. A prova termina quando finalmente estabelecemos S como um
consequência óbvia das premissas originais e das conclusões intermediárias.
Por exemplo, pode ser óbvio que S1 é um resultado de P,Q,R. E de todas
essas, incluindo S1, pode ser óbvio que temos S2 como resultado. Finalmente,
a partir de todas estas juntas, poderemos ser capazes de chegar à nossa con-
clusão desejada S. Se os nossos passos individuais estão corretos, então a prova
demonstra que S é de fato uma consequência de P,Q,R. Afinal, se as premis-
sas são verdadeiras, então as nossas conclusões intermediárias devem ser ver-
dadeiras também. E, nesse caso, a nossa conclusão final deve ser verdadeira,
também.
Considere um exemplo simples e concreto. Suponha que nós queremos
demonstrar que Socrates, se preocupa com a morte de vez em quando é uma
consequência lógica das quatro premissas Sócrates é um homem, Todos os
homens são mortais, Nenhum mortal vive para sempre e Todo mundo que
Seção 2.2
52 / A Lógica de Sentenças Atômicas
vai, finalmente, morrer se preocupa com isso de vez em quando. A prova
desta conclusão pode passar pelos seguintes passos intermediários. Primeiro,
notamos que a partir das duas primeiras premissas segue-se que Sócrates é
mortal. A partir desta conclusão intermediária e da terceira premissa (que
nenhum mortal vive para sempre), segue-se que Sócrates morrerá. Mas isto,
juntamente com a quarta premissa, dá-nos a conclusão desejada, que Sócrates
se preocupa com a morte de vez em quando.
A propósito, quando dizemos que S é uma consequência lógica das premis-
sas P,Q, . . . , não insistimos que cada uma das premissas realmente desempe-
nhe um papel essencial. Assim, por exemplo, se S é uma consequência lógica
de P, então ela também é uma consequência lógica de P e Q. Isso é resultado
imediato da definição de consequência lógica, mas tem um corolário para a
nossa noção de prova: Nós não insistimos que cada uma das premissas em
uma prova sejam, de fato, utilizadas na prova.
A prova de que S é resultado das premissas P1, . . . ,Pn pode ser bastante
longa e complicada. Mas cada passo na prova deve, supostamente, fornecer
provas absolutamente irrefutáveis que a conclusão intermediária é resultado
de coisas já estabelecidas. Aqui, as normas dos lógicos acerca do rigor são ex-demanda de rigor
tremas. Não é suficiente demonstrar que cada passo de uma prova pretendida
é, quase certamente, resultado das que vieram antes. Isso pode ser bom o
suficiente na nossa vida cotidiana, mas não é bom o suficiente se o nosso ob-
jetivo é demonstrar que S deve ser verdadeira dado que P1, . . . ,Pn são todas
verdadeiras.
Há uma razão prática para essa demanda de rigor. Na vida comum, fre-
quentemente raciocinamos de uma forma gradual, passo a passo, sem exigir
certeza absoluta a cada passo. Para a maioria dos objetivos, isto é bom, uma
vez que nossas “provas” cotidianas geralmente passam apenas por uma série
pequena de conclusões intermediárias. Mas, em muitos tipos de racioćınio,
este não é o caso.
Pense no que você fez na geometria do ensino médio. Primeiro você começou
com um pequeno número de axiomas que declararam as premissas básicas da
geometria euclidiana. Você, então, começou a provar conclusões, chamadas
teoremas, a partir desses axiomas. Quando você passou a provar teoremas
mais interessantes, suas provas citaram teoremas anteriores. Estes teoremas
anteriores foram tratados como conclusões intermediárias para justificar os
novos resultados. O que isto significa é que as provas completas dos teore-
mas posteriores incluem realmente as provas dos teoremas anteriores que elas
pressupõem. Assim, se elas fossem escritas na ı́ntegra, elas conteriam cente-
nas ou talvez milhares de passos. Agora suponha que apenas insistimos que
cada passo apresentasse uma probabilidade de 0, 99 de que a conclusão é re-
Caṕıtulo 2
Métodos de prova / 53
sultado das premissas. Cada passo de tal prova seria uma boa aposta, mas
dada uma prova longa o suficiente, a prova teria praticamente nenhum peso
sobre a verdade da conclusão.
Essa exigência de certeza torna-se ainda mais importante em provas feitas
por computadores. Hoje em dia, os teoremas às vezes são provados por com-
putadores, e as provas podem ter milhões de passos. Se permitirmos a menor
incerteza nos passos individuais, então esta incerteza se multiplicaria até a
suposta “prova” tornar a verdade da conclusão não mais provável do que sua
falsidade.
Cada vez que introduzirmos novos tipos de expressões em nossa linguagem,
vamos discutir novos métodos de prova suportados por essas expressões. Come- métodos de prova
çamos a discutir os principais métodos informais de prova utilizados em mate-
mática, ciências e na vida cotidiana, enfatizando os métodos mais importantes,
como prova indireta e prova condicional. Após essa discussão, vamos “for-
malizar” os métodos incorporando-os ao que chamamos de sistema formal de sistemas formais
dedução. Um sistema formal de dedução utiliza um conjunto fixo de regras
especificando o que é um passo aceitável em uma prova.
A diferença entre uma prova informal e uma prova formal não é o rigor, mas
o estilo. Uma prova informal, do tipo usado pelos matemáticos é tão rigorosa provas informais
quanto uma prova formal. Mas é declarada em Português e geralmente é
mais descompromissada, deixando de fora os passos mais óbvios. Por exemplo,
podemos apresentar o nosso argumento anterior sobre Sócrates, na forma da
seguinte prova informal:
Prova: Como Sócrates é um homem e todos os homens são mortais,
segue-se que Sócrates é mortal. Mas todos os mortais acabarão mor-
rendo, que é o que significa ser mortal. Assim, Sócrates finalmente
morrerá. Mas sabemos que todos os que acabarão morrendo se pre-
ocupam com isso de vez em quando. Por isso, Sócrates se preocupa
com a morte de vez em quando.
A prova formal, por outro lado, utiliza um estoque fixo de regras e um provas formais
método altamente estilizado de apresentação. Por exemplo, o argumento sim-
ples de Cube(c) e c = b para Cube(b) discutido na última seção, em nosso
sistema formal, tem a seguinte forma:
1. Cube(c)
2. c = b
3. Cube(b) = Elim: 1, 2
Como você pode ver, usamos uma extensão do formato Fitch como uma
Seção 2.2
54 / A Lógica de Sentenças Atômicas
maneira de apresentar provas formais. A principal diferença é que um prova
formal geralmente têm mais de um passo após a barra Fitch (embora não
neste exemplo), e cada um desses passos será justificado citando uma regra
do sistema formal. Nós vamos explicar mais tarde as várias convenções usadas
em provas formais.
Ao longo deste livro, você vai aprender a dar tanto provas informais comoprovas formais vs.
provas informais provas formais. Não queremos dar a impressão de que provas formais são de
alguma maneira melhor do que provas informais. Pelo contrário, para fins de
provar coisas para nós mesmos, ou comunicar provas para outros, métodos
informais são geralmente prefeŕıveis. Provas formais tornam-se muito úteis de
duas maneiras. Uma delas é que elas exibem a estrutura lógica de uma prova
de uma forma que pode ser verificada mecanicamente. Isto é vantajoso se você
é um professor de lógica corrigindo várias lições de casa, um computador,ou
se não estiver disposto a pensar por alguma outra razão. A outra é que elas nos
permitem provar coisas sobre a própria capacidade de demonstração e prova
lógica, como os Teoremas de Completude e Incompletude de Gödel, discutido
na seção final do livro.
Lembre-se
1. A prova de uma declaração S a partir de premissas P1, . . . ,Pn é uma
demonstração passo a passo que mostra que S deve ser verdadeira
em qualquer circunstância em que as premissas P1, . . . ,Pn são todas
verdadeiras.
2. Provas formais e informais diferem em estilo, não em rigor.
Provas envolvendo o śımbolo de identidade
Nós já vimos um exemplo de um método de prova importante. Se pudermos
provar, seja quais forem as nossas premissas, que b = c, então nós sabemos
que tudo o que é verdadeiro a partir de b é também verdadeiro a partir de
c. Afinal, b é c. Em filosofia, esta simples observação, algumas vezes recebe o
nome extravagante de indiscernibilidade dos idênticos e, algumas vezes, peloindiscernibilidade dos
idênticos nome menos pretensioso de substituição. Shakespeare, sem dúvida, teve este
prinćıpio em mente quando escreveu “Uma rosa, com outro nome, cheiraria
tão doce quanto ela mesma.”
Chamaremos a regra formal correspondente a este prinćıpio Eliminação deeliminação de
identidade Identidade, abreviado = Elim. A razão para isto é que uma aplicação desta
Caṕıtulo 2
Métodos de prova / 55
regra “elimina” uma utilização do śımbolo de identidade quando nos movemos
das premissas do argumento para a sua conclusão. Teremos outra regra que
introduz o śımbolo de identidade.
O prinćıpio da eliminação de identidade é utilizado repetidamente em
matemática. Por exemplo, a seguinte derivação utiliza o prinćıpio, em con-
junto com a identidade algébrica bem conhecida x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1):
x2 > x2 − 1
então
x2 > (x− 1)(x+ 1)
Estamos todos familiarizados com o racioćınio que usa repetidamente tais
substituições.
Outro prinćıpio, tão simples que muitas vezes o ignoramos, é o chamado
reflexividade da identidade. A regra formal correspondente a ele é chamada reflexividade da
identidade ou a
introdução de
identidade
Introdução de Identidade, ou = Intro, uma vez que nos permite introduzir
declarações de identidade em provas. Ela nos diz que qualquer sentença da
forma a = a pode ser validamente inferida a partir de qualquer premissa, ou
de absolutamente nenhuma premissa. Isto é por causa da suposição feita em
fol que os nomes referem-se sempre a um, e apenas um, objeto. Isso não é
verdade no Português, como vimos antes. Mas é em fol, o que significa que
em uma prova você sempre pode tomar qualquer nome a que está em uso e
afirmar a = a, se isto serve ao seu propósito por alguma razão. (Para falar a
verdade, raramente é de muita utilidade.) Gertrude Stein estava certamente
referindo-se a este prinćıpio quando ela observou “Uma rosa é uma rosa é uma
rosa.”
Outro prinćıpio, um pouco mais útil, é o de simetria da identidade. Ele per- simetria da identidade
mite concluir b = a a partir de a = b. Na verdade, se quiséssemos, podeŕıamos
derivar isso como uma consequência de nossos dois primeiros prinćıpios, através
da seguinte prova.
Prova: Suponha que a = b. Sabemos que a = a, pela reflexividade
da identidade. Agora substitua o primeiro uso do nome a em a = a
pelo nome b usando a indiscernibilidade dos idênticos. Nós chegamos
a b = a, como desejado.
O parágrafo anterior é outro exemplo de uma prova informal. Em uma
prova informal, muitas vezes começamos afirmando as premissas ou suposições
da prova e, em seguida, explicamos passo a passo como nós podemos chegar à
conclusão desejada a partir dessas suposições. Não há nenhuma regra estrita
sobre quão detalhada a explicação precisa ser. Isto depende da sofisticação
Seção 2.2
56 / A Lógica de Sentenças Atômicas
do público-alvo para a prova. Mas cada passo deve ser redigido em Português
claro e ineqúıvoco, e a validade do passo deve ser aparente. Na próxima seção,
vamos ver como formalizar a prova acima.
Um terceiro prinćıpio sobre a identidade que vale a pena ressaltar é a
chamada transitividade. Se a = b e b = c são ambas verdadeiras, então a = ctransitividade da
identidade também é. Isto é tão óbvio que não há nenhuma necessidade especial para
prová-la, mas pode ser provado usando a indiscernibilidade dos idênticos.
(Veja o Exerćıcio 2.5.)
Se você estiver usando uma linguagem que contém śımbolos de função
(introduzidas na Seção opcional 1.5), os prinćıpios da identidade que já discu-
timos também são válidos para termos complexos constrúıdos usando śımbolos
de função. Por exemplo, se você sabe que Feliz(john) e john = pai(max), você
pode usar a eliminação de identidade para concluir Feliz(pai(max)), embora
pai(max) seja um termo complexo, não um nome. De fato, no exemplo em que
nós substitúımos (x−1)(x+1) por x2−1 também se aplica a indiscernibilidade
dos idênticos aos termos complexos.
Lembre-se
Existem quatro prinćıpios importantes que são mantidos pela relação de
identidade:
1. = Elim: Se b = c, então o que quer que seja válido para b tem que ser
válido para c. Isso também é conhecido como a indiscernibilidade
dos idênticos.
2. = Intro: Sentenças da forma b = b são sempre verdadeiras (em fol).
Isso também é conhecido como a reflexividade da identidade.
3. Simetria da Identidade: Se b = c, então c = b.
4. Transitividade da Identidade: Se a = b e b = c, então a = c.
Os dois últimos prinćıpios são resultados dos dois primeiros.
Provas envolvendo outros predicados e relações
Às vezes haverá dependências lógicas entre os śımbolos de predicados em uma
linguagem de primeira ordem, dependências semelhantes às que acabamos de
discutir envolvendo o śımbolo de identidade. Este é o caso, por exemplo, na
linguagem de blocos. Quando for assim, as provas podem precisar explorar
tais relações. Por exemplo, a sentença Larger(a, c) é uma consequência de
Caṕıtulo 2
Métodos de prova / 57
Larger(a, b) e Larger(b, c). Isto é porque a relação maior que, como a relação outras relações
transitivasde identidade, é transitiva. É por isso que qualquer mundo em que as duas
últimas sentenças são verdadeiras também será um mundo em que a primeira
é verdadeira. Exemplos semelhantes são dados nos problemas.
Outro exemplo deste tipo que é usado com frequência em matemática
envolve a transitividade da relação menor que. Você frequentemente encontra
provas escritas da seguinte forma:
k1 < k2
k2 < k3
k3 < k4
então
k1 < k4
Esta prova contém dois usos impĺıcitos da transitividade de <.
Não há nenhuma maneira de catalogar todas as inferências leǵıtimas en-
volvendo śımbolos de predicados e relações em todas as linguagens com as
quais podeŕıamos ter a oportunidade de lidar. Mas o exemplo da identidade
dá-nos algumas coisas para procurar. Muitas relações, além da identidade são
transitivas: maior que e menor que são apenas dois exemplos. E muitas são relações reflexivas e
simétricasreflexivas e/ou simétricas: ser do mesmo tamanho de e estar na mesma linha
de são ambas. Mas você vai lidar com outras dependências lógicas que não
se encaixam nestes cabeçalhos. Por exemplo, podem dizer-lhe que b é maior
que c e você pode querer inferir que c é menor que b. Isto é porque maior
que a e menor que é o que é conhecido como “inversas”: elas referem-se a relações inversas
mesma relação, mas apontam, por assim dizer, em direções opostas. Normal-
mente, você não terá problemas para encontrar as dependências lógicas entre
os predicados, mas ao fazer uma prova, é preciso explicitar as que você está
adotando.
Vejamos um exemplo final, antes de tentar fazer alguns exerćıcios. Suponha
que nos pediram para dar uma prova informal do seguinte argumento:
RightOf(b, c)
LeftOf(d,e)
b = d
LeftOf(c, e)
Nossa prova informal pode ser executada da seguinte forma:
Prova: Somos informados de que b está à direita de c. Então c deve
estar à esquerda de b, uma vez que direita e esquerda são inversas uma
Seção 2.2
58 / A Lógica de Sentenças Atômicas
da outra. Visto que b = d, c está à esquerda de d, pela indiscernibi-
lidade dos idênticos. Mas também é dito que d está à esquerda de e
e, consequentemente c está à esquerda de e, pela transitividade de
esquerda. Esta é a nossa conclusão desejada.
Exerćıcios
2.5
�
(Transitividade da identidade) Dê uma
prova informal do seguinte argumento
usando apenas a indiscernibilidade dos
idênticos. Certifique-se de que você diz
que nome está sendo substitúıdo por
qual, e em qual sentença.
b = c
a = b
a = c
2.6
�
Dê uma prova informal que o seguinte
argumento é válido. Se você provou
a transitividade da identidade, fazendo
exerćıcio 2.5, você pode usar este
prinćıpio, caso contrário, use apenas a
indiscernibilidade dos idênticos.
SameRow(a, a)
a = b
b = c
SameRow(c, a)
2.7
�
Considere as seguintes sentenças
1. Max e Claire não são parentes.
2. Nancy é a mãe de Max.
3. Nancy não é a mãe de Claire.
(3) é resultado de (1) e (2)? (2) é resultado de (1) e (3)? (1) é resultado de (2) e (3)? Em cada
caso, se sua resposta for não, descreva uma posśıvel circunstância em que as premissas sejam
verdadeiras e a conclusão seja falsa.
Dado os significados dos predicados atômicos da linguagem de blocos, avalie os seguintes argumentos de
validade. (Você pode voltar a supor quaisquer fatos gerais sobre os mundos que podem ser constrúıdos
em Tarski’s World.) Se o argumento for válido, dê uma prova informal de sua validade e entregue em
papel para o seu instrutor. Se a conclusão não é uma consequência das premissas, submeta um mundo
em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.
2.8
�|�
Large(a)
Larger(a, c)
Small(c)
2.9
�|�
LeftOf(a, b)
b = c
RightOf(c, a)
2.10
�|�
SameSize(b, c)
SameShape(b, c)
b = c
Caṕıtulo 2
Provas formais / 59
2.11
�|�
LeftOf(a, b)
RightOf(c, a)
LeftOf(b, c)
2.12
�|�
BackOf(a, b)
FrontOf(a, c)
FrontOf(b, c)
2.13
�|�
SameSize(a, b)
Larger(a, c)
Smaller(d, c)
Smaller(d, b)
2.14
�|�
Between(b, a, c)
LeftOf(a, c)
LeftOf(a, b)
Seção 2.3
Provas formais
Nesta seção, começaremos a introduzir o nosso sistema para a apresentação
de provas formais, o que é conhecido como um “sistema dedutivo.” Existem sistemas dedutivos
muitos estilos diferentes de sistemas dedutivos. O sistema que apresentamos
nas duas primeiras partes do livro, o qual chamaremos F , é um sistema “es- o sistema F
tilo Fitch”, chamado desta forma porque Frederic Fitch introduziu este for-
mato de dar provas pela primeira vez. Vamos apresentar um sistema dedutivo
muito diferente na parte III, conhecido como método de resolução, que é de
importância considerável em ciência da computação.
No sistema F , uma prova de uma conclusão S a partir de premissas P, Q
e R, se parece muito com um argumento apresentado em formato Fitch. A
principal diferença é que a prova apresenta, em adição à conclusão S, todas
as conclusões intermediárias S1, . . . , Sn que derivamos das premissas até a
conclusão S:
P
Q
R
S1 Justificativa 1
...
...
Sn Justificativa n
S Justificativa n+1
Há dois dispositivos gráficos para observarmos aqui, as linhas verticais e
horizontais. A linha vertical que fica do lado esquerdo dos passos da prova
Seção 2.3
60 / A Lógica de Sentenças Atômicas
chama a atenção para o fato de que temos uma única prova pretendida que
consiste numa sequência de vários passos. A barra Fitch horizontal indica a
divisão entre as proposições que são supostas e aquelas que presumidamente
são resultados delas. Assim, o fato de P, Q, e R estarem acima da barra
mostra que estas são as premissas da nossa prova, enquanto que o fato de
que S1, . . . , Sn, e S estarem abaixo da barra mostra que essas sentenças devem
logicamente ser resultados das premissas.
Observe que à direita de cada passo abaixo da barra Fitch, damos um
justificativa do passo. No nosso sistema dedutivo, uma justificativa indica qualjustificativa
regra nos permite dar o passo, e a que passos anteriores (se houver) a regra é
aplicada. Ao darmos uma prova formal real, vamos numerar os passos, para
que possamos nos referir a eles em justificativas de passos posteriores.
Já demos um exemplo de uma prova formal no sistema F , na página 53.
Como outro exemplo, aqui está uma formalização da nossa prova informal da
simetria da identidade.
1. a = b
2. a = a = Intro
3. b = a = Elim: 2, 1
Na margem direita desta prova você encontra uma justificativa para cada
passo abaixo da barra Fitch. Estas são aplicações de regras que estamos prestes
a apresentar. Os números na direita do passo 3 mostram que este passo é
resultado dos passos 1 e 2 por meio da regra citada.
A primeira regra que usamos na prova acima é a Introdução de Identi-= Intro
dade. Esta regra permite introduzir, para qualquer nome (ou termo complexo)
n em uso na prova, a afirmação n = n. Você pode fazer isso em qualquer passo
na prova, e não precisa citar passos anteriores como justificativa. Nós vamos
abreviar nossa declaração dessa regra da seguinte forma:
Introdução de Identidade (= Intro):
� n = n
Nós utilizamos um dispositivo gráfico adicional ao declararmos esta regra.
Este é o śımbolo � . Vamos usá-lo ao declararmos regras para indicar qual o
passo que está sendo autorizado pela regra. Neste exemplo existe apenas um
passo mencionado na regra, mas em outros exemplos haverá vários passos.
A segunda regra de F é a Eliminação de Identidade. Ela nos diz que,= Elim
se provamos uma sentença contendo n (que indicamos escrevendo P(n)) e
Caṕıtulo 2
Provas formais / 61
uma sentença da forma n = m, então estamos justificados em afirmar qual-
quer sentença que resulte a partir de P(n), substituindo algumas ou todas as
ocorrências de n por m.
Eliminação de Identidade (= Elim):
P(n)
...
n = m
...
� P(m)
Quando aplicamos essa regra, não importa qual entre P(n) e n = m ocorre
em primeiro lugar na prova, contanto que ambos apareçam antes de P(m), o
passo inferido. Ao justificar o passo, citamos o nome da regra, seguido pelos
passos em que P(n) e n = m ocorrem, nessa ordem.
Também podeŕıamos introduzir regras justificadas pelos significados de
outros predicados, além de = no sistema F . Por exemplo, podeŕıamos intro-
duzir uma regra formal do seguinte tipo:
Bidirecionalidade do Between:
Between(a, b, c)
...
� Between(a, c, b)
Nós não fazemos isso porque há regras demais como esta. Podeŕıamos indicá-
las para alguns predicados, mas certamente não para todos os predicados que
você vai encontrar em linguagens de primeira ordem.
Existe uma regra que não é tecnicamente necessária, mas que fará com que Reiteração
algumas provas pareçam mais naturais. Esta regra é chamada Reiteração, e
simplesmente permite que você repita um passo anterior, se assim o desejar.
Reiteração (Reit):
P
...
� P
Seção 2.3
62 / A Lógica de Sentenças Atômicas
Para usar a regra de Reiteração, basta repetir a sentença em questão, e, à
direita, escrever “Reit: x,” onde x é o número da ocorrência anterior da
sentença.
Obviamente, Reiteração é uma regra válida de inferência, uma vez que
qualquer sentença é uma consequência lógica de si mesma. A razão para ter
a regra ficará clara à medida que as provas no sistema F se tornarem mais
complicadas. Por enquanto, vamos apenas dizer que ela é como comentar,
durante uma prova informal, “já mostramos que P.” Isso é muitas vezes um
lembrete útil para a pessoa que está lendo a prova.
Agora que temos as três primeiras regras de F , vamos tentar construir
uma prova formal. Suponha que nos solicitarama prova de SameRow(b, a) a
partir das premissas SameRow(a, a) e b = a. Podeŕıamos começar escrevendo
as premissas e a conclusão, deixando espaço entre elas para preencher os passos
intermediários da nossa prova.
1. SameRow(a, a)
2. b = a
...
?. SameRow(b, a)
Pode parecer à primeira vista que esta prova deveria ter um passo apenas
com a aplicação de = Elim. Mas note que da forma como esta regra está
declarada, ela exige a substituição do primeiro nome na sentença de identi-
dade, b, pelo segundo, a, mas queremos a substituição contrária. Por isso,
precisamos derivar a = b como uma conclusão intermediária antes que pos-
samos aplicar = Elim.
1. SameRow(a, a)
2. b = a
...
?. a = b
?. SameRow(b, a) = Elim: 1, ?
Como já vimos como provar a simetria da identidade, podemos agora
preencher todos os passos da prova. A prova final se parece com o que apre-
sentamos a seguir. Tenha certeza de que você entende o porquê de todos os
passos estarem lá e como chegamos a eles.
Caṕıtulo 2
Constrúındo provas em Fitch / 63
1. SameRow(a, a)
2. b = a
3. b = b = Intro
4. a = b = Elim: 3, 2
5. SameRow(b, a) = Elim: 1, 4
Seção 2.4
Constrúındo provas em Fitch
Escrever uma prova formal longa em detalhes, bem como a ler ou a verificar,
pode ser algo muito tedioso. O sistema F torna isso menos doloroso do que
muitos sistemas formais, mas ainda não é fácil. Este livro vem com um segundo
programa, Fitch, que faz com que a construção de provas formais seja menos programa Fitch
dolorosa. Fitch também pode verificar a sua prova, dizendo se ela está correta,
e se não estiver, que passo ou passos estão errados. Isto significa que você nunca
vai ter a menor dúvida sobre se suas provas formais satisfazem a norma de
rigor exigida delas. E, na prática, você pode ter certeza de que estão corretas
antes de enviá-las.
Há também outras maneiras em que Fitch torna a vida mais simples. Uma
delas é que Fitch é mais flex́ıvel do que o sistema F . Ele permite que você tome Fitch vs. F
certos atalhos que são logicamente corretos, mas não são, a rigor, abrangidos
pelas regras de F . Você sempre pode voltar e expandir uma prova em Fitch
para uma prova F formalmente correta, mas muitas vezes, não vamos insistir
nisso.
Vamos agora usar Fitch para construir uma prova formal simples. Antes
de continuarmos, você desejará ler as primeiras seções no manual do caṕıtulo
sobre como usar Fitch.
Tente você mesmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�1. Vamos usar Fitch para construir a prova formal de SameRow(b, a) a partir
das premissas SameRow(a, a) e b = a. Inicie Fitch e abra o arquivo Identity
1. Aqui temos o ińıcio da prova formal. As premissas aparecem acima da
barra Fitch. Pode parecer ligeiramente diferente das provas que temos no
livro, uma vez que em Fitch os passos não têm que ser numerados, por
razões que vamos descobrir em breve. Se você quiser ter passos numerados,
Seção 2.4
64 / A Lógica de Sentenças Atômicas
você pode escolher Show Step Numbers (Exibir Números de Passos)
do menu Proof (Prova). Mas não tente fazer isso ainda.
� 2. Antes de começarmos a construir a prova, observemos que na parte inferior
da janela de prova há um painel separado chamado de “painel de objetivo,”
contendo o objetivo da prova. Neste caso, o objetivo é provar a sentença
SameRow(b, a). Se satisfizermos este objetivo com sucesso, seremos capazes
de fazer Fitch colocar uma marca de confirmação à direita do objetivo.
� 3. Vamos construir a prova. O que precisamos fazer é preencher os pas-
sos necessários para completar a prova, assim como fizemos no final da
última seção. Adicione um novo passo à prova, escolhendo Add Step Af-
ter (Adicionar Passo Após) no menu Proof. No novo passo, insira a
sentença a = b, ou digitando-a ou utilizando a barra de ferramentas na
parte superior da janela de prova. Vamos primeiro usar esse passo para
chegarmos à nossa conclusão e, em seguida, vamos voltar e provar este
passo.
� 4. Depois de ter introduzido a = b, adicione mais um passo abaixo deste e
digite a sentença objetivo SameRow(b, a). Use o mouse para clicar sobre
a palavra Rule? (Regra?) que aparece à direita de SameRow(b, a). No
menu que aparece, vá para as Regras de Eliminação e selecione =. Se você
fez isso corretamente, o nome da regra deve agora dizer = Elim. Se não,
tente novamente.
� 5. Em seguida cite a primeira premissa e a sentença intermediária que você
inseriu primeiro. Você faz isso em Fitch clicando nas duas sentenças, em
qualquer ordem. Se você clicar sobre a sentença errada, basta clicar nova-
mente e ela será desmarcada. Depois de ter as sentenças corretas citadas,
escolhaVerify Proof (Verifique Prova) no menu Proof. O último passo
agora deve conferir, visto que é uma instância válida de = Elim. O passo
contendo a = b não é conferido, uma vez que ainda não indicamos do que
ele é resultado. O objetivo também não é conferido, uma vez que ainda
não temos uma prova completa de SameRow(b, a). Tudo a seu tempo.
� 6. Agora adicione um passo antes do primeiro passo introduzido (o que
contém a = b) e digite a sentença b = b. Faça isso movendo o cursor de foco
(o triângulo na margem esquerda) para o passo que contém a = b e esco-
lhendo Add Step Before (Adicionar Passo Antes) no menu Proof.
(Se o novo passo aparecer no lugar errado, escolha Delete Step (Excluir
Passo) no menu Proof.) Digite a sentença b = b e a justifique usando a
regra = Intro. Confira o passo.
Caṕıtulo 2
Constrúındo provas em Fitch / 65
�7. Por fim, justifique o passo que contém a = b, utilizando a regra = Elim.
Você terá que mover o cursor de foco para este passo, e em seguida, citar
a segunda premissa e sentença b = b. Agora, toda a prova, incluindo o
objetivo, deve ser conferida. Para descobrir se isso acontece, escolhaVerify
Proof do menu Proof. A prova deverá ser parecida com a prova conclúıda
na página 62, exceto pela ausência de números nos passos. (Experimente
agora Show Step Numbers no menu Proof. O destaque dos passos de
suporte irão desaparecer e os números aparecerão, assim como no livro.)
�8. Mencionamos anteriormente que Fitch permite que você tome alguns ata-
lhos, permitindo-lhe fazer coisas em um passo que levaria vários passos se
você aderir estritamente ao F . Esta prova é um exemplo disso. Nós cons-
trúımos uma prova que está inclúıda em F , mas Fitch tem simetria da
identidade inclúıda em = Elim. Assim nós podeŕıamos provar a conclusão
diretamente das duas premissas, utilizando uma única aplicação da regra
= Elim. Faremos isso agora.
�9. Adicione mais um passo no final de sua prova. Aqui está um truque que
você vai achar útil: Clique sobre a sentença objetivo na parte inferior da
janela. Isso coloca o foco na sentença objetivo. Escolha Copy (Copiar)
no menu Edit (Editar) e em seguida, clique novamente no passo vazio
no final da sua prova. Escolha Paste (Colar) a partir do menu Edit e
a sentença objetivo será inserida neste passo. Desta vez, justifique o novo
passo usando = Elim e citando apenas as duas premissas. Você verá que
o passo confere.
�10. Salve sua prova como Proof Identity 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabéns
Visto que o sistema de prova F não possui regras para predicados atômicos
diferentes da identidade, o Fitch também não possui. No entanto, Fitch tem
um mecanismo que, entre outras coisas, permite que você verifique se há con-
sequências entre sentenças atômicas que envolvem muitos dos predicados na
linguagem do mundo dos blocos.1 Esta é uma regra que chamamos de Con-
sequência Anaĺıtica ou Ana Con para abreviar. Ana Con não é restrita Consequência Anaĺıtica
a sentenças atômicas, mas essa é a única aplicaçãoda regra que iremos dis-
cutir neste momento. Esta regra permite que você cite algumas sentenças em
suporte a uma proposição, se qualquer mundo que fizer com que as sentenças
1Este mecanismo não lida com os predicados Adjoins e Between, devido à complexidade
das formas em que os significados destes predicados interagem com os outros.
Seção 2.4
66 / A Lógica de Sentenças Atômicas
citadas sejam verdadeiras também fizer com que a conclusão seja verdadeira,
dado o significado dos predicados como utilizados em Tarski’s World . Vamos
ter uma noção inicial da regra Ana Con com alguns exemplos.
Tente você mesmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� 1. Use Fitch para abrir o arquivo Ana Con 1. Neste arquivo você vai encontrar
nove premissas seguidas por seis conclusões que são consequências destas
premissas. De fato, cada uma das conclusões são consequências de três ou
menos premissas.
� 2. Posicione o cursor de foco (o pequeno triângulo) na primeira conclusão
após a barra Fitch, SameShape(c, b). Invocamos a regra Ana Con mas
não citamos nenhuma sentença. Esta conclusão é consequência de Cube(b)
e Cube(c). Cite as sentenças e verifique o passo.
� 3. Agora, mova o cursor de foco para o passo que contém SameRow(b, a).
Visto que a relação de estar na mesma fileira é simétrica e transitiva, esta
é resultado de SameRow(b, c) e SameRow(a, c). Cite essas duas sentenças
e confira o passo.
� 4. A terceira conclusão, BackOf(e, c), é consequência de três das premissas.
Veja se você pode encontrá-las. Cite-as. Se você errar, Fitch te dará um X
quando você tentar conferir o passo.
� 5. Agora preencha as citações necessárias para fazer a quarta e a quinta
conclusões conferirem. Para estas, você terá que invocar a regra Ana Con
sozinho. (Você vai encontrar a regra no submenu Con do popup Rule?.)
Lembre-se, você só pode citar as premissas, não as conclusões anteriores.
� 6. A conclusão final, SameCol(b, b), não exige que qualquer premissa seja
citada como suporte. É simplesmente uma verdade anaĺıtica, isto é, ver-
dadeira em virtude do seu significado. Especifique a regra e confira este
passo.
� 7. Quando você tiver terminado, escolha Verify Proof para ver que todos
os objetivos conferem. Salve seu trabalho como Proof Ana Con 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabéns
O mecanismo Ana Con não é realmente uma regra, tecnicamente fa-regras vs. mecanismos
Con lando, embora nós vamos continuar a chamá-lo assim, uma vez que aparece
no menu Rule? em Fitch. Este mecanismo, juntamente com os outros dois
que aparecem no submenu Con, aplica procedimentos complicados para ver
Caṕıtulo 2
Constrúındo provas em Fitch / 67
se a sentença em questão decorre das sentenças citadas. Como explicaremos
mais tarde, esses três itens tentam encontrar provas da sentença em questão
“nos bastidores”, e, em seguida, retornam uma marca de confirmação se con-
seguirem. A prova que encontram pode, de fato, aplicar muitas e muitas regras
diferentes para chegarem à sentença alvo a partir dos passos citados.
A principal diferença que você vai encontrar entre as regras originais em
Fitch e os mecanismos que aparecem no menu Con é que as “regras” do
último, às vezes, falham, mesmo que seu passo esteja realmente correto. Com
as regras originais, Fitch vai sempre dar ao seu passo ou uma marca de con-
firmação ou um X, dependendo se a regra for aplicada corretamente. Mas com
os mecanismos Con, Fitch às vezes tentará encontrar uma prova da sentença
alvo, mas falhará. Nestes casos, Fitch vai dar ao passo uma interrogação, em
vez de uma marca de confirmação ou um X, visto que pode haver uma prova
complicada que ele simplesmente não conseguiu encontrar.
Para marcar a diferença entre as regras genúınas de F e os três mecanismos
de consequência, Fitch exibe os nomes de regras em verde e os mecanismos
de consequência em azul. Muitas vezes iremos pedir a você para não usá-los
ao dar soluções às lições de casa porque os mecanismos Con procuram uma
prova nos bastidores. Afinal de contas, o ponto não é fazer com que Fitch faça
a sua lição de casa para você! Nos problemas a seguir, você deve utilizar a
Ana Con apenas se dissermos explicitamente que você pode. Para ver se um
problema permite que você use qualquer dos mecanismos Con, clique duas
vezes sobre o objetivo ou escolha View Goal Constraints (Ver Restrições
do Objetivo) no menu Goal (Objetivo).
Lembre-se
O sistema dedutivo que você estará aprendendo é um sistema dedutivo
estilo Fitch, chamado F . O programa que ajuda você na construção de
provas em F é, portanto, chamado de Fitch. Se você escrever suas provas
em papel, você está usando o sistema F , mas não o programa Fitch.
Exerćıcios
2.15
�
Se você pulou as seções Tente você mesmo, volte e as faça agora. Submeta os arquivos Proof
Identity 1 e Proof Ana Con 1.
Seção 2.4
68 / A Lógica de Sentenças Atômicas
2.16
�
Use Fitch para dar uma versão formal da prova informal que você deu no Exerćıcio 2.5. Lembre-
se, você vai encontrar a configuração do problema no arquivo Exercise 2.16. Você deveria
começar sua prova a partir deste arquivo salvo. Salve a sua prova conclúıda como Proof 2.16.
Nos exerćıcios a seguir, use Fitch para construir uma prova formal de que a conclusão é uma con-
sequência das premissas. Lembre-se, comece a sua prova, abrindo o arquivo correspondente, Exercise 2.x,
e salve a sua solução como Proof 2.x. Vamos parar de lembrá-lo.
2.17
�
SameCol(a, b)
b = c
c = d
SameCol(a, d)
2.18
�
Between(a, d, b)
a = c
e = b
Between(c, d, e)
2.19
�
Smaller(a, b)
Smaller(b, c)
Smaller(a, c)
Você vai precisar usar Ana Con nesta
prova. Esta prova mostra que o predi-
cado Smaller na linguagem dos blocos é
transitivo.
2.20
�
RightOf(b, c)
LeftOf(d, e)
b = d
LeftOf(c, e)
Faça a sua prova paralelamente à prova
informal que demos na página 57, u-
sando uma regra de identidade e Ana
Con (quando necessário).
Seção 2.5
Demonstrando Não-Consequência
Provas vêm em uma variedade de formas diferentes. Quando um matemático
prova um teorema, ou quando um promotor comprova a culpa de um réu, eles
estão mostrando que uma proposição em particular é consequência de certas
informações aceitas, as informações que eles têm como certas. Este tipo de
prova é o que chamamos de uma prova de consequência, uma prova de queprovas de
consequência um determinado pedaço de informação deve ser verdadeiro se as informações
dadas, as premissas do argumento, estão corretas.
Um tipo muito diferente, mas igualmente importante de prova é uma prova
de não-consequência. Quando um advogado de defesa mostra que o crime podeprovas de
não-consequência ter sido cometido por alguém que não seja o cliente, digamos, o mordomo, o
advogado está tentando provar que a culpa do cliente não é consequência
da evidência no caso. Quando os matemáticos mostram que o postulado das
Caṕıtulo 2
Demonstrando Não-Consequência / 69
paralelas não é uma consequência dos outros axiomas da geometria euclidiana,
eles estão fazendo a mesma coisa: eles estão mostrando que seria posśıvel que
a proposição em questão (o postulado das paralelas) fosse falsa, mesmo que
as outras informações (os axiomas restantes) fossem verdadeiras.
Nós introduzimos alguns métodos para demonstrar a validade de um ar-
gumento, para mostrar que a sua conclusão é uma consequência das suas
premissas. Voltaremos a este assunto repetidamente nos caṕıtulos a seguir,
adicionando novas ferramentas para demonstrar a consequência à medida que
adicionamos novas expressões à nossa linguagem. Nesta seção, discutiremos
o método mais importante parademonstrar não-consequência, isto é, para
demonstrar que alguma conclusão pretendida não é uma consequência das
premissas fornecidas no argumento.
Recorde-se que consequência lógica foi definida em termos da validade
de argumentos. Um argumento é válido se todas as circunstâncias posśıveis
que fazem as premissas do argumento verdadeiras também tornam a con-
clusão verdadeira. Por outro lado, o argumento é inválido se existe alguma
circunstância que faz as premissas verdadeiras, mas a conclusão falsa. Encon-
trar tal circunstância é a chave para demonstrar não-consequência.
Para mostrar que uma sentença Q não é uma consequência das premissas
P1, . . . ,Pn, devemos mostrar que o argumento com premissas P1, . . . ,Pn e
conclusão Q é inválido. Isso nos obriga a demonstrar que é posśıvel que, ao
mesmo tempo, P1, . . . ,Pn sejam verdadeiras enquanto que Q seja falsa. Ou
seja, temos de mostrar que há uma situação ou circunstância posśıvel em
que as premissas são todas verdadeiras, enquanto a conclusão é falsa. Tal
circunstância é dita ser um contraexemplo para o argumento. contraexemplo
Provas informais de não-consequência pode recorrer a várias formas en-
genhosas para mostrar a existência de um contraexemplo. Podeŕıamos sim- provas informais de
não-consequênciaplesmente descrever o que é claramente uma situação posśıvel, aquela que faz
as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Esta é a técnica utilizada pelos
advogados de defesa, os quais esperam criar uma dúvida razoável de que seu
cliente é culpado (a conclusão do promotor) apesar das evidências no caso
(premissas da promotoria). Podeŕıamos descrever tal situação em detalhes ou
construir um modelo de blocos de Lego ou argila. Podemos representar uma
situação. Tudo o que mostra claramente a existência de um contraexemplo é
uma jogada justa.
Lembre-se do seguinte argumento de um exerćıcio anterior.
Al Gore é um poĺıtico.
Dificilmente quaisquer poĺıticos são honestos.
Al Gore é desonesto.
Seção 2.5
70 / A Lógica de Sentenças Atômicas
Se as premissas deste argumento são verdadeiras, então a conclusão é provável.
Ainda assim, o argumento não é válido: a conclusão não é uma consequência
lógica das premissas. Como podemos ver isso? Bem, imagine uma situação em
que existem 10.000 poĺıticos, e que Al Gore é o único honesto deles. Em tais
circunstâncias, ambas as premissas seriam verdadeiras, mas a conclusão seria
falsa. Tal situação é um contraexemplo para o argumento, que demonstra que
o argumento é inválido.
O que acabamos de dar é uma prova informal de não-consequência. E-
xistem provas formais de não-consequência, semelhantes às provas formais de
validade constrúıdas em F? Em geral, não. Mas vamos definir a noção de
uma prova formal de não-consequência para a linguagem de blocos usada em
Tarski’s World . Estas provas formais de não-consequência são simplesmente
correspondentes estilizados de contraexemplos informais.
Para a linguagem de blocos, diremos que uma prova formal de que Qprovas formais de
não-consequência não é uma consequência de P1, . . . ,Pn consiste em um arquivo de sentença
com P1, . . . ,Pn rotuladas como premissas, Q rotulada como conclusão, e um
arquivo de mundo que faz cada um de P1, . . . ,Pn verdadeiras e Q falsa. O
mundo retratado no arquivo mundo será chamado de contraexemplos para o
argumento no arquivo de sentença.
Tente você mesmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� 1. Execute Tarski’s World e abra o arquivo de sentenças Bill’s Argument. Este
argumento afirma que Between(b, a, d) é consequência destas três premis-
sas: Between(b, c, d), Between(a, b, d), e LeftOf(a, c). Você acha que é?
� 2. Inicie um novo mundo e coloque quatro blocos, rotulados a, b, c, e d em
uma linha do tabuleiro.
� 3. Organize os blocos de modo que a conclusão seja falsa. Verifique as pre-
missas. Se alguma delas são falsas, reorganize os blocos até que elas sejam
todas verdadeiras. A conclusão ainda é falsa? Se não, continue tentando.
� 4. Se você tiver problemas, tente colocá-los na ordem d, a, b, c. Agora você vai
descobrir que todas as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa.
Este mundo é um contraexemplo para o argumento. Assim, demonstramos
que a conclusão não é consequência das premissas.
� 5. Salve seu contraexemplo como World Counterexample 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabéns
Caṕıtulo 2
Demonstrando Não-Consequência / 71
Lembre-se
Para demonstrar a invalidade de um argumento com premissas P1, . . . ,Pn
e conclusão Q, encontre um contraexemplo: uma circunstância posśıvel
que faz P1, . . . ,Pn todas verdadeiras, mas Q falsa. Tal contraexemplo
mostra que Q não é uma consequência de P1, . . . ,Pn.
Exerćıcios
2.21
�
Se você tiver pulado a seção Tente você mesmo, volte e faça-a agora. Envie o arquivo de
mundo World Counterexample 1.
2.22
�
O seguinte argumento é válido? Correto? Se for válido, dê uma prova informal dele. Se não for
válido, dê um contraexemplo informal para ele.
Todos os cientistas da computação são ricos. Qualquer um que sabe como programar
um computador é um cientista da computação. Bill Gates é rico. Portanto, Bill Gates
sabe como programar um computador.
2.23
�
O seguinte argumento é válido? Correto? Se for válido, dê uma prova informal dele. Se não for
válido, dê um contra-exemplo informal para ele.
Os filósofos têm a inteligência necessária para ser cientistas da computação. Qual-
quer um que é cientista da computação finalmente se tornará rico. Qualquer pessoa
com a inteligência necessária para ser um cientista da computação vai se tornar um.
Portanto, todo filósofo se tornará rico.
Cada um dos seguintes problemas apresenta um argumento formal na linguagem de blocos. Se o argu-
mento é válido, submeta uma prova dele usando Fitch. (Você encontrará arquivos de exerćıcios para cada
um deles no lugar habitual.) Importante: se você usar Ana Con na sua prova, cite no máximo duas
sentenças em cada aplicação. Se o argumento não é válido, submeta um mundo contraexemplo usando
Tarksi’s World.
2.24
�
Larger(b, c)
Smaller(b, d)
SameSize(d, e)
Larger(e, c)
2.25
�
FrontOf(a, b)
LeftOf(a, c)
SameCol(a, b)
FrontOf(c, b)
Seção 2.5
72 / A Lógica de Sentenças Atômicas
2.26
�
SameRow(b, c)
SameRow(a, d)
SameRow(d, f)
LeftOf(a, b)
LeftOf(f, c)
2.27
�
SameRow(b, c)
SameRow(a, d)
SameRow(d, f)
FrontOf(a, b)
FrontOf(f, c)
Seção 2.6
Notação alternativa
Muitas vezes você verá argumentos apresentados da seguinte maneira, em vez
do formato Fitch. O śımbolo ... (leia-se “portanto”) é utilizado para indicar a
conclusão:
Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
... Sócrates é mortal.
Há uma enorme variedade de sistemas dedutivos formais, cada um com
a sua própria notação. Não podemos cobrir todas estas alternativas, contudo
descrevemos uma, o método de resolução, no Caṕıtulo 17.
Caṕıtulo 2