Aula2 1 g_CalculoPrático_EstadoPermanente

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Disciplina: TEEE - Linhas de Transmissão 
 Aula 2.1.g - Modelos Elétricos e 
Operação das Linhas em Regime 
Permanente (Cálculo Prático de LT’s) 
2/24 
Introdução 
 Nos cálculos das linhas de transmissão 
procura-se, em geral, obter valores de 
tensões, correntes e potências, com erros 
inferiores a 0,5%. 
 Essa precisão estabelece, geralmente, a 
necessidade de emprego de processos mais 
ou menos exatos e, por conseguinte, mais ou 
menos trabalhosos. 
3/24 
Conceito de Regulação de uma Linha 
 Seu valor depende do regime de carga da linha 
(principalmente potência reativa transmitida), 
como também dos parâmetros elétricos das 
linhas. 
 Poderá ser positivo ou negativo (por exemplo 
nas linhas médias ou longas que operam em 
vazio, ou com carga leve). 
 Pode ser controlado atuando-se sobre o fator de 
potência da carga, ou sobre os parâmetros da 
linha. 
 
% 
U
UU100
gRe
2
21 
4/24 
Relações entre Tensões e Correntes 
[A] 
2
ee
Z
U
2
ee
II
[V] 
2
ee
ZI
2
ee
UU
LL
c
2
LL
21
LL
c2
LL
21















[A] Lsenh
Z
U
LcoshII
[V] LsenhZILcoshUU
c
2
21
c221






 YZyLzLL yz  
Em funções hiperbólicas essas equações podem ser colocadas da 
seguinte forma: 
Lembrando que: 
Portanto, YZsenhLsenh e YZcoshLcosh  
Expandindo em série: 












































!7
YZ
!5
YZ
!3
YZ
YZLsenh
!6
YZ
!4
YZ
!2
YZ
1Lcosh
753
642
[A] e
Z2
ZIU
e
Z2
ZIU
I
[V] e
2
ZIU
e
2
ZIU
U
x
c
c22x
c
c22
x
xc22xc22
x



















x=L 
 
  Y
Z
cjgL
jrL
cjg
jr
Zc 








5/24 
Relações entre Tensões e Correntes 
YZLsenh e 1Lcosh  
Para uma linha curta: apenas os primeiros termos das séries fornecem 
aproximação adequada 
[A] YZ
Y
Z
U
II
[V] YZ
Y
Z
IUU
2
21
221











[A] YUII
[V] ZIUU
221
221




R
XL 
 
U2 U1 
I2=I1 
 
I1=I2 
LjXRZ 

 I YU 22
 
[A] Lsenh
Z
U
LcoshII
[V] LsenhZILcoshUU
c
2
21
c221







[A] II
[V] ZIUU
21
221




6/24 
Relações entre Tensões e Correntes 
   
!3
YZ
YZLsenh e 
!2
YZ
1Lcosh
32



 
Para uma linha média: apenas os dois primeiros termos das séries 
fornecem aproximação adequada 
   
   
[A] 
!3
YZ
YZ
Y
Z
U
!2
YZ
1II
[V] 
!3
YZ
YZ
Y
Z
I
!2
YZ
1UU
3
2
2
21
3
2
2
21

















































[A] Lsenh
Z
U
LcoshII
[V] LsenhZILcoshUU
c
2
21
c221







Simplificando essas equações, vem: 
[A] 
6
YZ
1YU
2
YZ
1II
[V] 
6
YZ
1ZI
2
YZ
1UU
221
221












































7/24 
Circuitos Equivalentes para a Linha Média 
U1 U2
I1 I2
G B
R /2 R /2 X /2LX /2L
Equações obtidas através 
do truncamento das séries 
hiperbólicas 
Circuitos que procuram reproduzir essas equações 
Circuito Pi Circuito T 
U1 U2
I1 I2
G /2 B/2
R XL
G /2 B/2
[A] 
6
YZ
1YU
2
YZ
1II
[V] 
6
YZ
1ZI
2
YZ
1UU
221
221












































[A] 
4
YZ
1YU
2
YZ
1II
[V] ZI
2
YZ
1UU
221
221



































[A] YU
2
YZ
1II
[V] 
4
YZ
1ZI
2
YZ
1UU
221
221



































8/24 
Exemplo de Aplicação das Equações para 
uma Linha Média Típica 
Equação 
Pi 
T 
Série Truncada 
1U

1I

83.472 6,7o 
83.500 6,7o 
83.493 6,692o 
205,145 -11,402o 
205,920 -11,337o 
205,305 -11,524o 
Observação: prefere-se o uso do circuito Pi pois o circuito T leva ao 
estabelecimento de mais uma barra por linha de transmissão, acarretando 
em um aumento correspondente no número de equações do sistema. 
9/24 
Circuito Equivalente para uma Linha 
Longa 
 O circuito Pi é escolhido, introduzindo-se algumas 
correções que considerem o efeito de sua distribuição 
ao longo da linha. 
 A equação do circuito Pi passará a ser escrita como: 
 
 
 Comparando com a equação hiperbólica: 
[V] ZI
2
YZ
1UU 221 






 
 


[V] LsenhZILcoshUU c221  

ZLsenhZ
2
YZ
1Lcosh
c 





10/24 
Circuito Equivalente para uma Linha 
Longa 
ZLsenhZ
2
YZ
1Lcosh
c 




 Resolvendo o sistema, vem: 
YZ
YZsenh
ZZ


 
2
YZ
2
YZ
tgh
2
Y
2
Y





Circuito com parâmetros corrigidos: “Circuito Pi Equivalente” 
Linha longa 
Circuito com parâmetros não corrigidos: “Circuito Pi Nominal” 
Linha média 
11/24 
Modelos de uma Linha de Transmissão (A 
Parâmetros Concentrados) 
A linha como um quadripolo 


















2
2
1
1
I
U
DC
BA
I
U






D e C ,B ,A  “Constantes generalizadas da linha” 
12/24 
Representação dos Modelos 
R
XL 
 
U2 U1 
I2=I1 
 
I1=I2 
 
 
 
 
 
B/2G/2G/2 B/2
R
XL I1 I2 
U1 U2 
Linha curta Linha média/longa 
Portanto, a partir do modelo adequado da linha de transmissão, 
conhecendo-se a carga (U2 e I2) é possível obter a tensão e corrente no 
terminal emissor (U1 e I1): 
221 IBUAU
 
221 IDUCI
 
13/24 
Aplicação dos Modelos de Linha 
1D ;0C
;ZB ;1A




2
YZ
1D ;
4
YZ
1YC
;ZB ;
2
YZ
1A















2Y e Z 
YZ
YZsenh


2
YZ
2
YZ
tgh


Caracterização da 
linha 
Aplicações Constantes 
Curta 
modelo: 
impedância série 
Até 150 kV e 80 km 
150 a 400 kV e até 40 km 
maior que 400 kV e até 20 km 
Média 
modelo: 
 nominal 
150 a 400 kV e até 200 km 
maior que 400 kV e até 100 km 
Longa 
modelo: 
 equivalente 
Demais casos 
Os parâmetros , 
serão multiplicados por 
 
 e , 
respectivamente. 
14/24 
Relações de Potência no Receptor 
2
1
2221 U
B
A
B
U
I IBUAU 




 
   BAB j2j1
2 e
B
AU
e
B
U
I


A partir das equações do quadripolo: 
Tomando como referência de fase: 
U1 
U2 
 
Tomando o conjugado: 
       







 ABBABB j2j1
2
*
222
j2j1*
2 e
B
AU
e
B
U
UIUS e
B
AU
e
B
U
I 
Portanto: 
   
   AB
2
2
B
21
2
AB
2
2
B
21
2
sen
B
AU
sen
B
UU
Q
cos
B
AU
cos
B
UU
P


2U

15/24 
Transmissão de Potência em uma Linha 
    B
21
DB
2
1
1 cos
B
UU
cos
B
DU
P
    B
21
DB
2
1
1 sen
B
UU
sen
B
DU
Q
   AB
2
2
B
21
2 cos
B
AU
cos
B
UU
P 
   AB
2
2
B
21
2 sen
B
AU
sen
B
UU
Q 

















2
2
1
1
I
U
DC
BA
I
U






S1 S2 
S1=P1+jQ1 e S2=P2+jQ2 
Os ângulos são os 
argumentos das constantes 
respectivamente.  representa o 
ângulo entre U1 e U2”ângulo de 
potência”. 
DCBA e , , 
, D e C ,B ,A 
A potência P2 máxima transmitida 
seria para =B. 
 possui limitações por questões 
de estabilidade. 
16/24 
Perdas na Transmissão 
Perdas ativas: P1-P2 
Perdas reativas: Q1-Q2 
Rendimento: 
   % 100
P
PP
1
1
21
T 




 

Tipos de perda em uma linha de transmissão: 
• efeito Joule nos condutores; 
• perdas nos dielétricos entre condutores; 
• correntes de Foucault ehisterese magnética, na alma de aço de 
condutores e em peças metálicas próximas às linhas; 
• por circulação de corrente induzida nos cabos pára-raios. 
17/24 
Compensação de Linhas de Transmissão 
Compensação de tensão em carga leve 
U10 U10
U20
=
L
U10
U20
=U10 U10
U=
L/2 L/2
U10
U20
L
18/24 
Compensação de tensão em carga leve 
 


















2
2
cc
cc
1
1
I
U
DC
BA
I
U






























1Y
01
DC
BA
1Y
01
DC
BA
cc
cc




2c2c1 IBUAU
 
A B C D
YYU U1 2
BB cos
B
a
sen
B
ak
y 




ajaAeAD A
j 

bjbBeB B
j 

Pode ser mostrado que: Onde 
A relação entre tensões e correntes para a linha compensada será: 
, sendo: 
Portanto: ; em carga leve: 0I2 

 
2
1
c
U
U
Ak


 
yjyY 
k=1 para compensação total. Capacidade do reator =    kV em Upara MVar UyQ 2L 
19/24 
Compensação Série 
 Reduz o ângulo de potência () da linha. 
 Aumenta os limites de estabilidade estática e 
transitória. 
 Melhora a regulação. 
 Ajuda a manter o equilíbrio de energia 
reativa. 
 Melhora a distribuição de cargas e as perdas 
globais no sistema. 
20/24 
Compensação Série (Central) 
cjxZ 

2c2c1 IBUAU 

ZADBDABB 212121c
 
A B C DZ
U U1 2
A B C D 12 2 2 2 1 1 1


















2
2
cc
cc
1
1
I
U
DC
BA
I
U






























22
22
11
11
cc
cc
DC
BA
10
Z1
DC
BA
DC
BA






Onde: 
Para uma compensação série total: 
        c211121111111cc jxaaaj2aabjabjab2bjb 
Operando e igualando imaginários:       2121c1111c aaxabab2b 
 
   
 


 
aa
abab2
x0b
2
1
2
1
1111
cc
Capacidade do banco:  ,kVAr Ix3Q 2Lcc  :Corrente em regime permanente da linha  kA IL
21/24 
Compensação Série nos Extremos 


















2
2
cc
cc
1
1
I
U
DC
BA
I
U






2c2c1 IBUAU 

2
CC1CC1CC11c ZCZDZABB 

























10
Z1
DC
BA
10
Z1
DC
BA CC
11
11CC
cc
cc





Onde: 
A B C D ZCCZCC 11 1 1
       2cc11cc1111cc xjrcjcxjraja2bjbbjb 
Operando e igualando imaginários:  2c1c11c xcxa2bb 
Para uma compensação série total: 
 
 


 
c2
bc4a2a2
x0b
1
11
2
11
cc
Das duas raízes possíveis deve ser aceita a raiz negativa, uma vez que se 
trata de reatância capacitiva. 
22/24 
Problemas com a Compensação Série 
 Sobretensões nos capacitores quando da 
ocorrência de curto-circuito. 
 Ferro-ressonância entre os transformadores 
e os capacitores série. 
 Oscilações permanentes em compensadores 
síncronos. 
 Dificuldades na coordenação da proteção. 
 Custos elevados. 
23/24 
Variação Artificial do Comprimento das 
Linhas 
Linha com compensação total (encurtamento) 
xCC xCC 
xLC xLC 
U1 U2 
Circuito equivalente 
 
U2 
b’I2 
U1 
I2 
Diagrama fasorial 
2 
Em geral não se visa a compensação total. Se objetiva assegurar condições 
ótimas de funcionamento, tanto sob o ponto de vista da estabilidade, como 
da regulação de tensões e fluxo de potência ativa. 
24/24 
Compensação para Transmissão em Meia 
Onda 
 
 
 km 
cf
1
 .skm 
c
1
 ;km 
f













4 4 4 4
Para o transmissor
x
U20
U10
1o Processo: instalação de bancos de capacitores shunt a intervalos 
regulares, aumentando-se o valor da susceptância capacitiva da linha.  
Aumenta a potência natural da linha. 
2o Processo: aumento tanto dos termos em derivação quanto dos 
termos em série.  A impedância natural fica praticamente inalterada. 
Redução de :