AVA2-Estatística

Prévia do material em texto

AVA 2
Estatística
Prof. Adriana Tostes
Alunos:
2021
Sumário: 
Enunciado da atividade --------------------------------------------------------------------------------- 2
Questão 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Questão 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Questão 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------- 8
Questão 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10
Questão 5 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 12
Questão 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 13
Referências ---------------------------------------------------------------------------------------------- 14
Enunciado da atividade:
· Calcule a média e o desvio-padrão para as variáveis “renda mensal” e “gastos com lazer”. Use a aproximação de duas casas decimais para sua resposta.
· Utilize os conceitos da distribuição normal e determine:
a) A probabilidade de que uma família selecionada ao acaso tenha renda mensal superior a R$ 8.000,00. Apresente os desenhos da distribuição normal e da normal padronizada. Dê sua resposta arredondada para o percentual inteiro mais próximo.
b) A probabilidade de que uma família selecionada ao acaso, tenha um gasto médio mensal entre R$ 800,00 e R$ 1.200,00. Apresente os desenhos da distribuição normal e da normal padronizada. Dê sua resposta arredondada para o percentual inteiro mais próximo.
· Construa um intervalo com 95% de confiança para os gastos médios mensais com lazer. Faça os cálculos com todas as casas decimais e arredonde o resultado final para o número inteiro mais próximo. Interprete o resultado obtido.
· Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e avalie a força de relacionamento entre a variável independente “renda mensal” e a variável dependente “gastos mensais com lazer”. Apresente o resultado com duas casas decimais.
· Determine o modelo de regressão linear entre a variável independente “renda mensal” e a variável dependente “gastos mensais com lazer”. Faça os cálculos com todas as casas decimais e arredonde o resultado final com duas casas decimais.
· Baseado nesse modelo construído no item 5, estime qual será o gasto mensal com lazer previsto para uma família com renda mensal igual a R$ 10.000,00. Dê a resposta com duas casas decimais. 
OBS: O software Excel foi utilizado para auxiliar nas contas.
Questão 1
Calcule a média e o desvio-padrão para as variáveis “renda mensal” e “gastos com lazer”. Use a aproximação de duas casas decimais para sua resposta.
	
	Renda mensal
	Gastos mensais c/ lazer
	Média
	9143,65
	1058,70
	Desvio Padrão
	3717,25
	448,95
· Fórmulas utilizadas no excel:
Média: AVERAGE ()
Desvio Padrão: STDEVA () 
· Fazendo sem o excel:
Média: 
Desvio Padrão: 
Questão 2
Utilize os conceitos da distribuição normal e determine:
a) A probabilidade de que uma família selecionada ao acaso tenha renda mensal superior a R$ 8.000,00. Apresente os desenhos da distribuição normal e da normal padronizada. Dê sua resposta arredondada para o percentual inteiro mais próximo.
b) A probabilidade de que uma família selecionada ao acaso, tenha um gasto médio mensal entre R$ 800,00 e R$ 1.200,00. Apresente os desenhos da distribuição normal e da normal padronizada. Dê sua resposta arredondada para o percentual inteiro mais próximo.
Fórmula utilizada:
onde: ; ; 
· Para a variável Renda Mensal temos duas curvas: a Curva normal e a Curva Normal Padronizada.
A curva normal baseia-se na média e desvio padrão para uma característica qualquer, estudada e medida em integrantes dessa população.
Cálculo: (8000 - 9.143,65) / 3717,25 = -R$ 0,31
OBS.: Resultado na tabela se define como o número inteiro + o primeiro decimal = a marcação na vertical e o último decimal define a posição horizontal.
Distribuição Normal (Tabela)
0,1217
Na curva normal padronizada são definidos como desvio padrão = 1 média = 0 + resultado da curva normal
Distribuição normal:
Tabela: - 0,31 0,1217
P (X > 8000) = P (Z > 0,31) = 0,1217 + 0,5 = 0,6217 * 100 = 62,17 %
R = A probabilidade de uma família selecionada ao acaso tenha renda mensal superior a 8000 reais é de 62%.
· Para a variável Gastos Mensais com Lazer temos duas curvas: a Curva normal e a Curva Normal Padronizada.
Cálculo: (800 - 1.058,70) / 448,95 = -0,58
Cálculo: (1200 - 1.058,70) / 448,95 = 0,31
Distribuição Normal (Tabela)
0,2190 (-0,58)
0,1217 (0,31)
P (800 < X < 1200 ) = P(-0,58 < Z < 0,31 ) = 0,2190 + 0,1217 = 0,3407 * 100 = 34,07%
R = A probabilidade de uma família ter um gasto médio entre R$800,00 e R$1200,00 é de 34%.
Questão 3
Construa um intervalo com 95% de confiança para os gastos médios mensais com lazer. Faça os cálculos com todas as casas decimais e arredonde o resultado final para o número inteiro mais próximo. Interprete o resultado obtido.
Fórmula utilizada: 
Observações.: 
Pequena amostra = ou menor que 30 dados	
Grande amostra > 30 dados	
Tabela normal = nível de confiança
Tabela T = nível de significância
Tabela de significância entra com metade do valor desejado (EX: Quer 5%? entra com 2,5%) e N-1 grau de liberdade (N = o tamanho da amostra)
	Gastos mensais com Lazer
	
	
	
	u = média
	Média
	R$ 1.058,70
	
	
	x= valor tabelado
	Desvio Padrão - Calculado
	448,95
	
	
	t= desvio padrão fração da raiz da Nº amostra
	Tamanho da amostra
	20
	
	
	
	tabelado
	2,0930
	
	
	
	Raiz de 20
	4,472135955
	
	
	
	Primeira etapa
Dividir o Desvio Padrão pela raiz do Nº(20) amostra
Cálculo 
	
	
	IC = 1058,70 - 2,0930.(448,95 / Raiz 20); 1058,70 + 2,0930.(448,95/ Raiz 20);
	448,95 / 4,472135955 = 100,3875412
Segunda etapa
Multiplicação do valor tabulado + (Desvio Padrão - Calculado / Raiz de 20)
Cálculo 
	
	
	IC = 1058,70 - 2,0930.(100,3875412); 1058,70 + 2,0930.(100,3875412)
2,0930.(100,3875412) = 210,1111237
	Terceira etapa
Soma e subtração que restaram na fórmula.
Cálculo 
	
	
	IC = 1058,70 - 210,1111237; 1058,70 + 210,1111237
Soma = 1058,70 + 210,1111237 = 1.268,81
Subtração = 1058,70 - 210,1111237 = 848,59
Final para o número inteiro mais próximo:
1.269 e 849.
	
	Resultado
	
	
	IC= 849 ; 1.269
R: Podemos afirmar que 95% da média gasta mensalmente com lazer entre R$849,00 e R$1.269,00.
	
	
Questão 4
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e avalie a força de relacionamento entre a variável independente “renda mensal” e a variável dependente “gastos mensais com lazer”. Apresente o resultado com duas casas decimais. 
Além do Método de Correlação Linear de Pearson, utilizamos também o Método de Regressão Linear e o Método dos Mínimos Quadrados para apresentar as respostas.
Abaixo seguem as fórmulas utilizadas.
Método de Regressão Linear:
Método dos Mínimos Quadrados: 
 
Método de Correlação Linear de Pearson: 
 , onde 
obs: A linha na cor cinza (última linha da tabela) é o somatório de cada coluna.
N = 20 ; ; 
· Pelo MMQ: 
 = = -29,73 
 = = 0,119
A = -29,73 ; B = 0,119 ; r = 0,99
Sendo a equação da reta: Y = A + Bx , temos que: y = -29,73 + 0,119 x
· Coeficiente de Correlação de Pearson (r) :
A partir da fórmula temos 
Análise qualitativa: r = 0,99 correlação altamente significativa entre os dados
(quanto mais próximo de 1, maior é a correlação entre os dados)
R: O Coeficiente de Correlação de Pearson (r) é igual a 0,99 e demonstra correlação altamente significativa entre os dados.
Questão 5
Determine o modelo de regressão linear entre a variável independente “renda mensal” e a variável dependente “gastos mensais com lazer”. Faça os cálculos com todas as casas decimais e arredonde o resultado final com duas casas decimais.
Utilizando o plot do excel e a função fitlinear, obtemos o gráfico:
A partir da utilização do métodode regressão linear, obtivemos a seguinte equação da reta:
Y = -29,73 + 0,119 x (onde Y = A + Bx)
Caso fossemos utilizar esse método sem o auxílio do Excel, o gráfico seria traçado a partir dos dados existentes, marcados os pontos e então traçada a reta de ajuste linear à mão.
A reta seria traçada de forma a distar o mínimo possível de cada ponto.
Questão 6
Baseado nesse modelo construído no item 5, estime qual será o gasto mensal com lazer previsto para uma família com renda mensal igual a R$10.000,00. Dê a resposta com duas casas decimais. 
A partir da regressão linear, obtivemos a equação Y = -29,73 + 0,119 x (onde Y = A + Bx) . Sendo a renda mensal "x"e o gasto com lazer "y", substituímos na equação, fazendo x=10.000,00. Daí temos que o gasto seria de R$1.160,27.
Contas: 
Y = -29,73 + 0,119x Y = -29,73 + 0,119*10000 Y = -29,73 + 1190 Y = 1160,27
Referências:
· Aulas de Estatística, Prof Adriana Tostes, UVA
· Ebook da disciplina de Estatística, UVA