Estudo de caso 02 Estatiscia - Aux Resolução

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Exercícios resolvidos sobre Testes de hipóteses:
comparação de duas médias, duas proporções e
duas variâncias
Com este conjunto de Exercícios Resolvidos, você poderá estudar várias situações em que são aplicados testes de
hipóteses que se referem a uma ou mais populações. Confira!
Exercício 1
As técnicas de tratamento a frio para aços têm como objetivos o aumento da resistência ao desgaste e o aumento
da tenacidade. Esses tratamentos têm efeito principalmente sobre a martensita, que sofre mudanças cristalográficas e
microestruturais. Essas mudanças, com a transformação da austenita em martensita (que proporciona uma estrutura
mais estável), são as responsáveis pelos benefícios do tratamento.
Considere a análise de 20 placas que não sofreram nenhum tratamento. O parâmetro de interesse é a resistência
dessas placas a um determinado esforço. A partir de um experimento com esta amostra, foi encontrada uma
resistência média amostral de x = 29,8 ksi.
Uma segunda amostra aleatória de n = 25 placas de aço, tratadas a frio, submetidas ao mesmo experimento,
forneceu uma resistência média amostral de y = 34,7 ksi.
Assumindo que as duas distribuições de resistência sejam normais e os desvios-padrão populacionais conhecidos,
com σ1 = 4,0 e σ2 = 5,0, os dados indicam que as resistências de rendimento médias reais correspondentes – µ1 e
µ2 – são diferentes? Considerar um teste no nível de significância α = 0,01.
Solução
Enunciado
As técnicas de tratamento a frio para aços têm como objetivos o aumento da resistência ao desgaste e o aumento
da tenacidade. Esses tratamentos têm efeito principalmente sobre a martensita, que sofre mudanças cristalográficas e
microestruturais. Essas mudanças, com a transformação da austenita em martensita (que proporciona uma estrutura
mais estável), são as responsáveis pelos benefícios do tratamento.
Considere a análise de 20 placas que não sofreram nenhum tratamento. O parâmetro de interesse é a resistência
dessas placas a um determinado esforço. A partir de um experimento com esta amostra, foi encontrada uma
resistência média amostral de x = 29,8 ksi.
Uma segunda amostra aleatória de n = 25 placas de aço, tratadas a frio, submetidas ao mesmo experimento,
forneceu uma resistência média amostral de y = 34,7 ksi.
Assumindo que as duas distribuições de resistência sejam normais e os desvios-padrão populacionais conhecidos,
com σ1 = 4,0 e σ2 = 5,0, os dados indicam que as resistências de rendimento médias reais correspondentes – µ1 e
µ2 – são diferentes? Considerar um teste no nível de significância α = 0,01.
Solução
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
O parâmetro de interesse (Δ) é a diferença entre as resistências médias do aço com o tratamento e sem o
tratamento a frio.
2o Passo – Definir H0.
H0 = µ1 - µ2 = 0
Ou seja, Δ = 0
3o Passo – Definir H1.
H1 = µ1 - µ2 ≠ 0.
Ou seja, Δ ≠ 0.
4o Passo – Estatística de teste.
 
5o Passo – Delimitar a região de rejeição.
Se , rejeitamos Ho.
6o Passo – Valores.
 
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como
rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Ao nível de confiança de 99%, podemos afirmar que a resistência do aço tratado a frio é diferente da resistência do
aço sem tratamento.
Exercício 2
Considere que, num país hipotético, quando alguém é acusado de um crime, possa declarar-se culpado e ser
sentenciado sem julgamento, ou possa declarar-se inocente, sendo então submetido a um julgamento. Levando em
conta esse contexto, um fato interessante é observar o que ocorre logo após essa declaração do acusado.
Considere uma amostra de acusados por furto, que foi estudada para avaliar se as punições dos acusados que
optaram pelas formas diferentes de declaração são iguais ou não. Ao nível de significância de 1%, existe diferença
no julgamento dos que se declaram culpados e dos que se declaram inocentes?
Solução
Solução
Enunciado
Considere que, num país hipotético, quando alguém é acusado de um crime, possa declarar-se culpado e ser
sentenciado sem julgamento, ou possa declarar-se inocente, sendo então submetido a um julgamento. Levando em
conta esse contexto, um fato interessante é observar o que ocorre logo após essa declaração do acusado.
Considere uma amostra de acusados por furto, que foi estudada para avaliar se as punições dos acusados que
optaram pelas formas diferentes de declaração são iguais ou não. Ao nível de significância de 1%, existe diferença
no julgamento dos que se declaram culpados e dos que se declaram inocentes?
 
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
No caso estudado, esses parâmetros são π1 e π2 (proporções de acusados julgados que foram sentenciados como
culpados). π1 são os autodeclarados culpados e π2 os autodeclarados inocentes.
2o Passo – Definir H0.
H0 = π1 = π2
3o Passo – Definir H1.
H1 = π1 ≠ π2
4o Passo – Estatística do teste.
Note que, neste problema, 
5o Passo – Delimitar a região de rejeição.
Rejeitamos H0 , se Zcalc > Zcrit ou Zcalc < - Zcrit
 
Z crit = Z 0,005 = 2,58
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como
rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Como rejeitamos H0, concluímos, com confiança de 99%, que há diferença no julgamento entre quem se declara
inocente e quem se declara culpado.
Alternativamente, poderíamos utilizar o fato de que, sob H0 Neste caso, podemos estimar a variância de
p1 – p2 por
em que
sendo x1 e x2 o número de sentenciados a prisão entre os que se declararam culpados ou inocentes,
respectivamente.
Nesse caso, teremos as seguintes mudanças:
4o Passo – Estatística de teste.
6o Passo – Valores
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como -5,229 < -2,58 rejeitamos H0.
A conclusão seria a mesma que pelo primeiro método.
Exercício 3
As fábricas de software têm como principal diferencial competitivo o rigor dos seus processos de desenvolvimento.
Eles são capazes de garantir que sistemas desenvolvidos em diferentes partes do mundo tenham alta qualidade,
correspondendo aos requisitos estabelecidos pelos clientes e com pequeno número de erros. Uma empresa que
desenvolve softwares precisa garantir a qualidade do seu processo de desenvolvimento e, para isso, está testando
dois métodos de trabalho diferentes. A seguir, apresentam-se os valores encontrados para o número de erros
produzidos por duas equipes independentes, uma atuando em Recife, seguindo o método 1, outra atuando em
Bangalore, seguindo o método 2.
a) Teste, ao nível de significância de 10%, se a variância do número de erros produzidos seguindo o método 2 é
maior do que a variância de acordo com o método 1. 
b) Com base no resultado do teste do item anterior, realize um outro teste, para verificar se, ao nível de significância
de 5%, o método 2 é menos eficaz que o método 1.
Solução
Enunciado
As fábricas de software têm como principal diferencial competitivo o rigor dos seus processos de desenvolvimento.
Eles são capazes de garantir que sistemas desenvolvidos em diferentes partes do mundo tenham alta qualidade,
correspondendo aos requisitos estabelecidos pelos clientes e com pequeno número de erros. Uma empresa que
desenvolve softwares precisa garantir a qualidade do seu processo de desenvolvimento e, para isso, está testando
dois métodos de trabalho diferentes. A seguir, apresentam-se os valores encontrados para o número de erros
produzidos por duas equipes independentes, uma atuando em Recife, seguindo o método 1, outra atuando em
Bangalore, seguindo o método 2.
a) Teste, ao nível de significância de 10%, se a variância do número de erros produzidos seguindo o método 2 é
maior do que a variância de acordo com o método 1. 
b) Com base no resultado do teste do item anterior, realize um outro teste, para verificar se, ao nível de significância
de 5%, o método 2 é menos eficaz que o método 1. 
Solução
a)
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
Os parâmetros de interesse são as variâncias do número de erros dos dois métodos utilizados.
2o Passo – Definir H0.
3o Passo – Definir H1.
4o Passo – Estatística deteste.
5o Passo – Determinar a região de rejeição.
Rejeitaremos H0 se F0 > 
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como 3,458 > 2,51 rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Concluímos, ao nível de significância de 10%, que a variância do número de erros pelo método 2 é maior do que
pelo método 1.
b)
No item “a”, concluímos que as variâncias do número de erros são diferentes entre os dois métodos (mais
precisamente, a variância é maior pelo método 2). Assim, faremos um teste para comparação de duas médias
supondo que as variâncias são diferentes e desconhecidas.
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
No caso estudado, os parâmetros de interesse são as médias de erros dos dois métodos utilizados.
2o Passo – Definir H0.
H0= µ1 < µ2
3o Passo – Definir H1.
H1 = µ1 < µ2
4o Passo – Estatística de teste.
Vamos utilizar o “método simplificado” descrito na síntese da unidade 7.2.
Note que, neste problema, Δ = 0.
Graus de liberdade: 
5o Passo – Delimitar a região de rejeição.
Rejeitaremos 
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como -0,953 > -1,746 à tcalc > -tcrit, não rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Concluímos, ao nível de significância de 5%, que não há evidências de que o método 2 seja menos eficaz que o
método 1.
Alternativamente, se desejássemos maior refinamento nos resultados, poderíamos utilizar o seguinte número de graus
de liberdade para a estatística de teste:
No nosso caso, teríamos:
 
Como -0,953 > -1,812 à tcalc > tcrit, não rejeitamos H0 e não podemos concluir,
ao nível de significância de 5% que o método 2 seja menos eficaz que o método 1.
Exercício 4
Na fabricação de lentes, o processo de polimento é largamente utilizado com diversas soluções que podem ser
utilizadas para esta operação. Considere que uma empresa recebeu a proposta de solução de polimento de um
fornecedor, que afirma que a qualidade de seu produto é superior à do produto utilizado atualmente. Então, o
gerente da loja fez um teste com 300 lentes polidas pelo novo método e obteve 253 lentes em boa qualidade após o
polimento. Fazendo o mesmo procedimento em 300 lentes pelo método antigo, 196 lentes foram consideradas de
boa qualidade. Considerando o nível de 1% de significância, o gerente deve trocar de fornecedor?
Solução
Enunciado
Na fabricação de lentes, o processo de polimento é largamente utilizado com diversas soluções que podem ser
utilizadas para esta operação. Considere que uma empresa recebeu a proposta de solução de polimento de um
fornecedor, que afirma que a qualidade de seu produto é superior à do produto utilizado atualmente. Então, o
gerente da loja fez um teste com 300 lentes polidas pelo novo método e obteve 253 lentes em boa qualidade após o
polimento. Fazendo o mesmo procedimento em 300 lentes pelo método antigo, 196 lentes foram consideradas de
boa qualidade. Considerando o nível de 1% de significância, o gerente deve trocar de fornecedor?
Solução
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
No caso estudado, esses parâmetros são π1 e π2 (proporções de lentes polidas de boa qualidade).
2o Passo – Definir H0.
H0 = π1 = π2
3o Passo – Definir H1. H1 : π1 > π2
4o Passo – Estatística de teste
Note que, neste problema,
5o Passo – Delimitar a região de rejeição.
Rejeitamos H0, se Zcalc > Zcrit. 
Zcrit = Z0,01 = 2,33
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como
 
rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Como rejeitamos H0, concluímos que, com confiança de 99%, o gerente deve trocar de fornecedor.
4o Passo – Estatística do teste.
Alternativamente, poderíamos utilizar o fato de que, sob Nesse caso, podemos estimar a variância
de por
em que
sendo e o número de lentes de boa qualidade polidas pelos métodos antigo e novo, respectivamente.
Nesse caso, teremos as seguintes mudanças:
4o Passo – Estatística de teste.
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como , rejeitamos H0.
A conclusão seria a mesma que pelo primeiro método.
Exercício 5
De acordo com estudos do especialista Álvaro Durão, apresentados em 2011, no seminário "A saúde dos médicos
e de outros profissionais de saúde", organizado pelo Instituto de Medicina Preventiva da Faculdade de Medicina de
Lisboa, os médicos vivem mais tempo em relação a pessoas que exercem outras profissões. Segundo o estudo, os
médicos são os profissionais que têm maior longevidade.
(fonte: < http://www.cmjornal.xl.pt/noticia.aspx?contentid=9BB5B441-B8DB-4F64-98A8-
3D4E8C9F9033&channelid=F48BA50A-0ED3-4315-AEFA-86EE9B1BEDFF >. Acesso em: 29 abr. 2011.)
Considere uma amostra de 215 médicos que morreram entre 2000 e 2005. Desses, 125 trabalhavam em clínica em
tempo integral e viveram em média 48,9 anos após sua graduação. Os 90 que tinham também vínculos acadêmicos,
além da clinica, viveram, em média, 43,2 anos depois da graduação. Assumindo σ1 = 14,6, σ2 = 14,4 e nível de
significância α de 0,01, os dados sugerem que o tempo de vida médio depois da graduação dos médicos que
trabalham em clínica em tempo integral excede o tempo de vida médio daqueles que possuem vínculo acadêmico?
Suponha que a idade dos médicos, em ambos os casos, tem distribuição normal.
http://www.cmjornal.xl.pt/noticia.aspx?contentid=9BB5B441-B8DB-4F64-98A8-3D4E8C9F9033&channelid=F48BA50A-0ED3-4315-AEFA-86EE9B1BEDFF
Solução
Enunciado
De acordo com estudos do especialista Álvaro Durão, apresentados em 2011, no seminário "A saúde dos médicos
e de outros profissionais de saúde", organizado pelo Instituto de Medicina Preventiva da Faculdade de Medicina de
Lisboa, os médicos vivem mais tempo em relação a pessoas que exercem outras profissões. Segundo o estudo, os
médicos são os profissionais que têm maior longevidade.
(fonte: < http://www.cmjornal.xl.pt/noticia.aspx?contentid=9BB5B441-B8DB-4F64-98A8-
3D4E8C9F9033&channelid=F48BA50A-0ED3-4315-AEFA-86EE9B1BEDFF >. Acesso em: 29 abr. 2011.)
Considere uma amostra de 215 médicos que morreram entre 2000 e 2005. Desses, 125 trabalhavam em clínica em
tempo integral e viveram em média 48,9 anos após sua graduação. Os 90 que tinham também vínculos acadêmicos,
além da clinica, viveram, em média, 43,2 anos depois da graduação. Assumindo σ1 = 14,6, σ2 = 14,4 e nível de
significância α de 0,01, os dados sugerem que o tempo de vida médio depois da graduação dos médicos que
trabalham em clínica em tempo integral excede o tempo de vida médio daqueles que possuem vínculo acadêmico?
Suponha que a idade dos médicos, em ambos os casos, tem distribuição normal.
Solução
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
O parâmetro de interesse é Δ, a diferença entre o tempo de vida médio dos médicos após sua graduação, quando
trabalhavam somente em clínica e quando tinham vínculos acadêmicos além da clínica.
2o Passo – Definir H0.
H0 = µ1 - µ2 = 0
Ou seja, Δ = 0.
3º Passo – Definir H1.
H1 = µ1 - µ2 > 0
Ou seja, Δ > 0.
4o Passo – Estatística de teste.
5o Passo – Delimitar a região de rejeição.
Se , rejeitamos Ho. 
http://www.cmjornal.xl.pt/noticia.aspx?contentid=9BB5B441-B8DB-4F64-98A8-3D4E8C9F9033&channelid=F48BA50A-0ED3-4315-AEFA-86EE9B1BEDFF
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Ao nível de confiança de 99%, podemos afirmar que médicos com vida acadêmica vivem menos do que médicos
com vida clínica.
Exercício 6
O rendimento de processos químicos é fortemente influenciado pelo catalisador utilizado nas reações. Um gerente
de indústria química está tentando diminuir os custos de produção, considerados atualmente muito elevados. Ele
encontrou no mercado um catalisador mais barato do que aquele utilizado na indústria, mas tem receio de que altere
o rendimento médio do processo, o que é inaceitavel.
a) Teste, ao nível de significância de 5%, se as variâncias das populações são diferentes.
b) Com base na conclusão do item anterior, teste, ao nível de significância de 5%, se o gerente pode efetuar a troca.
Solução
Enunciado
O rendimento de processos químicos é fortementeinfluenciado pelo catalisador utilizado nas reações. Um gerente
de indústria química está tentando diminuir os custos de produção, considerados atualmente muito elevados. Ele
encontrou no mercado um catalisador mais barato do que aquele utilizado na indústria, mas tem receio de que altere
o rendimento médio do processo, o que é inaceitavel.
a) Teste, ao nível de significância de 5%, se as variâncias das populações são diferentes.
b) Com base na conclusão do item anterior, teste, ao nível de significância de 5%, se o gerente pode efetuar a troca
Solução
a)
1º Passo – Definir o parâmetro de interesse.
Os parâmetros de interesse são 
2º Passo – Definir H0.
3º Passo – Definir H1.
4º Passo – Estatística de teste.
5º Passo – Delimitar a região de rejeição.
Rejeitamos H0 se
6º Passo – Valores.
7º Passo – Rejeitar ou não.
Como , não rejeitamos H0.
8º Passo – Conclusão.
Concluímos, ao nível de significância de 5%, que a variância do rendimento é a mesma para os dois processos.
b)
Concluímos, no item anterior, que a variância do rendimento é a mesma nos dois processos. Vamos utilizar essa
informação na obtenção do valor observado da estatística de teste.
1o Passo – Determinar o parâmetro de interesse.
O parâmetro de interesse é Δ, que representa µ1 - µ2, (médias dos rendimentos dos dois catalisadores).
2o Passo – Definir H0.
H0 = µ1 - µ2 = 0
Ou seja, Δ = 0.
3o Passo – Definir H1.
H1 = µ1 - µ2 ≠ 0
Ou seja, Δ ≠ 0.
4o Passo – Estatística de teste.
5o Passo – Delimitar a região de rejeição.
Rejeitamos H0, se tcalc > tcrit ou se tcalc < -tcrit
6o Passo – Valores.
7o Passo – Rejeitar ou não.
Como
,
não rejeitamos H0.
8o Passo – Conclusão.
Podemos concluir, com 95% de confiança, que o gerente pode efetuar a troca de catalisador, sem prejuízo do
desempenho.
Exercício 7
Dois candidatos a um emprego, A e B, foram submetidos a um conjunto de oito questões, sendo anotados os
tempos que cada um gastou na solução (dados a seguir, em minutos). Podemos, ao nível de significância de 5%,
afirmar que B é mais rápido que A, em termos do tempo médio gasto para resolver questões do tipo das
formuladas?
a) Considere que as questões são diferentes para os dois candidatos.
b) Considere que as questões são as mesmas para cada candidato.
Solução
Dois candidatos a um emprego, A e B, foram submetidos a um conjunto de oito questões, sendo anotados os
tempos que cada um gastou na solução (dados a seguir, em minutos). Podemos, ao nível de significância de 5%,
afirmar que B é mais rápido que A, em termos do tempo médio gasto para resolver questões do tipo das
formuladas?
a) Considere que as questões são diferentes para os dois candidatos.
b) Considere que as questões são as mesmas para cada candidato.
Solução
a) Supondo questões diferentes para os candidatos, temos dados não emparelhados.
Vamos utilizar o “método simplificado” descrito na síntese da unidade 7.2.
1º passo – Definir o parâmetro de interesse.
No caso estudado, esses parâmetros são µ1 e µ2, os tempos médios dos dois candidatos para resolver questões do
tipo das questões formuladas.
2º passo – Definir H0.
H0: µ1 = µ2
3º passo – Definir H1.
H1: µ1 > µ2
4º passo – Estatística de teste
que segue uma distribuição t de Student com ν = n1 + n2 - 2 graus de liberdade. No nosso caso, ν = 8 + 8 - 2 = 14
graus de liberdade.
5º passo – Delimitar região de rejeição
Rejeitamos H0 se t0 > tcrit.
tcrit = t14; 0,05 = 1,761
6º passo - Valores
7º passo - Rejeitar ou não H0
Como 1,147 < 1,761, não rejeitamos H0.
8º passo - Conclusão
Ao nível de significância de 5%, não podemos afirmar que o candidato B é mais rápido que o candidato A.
Alternativamente, se desejássemos maior refinamento nos resultados, poderíamos utilizar o seguinte número de graus
de liberdade para a estatística de teste:
No nosso caso, teríamos:
Como 1,147 < 1,771 à tcalc < -tcrit, rejeitaremos H0. Assim, concluímos, ao nível de significância de 5%, que não
podemos afirmar que o candidato B é mais rápido que o candidato A.
b) Supondo questões iguais para cada candidato, temos dados emparelhados.
1º passo – Definir o parâmetro de interesse.
O parâmetro de interesse agora é µd, a média da diferença entre o tempo médio por questão do candidato A e o
tempo médio por questão do candidato B.
2º passo – Definir H0.
H0: µd = 0.
3º passo – Definir H1.
H1: µd > 0
.
4º passo – Definir a estatística de teste.
em que
5º passo – Delimitar a região de rejeição
Rejeitamos H0 se tcalc > tcrit.
tcrit = t7; 0,05 = 1,895
6º passo – Valores
7º passo – Rejeitar ou não
Como 1,708 < 1,895, não rejeitamos H0.
8º passo – Conclusão
Como não rejeitamos H0, concluímos, ao nível de significância de 5%, que B não é mais rápido que A para resolver
questões do tipo da prova.