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Aulas preparatórias para a Olimpíada Brasileira de Matemática 
Equipe olímpica 
Nível 3 
 
 
Exercícios da aula 01 
 
 
 
Exercício 01: Prove que, em qualquer grupo de cinco pessoas, sempre há duas pessoas com o 
mesmo número de amigos no grupo. 
 
Exercício 02: Dados 2011 inteiros, mostre que podemos escolher dois desses inteiros de modo 
que a diferença entre eles seja divisível por 2010. 
 
Exercício 03: Sejam a1, a2, ..., an n inteiros. Mostre que podemos escolher um subconjunto 
desses números de modo que a soma de seus elementos seja divisível por n. 
 
Exercício 04: Prove que existe um inteiro cuja representação decimal é feita somente por 1’s e 
que é divisível por 2010. 
 
Exercício 05: Escolhem-se 201 pontos dentro de um quadrado de lado 1. Prove que existe um 
círculo de raio 1/14 que contém pelo menos 3 desses pontos. 
 
Exercício 06: A torre do prédio do Banespa tem 35 andares. Suponha que um elevador pare 18 
vezes ao descer do último ao primeiro andar. Mostre que esse elevador pára em dois andares cuja 
soma é 35. 
 
Exercício 07: São tomados 28 pontos em um cubo de aresta 1. Mostre que existem pelo menos 2 
pontos que são separados por uma distância menor ou igual a 1/√ 3.