AL ativ 2 4 PN2

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR 
- ANHEMBI MORUMBI EaD - 
ATIVIDADE 2 
 
Questão 1 
Por definição, um conjunto é uma base do espaço vetorial se é linearmente 
independente (LI), e se gera , tal que . 
Sobre a base de um espaço vetorial, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
 
I. Seja , dizemos que é uma base para 
POIS: 
II. é linearmente independente (LI) e 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
 
 
Questão 2 
Por definição, dizemos que um conjunto é uma base do espaço vetorial se for 
linearmente independente e se gerar o espaço vetorial . Por outro lado, se é um espaço vetorial e 
possui uma base com vetores, então, dizemos que tem dimensão . 
 
I. Qualquer conjunto linearmente independente de um espaço vetorial é base do subespaço por ele gerado. 
II. Se for base de um espaço vetorial , todo conjunto com mais de vetores de é 
linearmente independente. 
III. Em um espaço vetorial, duas bases quaisquer têm o mesmo número de vetores. 
IV. Se é uma base de um espaço vetorial , qualquer vetor será uma combinação 
linear dos vetores de . 
 
 
Questão 3 
Sobre o subespaço vetorial, temos que “um subconjunto , não vazio, de um espaço vetorial será um 
subespaço vetorial de se existirem as seguintes condições: 
1 - Para quaisquer , tem-se: 
2 - Para quaisquer , tem-se: ” 
Sobre os subespaços vetoriais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para 
a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Sejam e , é um subespaço vetorial de 
II. ( ) Sejam e , é um subespaço vetorial de 
III. ( ) Sejam e , é um subespaço vetorial de 
IV. ( ) Sejam e , é um subespaço vetorial de 
 
 
 
Questão 4 
Denomina-se de dimensão de um espaço vetorial ao número de vetores de uma base do espaço. Essa 
dimensão é designada por . Caso o espaço vetorial tenha apenas o vetor nulo, então convenciona-
se que a sua dimensão é igual a zero. 
Considerando um espaço vetorial de dimensão , e um subconjunto de com vetores, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Se , então é linearmente dependente (LD) 
II. ( ) Se , então gera 
III. ( ) Se e é linearmente independente (LI), então é uma base de 
IV. ( ) Se e gera , então é uma base de 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
Questão 5 
No contexto dos espaços vetoriais, temos que um determinado conjunto será 
denominado de base do espaço vetorial se duas condições forem satisfeitas: o conjunto for linearmente 
independente (LI), e se o conjunto gera o espaço vetorial . 
Sabendo disso, seja , analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
 é linearmente independente e gera o 
pois: 
 é base do 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
 
 
Questão 6 
Por definição, considerando um espaço vetorial, temos que uma combinação linear consistirá na 
soma de múltiplos vetores , de modo que , em 
que sejam escalares Sabendo disso, sejam os vetores e , 
encontre o valor de para que o vetor seja uma combinação linear de e . 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
 
Questão 7 
Leia o trecho a seguir 
“Sejam um espaço vetorial e . A equação admite, pelo 
menos, uma solução, a solução trivial: ”. Dessa forma, dizemos que o conjunto é 
linearmente independente caso a equação admita apenas a solução trivial; caso 
contrário dizemos que o conjunto é linearmente dependente. 
Sobre a dependência e independência linear, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) No espaço vetorial , os vetores e são linearmente independentes 
II. ( ) No espaço vetorial , os vetores e são linearmente dependentes 
III. ( ) No espaço vetorial , os vetores , e são linearmente 
independentes 
IV. ( ) No espaço vetorial , os vetores , e são linearmente dependentes 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
Questão 8 
Sobre a dependência e independência linear, é sabido que o conjunto é linearmente 
independente (LI) no caso em que a equação admite apenas a solução trivial; caso 
contrário, o conjunto é dito linearmente dependente (LD). 
Sabendo disso, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
 
I. Seja , dizemos que os vetores e são linearmente independentes (LI) 
POIS 
II. Fazendo os devidos cálculos, concluímos que: 
 
 
 
 
 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
Questão 9 
Dado um conjunto não vazio, ele é chamado de espaço vetorial real, se sobre ele estiverem definidas as 
operações de adição e de multiplicação por escalar, tal que e . 
 
Sobre as propriedades dos espaços vetoriais, analise as afirmativas a seguir: 
 
I) existe um único elemento nulo em 
II) cada vetor admite apenas um simétrico 
III) qualquer que seja , 
IV) quaisquer que sejam , existe um e somente um , tal que 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
 
 
Questão 10 
Considerando um espaço vetorial e o conjunto , a 
equação admite, pelo menos, a solução trivial . Sempre que 
isto acontecer, diz-se que o conjunto é linearmente independente (LI), no entanto, se o conjunto admitir 
soluções , então o conjunto é dito linearmente dependente (LD). Sobre a dependência e independência 
linear, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
 
I. Seja , em que , e . Dizemos 
que é um conjunto linearmente dependente (LD) 
POIS 
II. Seja: 
 
 
 
 
 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
- ANHEMBI MORUMBI EaD - 
ATIVIDADE 4 
 
Questão 1 
Leia o excerto a seguir. 
 
“Considere um operador linear . Cada base de corresponde a uma matriz , que 
representa na base . Nosso propósito é obter uma base do espaço, de modo que a matriz de , 
nessa base, seja a representante mais simples de .” 
Considerando que os valores próprios de um operador linear são e , e 
que e são os respectivos vetores associados, assinale a alternativa que 
apresenta . 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso encontrar , considerando que os 
autovalores são e e que e são os respectivos vetores associados. 
Expressando em relação à base , temos: 
 
 
Portanto: 
 
Ao aplicar o operador , temos: 
 
Como: e , então:
. 
 
 
 
Questão 2 
Para uma transformação linear , é possível associar uma matriz , de modo que se é um 
autovetor de , então existe um número real , tal que . Usando a matriz e o vetor como 
a matriz coluna, podemos, nesse sentido, reescrever da forma , e sendo a matriz 
identidade, então é um polinômio denominado polinômio característico de , cujas 
raízes são os autovalores. Dada a transformação linear definida por , 
assinale a alternativa que apresenta os autovalores de . 
 
 
 
 
 
Questão 3 
Na Álgebra Linear, afirmamos que o escalar é um autovalor de um operador linear , se 
existir um vetor diferente de zero, tal que . Seja o operador 
linear , assinale a alternativa que apresenta os valores 
próprios associados. 
 
 
Questão 4 
Leia o excerto a seguir. 
 
 “[...] se for uma matriz , então um vetor não nulo em é denominado autovetor de (ou 
do operador matricial ) se for um múltiplo escalar de , tal que com algum escalar . O 
escalar é denominado autovalor de (ou de ) e dizemos que é um autovetor associado a .” 
Considerando que seja uma matriz , analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) é um autovalor de . 
II. ( ) O sistema de equações tem soluções não triviais. 
III. ( ) Existe algum vetor não nulo , tal que . 
IV. ( ) é uma solução da equação característica . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, considerando que é uma matriz , é preciso 
analisar as afirmativas e verificar se são verdadeiras ou falsas. Por definição,é um autovalor de . 
Nesse sentido, o sistema de equações tem soluções não triviais, existindo algum vetor 
não nulo , tal que . Além disso, é uma solução da equação característica . Logo, 
todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
Questão 5 
Leia o excerto a seguir. 
 
“O tratado mais importante da história da matemática chinesa é o Chiu Chang Suan Shu ou “Os 
Nove Capítulos da Arte Matemática”. Esse tratado, uma coleção de 246 problemas e suas soluções, 
foi organizado e colocado em sua forma final por Liu Hui em 263 d.C. [...]. O oitavo de seus nove 
capítulos, intitulado “A Maneira de Calcular Usando Flechas”, contém 178 problemas de palavras 
que levam a sistemas lineares de três a seis incógnitas.” 
O primeiro problema do oitavo capítulo é: existem três classes de milho, de modo que três sacos da 
primeira classe, dois da segunda classe e um da terceira classe totalizam 39 medidas. Dois da 
primeira, três da segunda e um da terceira totalizam 34 medidas. Ademais, um da primeira, dois da 
segunda e três da terceira totalizam 26 medidas. Quantas medidas de grão tem cada saco de cada 
classe? Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os valores de , e , em que 
, e são as medidas das primeiras, segundas e terceiras classes de milho, respectivamente: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, considerando as informações do enun ciado, é 
preciso encontrar quantas medidas de grão tem cada saco de cada classe. Seja , e as medidas das 
primeiras, segundas e terceiras classes de milho, então chegamos ao seguinte sistema : 
 
 
 
Resolvendo o sistema, concluímos que , e . 
 
Questão 6 
Leia o excerto a seguir. 
 
“Autovalores e autovetores estão presentes em diferentes ramos da matemática, incluindo formas 
quadráticas, sistemas diferenciais, problemas de otimização não linear, e podem ser usados para 
resolver problemas de diversos campos, como economia, teoria da informação, análise estrutural, 
eletrônica, teoria de controle e muitos outros.” 
A respeito dos autovalores e autovetores, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Um determinado escalar é um autovalor de se existir um vetor não nulo , tal 
que . 
II. ( ) Se é um autovetor associado a , então qualquer vetor paralelo a também é autovetor 
associado a . 
III. ( ) Se é um autovetor de , então o operador linear pode variar o módulo, o sentido e a direção 
do vetor. 
IV. ( ) Se é uma matriz quadrada sobre , então é um autovalor de se, para algum 
vetor não nulo , tivermos . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso analisar as afirmativas sobre autovalores e 
autovetores. Um determinado escalar é um autovalor de se existir um vetor não nulo , tal 
que ; logo, todo vetor que satisfaz essa relação é um autovetor de . Se é um autovetor 
associado a , então qualquer vetor paralelo a também é autovetor associado a . Se é um 
autovetor de , então o operador linear pode variar apenas o módulo e o sentido do vetor, nunca sua 
direção. Se é uma matriz quadrada sobre , então um autovalor de significa um autovalor de
 encarado como operador em ; logo, é um autovalor de se, para algum vetor não nulo , 
tivermos . Dessa forma, apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. 
 
Questão 7 
Anton e Rorres (2012, p. 295) nos trazem a seguinte definição: “se for uma matriz , então um 
vetor não nulo em é denominado autovetor de (ou do operador matricial ) se for um 
múltiplo escalar de , tal que com algum escalar . O escalar é denominado autovalor 
de (ou de ), e dizemos que é um autovetor associado a ”. 
Considerando que seja uma matriz , analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) é um autovalor de 
II. ( ) O sistema de equações tem soluções não triviais 
III. ( ) Existe algum vetor não nulo tal que 
IV. ( ) é uma solução da equação característica 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois considerando que é uma matriz , é preciso 
analisar as afirmativas e verificar se são verdadeiras ou falsas. Por definição, é um autovalor de , o 
sistema de equações tem soluções não triviais, existe algum vetor não nulo tal que
, e é uma solução da equação característica . Logo, todas as afirmativas são 
verdadeiras. 
 
Questão 8 
Seja um operador linear, então um vetor é vetor próprio do operador se 
existir tal que . Esse número real é denominado valor próprio . 
Sobre os autovetores e autovalores, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. Um vetor é vetor próprio se a imagem for um múltiplo escalar de . 
II. No , o vetor é vetor próprio do operador linear definido por associado 
a . 
III. Sempre que um vetor é vetor próprio de um operador linear associado ao valor próprio , o 
vetor , tal que , é também vetor próprio de associado ao mesmo . 
IV. O vetor sempre satisfaz à equação para qualquer valor de , assim o vetor próprio 
é sempre um vetor nulo. 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso verificar se as afirmativas estão 
apresentadas de maneira adequada ou não. Um vetor é vetor próprio se a imagem for um 
múltiplo escalar de . O vetor é vetor próprio do operador linear definido por
 associado a , uma vez que . Sempre que um vetor é vetor 
próprio de um operador linear associado ao valor próprio , o vetor , tal que , é também vetor 
próprio de associado ao mesmo , uma vez que . O vetor sempre 
satisfaz à equação para qualquer valor de , assim o vetor próprio é sempre um vetor não 
nulo. 
 
Questão 9 
Ao longo dos nossos estudos, verificamos que a Álgebra Linear apresenta aplicações em diversas 
áreas do conhecimento e uma delas é a utilização de determinantes para a construção de retas, 
círculos e seções cônicas por pontos especificados no plano. Sabendo disso, assinale a alternativa 
que apresenta a equação da reta que passa pelos dois pontos e . 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso considerar que a determinação da equação 
da reta que passa por dois pontos é feita a partir da substituição de e em . 
Logo, temos que: . 
A expansão em cofatores do determinante ao longo da primeira linha resulta e m . 
Assim, a equação da reta que passa pelos dois pontos e é: . 
 
Questão 10 
Leia o excerto a seguir. 
 
“[...] se e o operador linear têm autovalores distintos, então existe uma 
base de , de modo que a matriz de em relação à base é uma matriz diagonal.” 
 
Sabendo disso, seja , definido por , assinale a alternativa que 
apresenta uma base de autovetores. 
 
 
QUESTÃO A 
Leia o excerto a seguir: 
 
“Quando uma transformação linear for injetora e sobrejetora, ao mesmo 
tempo, dá-se o nome de isomorfismo. Quando há tal transformação entre dois 
espaços vetoriais, afirmamos que estes são isomorfos.” 
 
Considerando e sabendo que T é um 
isomorfismo, assinale a alternativa que apresenta a inversa . 
CORRETA 
 
 
QUESTÃO B 
Sejam as transformações lineares e , denomina-se aplicação 
composta de com a transformação linear , tal 
que . Se e são matrizes de e em 
quaisquer bases dos espaços , e , a matriz que representa a 
composição é dada por . 
 
Assim, considerando as transformações lineares 
e , assinale a alternativa que apresenta a matriz 
canônica de . 
 CORRETA 
 
QUESTÃO C 
Por definição, temos que uma transformação linear será sempre 
possível de ser associada a uma matriz de ordem , denominada matriz 
canônica, associada à transformação linear , cujas colunas são 
vetores . 
 
Sabendo disso e considerando a base canônica para , , 
assinale a alternativa que apresenta a matriz da transformação 
linear para . 
 CORRETA 
 
QUESTÂO D 
Por definição, o escalonamentode matrizes é um processo que nos permite 
transformar um sistema linear em uma matriz, com vistas a nos auxiliar na 
obtenção do valor das incógnitas do sistema. Sabendo disso, considere o 
 
sistema e encontre os valores das incógnitas x, y e z. Assinale a 
alternativa correta: 
 CORRETA 
 
 
 
QUESTÃO E 
Dizemos que um determinado conjunto , não vazio, é chamado de espaço 
vetorial real, se sobre ele estiverem definidas as operações de adição e de 
multiplicação por escalar, tal que e , 
respectivamente. No contexto do espaço vetorial, analise as asserções a seguir e 
a relação proposta entre elas. 
 
I. Qualquer vetor de é combinação linear dos vetores do 
conjunto 
 
POIS 
 
II. . Os vetores de são 
LI, e portanto, o conjunto é uma base de 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
 
CORRETA 
 
QUESTÃO F 
Leia o excerto a seguir. 
 
“Se é um operador linear, e possui valores próprios 
distintos, o conjunto , formado pelos correspondentes vetores 
próprios, é uma base de .” 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. 
Seja o operador linear , , o 
conjunto é uma base do . 
Pois: 
II. Os valores próprios de são e . Para , obtém-se o vetor 
próprio . Para , obtém-se o vetor próprio 
. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
CORRETA