Lista 07

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Lista 7 - Cálculo II
1) Calcule ∫ ∫
R
f(x, y)dxdy
onde f(x, y) = xexy e R = {(x, y) ∈ R2|1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 1}.
2) Em cada um dos casos esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas:
a)
∫ e
1
∫ ln x
0
1
e− ey
dydx b)
∫ π
0
∫ sin x
0
ydydx
c)
∫ 1
−1
∫ √4−x2
√
1−x2
xdydx d)
∫ 1
−1
∫ |x|
−1
(x2 − 2y2)dydx
3) Inverta a ordem de integração:
a)
∫ 3
−1
∫ −x2+2x+3
0
f(x, y)dydx b)
∫ π/4
0
∫ sin x
2
√
2
π x
f(x, y)dydx.
4) Calcular
∫ ∫
R
(2x+ y)dxdy, onde R é a região delimitada por x = y2 − 1;x = 5; y = −1 e y = 2.
5) Calcular
∫ ∫
R
(x + y)dxdy, onde R é a região delimitada por y = x2 + 1; y = −1 − x2;x = −1 e
x = 1.
6) Calcular
∫ ∫
R
(x+ 1)dxdy, sendo R a região delimitada por |x|+ |y| = 1.
7) Calcular
∫ ∫
R
(1 + x+ y)dxdy, onde R é delimitada pelo triângulo (1, 1), (1, 2) e (2,−1).
8) Calcular
∫ ∫
R
√
x2 + y2dxdy, sendo R a região delimitada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9.
9) Calcular
∫ ∫
R
xdxdy, sendo R a região delimitada por x2 + y2 − 4x = 0.
10) Calcular
∫ ∫
R
(x2 + y2)dxdy, sendo R a região interna à circunferência x2 + y2 = 4y e externa à
circunferência x2 + y2 = 2y.
11) Calcular
∫ ∫
R
xydxdy, onde R é delimitada por
x2
4
+
y2
9
= 1.
12) Calcular
∫ ∫
R
(8−x−y)dxdy, sendo R delimitada por x2+y2 = 1. Interpretar geometricamente.
13) Calcular
∫ ∫
R
xdydx, ondeR é a região do primeiro quadrante delimitada por x2+y2 = 4, x2+y2 =
1, y = x e y = 0.
14) Calcular
∫ ∫
R
(x + y)dxdy, sendo R a região delimitada por x + y = 4, x + y = 0, y − x = 0 e
y − x = −1.
Nos exercícios de 15 a 18, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
15) y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4.
16) x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2.
17) z = 16− 2x2 − y2 e z = x2 + 2y2.
18) x2 + y2 = 4 e z2 + x2 = 4.
19) Calcular o volume da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 9, que está entre os planos z = 0 e z = 2.
20) As integrais iteradas representam o volume de um sólido. Descreva o sólido.
a)
∫ 2
0
∫ 3− 32x
0
(
1− 1
2
x− 1
3
y
)
dydx b)
∫ 4
0
∫ 2
−2
√
4− x2dxdy
21) Determine a área da região R delimitada pelas curvas y = x3, x+ y = 2 e y = 0.
22) Calcular a área da elipse x2 + 4y2 − 4x = 0.
23) Calcular a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3cm, se a sua densidade de
massa em um ponto P (x, y) é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro do círculo
acrescida de uma unidade.
24) Calcular o momento de inércia de um quadrado de lado igual a 4cm, em relação ao eixo que passa
por uma diagonal. Considerar a densidade constante.
25)
∫ ∫ ∫
T
xdV , onde T é tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+ y2 + z = 4.
26)
∫ ∫ ∫
T
dV , onde T é a região do primeiro octante limitada por x = 4− y2, y = z, x = 0 e z = 0.
27)
∫ ∫ ∫
T
dV , onde T é a região delimitada por y = x2, x = y2, z = 2y e z = −2y.
28)
∫ ∫ ∫
G
dV , onde G é a região do primeiro octante limitada por y2 + z2 = 2, y = 2x e x = 0.
29)
∫ ∫ ∫
T
zdV , onde T é o sólido limitado por z = y, o plano xy e y = 2− x2.
30) Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
a)
∫ 2
0
∫ x2
0
∫ y
0
ydzdydx b)
∫ 2
0
∫ 1
2
√
4−x2
0
∫ x2+4y2
0
dzdydx
31) Calcular
∫ ∫ ∫
T
√
x2 + y2dV , onde T é a região limitada por z = x2 + y2 − 4 e z = 4− x2 − y2.
32) Calcular
∫ ∫ ∫
T
dV , onde T é a região interior ao cilindro x2−x+y2 = 0 e à esfera x2+y2+z2 = 1.
33) Calcular
∫ ∫ ∫
T
(x2 + y2 + z2)dV , onde T é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 9.
34) Calcular
∫ ∫ ∫
T
(x2 + y2 + z2)dV , sendo T a região interior ao cone z =
√
x2 + y2 e à esfera
x2 + y2 + z2 = 9.
35) Calcular
∫ ∫ ∫
T
(x2+y2)dV , sendo T a região delimitada por x2+y2 = 1, x2+y2 = 4, x2+y2+z2=9
e z = 0.
36) Calcular
∫ ∫ ∫
T
dV , sendo T a região delimitada por x2 + y2 + z2 = a2, z = 0 e z =
√
3
3
a.
37) Calcular
∫ ∫ ∫
T
(x+ y)dV , sendo T a região delimitada por x+ y = 9, x+ y = 1, y − x = 0,
z = 0, y − x = 3 e x+ y + z = 27.
38) Calcular
∫ ∫ ∫
T
(x − 2y)dV sendo T a região delimitada por (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1, z = 0 e
z = x+ y.
39) Calcular a massa e o contro de massa do sólido T , delimitado por 2x + y + z = 1 e os planos
coordenados, sabendo que a densidade de massa em P (x, y, z) é proporcional à distância até o plano xy.
40) Um sólido tem a forma da região delimitada pelo parabolóide z = 1 − x2 − y2 e o plano xy. A
densidade em P (x, y, z) é proporcional à distância de P até a origem. Escrever as integrais usadas para
calcular as coordenadas do centro de massa.
41) Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x2+y2 = 9
e pelos planos z = 2 e z = 4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x2 + y2)kg/m3.