Conceitos introdutórios à matemática

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Aline Alves dos Santos
Conceitos introdutórios 
à matemática financeira
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir números naturais, inteiros, reais, racionais, irracionais e 
porcentagem.
 � Calcular proporção, regra de três simples, potenciação, radiciação e 
logaritmos.
 � Definir progressões numéricas.
Introdução
Neste capítulo, você adquirirá conhecimentos que facilitarão seu enten-
dimento sobre os conjuntos numéricas, ou seja, quais são os números 
que são considerados nesse grupo. Além disso, aprenderá sobre as pro-
porções e sua relação à igualdade de duas razões, bem como sobre os 
métodos de cálculos de regra de três simples que possuem grandezas 
diretamente proporcionais. Por fim, verá exemplos e métodos para cál-
culos de potenciação, de radiciação e logaritmos, envolvendo também 
as progressões numéricas.
Entendendo os conjuntos numéricos: 
naturais, inteiros, reais, racionais, 
irracionais e porcentagem
Números naturais
Conforme Oliveira (2016), o conjunto dos números naturais, ou de contagem, 
como também é conhecido, se refere aos números inteiros e positivos, sendo 
representado pelo símbolo N. 
Oliveira (2016) exemplifica os números naturais como: N = 
{0,1,2,3,4,5,6,7,...185, 296,...301...}. Todos os números que compõem o con-
junto dos números naturais possuem outro número que o antecede, exceto o 
número zero.
É importante destacar que o símbolo * elimina o zero de todos os conjuntos numéricos, 
observe: N* = {1,2,3,4,5,6,...} (OLIVEIRA, 2016).
Os números naturais representam os que iniciam com 0 (zero) e sem-
pre são positivos. O surgimento dos números naturais ocorreu a partir da 
necessidade do homem de entender melhor o mundo à sua volta. Bonafini 
(2014, p. 2) afirma que “[...] a distância entre dois pontos no espaço, por exemplo, 
pode ser calculada com números naturais. O tempo só pode ser estimado com 
números naturais [...]”.
Números reais
De acordo com Bonafini (2014), os números reais podem ou não ser apresenta-
dos no formato decimal. A representação decimal pode ser feita por decimais 
exatos, ou periódicos (conhecidos por números racionais), e por decimais não 
exatos, ou não periódicos (conhecidos por números irracionais). Os números 
reais são representados pela simbologia R.
Os números reais podem ser representados pelos exemplos a seguir 
(BONAFINI, 2014):
–7, 0, 1, 25, 78, 2, 444…, √3, 8/5, 16 e π.
Subconjuntos relevantes que pertencem aos números reais:
 � Números naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
 � Números inteiros {…, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}
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Números racionais e irracionais: 
As chaves { } são utilizadas para descrever conjuntos com seus elementos.
Um número é racional quando pode ser escrito como uma razão a/b de 
dois números inteiros, onde b ≠ 0. Podemos usar a notação de conjunto com 
propriedade para descrever os números racionais (BONAFINI, 2014, p. 3):
O conjunto dos números reais possui uma classificação, sendo possível 
verificar números reais e analisá-los quando são maiores ou menores que o 
outro. A ordem, conforme Bonafini (2014), pode ser evidenciada conforme o 
Quadro 1, a partir do qual é possível visualizar a posição de a em relação a b.
Fonte: Adaptado de Bonafini (2014).
Símbolo Definição Leitura
a > b a – b é positivo a é maior que b
a < b a – b é negativo a é menor que b
a ≥ b a – b é positivo ou zero a é maior ou igual a b
a ≤ b a – b é negativo ou zero a é menor ou igual a b
*Os símbolos >, <, ≥ e ≤ são símbolos de desigualdade.
Quadro 1. Ordenação dos números reais, sejam a e b dois números reais quaisquer*
Números inteiros
Os números inteiros são constituídos por números positivos e por números 
negativos, mais o número 0 (zero), compondo dessa forma o conjunto dos 
números inteiros. Os números inteiros são representados simbolicamente 
pela letra Z.
Os números inteiros contemplam os números naturais N e os que são a 
eles equiparados e não nulos. Nesse contexto, Oliveira (2016, p. 22) afirma 
que “[...] dois números inteiros são simétricos quando a sua soma é zero [...]”.
3Conceitos introdutórios à matemática financeira
Exemplo de como o conjunto dos números inteiros pode ser representado 
(OLIVEIRA, 2016):
Z = {..., –4, –3, –1, 0, 1, 2,...} ou ainda Z = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3,...}
Números racionais
De acordo com Oliveira (2016), os números racionais correspondem aos que 
podem ser apresentados por frações, ou seja, com numerador e denominador 
inteiros e denominador não considerado nulo, que, desse modo, não pode 
ser 0 (zero). É possível afirmar que os números inteiros e os naturais são 
entendidos como racionais, já que podem ser evidenciados como uma fração 
de denominador 1. O símbolo que representa os números racionais é a letra Q.
Exemplos de números racionais:
 � 3: porque pode ser escrito 
 � –5: porque pode ser escrito 
 � 0,33333...: porque corresponde a 
Números irracionais
Ao contrário dos números racionais, os irracionais não podem ser apresentados 
em forma de fração, onde o numerador e o denominador representem números 
que façam parte do conjunto dos números inteiros.
O número π não é considerado racional, já que sua escrita decimal é infinita 
e não repete algarismos de modo periódicos. Dessa forma, os números não 
racionais são considerados irracionais e são representados pelo símbolo Q ou 
R – Q (OLIVEIRA, 2016).
Porcentagem ou percentagem
De acordo com Oliveira (2016), a porcentagem ou percentagem, como também 
é denominada, corresponde a uma razão (fração) que possui denominador 100. 
A porcentagem é bastante utilizada para representar aumentos ou reduções 
em preços, quantidades ou números, tendo como base 100 unidades.
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A porcentagem representa o valor adquirido a partir da aplicação de uma razão cen-
tesimal a um valor específico. A razão centesimal se refere a uma expressão fracionária 
que possui denominador igual a 100 (OLIVEIRA, 2016). 
Para se obter 1 por cento é necessário dividir o inteiro em 100 partes exata-
mente iguais, ou seja, seria necessário dividir o 1 por 100, que é denominado 
razão centesimal ou razão porcentual. A porcentagem é representada pelo 
símbolo % (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Exemplos de cálculo de porcentagem
João precisa pagar a um amigo 8% de comissão sobre R$ 250,00 referente a ingressos 
que foram vendidos para uma festa que ele estava anunciando. Desse modo, observe 
como pode ser calculada a porcentagem de 8% sobre os R$ 250,00.
Resolução:
8% de 250 = · 250 = = 20
Seria possível aplicar a proporção para encontrar os 8% sobre os R$ 250,00 da seguinte 
forma:
Resolução:
 = 
100 · x = 250 · x
x = 
x = 20
5Conceitos introdutórios à matemática financeira
Calculando proporção, regra de três simples, 
potenciação, radiciação e logaritmos
Proporção
Conforme Faria (2015), a proporção corresponde à igualdade existente entre 
duas razões. De acordo com Castanheira e Macedo (2012), a proporção 
lê-se 2 está para 6, assim como 3 está para 9.
Uma proporção pode ser apresentada da seguinte forma: ou 
a:b = c:d (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Exemplos de cálculos de proporção: 
1. = 
Resolução:
(20 · y) = (5 · 6) 
20y = 30
y = = 1,5
2. A cada 5 alunos de uma determinada faculdade que cursam a graduação, 2 pre-
tendem dar continuidade aos seus estudos até a pós-graduação. Considerando 
uma classe da graduação formada por 20 alunos que pretende estudar até a pós-
-graduação, tem-se o seguinte:
Resolução:
 = 
2 · 20 = 5 · x
x = = 8
Desse modo, é possível afirmar que 8 alunos pretendem continuar estudando até 
a pós-graduação (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
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Regra de três simples
A regra de três simples é considerada um método de fácil aplicação e é muito 
comum na matemática financeira, sendo aplicada para identificar possíveis 
lucros, prejuízos, descontos adquiridosou concedidos, entre outros (BRUNI; 
FAMÁ, 2012).
Para aplicar a regra de três simples existem alguns procedimentos que 
podem ser seguidos, conforme vemos a seguir.
a) É possível elaborar uma tabela com colunas que podem contemplar as 
grandezas que são do mesmo tipo, como, por exemplo, quantidade e 
valores. Já nas linhas deverão estar as demais grandezas, ou seja, as 
que forem de diferentes espécies.
b) É preciso reconhecer se as grandezas são direta ou indiretamente 
proporcionais.
c) É preciso utilizar o elemento x para descobrir o valor que está se 
procurando.
d) O numerador multiplicará o denominador da outra fração, e, nesse 
caso, poderão ser traçadas setas em x.
e) Resolver a equação, a fim de encontrar o valor da incógnita.
Exemplo de cálculo de regra de três simples:
1. Uma empresa concedeu um desconto de 12% para uma duplicata, resultando em 
um valor líquido de R$10.000,00. Dessa forma, qual seria o valor original da duplicata?
Como o valor original antes da aplicação do desconto não é conhecido, é preciso 
considerar ele como 100%. Desse modo, 100% 10 – 12% = 88%. Assim, entende-se 
que R$10.000,00 representa 88% do valor da duplicata.
Com o intuito de descobrir qual era o valor correspondente aos 100% da duplicata, 
aplica-se a regra de três simples, observe:
10.000 – 88%
x – 100%
x = · 100 – 10.363,64
O valor R$11.363,64, encontrado a partir da aplicação de regra de três, representa o 
valor original da duplicata antes do desconto (BRUNI; FAMÁ, 2012).
7Conceitos introdutórios à matemática financeira
Potenciação
Conforme Bonafini (2014), a potenciação representa um método resumido 
para apresentar uma multiplicação que possui fatores idênticos. É possível 
afirmar que a potenciação é utilizada quando ocorre a multiplicação de um 
número por ele mesmo diversas vezes:
an = a · a · a · a ... a
Exemplo de cálculo de potência (BONAFINI, 2014):
1. 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1.024
2. 42 = 4 · 4 = 16
3. (–64) = (–6) · (–6) · (–6) · (–6 ) = 1.296 (o resultado dessa operação gera um resultado 
positivo, visto que é preciso considerar que, quando sinais são iguais, o resultado 
será positivo). 
Conforme Oliveira (2016), vale destacar que toda base distinta de zero, 
quando elevada a zero, tem por resultado 1. 
Exemplo de potenciação elevada à base zero:
20 = 1
(–3)0 = 1
Conceitos introdutórios à matemática financeira8
Radiciação
Bonafini (2014) define que a radiciação corresponde a uma equação matemática 
que é contrária à potenciação e suas propriedades consideradas essenciais e 
que pode contribuir com os cálculos que contemplam raízes.
A Figura 1 apresenta os elementos da radiciação, indicando que b, mul-
tiplicado por ele próprio por uma certa quantidade de vezes n, representa a.
Figura 1. Propriedade da radiciação.
Fonte: Adaptada de Oliveira (2016).
Conforme Oliveira (2016), as operações com radicais contemplam: adição, 
subtração, multiplicação e divisão.
Exemplo de cálculo de algumas operações com radicais:
 � √49 = 7, já que 72 = 49.
 � 3√2 · 2√5 = 6√10
 � √2 + 3√2 = 1√2 +3√2= 4√2 
9Conceitos introdutórios à matemática financeira
Logaritmos
Conforme Faria (2015), os logaritmos correspondem a uma equação mate-
mática utilizada com a finalidade de descobrir o expoente de uma potência 
que não se conhece. 
Se Xy = Z, é possível afirmar que o logaritmo de Z na base X é igual a Y 
(BRUNI; FAMÁ, 2012).
Exemplo de cálculo das técnicas de logaritmos aplicado à matemática financeira:
1. Maria aplicou R$ 500,00 (C) em uma instituição financeira, a fim de obter retorno 
de juros mensais (i) de 3,5% no regime de juros compostos. Qual será o tempo (t) 
necessário para que Maria adquira o montante (M) de R$ 3.500,00?
M = 3.500,00
C = 500,00
i = 3,5% a.m
=?
M = C · (1+i)t
3.500 = 500 · (1+0,035)t
1,035t = 7
Aplicando logaritmo:
log 1,035t = log 7
t . log 1,035 = log 7
t . 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451/0,0149
t = 56,7 
Para que Maria alcance o montante de R$ 3.500,00, será necessário aguardar por 
56,7 meses de aplicação (FARIA, 2015).
Progressões numéricas
Conforme Oliveira (2016), as progressões numéricas contemplam a progressão 
aritmética e a progressão geométrica.
Conceitos introdutórios à matemática financeira10
Progressões aritméticas
As progressões aritméticas estão inclusas diariamente em diversas situações, 
como, por exemplo, no cálculo dos juros sobre o rendimento da poupança, 
sobre os juros que serão pagos em uma compra de um bem que será parcelada 
em diversas vezes, entre outras.
Para calcular os juros da poupança, é preciso multiplicar o capital investido 
de forma mensal por um valor fixo. Já no caso da compra de um bem, o valor 
pago é decorrente do total das parcelas que foram pagas.
Oliveira (2016, p. 74) afirma que “[...] as sequências ou sucessões são conjun-
tos, finitos ou não, cujos elementos são dispostos entre parênteses e separados 
por vírgulas (ou ponto e vírgulas, quando forem números decimais) [...]”:
 ■ (0,1, 2, 3, 4, 5)
 ■ (-2, 0, 7, -19, -1, 0,2)
 ■ (1, 1, 1, 1, 1,...)
 ■ (1, 7, 9, 16, 23, 36, 48,...)
Conforme Oliveira (2016, p. 74), a apresentação das sequências pode ser 
da seguinte forma:
Toda sequência pode ser escrita como (a1, a2, a3, ..., an,...), em que a representa 
o termo e n é o índice, que indica a posição do termo, sempre contando da 
esquerda para a direita.
Assim, considerando a sequência (1, 5, 9, 13, 17), então a2 + a5, é o mesmo 
que 5 + 17 = 22; e a3 – a4, 9 – 13 = –4.
A progressão aritmética (PA) corresponde a sucessões onde cada item 
a partir do segundo é idêntico ao seu antecessor, somado a um valor fixo 
definido por razão (r) (OLIVEIRA, 2016).
a) (1, 2, 3, 4, 5, 6) representa uma PA denominada crescente, já que r > 0.
b) (2, 6, 10, 14, 18, 22, ...) representa uma PA infinita de razão = 4.
11Conceitos introdutórios à matemática financeira
Exemplo de cálculo de progressões aritméticas aplicadas à matemática financeira:
J = C · i · n
J = juros
C = capital
i = taxa
n = tempo
M = C + J ou M = C (1 + i · n)
M = montante
C = capital
J = juros
i = taxa
n = tempo
1. Juliana está com a conta de energia elétrica no valor de R$ 309,00 vencida há 9 
dias e precisa pagá-la. Para contas em atraso, deve ser considerada uma multa de 
2%, independentemente da quantidade de dias. Deve ser considerado, ainda, juros 
mensais de 1% para um período de 30 dias. Calcule o valor que Juliana deve pagar 
considerando os dias em atraso.
Passo a passo da resolução: 
Multa 2% = · 309 – 6,18
Juros (1% ao mês) = % = 1/100 · 9/30 · 309 = 0,93
Pagamento realizado em atraso = 309,00 + 6,18 + 0,93 = 316,11.
Progressões geométricas
De acordo com Oliveira (2016), as progressões geométricas são identificadas 
por PG e representam sequências ou sucessões onde cada termo depois do 
segundo é idêntico ao seu antecessor multiplicado por um valor fixo, denomi-
nado razão q. A seguir, você pode verificar exemplos de progressão geométrica 
com PG crescente e infinita, PG decrescente e finita, PG alternante e infinita 
e PG constante.
Conceitos introdutórios à matemática financeira12
 � (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
q = 2, (PG crescente e infinita)
 � (100, 50, 25, , )
q = (PG decrescente e finita)
 � (7, –14, 28, –56, 112, ...)
q = –2 (PG alternante e infinita)
 � (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,)
q = 1 (PG constante)
Fonte: Oliveira (2016, p. 78).
Ao observar a sequência (5, 10, 20), é possível analisar que cada termo 
multiplicado por 2 tem os seguintes resultados:
5 × 2 = 10; 10 × 2 = 20; 20 × 2 = 40. Esse exemplo corresponde a uma 
progressão geométrica (PG).
Fórmulas: geral e finita da progressão geométrica (OLIVEIRA, 2016).
 � an = a1 · q
n – 1 (fórmula geral de uma PG);
 � para q ≠ 1 (fórmula da soma dos termos de uma PG 
considerada finita).
Analise o cálculo dos juros compostos e a progressão geométrica (FARIA, 2015):
1. Cláudio realizou uma aplicação a juros compostos no valor de R$ 5.000,00. O 
investimento foi realizado em uma instituição financeira com rendimentos de 2% 
ao mês. Apresenteo montante adquirido ao final de cada mês durante o primeiro 
ano do investimento.
Conforme Faria (2015), existe uma sequência de montantes que constituem uma 
progressão geométrica de razão 1 + 0,02 = 1,02. A solução da questão 1 pode ser 
visualizada no Quadro 2.
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Fonte: Adaptado de Faria (2015).
Mês Montante (M)
1º M = 5000 ∙ 1,02 = 5100
2º M = 5100 ∙ 1,02 = 5202
3º M = 5202 ∙ 1,02 = 5306,04
4º M = 5306,04 ∙ 1,02 ≈ 5412,16
5º M = 5412,16 ∙ 1,02 ≈ 5520,40
6º M = 5520,40 ∙ 1,02 ≈ 5630,81
7º M = 5630,81 ∙ 1,02 ≈ 5743,43
8º M = 5743,43 ∙ 1,02 ≈ 5858,30
9º M = 5858,30 ∙ 1,02 ≈ 5975,46
10º M = 5975,46 ∙ 1,02 ≈ 6094,97
11º M = 6094,97 ∙ 1,02 ≈ 6216,87
12º M = 6216,87 ∙ 1,02 ≈ 6341,21
Quadro 2. Cálculo de juros compostos e progressão geométrica
O Quadro 2 apresenta o cálculo dos juros compostos mensalmente a partir 
da aplicação realizada no exemplo de cálculo via progressão geométrica.
A fim de entender de forma clara a matemática financeira, é fundamental 
que se tenha conhecimentos sobre regras e conceitos elementares. O conteúdo 
apresentado neste capítulo buscou demonstrar de que forma a matemática está 
relacionada com a matemática financeira.
Conceitos introdutórios à matemática financeira14
BONAFINI, F. C. Matemática e estatística. São Paulo: Pearson, 2014.
BRUNI, A. L; FAMÁ, R. Matemática financeira: com HP 12C e excel. 5. ed. São Paulo: 
Atlas, 2012.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Inter-
Saberes, 2012. 
FARIA, W. L. S. Matemática financeira aplicada aos ensinos fundamental e médio. 2015. 
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Programa de Mestrado Profissional em 
Matemática em Rede Nacional, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade 
Federal de Goiás, Goiânia, 2015. Disponível em: https://repositorio.bc.ufg.br/tede/
handle/tede/4606. Acesso em: 23 jul. 2019.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
Leituras recomendadas
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
WAKAMATSU, A. (org.). Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012.
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