Lei de Gauss e suas aplicações - UNESA

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DESCRIÇÃO
A construção dos principais conceitos e aplicações fundamentais da Eletrostática para
distribuições contínuas de cargas elétricas, Lei de Gauss e suas aplicações na moderna teoria
eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Generalizar os conceitos e aplicações de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições
contínuas de cargas, por meio da Lei de Coulomb e da Lei de Gauss, com aplicações diretas
na obtenção de potenciais elétricos e capacitâncias de sistemas eletrostáticos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial
e do Cálculo Diferencial e Integral. Também será útil ter em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 2
Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
MÓDULO 3
Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 4
Calcular a capacitância
INTRODUÇÃO
A Eletrodinâmica Clássica é a interação fundamental com que experimentamos e observamos
a natureza do universo. Nossa ciência e tecnologia necessitam desses conhecimentos para
continuar progredindo. Vamos generalizar e aprofundar o tema da Eletrostática para
distribuições contínuas de cargas elétricas, compreender uma das leis fundamentais da
natureza, a Lei de Gauss, e aplicar esses conhecimentos a alguns de seus subprodutos, o
cálculo de potenciais elétricos e capacitâncias: o início da tecnologia elétrica. Bons estudos!
MÓDULO 1
 Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES
INTRODUÇÃO
A Eletrostática não se limita ao estudo dos princípios e fenômenos de cargas e campos
elétricos de distribuições discretas de cargas. Na verdade, podemos generalizar esses
conceitos para fenômenos nos quais as cargas elétricas estão continuamente distribuídas,
formando um continuum de cargas elétricas e seus campos. Certamente, as cargas elétricas
são discretizadas, individuais, como sabemos da Física Microscópica, mas vamos considerar
que tenhamos tantas cargas elétricas e tão próximas, umas das outras, que possamos
considerá-las distribuídas continuamente.
 VOCÊ SABIA
Pense na circunstância de um fluido. Sabemos que um corpo fluídico é composto por
moléculas que podem ser individualizadas, mas no conjunto formam uma substância fluídica.
Então, vamos utilizar essa aproximação e tratar de conjuntos contínuos de cargas elétricas,
nos quais não mais individualizaremos as cargas elétricas de partículas, mas de corpos
elétricos carregados por cargas elétricas distribuídas formando um continuum de cargas, isto é,
distribuições contínuas de cargas elétricas e suas densidades de cargas, que já vamos definir.
 
Fonte: James Kirkikis/Shutterstock
Para distribuições de cargas elétricas discretas, definimos o campo eletrostático, por meio da
Lei de Coulomb e do princípio de superposição, em que o campo resultante, medido em certo
ponto P, é o somatório dos campos de cada carga fonte individualizada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas se as cargas elétricas formarem um continuum de cargas, precisaremos alterar nossa
definição de campo elétrico, na qual substituiremos o somatório, que indica a discretização
→
E (r)≡ ∑ni=1 r̂ i
1
4π∈0
qi
r2i
javascript:void(0)
das cargas e posições destas, por uma integral, que indica um continuum de elementos de
carga e funções contínuas de posição.
DISCRETIZAÇÃO
Ato ou efeito de discretizar ou de transformar uma distribuição contínua em unidades
individuais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os elementos de carga elétrica, dq, são usualmente definidos em termos de densidades de
cargas elétricas. Na equação acima, r indica a distância de cada elemento de carga dq ao
ponto de medida do campo, e é o vetor unitário direcional de cada elemento de carga ao
mesmo ponto de medida do campo, não sendo, portanto, um vetor unitário constante, e assim
devem ser considerados na integração.
DEMONSTRAÇÃO
Para demonstrar como se processa o cálculo do campo eletrostático para distribuições
contínuas de cargas elétricas, precisamos demonstrar como definir o que são densidades de
cargas elétricas e seu campo elétrico associado.
DENSIDADES DE CARGAS ELÉTRICAS
→
E (r)= ∫ r̂dq14π∈0
1
r2
r̂
Os materiais elétricos, ou eletrizáveis, podem conter cargas elétricas distribuídas de três
formas distintas: linearmente, superficialmente ou volumetricamente. Essencialmente, será
a relação da carga do material, em uma região delimitada do espaço com simetria linear,
superficial ou volumétrica, com sua geometria.
I - DENSIDADE LINEAR DE CARGAS Λ :
II - DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS Σ:
III - DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE CARGAS 
Ρ:
Em que dl é o elemento de comprimento ao longo de uma linha, dA é o elemento de área de
uma superfície e dV é o elemento de volume.
Assim, sempre que tivermos um material carregado num continuum de cargas, para cada
simetria de um problema e sua densidade de cargas, teremos uma configuração do campo
eletrostático. Devemos atentar para o fato de que as cargas são estáticas e conservadas, ou
seja, dizemos que a totalidade das cargas elétricas com que lidamos na Eletrostática é
estacionária.
CAMPO ELETROSTÁTICO PARA
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS
ELÉTRICAS (LEI DE COULOMB)
A) PARA DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGAS:
dq = λ dl  →  λ =  
dq
dl
dq = σ dA  →  σ =  
dq
dA
dq = ρ dV →  ρ =  
dq
dV
→
E (r)
 
B) PARA DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE
CARGAS:
 
C) PARA DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE
CARGAS:
 
Ainda vamos definir os conceitos de materiais condutores.
 COMENTÁRIO
Os materiais carregados podem possuir diferentes densidades de cargas em suas geometrias,
definidas por regiões de carga, mas para este tema, vamos aplicar a problemas com
densidades de cargas constantes ou de funções simples.
→
E (r)
→
E (r)
Em quaisquer das situações de simetrias e geometrias, é usualmente conveniente trabalhar
com elementos de campo elétrico e, ao final, integrá-los para o campo resultante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
MÃO NA MASSA
1. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, SOBRE
A MEDIATRIZ DE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE
CARREGADO, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA, Λ, CONSTANTE E
COMPRIMENTO L.
A) 
B) 
C) 
D) 
2. CONSIDERE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE
CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS X, COM DENSIDADE LINEAR DE
CARGA, Λ, CONSTANTE E COMPRIMENTO L. MAS DIFERENTEMENTE DO
PROBLEMA ANTERIOR, CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE
NUM PONTO P, AO LONGO DO EIXO DOS Y, CONSIDERANDO QUE A
ORIGEM, 0, DO SISTEMA COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO
→
E (r)  = ∫ d
→
E
−−−→
E(y) =  [  ] ĵ2kλy
L
√L2+ x2
−−−→
E(y) =  [  ] ĵ2kλy
y
√r2+ y2
−−−→
E(y) =  [  ]  î2kλ
x2
L
√L2+ y2
−−→
E(y) = [ ] ĵ2kλ
y
L
√L2+ y2
CORPO CARREGADO, E O COMPRIMENTO L, QUANDO MEDIDO DE ,
ESTÁ DELIMITADO PELOS ÂNGULOS Θ1< Θ2.
A) 
B) 
C) 
D) 
3. UM ANEL CIRCULAR FOI HOMOGENEAMENTE CARREGADO, TEM
DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ, CONSTANTE, CARGA TOTAL Q E
RAIO R. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE EM UM PONTO P
AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.
A) 
B) 
C) 
D) 
4. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE, PODE SER CONSTRUÍDO
COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO,
R, DOS ANÉIS VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R.
CONSIDERANDO ISSO, CALCULE O CAMPO ELÉTRICO DESSE DISCO,
NUM PONTO P AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.
A) 
B) 
P0
→
E = [(cosθ2 − cosθ1) î + (senθ2 − senθ1) ĵ] 
k λ
y
→
E = [(senθ2 − senθ1) î + (cosθ2 − cosθ1) ĵ]
k λ
y
2
→
E = [(cosθ2 − senθ1) î + (cosθ2 − senθ1) ĵ]
k λ
y
→
E = [(cosθ2 − cosθ1) î + (senθ2 − senθ1) ĵ]
k λ
r
2
−−−→
E(p)=  r̂
k Q2
(R
2
+ z2)
3/2
−−−→
E(p) =  ẑ
k Q z
(R2+ z2)3/2
−−−→
E(p) =  r̂
k Q 
r2
−−−→
E(p) =  ẑ
k Q R
(R2+ z2 )
3
2
−−−→
E(p) =  ẑ
k Q z
(R2+ z2)3/2
−−−→
E(p) = 2 π k σ z [  ] ẑ1
(R2+ z2)
1/2
C) 
D) 
5. CONSIDERE UMA CASCA ESFÉRICA, OCA, HOMOGÊNEA, DE RAIO R,
E SUPERFICIALMENTE CARREGADA COM UMA DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE, VIA LEI DE
COULOMB, O SEU CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE EXTERNO À CASCA,
COM R≥R.
A) 
B) 
C) 
D) 
6. UM FIO HOMOGENEAMENTE CARREGADO TEM UMA DENSIDADE
LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE E ESTÁ ENCURVADO AO MODO DE
UM ARCO CIRCULAR DE ÂNGULO 2Θ0 E RAIO R, SIMETRICAMENTE EM
RELAÇÃO AO EIXO Y. CALCULE A COMPONENTE, NÃO NULA, DE SEU
CAMPO ELÉTRICO, NO CENTRO DO ARCO, NA ORIGEM DO SISTEMA
COORDENADO XY.
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
−−−→
E(p) = 2 π k σ [  −   ] ẑ 1z
1
(R2+ z2 ) 1/2
−−−→
E(p) = 2 π k σ z [  −   ] ẑ 1z
1
(R2+ z2 ) 1/2
−−−→
E(p) =  Ŝ
k Q 
S2
−−−→
E(p) =  r̂
k Q 
R2
−−−→
E(p) =  r̂
k Q 
r2
−−−→
E(p) =  r̂
k Q 
r
Ex(p)=   sen(θ0)
2 k λ
θ0
Ey(p)=   cos(θ0)
2 k λ
R2
Ey(p)=   sen(θ0)
2 k λ
R
Er(p)=   sen(θ0)
2 k λ
R2
1. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, sobre a mediatriz de um seguimento
de reta uniformemente carregado, com densidade linear de carga, λ, constante e
comprimento L.
CAMPO DO SEGMENTO DE RETA
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The resource you are looking for
has been removed, had its name
changed, or is temporarily
unavailable.
2. Considere um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x,
com densidade linear de carga, λ, constante e comprimento L. Mas diferentemente do
problema anterior, calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo
dos y, considerando que a origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda do
corpo carregado, e o comprimento L, quando medido de , está delimitado pelos
ângulos θ1< θ2.
A alternativa "A " está correta.
P0
3. Um anel circular foi homogeneamente carregado, tem densidade linear de carga λ,
constante, carga total Q e raio R. Calcule o campo elétrico resultante em um ponto P ao
longo do seu eixo axial, z.
A alternativa "B " está correta.
CAMPO DO ANEL
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The resource you are looking for
has been removed, had its name
changed, or is temporarily
unavailable.
4. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ,
constante, pode ser construído como uma sucessão de anéis concêntricos, fazendo o
d
→
E=dEx ı̂+dEy ȷ̂=k r̂
dEx= sinθ
dEy= cosθ
dq=λdx
cos θ=       ;    r2=x2+y2
tg θ=      ⇒   dx=y sec2θ dθ
secθ=
dq
r2
k dq
r2
k dq
r2
y
r
x
y
r
y
dEx = − sin θ
        dEx = − λ(y sec2 θ dθ)    
dEx = − λy dθ
dEx = − λ dθ
                            
dEy = λ(y sec2 θdθ)
dEy = λy ⋅ dθ
dEy = λdθ
k dq
r2
k  sin θ
r2
k  sin θ
r2
r2
y2
k  sin θ
y
k  cos θ
r2
k cos θ
r2
r2
y2
k cos θ
y
Ex = − ∫
θ2
θ1
sen θdθ = (cos θ2 − cos θ1)
Ey = ∫
θ2
θ1
cos θdθ = (sin θ2 − sin θ1)
→
E = Ex ı̂ + Ey ȷ̂
→
E = [ (cos θ2 − cos θ1)ı̂ + (sen θ2 − sin θ1)  ȷ̂  ]
kλ
y
kλ
y
kλ
y
kλ
y
kλ
y
raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o campo
elétrico desse disco, num ponto P ao longo do seu eixo axial, z.
A alternativa "D " está correta.
CAMPO DO DISCO
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
5. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e superficialmente
carregada com uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de
Coulomb, o seu campo elétrico resultante externo à casca, com r≥R.
A alternativa "C " está correta.
Vamos calcular a contribuição ao campo, no ponto P externo, de cada anel na casca, de área 
 (de perímetro e largura ). Devemos encontrar um
vínculo entre as três variáveis para simplificar a integração, que será feita na variável
S. A soma de todas as contribuições de campo resultam não-nulas somente na direção radial
esférica, por simetria do problema. A carga total será O campo externo será,
incrivelmente, como o de uma partícula carregada. Partiremos da relação da lei dos cossenos, 
, aplicada ao problema e depois obteremos a sua derivada.
Também usaremos a outra relação da lei dos cossenos, ao problema, dada por 
, ambas para expressar os vínculos entre θ, α e S.
dA = 2 πR2senθ dθ 2 π Rsenθ R dθ
θ,α e S,
Q = σ(4πR2).
S2 = r2 + R2 − 2rRcosθ
R2 = r2 + S2 − 2rSco sα
S2 = r2 + R2 − 2rR cosθ
2S dS = 2rR senθ dθ
senθ dθ =
R2 = r2 + S2 − 2rS cosα
co sα =
S dS
rR
−R2+S2+r2
2rS
dq = σ dA = 2πσR2 sen θdθ
dEr(p)= co s α
dEr(p)= sen θdθ cos α
dEr(p)= ⋅ ⋅[ ]
dEr(p)= ⋅[ ]dS
dEr(p)= [1 + ]dS
k dq
s2
k2πσR2
S2
k2πσR2
S2
SdS
rR
−R2+S2+r2
2rS
kσπR
r2
S2+r2−R2
S2
kσπR
r2
r2−R2
S2
Er(p)= ∫ dEr
Er(p)= [S − ]
(r+R)
(r−R)
Er(p)= =
−→
E (p)= Er(p) ̂r
−→
E (p)= r̂
kσπR
r2
(r2−R2)
S
kσ4πR2
r2
kQ
r2
kQ
r2
6. Um fio homogeneamente carregado tem uma densidade linear de cargas, λ, constante
e está encurvado ao modo de um arco circular de ângulo 2θ0 e raio R, simetricamente
em relação ao eixo y. Calcule a componente, não nula, de seu campo elétrico, no centro
do arco, na origem do sistema coordenado xy.
A alternativa "C " está correta.
A componente x do campo será nula, com a simetria do problema. Somente a componente y
não será nula, na origem. O elemento do arco será Vamos integrar de dl = R dθ. −θ0 a θ0.
→
E (p) = Ex(p) ı̂ + Ey(p)  ȷ̂
Ex(p) = 0
Ey(p) = ∫ dEy(p)
dEy(p) = co s θkdqR2
dq = λdl = λRdθ
dEy(p) = co s θdθ
Ey(p) = ∫
θ0
−θ0
cos θdθ
Ey(p) = se n θ0
kλR
R2
kλ
R
2kλ
R
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Uma das importantes aplicações práticas da Eletrostática diz respeito a esse
problema. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e superficialmente
carregada com uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de
Coulomb, o seu campo elétrico interno à casca, com 
RESOLUÇÃO
Já fizemos um problema semelhante, porém para o cálculo do campo externo à casca
esférica. Todos os passos são idênticos, até antes da integração final. Retomemos aquele
resultado. Vamos, então, posicionar o ponto P dentro da casca e alterar os limites de
integração em S para esses pontos internos à casca, de 
Etapa 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Etapa 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
r < R.
(R − r)  a (R + r).
dEr(p)= [1 + ]dSkσπRr2
r2−R2
S2
Er(p) = ∫ dEr
Er(p)= [S − ]
(R+r)
(R−r)
kσπR
r2
(r2−R2)
S
Etapa 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Etapa 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O campo elétrico interno a uma superfície esférica, oca e homogeneamente carregada é nulo.
Esse fenômeno de blindagem eletrostática, muito utilizado tecnologicamente, tem o nome de
Gaiola de Faraday. Perturbações elétricas externas à casca fechada não afetam o campo
elétrico interno à casca, que continua nulo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE NOVAMENTE UM SEGUIMENTO DE RETA
UNIFORMEMENTE CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS X, COM
Er(p)= [(R + r)−(R − r)− + ]kσπRr2
( r2−R2 )
(R+r )
( r2−R2 )
(R−r )
Er(p)= [2r − r + R − r − R]= 0
kσπR
r2
→
E (p)= 0
DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ E COMPRIMENTO L. CALCULE O
CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, AO LONGO DO EIXO
DOS Y, CONSIDERANDO QUE A ORIGEM, 0, DO SISTEMA
COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO CORPO CARREGADO, E
SEU COMPRIMENTO L, QUANDO MEDIDO DE , ESTÁ DELIMITADO
PELOS ÂNGULOS Θ1 < Θ2. COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO
OBTIDO, FAÇA SEU COMPRIMENTO L TENDER A INFINITO E
RESPONDA: QUAL É O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR ESSA RETA
HOMOGENEAMENTE CARREGADA, COM DENSIDADE LINEAR DE
CARGAS, Λ, E COMPRIMENTO INFINITO? UMA RETA INFINITA.
A) 
B) 
C) 
D) 
2. CONSIDERE NOVAMENTE UM DISCO HOMOGENEAMENTE
CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, QUE
PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS
CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO DOS ANÉIS VARIAR DESDE A
ORIGEM ATÉ O RAIO R. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO DESSE DISCO,
NUM PONTO P AOLONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z. COM ESSE VETOR
CAMPO ELÉTRICO OBTIDO, FAÇA SEU RAIO R TENDER A INFINITO E
RESPONDA: QUAL É O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR ESSE PLANO
HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE
CARGAS, Σ CONSTANTE, E COM DIMENSÃO INFINITA? UM PLANO
INFINITO.
A) 
B) 
C) 
P0
→
E =   sen θ ĵ2 k λy
→
E =    ĵ2 k λ
y
→
E =  0
→
E =    ĵ2 k λx
−−−→
E(p) = ∞
−−−→
E(p) = (2πkσ z) ẑ
−−−→
E(p) = (2πkσ) ẑ
D) 
GABARITO
1. Considere novamente um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do
eixo dos x, com densidade linear de carga λ e comprimento L. Calcule o campo elétrico
resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y, considerando que a origem, 0, do
sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado, e seu comprimento L,
quando medido de , está delimitado pelos ângulos θ1 < θ2. Com esse vetor campo
elétrico obtido, faça seu comprimento L tender a infinito e responda: Qual é o campo
elétrico gerado por essa reta homogeneamente carregada, com densidade linear de
cargas, λ, e comprimento infinito? Uma reta infinita.
A alternativa "B " está correta.
 
A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:
−−−→
E(p) = 0
P0
Se fizermos , o seguimento de reta carregado, L, tenderá à
dimensão infinita. A componente horizontal, na direção x, irá desacoplar, anulando-se. A
componente vertical, na direção y, se somará, resultando em:
Ou seja, o campo elétrico será inversamente proporcional à distância da linha infinita carregada
e não haverá mais a informação angular. Esse resultado é importante tecnologicamente
quando a distância da fonte do campo é muito menor que a extensão da linha carregada e
pudermos excluir efeitos de contorno das extremidades da linha
2. Considere novamente um disco homogeneamente carregado, com densidade
superficial de cargas, σ, que pode ser construído como uma sucessão de anéis
concêntricos, fazendo o raio dos anéis variar desde a origem até o raio R. Calcule o
campo elétrico desse disco, num ponto P ao longo do seu eixo axial, z. Com esse vetor
campo elétrico obtido, faça seu raio R tender a infinito e responda: Qual é o campo
elétrico gerado por esse plano homogeneamente carregado, com densidade superficial
de cargas, σ constante, e com dimensão infinita? Um plano infinito.
A alternativa "C " está correta.
 
Ex = − ∫
θ2
θ1
sen θdθ = (cos θ2 − cos θ1)
Ey = ∫
θ2
θ1
cos θdθ = (sin θ2 − sin θ1)
→
E = Ex ı̂ + Ey ȷ̂
→
E = [(cos θ2 − cos θ1)ı̂ + (sen θ2 − sin θ1) ȷ̂ ]
kλ
y
kλ
y
kλ
y
kλ
y
kλ
y
θ1 →   −    e  θ2 → π/2,
π
2
→
E = ȷ̂2kλ
y
A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:
Se fizermos R→∞, o disco carregado tenderá à dimensão infinita, um plano infinito carregado.
O segundo termo da componente axial do campo elétrico, na direção z, se anulará, restando
uma constante no primeiro termo:
Nessa solução e nesse limite de plano infinito, não podemos utilizar a carga total, que seria
infinita. Assim, temos a densidade superficial de cargas para designar a fonte do campo
elétrico. Esse resultado é fundamental, tecnologicamente, para os fenômenos de capacitância
−→
dE (p) = ẑ
dq = σdA = σ2πr dr
dEz (p) = σ2πr dr
Ez (p) = ∫ dEz(p)
Ez (p) = kzσπ ∫ R0 dr
Ez (p) = kzσπ[ ]
R
0
→
E (p) = 2πk z σ [ − ] ẑ
kz dq
(r2+z2)3/2
kz
(r2+z2)3/2
2r
(r2+z2)3/2
(r2+z2)−1/2]
(−1/2)
1
z
1
√R2+z2
→
E (p)= 2πkσ ẑ
que veremos à frente, quando a distância de separação, ao quadrado, entre as placas de um
capacitor é muito menor que a área dessas placas.
MÓDULO 2
 Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
INTRODUÇÃO
Sabemos que cargas elétricas, numa distribuição discreta ou contínua, são fonte de campo
elétrico mediador da interação elétrica. Também sabemos que os campos elétricos podem ser
representados por linhas de força que “nascem ou morrem” em cargas. Usamos uma
convenção na qual cargas positivas originam linhas de campo repulsivo e cargas negativas
recebem linhas de campo atrativo:
Para cada distribuição de cargas elétricas, teremos uma estrutura de campo elétrico diferente.
Cargas puntuais geram uma estrutura de campo elétrico divergente, como nas figuras
anteriores. Para outras distribuições de cargas, teremos outras estruturas de campo elétrico.
Quanto maior a carga, mais linhas de campo teremos, (N ~ q).
 
Fonte: Autor
O campo elétrico de cargas puntuais e sua força elétrica se comportam radialmente como ~
1/r2, descrito pela Lei de Coulomb. A magnitude do campo (seu módulo) é proporcional à
densidade de linhas, que é o número de linhas de campo por área perpendicular atravessada
pelas linhas, .
Quanto maior essa densidade, onde as linhas são mais próximas, mais intenso o campo.
Quanto menor a densidade de linhas, menos intenso o campo. À medida que nos afastamos
das cargas puntuais, as linhas de campo se distanciam, umas das outras, diminuindo sua
densidade com o mesmo comportamento coulombiano do campo, e na proporção inversa do
crescimento da área esferossimétrica ocupada por essas linhas.
Então, vamos enumerar o que sabemos sobre linhas de campo elétrico:
O número de linhas de campo elétrico é proporcional à carga elétrica, (N ~ q).
As linhas de campo elétrico de cargas puntuais isoladas são radialmente
simétricas, a cada raio esférico ocupando áreas descritas por A=4πr 2.
As linhas de campo são emitidas ou absorvidas por cargas elétricas.
(δ ~  ~  ~ ∣∣
∣
→
E
∣
∣
∣
).N
A
q
4πr2
A densidade de linhas é proporcional à magnitude do campo, 
.
Duas ou mais linhas não se interceptam, o que indicaria que uma mesma linha teria
mais de uma fonte.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Assim, determinado número de linhas de campo elétrico, em uma distância radial esférica,
atravessará certa calota de área na superfície esférica de mesmo raio, em um ângulo sólido. O
mesmo número de linhas de campo, em outro raio esférico maior, atravessará uma calota da
superfície esférica, com o mesmo ângulo sólido, de área proporcional ao quadrado do novo
raio. Isso significa que, para termos o mesmo número de linhas, em raios diferentes, cuja
magnitude do campo cai com o quadrado do raio, será preciso aumentar a área de ocupação
dessas linhas com o quadrado do novo raio. O comportamento do campo , será anulado
pelo crescimento da área , para termos o mesmo número de linhas de campo elétrico
em raios diferentes, como na figura.
 
Fonte: Autor
(δ ~  ~  ~ ∣∣
∣
→
E
∣
∣
∣
)N
A
q
4πr2
(~ )1
r2
(~ r2)
FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO
Vamos qualificar e quantificar as linhas de campo elétrico em termos matemáticos com
significação fenomenológica. Para isso, vamos definir a grandeza fluxo de campo elétrico, ,
como proporcional ao número de linhas de campo, que é proporcional à carga elétrica. Assim,
o fluxo de campo será:
 
Fonte: autor
Mas,

Pois, como explicado anteriormente sobre as linhas de campo, 

Então, 
O fluxo de campo é entendido como o número de linhas de campo elétrico que atravessam
a superfície de área A.
Essa definição de fluxo de campo elétrico funciona bem para o caso de campos elétricos, ,
que atravessam perpendicularmente uma área, A, como na figura a), a seguir.
Φ
N ~ 
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
 A
δ ~  ~  ~ 
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
N
A
q
4πr2
Φ =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
A ≈ q
→
E
 
Fonte: Autor

 
Fonte: Autor
Repare que essa primeira definição de Fluxo de Campo, não satisfaz a situação da figura b),
anterior, do fluxo através de uma superfície curva, em que para cada elemento de área, dA,
descrito sobre a superfície em cada ponto, tem-se um vetor unitário normal diferente, . Assim,
devemos redefinir o fluxo de campo como a integral dos elementos de fluxo de campo, ,
definidos sobre cada elemento de área, dA, com seu vetor unitário normal, , por meio do
produto escalar com o campo . Contribuirá ao fluxo, a componente de área ( dA) projetada
na direção do campo .
 
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
Como o fluxo de campo elétrico através de qualquer superfície aberta é igual ao número de
linhas de campo que atravessam essa superfície, podemos definir o fluxo total que será igual
ao número líquido de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície fechada, isto é, o
número de linhas que saem subtraído do número de linhas que entram na superfície fechada.
SUPERFÍCIE FECHADA
Superfície fechada é aquela que envolve completa e tridimensionalmente as cargas fonte
do campo.
O fluxo total será a soma “líquida” do fluxo positivo, com campo orientado para fora da
superfície fechada, subtraído do fluxo negativo, com campo orientado para dentro da
superfície fechada:
n̂
dΦ
n̂
→
E n̂
→
E
dΦ =  
→
E . n̂ dA
Φ = ∫ dΦ = ∫
→
E . n̂ dA
→
E
→
E
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que c, define a superfície matemática sobre a qual a integral deve ser calculada, chamada
de superfície gaussiana e é o vetor normal a cada ponto dessa gaussiana.
Mas para que serve essa construção do fluxo de campo elétrico total? A resposta é a Lei de
Gauss e a sua aplicação imediata é o cálculo do campo elétrico.
DEMONSTRAÇÃO
Aplicação: Uma carga elétrica puntual, q, fonte do campo elétrico descrito pela Lei de Coulomb,
, está na origem de um sistema coordenado. Calcule o fluxo de campo elétrico
total sobre uma superfície matemática esférica fechada de raio R, centrada na mesma origem.
Considere a medida de integração de superfície, dA, em coordenadas esféricas
.
Resposta 1:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta primeira solução, mais simples, vamos considerar que, como o fluxo será calculado ao
longo da superfície gaussiana esférica de raio R, seu campo elétrico terá módulo constante,
com r=R, o vetor unitário normal à superfície esférica será , e o campo
.
Então, como , pois o vetor unitário tem a mesma direção e sentido de , e o raio da
superfície esférica de cálculo (gaussiana), sobre a qual se está calculando o fluxo, é constante,
, temos:
Φtotal =
 
∮
c
dΦ =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA
n̂
→
E =    r̂1
4πϵ0
q
r2
(r, θ,ϕ) : dA =  r2sen θ dθ dϕ
n̂  =  r̂
→
E =    r̂1
4πϵ0
q
R2
(r̂. n̂)= 1 n̂ r̂
r = R
Este é o resultado da Lei de Gauss. O fluxo de campo elétrico total ,
independente do raio r. O número de linhas de campo elétrico será o mesmo para qualquer raio
esférico. Na verdade, apesar de não ter sido demonstrado, o fluxo total é o mesmo qualquer
que seja a superfície fechada que envolva a carga q, não se limitando à esfera.
Resposta 2:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta segunda solução, vamos calcular a integral do fluxo total com medida de integração de
superfície, em coordenadas esféricas, , para qualquer raio da superfície
esférica de integração.
 
Fonte: Autor
Φtotal =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA =  
 
∮
c
 (r̂. n̂) dA1
4πϵ0
q
R2
Φtotal =  
 
∮
c
 dA =
 
∮
c
 dA1
4πϵ0
q
R2
1
4πϵ0
q
R2
Φtotal =  4πR2 = =  4π k q
1
4πϵ0
q
R2
q
ϵ0
Φtotal = =  4π k q
q
ϵ0
dA =  r2sen θ dθ dϕ
Φtotal =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA =  
 
∮
c
 (r̂. r̂) dA1
4πϵ0
q
r2
Em que
Logo,
Assim, definimos a Lei de Gauss:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que qint. é a carga elétrica total interna à superfície gaussiana c, de integração.
SUPERFÍCIE GAUSSIANA C
Atenção: A superfície gaussiana é uma superfície matemática de integração, ao longo
da qual realizamos a integral. Sua função é fornecer o suporte para o cálculo da integral.
A Lei de Gauss é uma das leis fundamentais da Eletrodinâmica Clássica, será sempre válida
quando houver campo elétrico, mas, para o propósito de cálculo do campo elétrico, somente
será útil quando tivermos elevado grau de simetria no problema, para a escolha da superfície
gaussiana, de forma que o módulo do campo seja constante ao longo dessa superfície de
integração.
De outra forma, se um sistema físico não tiver as simetrias esférica, cilíndrica ou plana, será
mais simples a utilização da Lei de Coulomb e seus métodos quando o propósito for o cálculo
do campo. Esse resultado da Lei de Gauss, no qual o fluxo de campo total só depende da fonte
do campo, só foi possível devido ao comportamento da Lei de Coulomb, com 1/r2.
Φtotal =  
 
∮
c
 r2sen θ dθ dϕ14πϵ0
q
r2
Φtotal = q  ∫
π
0
sen θ dθ  ∫ 2π
0
dϕ1
4πϵ0
(0 < θ < π);  (0 < ϕ < 2π);      ∫ π
0
sen θ dθ = [− cos(π)+ cos(0)] = 2;   ∫ 2π
0
dϕ = 2π 
Φtotal = q 4π =   = 4π k q
1
4πϵ0
q
ϵ0
Φtotal =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA = = 4π k qint.
qint.
ϵ0
javascript:void(0)
Assim, também por similaridade de comportamento 1/r2, podemos escrever uma Lei de Gauss
para a Gravitação Universal de Newton, em que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo mint. a massa interna à superfície gaussiana c.
MÃO NA MASSA
1) SE UMA CARGA ELÉTRICA FONTE, Q, ESTIVER POSICIONADA NA
ORIGEM, 0, DE UM SISTEMA COORDENADO, CALCULE SEU CAMPO
ELÉTRICO A UMA DISTÂNCIA RADIAL ESFÉRICA, R, DESSA ORIGEM,
POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS. CONSIDERE K A
CONSTANTE DE COULOMB.
A) 
B) 
C) 
D) 
2. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA LINHA RETILÍNEA
INFINITA, CARREGADA POSITIVAMENTE, COM DENSIDADE LINEAR DE
CARGA UNIFORME, Λ, AO LONGO DO EIXO AXIAL CILÍNDRICO Z, POR
MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS.
Φtotal =  
 
∮
c
→
g . n̂ dA = −4π G mint. sendo mint. 
−−−→
E(r) =  k   r̂
q
r
−−−→
E(r) =  k   r̂
q
r2
−−−→
E(r) =     r̂
q
r2
−−−→
E(r) =  k   r̂
q2
r2
A) 
B) 
C) 
D) 
3. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI CARREGADA
COM UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA E UNIFORME DE CARGAS
ELÉTRICAS POSITIVAS DE MODO A APRESENTAR UMA DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE O CAMPO
ELÉTRICO GERADO A PARTIR DESSE PLANO, EM UM PONTO P
QUALQUER, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR
AO PLANO), POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS.
A) 
B) 
C) 
D) 
4. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA, DE COMPRIMENTO
INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE COM UMA DENSIDADE
LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO ELÉTRICO,
POR MEIO DA LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA, NO QUAL
R>R.
A) 
B) 
C) 
−−−→
E(r) = r̂2kλ
r2
−−−→
E(r) = r̂λ
r2
−−−→
E(r) = r̂
q
r
−−−→
E(r) = r̂2kλ
r
−−−→
E(p) =  2 πk σ ẑ
−−−→
E(p) =  k  r̂
q
r2
−−−→
E(p) =  4π k q
−−−→
E(p) =    ẑ
k Q z
(R2+ z2 )
3
2
−−−→
E(r) =  r̂2kλ
r2
−−−→
E(r) =  r̂2kλ
r
−−−→
E(r) =  r̂λ
r2
D) 
5. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE
CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI CARGA TOTAL Q.
CALCULE, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, SEU CAMPO ELÉTRICO
EXTERNO, EM QUE R>R.
A) 
B) 
C) 
D) 
6. CONSIDERE UMA PLACA DE ESPESSURA D, E ÁREA A, DE UM
MATERIAL CONDUTOR ELÉTRICO. UM CONDUTOR ELÉTRICO É UM
MATERIAL CAPAZ DE TRANSPORTAR CARGAS ELÉTRICAS COM BAIXO
CUSTO ENERGÉTICO AO SISTEMA FÍSICO. UM CONDUTOR IDEAL É UM
MATERIAL IDEALIZADO, HIPOTÉTICO, ONDE CARGAS LIVRES, TAMBÉM
CHAMADAS DE CARGAS DE VALÊNCIA, PODEM CIRCULAR
LIVREMENTE POR TODA A SUPERFÍCIE DO MATERIAL. CADA
ELEMENTO ATÔMICO QUE COMPÕE UM MATERIAL CONDUTOR POSSUI
AO MENOS UM ELÉTRON LIVRE QUE PODE TRANSITAR POR TODA A
SUPERFÍCIE DO MATERIAL. NÃO VAMOS CONSIDERAR A EXISTÊNCIA
DE IMPUREZAS NO MATERIAL. ENTÃO, PERGUNTA-SE: QUAL É A
INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM CONDUTOR
IDEAL?
A) 
B) 
C) 
−−−→
E(r) =  r̂
q
r
−−−→
E(r) =  k   r̂
Q
r
−−−→
E(r) =    r̂
Q
r2
−−−→
E(r) =  k   r̂
Q2
r2
−−−→
E(r) =  k   r̂
Q
r2
−−−→
E(p) =  2 πk σ ẑ
−−−→
E(p) =  k  r̂
q
r2
−−−→
E(p) =  0
D) 
GABARITO
1) Se uma carga elétrica fonte, q, estiver posicionada na origem, 0, de um sistema
coordenado, calcule seu campo elétrico a uma distância radial esférica, r, dessa origem,
por meio da aplicação da Lei de Gauss. Considere k a constante de Coulomb.
A alternativa "B " está correta.
Vamos definir uma superfície gaussiana de integração esférica, pois o problema da partículapuntual apresenta simetria esférica. Com a simetria do problema, o campo elétrico terá direção
radial esférica, e também o vetor normal, , à superfície de integração. O campo será
calculado a partir da superfície, c, escolhida, mas, ao final, poderemos generalizar a solução
para qualquer raio. Repare que definiremos a superfície gaussiana de acordo com a simetria
do problema e de modo que o campo tenha módulo constante ao longo de toda a superfície c.
Ao final, encontraremos a solução da Lei de Coulomb para a partícula puntual.
−−−→
E(p) =    ẑ
k Q z
(R2+ z2 )
3
2
n̂
2. Calcule o campo elétrico gerado por uma linha retilínea infinita, carregada
positivamente, com densidade linear de carga uniforme, λ, ao longo do eixo axial
cilíndrico z, por meio da aplicação da Lei de Gauss.
A alternativa "D " está correta.
CAMPO DA RETA
HTTP Error 404.0 - Not Found
The resource you are looking for
has been removed, had its name
changed, or is temporarily
unavailable.
3. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma distribuição
contínua e uniforme de cargas elétricas positivas de modo a apresentar uma densidade
superficial de cargas, σ, constante. Calcule o campo elétrico gerado a partir desse plano,
em um ponto P qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao plano), por
meio da aplicação da Lei de Gauss.
A alternativa "A " está correta.
CAMPO DO PLANO INFINITO
ϕtot. =
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πkq
→
E =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
r̂
→
E ⋅ n̂ =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
 
∮
c
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
dA = 4πkq
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
4πr2 = 4πkq
→
E (r) = r̂
kq
r2
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
4. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca, de comprimento infinito, carregada
uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ, constante. Obtenha o campo
elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca, no qual r>R.
A alternativa "B " está correta.
A superfície gaussiana de alto grau de simetria escolhida será outra casca cilíndrica que
envolva parte da casca cilíndrica carregada.
Assim, a solução externa, r > R, é idêntica ao problema da linha infinita carregada. De fato, à
distância, com grande raio, os dois problemas coincidem.
ϕtot = ∮
 
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πkqintC
qintc = λL                    ∮
 
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πkλL
→
E =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
r̂                        
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
2πrL = 4πkλL
→
E ⋅ n̂ =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
                             
→
E (p) = r̂2kλr
5. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui
carga total Q. Calcule, por meio da Lei de Gauss, seu campo elétrico externo, em que
r>R.
A alternativa "D " está correta.
A superfície gaussiana de integração escolhida será uma superfície esférica de raio r que
envolve a casca esférica carregada, cumprindo a exigência de alto grau de simetria para a
aplicação da Lei de Gauss no cálculo do campo elétrico.
6. Considere uma placa de espessura d, e área A, de um material condutor elétrico. Um
condutor elétrico é um material capaz de transportar cargas elétricas com baixo custo
energético ao sistema físico. Um condutor ideal é um material idealizado, hipotético,
onde cargas livres, também chamadas de cargas de valência, podem circular livremente
por toda a superfície do material. Cada elemento atômico que compõe um material
ϕtot. = ∮
 
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πk qintc
 
 
→
E =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
r̂     →   
→
E ⋅ n̂ =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
 
∮
c
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
dA = 4πkQ
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
4πr2 = 4πkQ
→
E (r)= r̂
kQ
r2
condutor possui ao menos um elétron livre que pode transitar por toda a superfície do
material. Não vamos considerar a existência de impurezas no material. Então, pergunta-
se: Qual é a intensidade do campo elétrico no interior de um condutor ideal?
A alternativa "C " está correta.
Em um condutor, todas as cargas livres circulam nas imediações da superfície do material,
formando uma nuvem eletrônica no entorno deste. Seja o material eletrizado ou em estado de
equilíbrio eletrostático (quando o material tem carga total neutra), as cargas livres, que se
repelem, transitam em sua superfície. No caso de condutores ideais, as cargas livres estarão
totalmente na superfície. No caso de condutor, haverá uma pequena penetração (de película)
da superfície como região de trânsito das cargas livres. Assim, considerando o material um
condutor ideal em equilíbrio eletrostático, a carga efetiva interna será nula abaixo da superfície,
pois somente as cargas livres, que podem transitar, estarão na superfície. Na presença de um
campo elétrico externo, as cargas livres se reorganizam de forma a anular o campo no interior
do material e reproduzem esse campo na face oposta, como na figura a seguir. Então, da Lei
de Gauss:
Se traçarmos uma superfície gaussiana no entorno do material, imediatamente abaixo da
superfície e contornando todo o material, como as cargas totais internas à gaussiana serão
nulas, o campo elétrico no interior do material será zero. Esse fenômeno caracteriza os
materiais condutores, qualquer que seja sua forma.
ϕtot =
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πk qintC
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Um condutor ideal maciço tem uma cavidade oca em seu interior, como uma bolha.
Uma pequena carga elétrica q foi suspensa, por um fio não condutor, no interior dessa
cavidade oca, sem que a carga toque as paredes da cavidade. Pergunta-se: Qual a carga
elétrica induzida na superfície interna das paredes da cavidade?
RESOLUÇÃO
 
CAMPO DE INDUÇÃO ELETROSTÁTICO
 
 
qintc = 0
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 0
→
E = 0
ϕtot = ∮
c
→
E ⋅ n̂dA = 4πk qintc
A superfície C que envolve a cavidade é a superfície gaussiana. Como no interior de um
condutor ideal o campo elétrico deve ser nulo, o fluxo total de campo sobre C será zero e a
carga total interna a C deve ser zero. Se há uma carga q, no interior da cavidade,
necessariamente haverá uma densidade de cargas induzidas eletrostaticamente nas paredes
internas da cavidade. Esse é o mecanismo da eletrização por indução eletrostática. Assim, a
carga induzida será: 
 
.
 
Fonte: Autor
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UMA ESFERA MACIÇA, CONTÍNUA E UNIFORMEMENTE
CARREGADA, DE RAIO R E DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE CARGAS, Ρ,
CONSTANTE. CALCULE, VIA LEI DE GAUSS, O CAMPO ELÉTRICO NO
INTERIOR DESSA ESFERA DENSA E CARREGADA, A UMA DISTÂNCIA R,
QUALQUER, DO SEU CENTRO, EM QUE R≤R.
Q = q + q ′ = 0 → q ′ = −q
A) 
B) 
C) 
D) 
2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE COMPRIMENTO
INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE COM UMA DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO
ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA.
EXPRESSE A LEI DE GAUSS EM TERMOS DE ΕO.
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. Seja uma esfera maciça, contínua e uniformemente carregada, de raio R e densidade
volumétrica de cargas, ρ, constante. Calcule, via Lei de Gauss, o campo elétrico no
interior dessa esfera densa e carregada, a uma distância r, qualquer, do seu centro, em
que r≤R.
A alternativa "B " está correta.
 
Vamos aplicar a Lei de Gauss. Para isso, vamos definir uma superfície gaussiana matemática
esférica, onde queremos calcular o campo, com a mesma simetria do problema, exigência do
alto grau de simetria para o cálculo do campo por meio da Lei de Gauss. A solução será um
campo função do raio r, para r≤R.
→
E =   −  r̂
kq
r2
→
E =(  π k ρ r) r̂4
3
→
E =(  π k ρ  )r̂4
3
R3
r2
→
E =(  π k ρ   ) r̂4
3
r3
R2
−−−→
E(r) = r̂2kσ
r2
−−−→
E(r) = r̂σ R
ϵo r
−−−→
E(r) = ẑσ R
ϵo r2
−−−→
E(r) = ẑσ
ϵo r
 
2. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito, carregada
uniformemente com uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Obtenha o
campo elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca. Expresse a Lei de
Gauss em termos de ϵo.
A alternativa "B " está correta.
ϕtot =
 
∮
c
→
E ⋅ n̂dA = 4πk qintC
qintc = ρVolumec
qintc = ρ πr
3
                
→
E =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
r̂
n̂ = r̂
→
E ⋅ n̂ =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
4
3
∮  
c
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
dA = 4πk(ρ πr3)
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
4πr2 = 4πk(ρ πr3)
→
E (r)=( πρk r)r̂
4
3
4
3
4
3
O cálculo do campo na curva gaussiana c permitiu que o módulo do campo fosse retirado da
integral, pois é constante ali. Essa é a grande vantagem do uso da simetria nessa aplicação da
Lei de Gauss.
MÓDULO 3
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = qintc
qintc = σAintc = σ 2πR L
→
E =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
r̂                  n̂c = r̂
 
∮
c
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
r̂ ⋅ r̂  dA = 2πRL
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
 
∮
c
dA =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
2πrL = 2πRL
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣c
=
→
E (r) = r̂
1
ϵ0
σ
ϵ0
σ 2πRL
ϵ0
σ
ϵ0
σR
ϵ0r
σR
ϵ0r
 Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
INTRODUÇÃO
Sabemos, do tema anterior, que a diferença de potencial elétrico é definida como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, no caso eletrostático, o trabalho mecânico numa trajetória fechada será nulo, o que
equivale à integral acima ser zero quando a = b.
 
Fonte: Autor
  Δ V =  Vb − Va =   − ∫
b
a
→
E .  d
→
l
∮
→
E .  d
→
l = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso é válido para campos conservativos, como os campos eletrostáticos. Em termos do
potencial elétrico, a diferença de potencial entre um ponto e ele mesmo, numa trajetória
fechada, será zero.
 
Fonte: rafal.dlugosz /Shutterstock
Então, relembrando a definição conceitual do potencial elétrico, em sua forma integral, temos:
Potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga, necessário para deslocar uma carga de
prova positiva, à velocidade constante, de um ponto de referência inicial a ao ponto final r,
definido por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a um ponto de referência espacial onde V(a)=0. O potencial será positivo ou negativo a
depender da distribuição de cargas fonte do campo.
Também podemos relembrar a definição equivalente na forma diferencial do potencial
elétrico, que é muito útil quando temos a função potencial e desejamos calcular o campo
elétrico. O campo elétrico como o gradiente da função potencial.
V (r)=   − ∫ r
a
→
E .  d
→
l
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o que nos interessa na grandeza potencial elétrico é uma diferença a partir de uma
referência de medida de zero potencial, V(a)=0, a cada problema deveremos identificar, ou
convencionar, a referência de potencial zero, já que vamos lidar com distribuições contínuas de
cargas elétricas. Nessas configurações contínuas de cargas, nem sempre a distância infinita
será consistente com um potencial nulo de referência, como é suficiente para distribuições
discretas de cargas.
Nossa tarefa, agora, será demonstrar como aplicar o conceito e as definições de potencial
elétrico para distribuições contínuas de cargas elétricas.
DEMONSTRAÇÃO
Quando lidamos, no tema anterior, com configurações discretas de cargas elétricas, vimos que
o cálculo do potencial elétrico poderia ser realizado por meio da definição do potencial, nas
formas integral ou diferencial, revisitado nas duas equações anteriores, e demonstramos que
poderíamos usar o princípio de superposição dos potenciais de cargas individuais para
descrever o potencial de uma distribuição discreta de cargas elétricas, pela soma dos
potenciais de cargas individualizadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Com N cargas qi e distâncias ri de cada carga fonte ao ponto de medida p. Assim, o potencial
elétrico total de uma distribuição discreta de cargas elétricas será a superposição dos
potenciais individuais de cada fonte qi (princípio de superposição).
→
E =   −
→
∇  V (r)
V (p)= V1 +  V2 + V3 + …VN =  ∑
N
i=1 k
 qi
ri
No entanto, para distribuições contínuas de cargas elétricas, devemos identificar se a
configuração de cargas é finita ou infinita.
Se for uma distribuição contínua e finita de cargas elétricas, pois o número de cargas é finito,
como nos problemas da esfera, do anel e do disco, visto do módulo anterior, o potencial elétrico
poderá ser definido e calculado por uma generalização da superposição de potenciais
individuais, da equação anterior.
Assim, o potencial elétrico para configurações contínuas e finitas de cargas elétricas é:
Que é a integral de todas as contribuições de potenciais dos elementos dq, no intervalo a ser
considerado.
Se a distribuição de cargas elétricas for contínua e infinita, como nos casos da reta infinita, do
plano infinito e do cilindro infinito, o potencial elétrico para distribuições contínuas e infinitas de
cargas elétricas segue a definição formal de cálculo dos potenciais elétricos, que, aliás, aplica-
se em qualquer situação de configurações de cargas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a depender da configuração das cargas fonte do campo , se discretas ou contínuas,
e se forem contínuas, se finitas ou infinitas, teremos os seguintes métodos de cálculo do
potencial elétrico:
V (p)=   ∫  k dqr
V (r)=   − ∫ r
a
→
E .  d
→
l   ou  
→
E =   −
→
∇  V (r)
→
E
 
Fonte: Autor
Agora, vamos à prática!
MÃO NA MASSA
1) UM ANEL DE RAIO R FOI HOMOGENEAMENTE CARREGADO COM
DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. CALCULE O
POTENCIAL ELÉTRICO, EM UM PONTO P, SOBRE O SEU EIXO AXIAL Z.
A) 
B) 
C) 
D) 
2. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA
SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO, R, DOS
ANÉIS VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO,
V (p)=  
k Q
(z2+ R2)
3/2
V (p)=  
k Q
R
V (p)=  
k Q z
√z2+R2
V (p)=  
k Q
√z2+R2
CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM PONTO P, AO
LONGO DO SEU EIXO AXIAL Z.
A) 
B) 
C) 
D) 
3. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE
CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI CARGA TOTAL Q.
CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO NO INTERIOR DESSA CASCA
ESFÉRICA, PARA A DISTÂNCIA RADIAL , EM QUE 
A) 
B) 
C) 
D) 
4. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA LINHA RETILÍNEA, DE
COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA COM UMA DENSIDADE LINEAR
DE CARGAS, Λ, CONSTANTE, EM UM PONTO P LOCALIZADO
PERPENDICULARMENTE À LINHA.
A) 
B) 
C) 
D) 
V (p)=  2π k σ [ (z2 +  R2) − R ]
1
2
V (p)=  2π k σ [ (z2 +  R2) − z ]
1
2
V (p)=  2π k σ [ (z2 +  R2)  ]
1
2
V (p)=    2π k σ
√z2+R2
r r < R.
V (r)= 0
V (r)=
k Q
r
V (r)=
k Q
r2
V (r)=
k Q
R
V (r) =   − 2kλ  ln r
R
V (r) =  0
V (r) =   k Q
r
V (r)=  2kλ r
5. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI CARREGADA
COM UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA E UNIFORME DE CARGAS
ELÉTRICAS POSITIVAS, DE MODO A APRESENTAR UMA DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL
ELÉTRICO GERADO A PARTIR DESSE PLANO, EM UM PONTO P
QUALQUER, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR
AO PLANO).
A) 
B) 
C) 
D) 
6. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE COMPRIMENTO
INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE COM UMA DENSIDADE
LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. OBTENHA O POTENCIAL
ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA.
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1) Um anel de raio R foi homogeneamente carregado com densidade linear de cargas, λ,
constante. Calcule o potencial elétrico, em um ponto p, sobre o seu eixo axial z.
A alternativa "D " está correta.
Nesse problema, a distribuição de cargas é contínua e finita. Então, vamos usar a definição de
potencial elétrico adequada e mais simples, ainda que se pudesse usar a definição geral. A
V (p)=   − 2π k σ/z
V (p)=   − 2π k/(σ z)
V (p)=   − 2π k σ z
V (p)=   − 2π k σ
V (r) =  0
V (r) =   − 2kλ  ln r
R
V (r)=  
k Q
r
V (r)=  2kλ r
distância s, dos elementos de carga ao ponto p, na figura seguinte, será sempre constante no
entorno do anel.
2. Um disco homogeneamente carregado, comdensidade superficial de cargas, σ, pode
ser construído como uma sucessão de anéis concêntricos, fazendo o raio, r, dos anéis
variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o potencial elétrico desse
disco, num ponto P, ao longo do seu eixo axial z.
A alternativa "B " está correta.
POTENCIAL DO DISCO
V (p) = ∫
s = √R2 + z2
V (p) = ∫
V (p) =
kdq
s
kdq
√R2+z2
kQ
√R2+z2
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3. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui
carga total Q. Calcule o potencial elétrico no interior dessa casca esférica, para a
distância radial , em que 
A alternativa "D " está correta.
POTENCIAL INTERNO À CASCA ESFÉRICA
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4. Calcule o potencial elétrico de uma linha retilínea, de comprimento infinito, carregada
com uma densidade linear de cargas, λ, constante, em um ponto P localizado
perpendicularmente à linha.
A alternativa "A " está correta.
O problema da linha infinita carregada já foi discutido quando do cálculo do seu campo elétrico,
no módulo anterior, sendo . Como se trata de um problema com distribuição de
cargas contínua e infinita, devemos utilizar a definição geral de potencial elétrico 
. Para definir o necessário ponto de referência de potencial zero, onde
V(a)=0, e verificando que a solução terá comportamento Logaritmo, vamos considerar que a
linha retilínea tenha uma pequena espessura R. Assim, na superfície na linha, o potencial será
zero, V(R)=0, pois , em que R pode ser bem pequeno.
r r < R.
−−−→
E(r) = r̂2kλr
V (r)=   − ∫ r
a
→
E .  d
→
l
lim
r→R
ln = 0r
R
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma distribuição
contínua e uniforme de cargas elétricas positivas, de modo a apresentar uma densidade
superficial de cargas, σ, constante. Calcule o potencial elétrico gerado a partir desse
plano, em um ponto P qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao
plano).
A alternativa "C " está correta.
POTENCIAL DO PLANO INFINITO
→
E = r̂2kλr
V(r) = − ∫
→
E ⋅ d
→
l
V (r)= − ∫ r
R
(r̂ ⋅ r̂)dr'2kλ
r'
V (r) = − ∫ rR dr'
2kλ
r'
V (r)= −2k λ  ln r
R
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O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
6. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito, carregada
uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ, constante. Obtenha o potencial
elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca.
A alternativa "B " está correta.
Já trabalhamos, anteriormente, no cálculo do campo elétrico de uma casca cilíndrica infinita
com densidade linear de cargas, λ, constante, no qual obtivemos . Então, por
razões semelhantes ao descrito no problema da reta infinita carregada, vamos fixar o potencial
zero sobre a superfície da casca cilíndrica. Assim, para r>R, a solução será semelhante à linha
carregada infinita:
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma esfera, de raio R e carga total Q, geradora de um potencial elétrico
esfericamente simétrico. A cada distância radial esférica, podemos traçar uma superfície
esférica, de raio r, onde o potencial elétrico será o mesmo ao longo de toda essa superfície.
Para cada outra superfície equivalente, de outro raio, centrada na origem, teremos uma
superfície de potencial constante. Pergunta-se: Como é possível ter superfícies de mesmo
potencial elétrico e qual a sua utilidade?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
→
E =  r̂2kλr
V (r)= − ∫ r
a
→
E ⋅ d
→
l
→
E (r)= r̂
V (r)= − ∫ r
R
(r̂ ⋅ r̂) dr'
V (r)= −2kλ l n( )
2kλ
r
2kλ
r'
r
R
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
As superfícies de mesmo potencial elétrico, chamam-se superfícies equipotenciais. São
aquelas nas quais uma carga de prova pode mover-se livremente sem alteração de seu
potencial elétrico.
 
Fonte: Autor
No caso esférico, o potencial será , e para cada raio esférico, teremos uma
superfície equipotencial naquele raio, As linhas de campo elétrico serão
perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Como cargas elétricas somente são aceleradas na presença de diferenças de potencial
elétrico, em superfícies equipotenciais isso não ocorre. E assim, nenhum pássaro morre
quando pousa em uma única linha de tensão elétrica, por exemplo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
V (r)=
k Q
r
VA,VB,VC, … .
→
E
1. UMA AERONAVE EM VOO, QUANDO ATRAVESSA UMA REGIÃO
ATMOSFÉRICA COM ATIVIDADE ELÉTRICA, É FACILMENTE ATINGIDA
POR DIVERSAS DESCARGAS ATMOSFÉRICAS QUE, APESAR DE
BUSCAR-SE EVITAR, NÃO SÃO CAPAZES DE CAUSAR MAIORES DANOS
AOS EQUIPAMENTOS, NEM AOS PASSAGEIROS E TRIPULANTES. DA
MESMA FORMA, SE UM CABO DE ALTA TENSÃO CAIR SOBRE UM
CARRO, OU OUTRO VEÍCULO AUTOMOTIVO FECHADO, NÃO CAUSARÁ
DANOS AOS PASSAGEIROS, DESDE QUE ESTES NÃO SAIAM DO
VEÍCULO. APROVEITANDO ESSE FENÔMENO DAS GAIOLAS DE
FARADAY, UM ENGENHEIRO PRETENDENDO BLINDAR
ELETROSTATICAMENTE UM EQUIPAMENTO ELETRÔNICO, CONSTRUIU
UMA ESFERA OCA CONDUTORA DE RAIO R, E ENVOLVEU SUA
ELETRÔNICA. QUAL A DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO A QUE
ESSE EQUIPAMENTO ELETRÔNICO ESTARÁ SUBMETIDO, DENTRO DA
ESFERA CONDUTORA E OCA, CASO HAJA UM CAMPO ELÉTRICO
EXTERNO À ESFERA CONDUTORA?
A) 
B) 
C) 
D) 
2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, HOMOGENEAMENTE CARREGADA,
COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE E RAIO
CILÍNDRICO R. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO INTERNAMENTE À
CASCA CILÍNDRICA, , A UMA DISTÂNCIA RADIAL R.
A) 
B) 
C) 
D) 
ΔV = k 
q
r
ΔV =   − 2π k σ z
ΔV = 0
ΔV = k 
q
R
r < R
V(r) =  0
V (r)=   − 2 k λ  ln r
R
V(r)=  
k Q
r
V(r)=  2kλ r
GABARITO
1. Uma aeronave em voo, quando atravessa uma região atmosférica com atividade
elétrica, é facilmente atingida por diversas descargas atmosféricas que, apesar de
buscar-se evitar, não são capazes de causar maiores danos aos equipamentos, nem aos
passageiros e tripulantes. Da mesma forma, se um cabo de alta tensão cair sobre um
carro, ou outro veículo automotivo fechado, não causará danos aos passageiros, desde
que estes não saiam do veículo. Aproveitando esse fenômeno das Gaiolas de Faraday,
um engenheiro pretendendo blindar eletrostaticamente um equipamento eletrônico,
construiu uma esfera oca condutora de raio R, e envolveu sua eletrônica. Qual a
diferença de potencial elétrico a que esse equipamento eletrônico estará submetido,
dentro da esfera condutora e oca, caso haja um campo elétrico externo à esfera
condutora?
A alternativa "C " está correta.
 
Considerando que um campo elétrico externo à esfera seja capaz de rearranjar cargas livres na
superfície do condutor esférico, no processo de equilíbrio eletrostático e, subdividindo a
superfície do condutor em pequenos discos planos que foram carregados por indução elétrica
devido ao campo elétrico externo, vamos supor uma densidade superficial de cargas locais a
cada disco σ. Como não haverá carga livre interna ao condutor, pois atingido o equilíbrio
eletrostático, uma superfície gaussiana abaixo de cada disco medirá fluxo de campo nulo, 
 Isso indicará campo elétrico interno nulo, do que decorre potencial
elétrico constante, pois . Assim, o potencial elétrico será constante
internamente à esfera, independentemente do arranjo de cargas elétricas induzidas na
superfície externa da esfera condutora e, então, a diferença de potencial elétrico entre dois
pontos quaisquer internos à esfera será zero, ∆V=0, qualquer que seja o potencial constante
interno.
2. Seja uma casca cilíndrica, homogeneamente carregada, com uma densidade linear de
cargas, λ, constante e raio cilíndrico R. Calcule o potencial elétrico internamente à casca
cilíndrica, , a uma distância radial r.
A alternativa "A " está correta.
 
Φ = ∮
→
E . n̂ dA =  0.  
→
E =   −
→
∇ V(r)
r < R
Já trabalhamos com um problema semelhantedo cálculo do potencial elétrico externo a uma
casca cilíndrica com densidade linear de carga λ. Também já discutimos o potencial elétrico
interno a uma casca esférica. Mas, agora, devemos solucionar o potencial interno de uma
casca cilíndrica. Lembrando que o potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga para
trazer uma carga de prova, desde a referência em que o potencial é zero até o ponto
considerado, devemos identificar essa referência de zero potencial. O potencial elétrico
externo, já solucionado antes, é , em que a região de potencial zero deve
ser definida sobre a superfície da casca cilíndrica, quando r=R. Assim, V(R)=0. Como o
potencial deve ser contínuo em todo o espaço, o potencial elétrico interno à casca cilíndrica
deverá ser igual ao potencial da superfície dessa casca, ou seja, V(r≤R)=0. Não deve haver
trabalho necessário para deslocar uma carga de prova desde a superfície da casca cilíndrica
até pontos internos à mesma casca.
MÓDULO 4
 Calcular a capacitância
CAPACITÂNCIA
Chamamos de capacitância a habilidade de acumulação de cargas elétricas e energia elétrica
por componentes elétricos ou sistemas elétricos, diante de diferenças de potencial elétrico.
É um fenômeno natural, que pode ser identificado na natureza, entre as nuvens e o solo, em
materiais que acumularam cargas estáticas e sua vizinhança física, em sistemas elétricos e
eletrônicos, sendo macroscópicos ou microscópicos (em eletrônica em grande escala de
integração). Em termos práticos, nosso interesse está na possibilidade de utilização
tecnológica dessa energia armazenada.
V(r)= −2 kλln r
R
 
Fonte: jultud /Shutterstock
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitância
Certamente, ao ler estas linhas, seu equipamento computador, ou mídia eletrônica, possui
alguns bilhões de capacitores em seus circuitos integrados microscopicamente. Atualmente,
convivemos com acumuladores elétricos de energia a todo instante: baterias, pilhas,
capacitores etc. Essencialmente, todos têm a capacidade de acumular energia em forma
elétrica.
 COMENTÁRIO
A simples habilidade dos materiais de acumular cargas elétricas pode transformar esse sistema
em um rudimentar capacitor, e essa habilidade pode ser mensurada por sua capacitância.
Vamos nos limitar aqui aos componentes acumuladores de energia que costumamos chamar
de capacitores. A ideia essencial de um capacitor é de um componente elétrico, ou eletrônico,
composto por duas paredes condutoras separadas mecanicamente por um material dielétrico,
um não condutor ideal. Vamos deixar o aprofundamento sobre os dielétricos para o Explore+.
Por ora, vamos pensar no desenho básico de um capacitor: duas placas condutoras, dispostas
paralelamente, bem próximas, mas separadas por uma distância d. Esses componentes são
essenciais à eletrônica e à elétrica em geral. Certamente, você já ouviu falar da necessidade
de correção de instalações elétricas, em indústrias, com o ajuste necessário de um banco de
capacitores. Bem, isso também ficará para mais tarde. O importante é compreender que o
fenômeno da capacitância é parte da nossa experiência natural e tecnológica.
 
Fonte:Designua/ Shutterstock
 Figura: Esquema Simples de um Capacitor
Vamos definir capacitância como a constante de proporcionalidade, de unidade S.I. Faraday
(F), entre as cargas elétricas acumuladas nas paredes de um capacitor e a diferença de
potencial elétrico necessária para produzir esse acúmulo: 
 
C =
Q
| ΔV |
 
Fonte: Muhammad Anuar bin Jamal/Shutterstock
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitores
Se um capacitor, em um circuito elétrico, for alimentado com uma diferença de potencial
elétrico ∆V, por uma fonte de tensão elétrica e, consequentemente, acumular cargas elétricas,
Q, em suas paredes, de tal maneira a estabelecer a mesma diferença de potencial na região
entre essas paredes, o acúmulo de cargas cessará e o capacitor estará carregado
eletricamente.
DEMONSTRAÇÃO
Os capacitores podem ser conectados em arranjos de capacitores em série e em paralelo.
Sempre que conectarmos capacitores, em combinações em série e em paralelo, o resultado
será o de uma capacitância equivalente. Se precisarmos, como exemplo, de um capacitor de
determinado valor de capacitância, podemos combinar outros capacitores de forma a obter a
capacitância equivalente desejada.
 ATENÇÃO
Não confunda capacitores (componentes) com capacitância (fenômeno)!
ARRANJO EM PARALELO
Vamos considerar a combinação de N capacitores em paralelo, como na figura. Perceba que a
carga total acumulada no sistema de capacitores será a soma das cargas de cada capacitor Ci,
em que . Ou seja, .
 
Fonte:Shutterstock
Nesse arranjo, em paralelo, cada capacitor será alimentado com a mesma diferença de
potencial ∆V. Então, a capacitância equivalente Ceqem paralelo será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARRANJO EM SÉRIE
i = 1, 2, 3, … , N Qtotal =  ∑
N
i=1 Qi
Qtotal = Q1 + Q2 + ⋯ + QN
ΔV ⋅ Ceq = ΔV(C1 + C2 + ⋯ + CN)
Ceq = ∑
N
i=1 Ci
Vamos considerar, agora, a combinação de N capacitores em série, como na figura. A
diferença de potencial ∆V será a soma dos potenciais que alimentam cada capacitor 
 
Fonte:Shutterstock
Nesse caso, como cada capacitor acumulará a mesma carga elétrica, Q, em suas paredes,
pois estão em série, a capacitância equivalente em série será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos à prática!
MÃO NA MASSA
ΔV =  ∑Ni=1 Vi.
ΔV = V1 + V2 + ⋯ + VN
= + + ⋯ +
= ∑Ni=1
Q
Ceq
Q
C1
Q
C2
Q
CN
1
Ceq
1
Ci
1) UM CAPACITOR DE PLACAS PLANAS É CONSTITUÍDO POR DUAS
PLACAS CONDUTORAS, PARALELAS, DE ÁREAS IGUAIS, A, E
DISTÂNCIA DE SEPARAÇÃO ENTRE AS PLACAS D. CADA PLACA TEM
UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, E SÃO CARREGADAS
COM CARGAS OPOSTAS, +Q E -Q. 
VAMOS CONSIDERAR A SITUAÇÃO DE D2 ≪ A. CALCULE SUA
CAPACITÂNCIA.
A) 
B) 
C) 
D) 
2. O CAPACITOR CILÍNDRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS CASCAS
CILÍNDRICAS DE MESMO EIXO, TAMANHOS L E RAIOS DOS CILINDROS
R2 > R1. A CASCA CILÍNDRICA INTERNA É CARREGADA
POSITIVAMENTE, ENQUANTO A CASCA CILÍNDRICA EXTERNA É
CARREGADA NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A MESMA DENSIDADE
LINEAR DE CARGAS Λ. CONSIDERANDO HAVER VÁCUO ENTRE AS
CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
A) 
B) 
C) 
D) 
3. O CAPACITOR ESFÉRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS CASCAS
ESFÉRICAS CONCÊNTRICAS COM RAIOS R2 > R1. A CASCA ESFÉRICA
INTERNA É CARREGADA POSITIVAMENTE, ENQUANTO A CASCA
ESFÉRICA EXTERNA É CARREGADA NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A
C = ϵ0 d/A
C = ϵ0 A/d
 C = ϵ0/d
 C = k A/d
C =
4πϵ0R1R2
(R1−R2)
C = ϵ0 A/d
C = ϵ0/d
C =  
2πϵ0L
ln( )R2
R1
MESMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ. CONSIDERANDO
HAVER VÁCUO ENTRE AS CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
A) 
B) 
C) 
D) 
4. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES EM SÉRIE,
SENDO . CALCULE A
CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE .
A) 
B) 
C) 
D) 
5. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES EM
PARALELO, SENDO . CALCULE A
CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE CEQ.
A) 
B) 
C) 
D) 
6. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO MISTA DE TRÊS CAPACITORES 
, SENDO QUE ESTÃO EM
C =
4πϵ0R1R2
(R2−R1)
C = ϵ0 A/d
 C = ϵ0/r
C =  
2πϵ0L
ln[ ]R2
R1
C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF
Ceq
Ceq = 15μF
Ceq = 750μF
Ceq = 0,37μF
Ceq = 2,73μF
C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF
 Ceq = 15μF
 Ceq = 750μF
 Ceq = 30μF
 Ceq = 2,73μF
C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF C1 e C2
SÉRIE E ESTES ESTÃO EM PARALELO COM . CALCULE A
CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE .
A)
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1) Um capacitor de placas planas é constituído por duas placas condutoras, paralelas,
de áreas iguais, A, e distância de separação entre as placas d. Cada placa tem uma
densidade superficial de cargas, σ, e são carregadas com cargas opostas, +Q e -Q. 
Vamos considerar a situação de d2 ≪ A. Calcule sua capacitância.
A alternativa "B " está correta.
CAPACITOR DE PLACAS PLANAS
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2. O capacitor cilíndrico é constituído por duas cascas cilíndricas de mesmo eixo,
tamanhos L e raios dos cilindros R2 > R1. A casca cilíndrica interna é carregada
positivamente, enquanto a casca cilíndrica externa é carregada negativamente, ambas
com a mesma densidade linear de cargas λ. Considerando haver vácuo entre as cascas,
calcule sua capacitância.
A alternativa "D " está correta.
C3
Ceq
 Ceq = 15μF
 Ceq = 18,33μF
 Ceq = 30μF
 Ceq = 2,73μF
CAPACITOR CILÍNDRICO
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3. O capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas concêntricas com raios
R2 > R1. A casca esférica interna é carregada positivamente, enquanto a casca esférica
externa é carregada negativamente, ambas com a mesma densidade superficial de
cargas, σ. Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.
A alternativa "A " está correta.
CAPACITOR ESFÉRICO
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4. Considere uma combinação de três capacitores em série, sendo 
. Calcule a capacitância equivalente .
A alternativa "D " está correta.
Cuidado ao calcular as quantidades inversas! Vamos expressar a resposta em Faraday,
unidade S.I., de capacitância, em escala .
Uma verificação interessante desse cálculo, é que a capacitância equivalente numa
combinação em série é sempre menor que o menor capacitor do arranjo. Isso não ocorre com
combinações em paralelo de capacitores.
C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF Ceq
μ = 10−6
5. Considere uma combinação de três capacitores em paralelo, sendo 
. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "C " está correta.
Quando precisamos aumentar a capacitância em um circuito elétrico, procedemos ao arranjo
em paralelo de capacitores.
6. Considere uma combinação mista de três capacitores 
, sendo que estão em série e estes estão
em paralelo com . Calcule a capacitância equivalente .
A alternativa "B " está correta.
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos pensar no processo de carga de um capacitor, cuja capacitância é definida linearmente
pela definição padrão, . Consideremos que esse capacitor seja alimentado com uma
diferença de potencial entre suas paredes. Suponha, ainda, que possa acumular uma carga
total Q, sendo (+ Q) numa parede e (–Q) na outra. Vamos definir o potencial zero na parede
negativa e o potencial na parede positiva. Pergunta-se: Qual a é energia potencial elétrica,
total, acumulada nesse capacitor?
= ∑Ni=1
= + +
= 0,366 …
Ceq ≅2,73μF
1
Ceq.
1
Ci
1
Ceq.
1
5μF
1
10μF
1
15μF
1
Ceq
C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF
Ceq = ∑
N
i=1 Ci
Ceq = 5μF + 10μF + 15μF = 30μF
 
C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF C1 e C2
C3 Ceq
= +  
= +  
= 0,3  
CeqSérie = 3,33μF  
              
Ceqparalelo = 3,33μF + 15μF
Ceqparalelo = 18,33μF
1
CeqSérie
1
C1
1
C2
1
CeqSérie
1
5μF
1
10μF
1
CeqSérie
C =
Q
|ΔV |
V0
V0
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 01
A energia potencial elétrica é o potencial elétrico multiplicado pela carga de prova. Mas o
capacitor em carga, não apresenta o potencial elétrico V0 desde o início do processo de carga.
O capacitor, na verdade, vai se carregando desde o potencial zero até o potencial V0. As
cargas elétricas vão se acumulando desde a carga zero, até a carga total Q. Assim, devemos
integrar a energia potencial desde a carga zero até a carga máxima Q.
ETAPA 02
 
 
 
 
 
 
ETAPA 03
 
 
 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
C =
Q
|ΔV |
ΔV = V0
V =
q
C
dU = V dq
ΔU = ∫ Q
0
V dq
ΔU = ∫ Q
0
dq
q
C
ΔU = = CV 20
1
2
Q2
C
1
2
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
1. NO PROBLEMA DO CAPACITOR ESFÉRICO ANTERIOR, NO QUAL A
CAPACITÂNCIA FOI CALCULADA COMO , PENSE NA
SEGUINTE CIRCUNSTÂNCIA: DESACOPLAMOS A CASCA ESFÉRICA
EXTERNA DE RAIO R2 DAS PROXIMIDADES DA CASCA ESFÉRICA
INTERNA, LEVANDO-A A UMA DISTÂNCIA INFINITA. NESSA SITUAÇÃO,
QUAL SERÁ A NOVA CAPACITÂNCIA? OU SEJA, TEMOS CAPACITÂNCIA
COM UMA ÚNICA ESFERA CARREGADA? QUAL É O SEU VALOR?
A) 
B) 
C) 
D) 
2. POR MEIO DO CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE ENTRE OS
TERMINAIS DO CIRCUITO AO LADO, OBTENHA A CARGA TOTAL
ARMAZENADA NOS CAPACITORES, SABENDO QUE , 
, 
 
 
C =
4πϵ0R1R2
(R2−R1)
C =
4πϵ0R1R2
(R2−R1)
C = 0
C = 4πϵ0R1
C = ∞
C1 = 0,2μF
C2 = 0,4μF C3 = 0,2μF  e  Δ V = 12 V olts.
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. No problema do capacitor esférico anterior, no qual a capacitância foi calculada como 
, pense na seguinte circunstância: desacoplamos a casca esférica externa
de raio R2 das proximidades da casca esférica interna, levando-a a uma distância
infinita. Nessa situação, qual será a nova capacitância? Ou seja, temos capacitância com
uma única esfera carregada? Qual é o seu valor?
A alternativa "C " está correta.
 
Partindo da solução obtida no problema do capacitor esférico anterior, vamos fazer o raio 
. Matematicamente, devemos considerar que tanto o numerador quanto o
denominador, da capacitância do problema, terão comportamentos assimptóticos, nesse limite
infinito. Assim, devemos tratar esse comportamento assimptótico por meio do cálculo
diferencial e perceber que o termo destacado tenderá à unidade, .
Então, a resposta ao problema é: Sim, uma única esfera carregada terá habilidade capacitiva,
pois se carrega eletricamente, e sua capacitância é calculável.
2. Por meio do cálculo da capacitância equivalente entre os terminais do circuito ao lado,
obtenha a carga total armazenada nos capacitores, sabendo que , 
, 
 
 
Qtotal = 0,133 μC
Qtotal = 0,333 μC
Qtotal = 0,8 μC
Qtotal = 3,996 μC
C =
4πϵ0R1R2
(R2−R1)
R2 → ∞
R2
(R2−R1)
lim
R2→∞
  = 1
R2
(R2−R1)
C =                           R2 → ∞
C = 4πϵ0R1                           C = 4πϵ0R1
4πϵ0R1R2
(R2−R1)
R2
(R2−R1)
C1 = 0,2μF
C2 = 0,4μF C3 = 0,2μF  e  Δ V = 12 V olts.
A alternativa "D " está correta.
 
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
= +
= +
Ceqsrrie = 0,133μF
1
Ceqsrrie
1
C1
1
C2
1
Ceqserie
1
0,2
1
0,4
Ceqporaldio = Ceqsrrie + C3
Ceqporalclo = 0,333μF
Qtotal = Ceqparalelo × ΔV
Qtotal = 0,333μF × 12V
Qtotal = 3,996μC
A compreensão da teoria eletromagnética e seus fenômenos pressupõe a continuação dos
estudos dos conceitos e fenômenos da Eletrostática, para distribuições contínuas de cargas
elétricas e suas relações, como parte fundamental do que compreendemos hoje como a Teoria
Eletrodinâmica Clássica.
Esses conceitos são a base de toda a nossa tecnologia e experiência contemporânea. Neste
tema, você estudou os fenômenos, conceitos e definições de distribuições contínuas de cargas,
seus campos, potenciais elétricos, o importantíssimo conceito de fluxo de campo, Lei de Gauss
e aplicações à capacitância. Não deixe de experimentar as indicações complementares no
Explore +.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BARROS, L. M. Física Teórica Experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 10.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 3.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo:
Blucher, 2018.
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison
Wesley, 2015. v. 3.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Leia: Capacitância e Dielétricos
URL: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap4.pdf
Experimente: Simulador de Hockey Elétrico
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/electric-hockey
Experimente: Simulador John-travoltage
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/john-travoltage
Experimente: Simulador de Capacitores
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/capacitor-labCONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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