magnetostática - UNESA

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DESCRIÇÃO
Construção dos conceitos fundamentais e aplicações do campo magnético, da força de Lorentz, do fluxo de campo
magnético, da indutância e da Lei de Gauss da magnetostática na moderna teoria eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Abordar os campos magnéticos estáticos, ou magnetostáticos, sua estrutura, seu comportamento e suas fontes, a força
de Lorentz, bem como o cálculo do campo magnético a partir de correntes elétricas estáveis, a obtenção do valor da
indutância de componentes elétricos e a definição de mais uma das equações de Maxwell: a lei de Gauss da
Magnetostática.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o campo magnético e a força de Lorentz
MÓDULO 2
Aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère
MÓDULO 3
Calcular o fluxo de campo magnético, a indutância e a aplicação da Lei de Gauss da magnetostática
INTRODUÇÃO
Os Campos magnéticos, com suas causas, estrutura e consequências, são um dos tópicos mais pesquisados e
estudados, tanto cientifica como tecnologicamente. 
São fundamentais à completa compreensão dos fenômenos eletromagnéticos, sendo aplicados onde muitas vezes não
imaginamos: desde a geração elétrica, passando pelas comunicações, as novas tecnologias de materiais, transportes e
máquinas, até a moderna eletrônica etc. E não podemos esquecer dos fenômenos magnéticos da natureza. 
Para compreender seus fundamentos e aplicações iniciais, precisamos conceituar o campo magnético e a força de
Lorentz. Também vamos analisar como obter e calcular o campo magnético a partir das fontes de corrente elétrica.
Vamos, ainda, conceituar e aplicar o fluxo de campo magnético na obtenção da Indutância magnética e definir a segunda
equação de Maxwell, que é uma lei fundamental da Natureza, a Lei de Gauss da Magnetostática.
MAGNETOSTÁTICA
MÓDULO 1
 Identificar o campo magnético e a força de Lorentz
O CAMPO MAGNÉTICO
Campos magnéticos são mediadores da Interação magnética a distância. À diferença do fenômeno elétrico, não existe
o equivalente magnético da carga elétrica. Não há “cargas magnéticas”, chamados teoricamente de Monopolos
Magnéticos.
Durante várias décadas, Paul M. Dirac idealizou e propôs a existência dos Monopolos Magnéticos que, teoricamente,
resolveriam a compreensão do valor do Quantum fundamental da carga elétrica. Mas, infelizmente, nunca foi encontrado
um único Monopolo Magnético em quatro dimensões do espaço-tempo, apesar de algumas evidências em três
dimensões espaço-temporais, mas estes aplicam-se em fenômenos físicos superficiais como a supercondutividade e
materiais com características topológicas, que não trataremos aqui nem são abrangidos pela teoria eletrodinâmica
clássica.
 
Autor: GFHund/ Fonte: Wikimedia
 Paul M. Dirac
QUATRO DIMENSÕES DO ESPAÇO-TEMPO
Três coordenadas espaciais + um tempo
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javascript:void(0)
TRÊS DIMENSÕES ESPAÇO-TEMPORAIS
Duas coordenadas espaciais + um tempo
 ATENÇÃO
Os campos magnéticos possuem estrutura completamente diferente dos campos elétricos, não devendo ser confundidos
com estes. Sua estrutura é rotacional, com linhas de campo contínuas e fechadas.
Os campos eletrostáticos de cargas pontuais “nascem ou morrem” em cargas elétricas, que os geram e detectam. Os
campos magnetostáticos, por sua vez, têm trajetórias fechadas, numa curva fechada, existindo inclusive dentro dos
materiais magnéticos que os geram ou circundando suas fontes de corrente elétrica, sempre em circulações fechadas,
pois sua estrutura é rotacional.
Imagem do conjunto das Linhas de campo magnético de um imã natural interagindo com limalha de ferro.
Diagrama da representação desse campo magnético mostrando que também há linhas de campo magnético dentro dos
materiais magnéticos em circulações fechadas.
 A Estrutura Rotacional do Campo Magnetostático de um Imã
Se tomarmos um material magnético natural, um imã, e tentarmos separar supostos núcleos magnéticos, chamados de
polos magnéticos, quebrando o material cristalino, jamais conseguiremos obter êxito, mesmo que chegássemos ao nível
atômico.
Não existem, fisicamente, os Polos magnéticos Norte e Sul separados, sendo apenas uma designação da convenção
histórica de orientação das linhas de campo magnético.
Os polos magnéticos são apenas regiões do material onde as linhas de campo são mais concentradas e o campo
magnético mais intenso em magnitude. 
As linhas de campo magnetostático rotacionam em curvas fechadas e não são divergentes como no caso eletrostático.
Ou seja, as linhas de campo magnético seguem trajetórias fechadas. 
 ATENÇÃO
Essa antiga confusão, errônea na interpretação, está na aparente semelhança com a estrutura de campo do dipolo
elétrico, que no passado foi confundida com a de campo magnético, mas são campos de natureza completamente
diferentes.
Repare nas duas figuras a seguir. À esquerda, estão representadas linhas de campo elétrico de um dipolo elétrico. À
direita, linhas de campo magnético de um imã natural. Note que as linhas mais afastadas, em ambos os casos, são
semelhantes nas trajetórias curvas nas duas figuras. Mas no dipolo elétrico (figura à esquerda) entre as cargas elétricas,
as linhas seguem no sentido da carga de atributo positiva para a carga de atributo negativa. Já na figura à direita, entre as
extremidades do imã — as regiões chamadas de polos — o campo magnético de linhas fechadas segue em sentido
oposto ao das linhas do dipolo da figura à esquerda.
Linhas de campo elétrico de um dipolo elétrico. As linhas seguem no sentido da carga de atributo positiva para a carga de
atributo negativa.
Linhas de campo magnético de um imã natural. Entre as extremidades do imã, as regiões chamadas de polos, o campo
magnético de linhas fechadas segue em sentido oposto ao das linhas do dipolo da figura à esquerda.
 Linhas de Campo de Dipolo Elétrico e Linhas Magnéticas – Comparação
Esse é o motivo histórico para se referir a um imã com polos norte e sul, como se fosse possível separar esses polos,
fonte de incompreensão muito comum.
Os campos eletrostáticos e magnetostáticos são completamente distintos e possuem causas diferentes. Sua breve
semelhança nesses dois exemplos é circunstancial e mesmo aqui não podem ser confundidos.
Assim, percebe-se que as estruturas de campo elétrico de dipolo e de campo magnético de um imã são distintas, apesar
de semelhantes nas linhas mais afastadas das fontes. 
Existem, essencialmente, três fontes de campos magnéticos:
01
javascript:void(0)
Os campos magnetostáticos naturais dos imãs e materiais magnéticos.
02
Os campos magnetostáticos no entorno de linhas de Corrente Elétrica estacionárias, ou de espiras de corrente
elétrica, descritos pela Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère.
03
Os campos magnéticos dinâmicos induzidos por variações temporais de fluxos de campos elétricos, via corrente de
deslocamento de Maxwell da Lei de Ampère-Maxwell.
Vamos nos deter nos campos magnetostáticos (itens 1 e 2) e deixaremos os campos magnéticos induzidos por variações
de fluxos de campos elétricos (item 3) para mais tarde.
ORIGEM DO MAGNETISMO NATURAL
A origem do magnetismo natural é intrínseca, do spin quântico do elétron e da dinâmica quântica orbital molecular e/ou
atômica dos materiais magnéticos. Eles formam o que chamamos de momentos magnéticos quânticos. 
Para os materiais magnéticos naturais, magnetizáveis ou campos magnéticos com fontes em correntes elétricas, define-
se classicamente o momento magnético, 
→
m .
DEFINIÇÃO: MOMENTO MAGNÉTICO (MACEDO, 1976
ADAPTADO)
“Grandeza vetorial que se pode associar a uma espira percorrida por uma corrente elétrica ou a um magneto. O momento
magnético associado a uma espira define-se pela equação 
→
m = I
→
a , em que I é a intensidade de corrente que percorre a
espira, e 
→
a é um vetor normal à área subtendida pela espira, suposta plana, cujo módulo é a medida desta área (figura à
esquerda). Para o magneto natural,o seu momento magnético mede-se pelo produto de 
→
FB
→
| B
, pelo vetor comprimento 
→
L
do mesmo magneto, em que 
→
FB é a força magnética que age sobre a extremidade deste magneto e 
→
B é o campo
magnético externo que gera essa força magnética, ou seja, 
→
m =
→
FB
→
| B
 
→
L (figura à direita).
| |
|
| |
|
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 
Fonte: Wikipedia
 Momento Magnético
MATERIAIS MAGNÉTICOS
Considerando as principais propriedades magnéticas dos materiais, podemos classificá-los como:
PARAMAGNÉTICOS
Nos materiais paramagnéticos, os momentos magnéticos atômicos são permanentes, mas não interagem fortemente uns
com os outros e estão orientados aleatoriamente. Quando submetidos a um campo magnético externo, são parcialmente
orientados (alinhados) na direção desse campo e assim aumentam a magnitude do campo externo, como na figura a
seguir. Em temperaturas usuais (ambientais) e na presença de campos magnéticos de baixa intensidade, somente uma
pequena porcentagem das moléculas resultará alinhada devido ao seu movimento vibracional térmico. Esses materiais
são atraídos por campos magnéticos. Quando o campo externo é desligado, seu campo de magnetização desaparece.
Exemplo: oxigênio líquido, magnésio, lítio etc.
 
Autor: Jens Böning / Fonte: Wikipedia
FERROMAGNÉTICOS
Nos materiais ferromagnéticos, os momentos magnéticos atômicos são permanentes e interagem intensamente uns com
os outros, o que permite um elevado grau de alinhamento na presença de campo magnético externo, mesmo com campos
de baixa intensidade. Ainda que não se submeta o material a um campo magnético externo, pode-se ter momentos
magnéticos atômicos fortemente alinhados, são os imãs permanentes. Nota-se a existência de regiões delimitadas com a
mesma orientação dos momentos magnéticos, chamados de domínios magnéticos, como na figura a seguir. O
alinhamento dos domínios que formam seu campo de magnetização pode permanecer quando o campo externo é
desligado. Em altas temperaturas, críticas de cada material, as paredes dos domínios de magnetização (paredes de
Block) são quebradas e esses materiais se comportam com a propriedade paramagnética. Exemplos: magnetitas, ferro,
cobalto, níquel, ligas destes (com alumínio, cobre, manganês etc.), terras-raras etc.
 
Autor: José Higino Dias Filho / Fonte: Adaptado de Portal do Professor
 Direção do campo magnético aplicado
DIAMAGNÉTICOS
Nos materiais diamagnéticos, os momentos magnéticos atômicos se alinham de maneira oposta ao campo magnético
externo, diminuindo assim esse campo. Tal efeito ocorre em todos os materiais, sendo pouquíssimo intenso, mas é
encoberto quando os materiais possuem também outras propriedades como a ferromagnética ou a paramagnética. São
materiais que repelem o campo magnético externo. Exemplo: cobre, água, prata, carbono etc.
 
Autor: Splarka / Fonte: Wikipedia
 Levitação de uma lâmina de Grafite.
ANTIFERROMAGNÉTICOS
Nos materiais antiferromagnéticos, o campo de magnetização se alinha antiparalelamente ao campo externo aplicado. Há
uma orientação alternada nos momentos magnéticos atômicos vizinhos, como na figura a seguir. Só pode ser observado
abaixo de uma temperatura crítica que depende dos materiais. Exemplo: manganês, sulfeto ferroso, cromo, óxido de
cromo etc.
 
Autor: Michael Schmid / Fonte: Wikipedia
FERRIMAGNÉTICOS
Nos materiais ferrimagnéticos, os momentos magnéticos dos íons vizinhos em uma rede cristalina se alinham
antiparalelamente, formando duas sub-redes com momentos opostos de magnitude e diferentes do campo externo
aplicado, como na figura a seguir, fazendo com que uma magnetização espontânea e oposta permaneça após o campo
externo desligado. Exemplo: ferritas.
 
Fonte: Wikipedia
HELIMAGNÉTICOS
Nos materiais helimagnéticos, os momentos magnéticos vizinhos em uma rede cristalina fazem um ângulo constante
diferente do paralelo e do antiparalelo. Ocorre a baixíssimas temperaturas. Exemplo: bióxido de manganês.
FORÇA DE LORENTZ
A FORÇA DE LORENTZ É UMA COMPOSIÇÃO DAS DUAS
INTERAÇÕES DA TEORIA ELETRODINÂMICA CLÁSSICA: A
INTERAÇÃO ELÉTRICA, QUE É PROPORCIONAL AO CAMPO
ELÉTRICO, E A INTERAÇÃO MAGNÉTICA, QUE É
PROPORCIONAL AO CAMPO MAGNÉTICO.
Vamos analisar a interação magnética, ou seja, a força magnética, para compreender essa fundamental interação da
natureza.
DEMONSTRAÇÃO
A força magnética, ou interação magnética, ocorre de duas formas:
01
SOBRE PARTÍCULAS CARREGADAS COM VELOCIDADE NÃO NULA,
EM UMA REGIÃO DE CAMPO MAGNÉTICO.
Para o caso (1) de partículas carregadas e com velocidade não nula, em uma região de campo magnético, a força
magnética 
→
FB se define fenomenologicamente como:
 
Fonte: Autor
→
FB = Q 
→
v × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
javascript:void(0)
Que é a expressão da força magnética como um produto vetorial entre a velocidade da partícula carregada, 
→
v , e o
campo magnético, 
→
B , multiplicado pela carga Q.
A carga Q é uma carga de provas viajando em velocidade constante, 
→
v , na presença de um campo magnético não
variável, 
→
B , como na ilustração anterior.
A unidade do Sistema Internacional (S.I.) para o campo magnético 
→
B é o Tesla. Assim:
1 Tesla = 1 T = 1 
N . s
C . m
= 1
N
A . m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
02
SOBRE LINHAS OU ESPIRAS DE CORRENTE ELÉTRICA NA
PRESENÇA DE CAMPO MAGNÉTICO; SENDO ESTA ÚLTIMA UMA
EXTENSÃO DA PRIMEIRA, COMO VEREMOS.
Para o caso (2), de uma linha de corrente elétrica, I, vamos generalizar a equação anterior de uma única carga, para uma
integral de elementos de cargas. Assim, a força magnética sobre uma corrente elétrica será:
→
FB = ∫ 
→
v × 
→
B dq 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, q = λ l, e também dq = λ dl, em que λ é a densidade linear de cargas constante no filamento que conduz a corrente I.
Assim, derivando no tempo a relação q = λ l, temos a corrente elétrica I:
I = 
dq
dt
= λ 
dl
dt
= λ 
→
v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Representando algebricamente a velocidade da carga como 
→
v =
→
v
ˆ
v, sendo 
ˆ
v a direção de 
→
v , e substituindo 
dq = λ dl, e o resultado da equação anterior, I = λ 
→
v , obtemos:
→
FB = ∫ 
→
v × 
→
B dq = ∫ 
→
v × 
→
B λ dl = ∫ 
→
v
ˆ
v × 
→
B λ dl = ∫ I 
ˆ
v × 
→
B dl 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 
ˆ
v está orientada na direção e sentido da corrente elétrica I, podemos definir 
→
dl = dl 
ˆ
v . Assim:
( )
| |
| |
| |
( ) ( ) ( | | ) ( )
javascript:void(0)
 
Fonte: Autor
→
FB = ∫ I 
→
dl × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a expressão da força magnética que age sobre uma linha de corrente elétrica como o produto vetorial do elemento
vetorial de corrente I 
→
dl com o campo magnético 
→
B . .
Nos dois casos temos um produto vetorial, o plano formado pelas direções do vetor velocidade de uma carga elétrica em
movimento, e o campo magnético ao qual essa carga estiver submetida será ortogonal à força magnética gerada. Da
mesma maneira, o plano formado pelo vetor Elemento de Corrente Elétrica e o vetor campo magnético, será ortogonal à
força magnética gerada.
Forças magnéticas alteram a direção da trajetória de partículas carregadas submetidas ao campo magnético, produzindo
trajetórias tipicamente de classe circulares, mas não alteram o módulo de sua velocidade, pois são forças transversas à
velocidade, como se traduz da definição dessas forças.
A força de Lorentz sobre cargas elétricas em movimento uniforme será a soma das contribuições de força elétrica e de
força magnética:
→
F = Q 
→
E + Q 
→
V ×
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a força magnética sobre elementos de linhas de corrente elétrica é:
D
→FB = I 
→
DL ×
→
B
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
– 
→
dl é o vetor elemento de comprimento de um fio retilíneo com direção paralela a I.
– 
→
B , é o campo magnético não variável.
REGRA DA MÃO DIREITA DO PRODUTO VETORIAL
Na presença de campo magnético, cargas elétricas em movimento e correntes elétricas sofrem a ação da força
magnética, que as desvia, tracionando-as perpendicularmente à direção anterior. Ou seja, uma partícula carregada, com
velocidade constante em certa direção que adentre uma região de campo magnético, perpendicular à sua velocidade,
sofrerá uma força magnética ortogonal ao plano dos vetores anteriores, em cada instante temporal, como nas figuras
mostradas, satisfazendo à regra da mão direita do produto vetorial. 
Atenção: A figura a seguir ilustra a aplicação correta da regra da mão direita:
 
Adapatado do autor: powerhak / Fonte: Shutterstock
 A regra da mão direita para o produto vetorial.
O entendimento e uso da regra da mão direita não é uma opção, vários fenômenos físicos satisfazem regras de produto
vetorial, como a força magnética e o campo magnético, que são alguns deles.
CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
O campo magnético terrestre, chamado de campo geomagnético, que compõe a magnetosfera terrestre, é responsável
por desviar partículas cósmicas e do vento solar para longe de nossa atmosfera, ou aprisioná-las no cinturão de Van
Allen, para que não atinjam a superfície terrestre, o que, de outra forma, poderia transformar a vida planetária na
superfície com a erosão da atmosfera e da água do planeta.
A força de Lorentz é a principal responsável por essa proteção, desviando as partículas carregadas que se aproximam
com grande velocidade da magnetosfera. São partículas fundamentais carregadas e muito energéticas, transversalmente
desviadas quando entram em contato com as linhas do campo geomagnético.
Não conhecemos ainda completamente a dinâmica da fonte desse campo geomagnético protetor. Acredita-se, baseado
em modelos teóricos plausíveis e simulados, que o núcleo do planeta, metálico, dinâmico, e altamente aquecido seja sua
fonte. Contudo, a força magnética é, certamente, a grande responsável por termos uma atmosfera relevante, água
abundante e condições climáticas compatíveis com a vida, como a conhecemos.
FENÔMENO DA EMISSÃO DE MASSA CORONAL (CME)
A imagem a seguir exemplifica o fenômeno da Emissão de Massa Coronal (CME), de um enorme jato de partículas
solares em direção à Terra. Não está em escala real, pois a Terra seria somente um pequeno ponto no espaço comparado
ao Sol, mas nos oferece a noção dessas escalas e a enorme importância da magnetosfera terrestre como escudo de
defesa do planeta diante do poder dessas emissões solares e das partículas cósmicas do Universo.
 
Autor: Naeblys / Fonte: Shutterstock
O CAMPO GEOMAGNÉTICO TERRESTRE E O VENTO SOLAR
Neste diagrama é mostrado um esquema da estrutura do campo geomagnético terrestre, onde o eixo magnético é
inclinado em relação ao eixo de rotação do planeta. 
O Polo Norte magnético se encontra próximo ao Sul geográfico e o Polo Sul magnético se encontra próximo ao Polo Norte
geográfico, com um ângulo de inclinação entre os eixos de rotação e magnético. As bússolas se orientam com o Norte
apontando para o Sul magnético do planeta, pois as linhas de campo geomagnéticas, segundo a convenção adotada de
orientação das linhas de campo magnéticas, seguem do Norte para o Sul magnético. Assim, as bússolas apontam para o
Sul magnético, próximo ao Norte geográfico. Por essa razão, reconhecemos as bússolas apontando para o Norte
geográfico próximo.
 
Autor: Peter Hermes Furian / Fonte: Shutterstock
 Figura 1- O Campo Geomagnético Terrestre.
 
Fonte: Nasa.gov
 Figura 2 - O Vento Solar. Fonte: Foto com arte, NASA — Sonda espacial SOHO/NASA
Nesta figura temos uma foto com cores enriquecidas, obtida da sonda espacial SOHO da NASA, especializada em
acompanhar esses fenômenos. Na foto, nota-se uma gigantesca emissão de massa coronal (CME) em direção à Terra.
Repare a atuação do campo magnético terrestre na defesa planetária. Se a massa coronal desta foto tivesse atingido a
Terra sem magnetosfera, talvez você não estivesse lendo este conteúdo agora.
AURORAS BOREAIS E AUSTRAIS
Nas regiões Polares, nos Polos Magnéticos Terrestres, que são localizações onde as linhas de Campo Geomagnéticos
são mais próximas da superfície, as partículas cósmicas, e do Vento Solar, conseguem se aproximar muito mais da
superfície planetária, produzindo um fenômeno muito interessante, mas indicativo da penetração dessas partículas na
atmosfera, as Auroras Boreais e Austrais. 
São partículas carregadas, principalmente de elétrons, que não foram desviadas pelo campo magnético terrestre, nem
aprisionadas por este. Elas conseguem atravessar a magnetosfera nos polos, espiralando em torno das linhas de campo
e, assim, penetram a atmosfera, interagindo com gases atmosféricos, principalmente o oxigênio e o nitrogênio, colidindo
com eles e excitando-os a níveis de energia mais altos. Ao retornarem aos níveis de energia mais baixos, essas
moléculas gasosas emitem luz. As diferentes colorações são características da diferença energética que esses gases
absorveram e emitem. Colorações verdes e vermelhas são características do oxigênio, e os azuis e o rosa são emitidos
pelo nitrogênio, a depender de seus estados de ionização.
 
Autor: Simone Gramegna / Fonte: Shutterstock
MÃO NA MASSA
1. UMA PARTÍCULA CÓSMICA, CARREGADA COM Q=-5 ΜC, E VELOCIDADE V→=
(800 K^) KM/S, ADENTRA A MAGNETOSFERA TERRESTRE EM UMA REGIÃO ONDE O CAMPO
PODE SER REPRESENTADO POR B→=(50 J^) ΜT, EM UM SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DE
COORDENADAS XYZ, COM VETORES UNITÁRIOS (I^, J^, K^). CALCULE A FORÇA
MAGNÉTICA QUE AGIRÁ SOBRE A PARTÍCULA CARREGADA NO EXATO INSTANTE QUE
ADENTRAR A REGIÃO INDICADA NO CAMPO MAGNÉTICO.
A) F→=0,00002 N i^ 
B) F→=0,0002 N i^
C) F→=0,002 N j^
D) F→=0,02 N j^
E) F→=0,2 N k^
2. UM FIO RETILÍNEO MUITO LONGO ESTÁ ALINHADO VERTICALMENTE AO LONGO DA
DIREÇÃO Z, DE UM SISTEMA COORDENADO XYZ. O FIO CONDUZ UMA CORRENTE
ELÉTRICA I=20 A NO SENTIDO POSITIVO DE Z E UM CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO, B→=
(2 T) I^ , FOI ACIONADO ONDE O FIO SE ENCONTRA. CALCULE A FORÇA MAGNÉTICA POR
UNIDADE DE COMPRIMENTO QUE ATUARÁ SOBRE O FIO.
A) 10 i^ N/m
B) 10 j^ N/m
C) 40 k^ N/m
D) 40 i^ N/m
E) 40 j^ N/m
3. CONSIDERE O TRABALHO MECÂNICO DE UMA FORÇA MAGNÉTICA QUE ATUE SOBRE
UMA PARTÍCULA DE CARGA Q, COM VELOCIDADE V→(T), NA PRESENÇA DE UM CAMPO
MAGNÉTICO B→. CALCULE ESSE TRABALHO AO LONGO DE UM DESLOCAMENTO L→.
A) W=0 
B) W=Q 
C) W=Qv→ 
D) W=Qv→B→ 
E) W=Q v→B→|l→|
4. CONSIDERE UMA PARTÍCULA DE MASSA M, CARREGADA COM CARGA Q E VELOCIDADE
V→, INICIALMENTE EM UM MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME. QUANDO A PARTÍCULA
ADENTRA UMA REGIÃO DE CAMPO MAGNÉTICO B→, DE MAGNITUDE CONSTANTE E
PERPENDICULAR A V→, SOBRE ELA PASSA A AGIR UMA FORÇA MAGNÉTICA. SENDO,
ENTÃO, ACELERADA, A PARTÍCULA PASSA A DESCREVER UMA TRAJETÓRIA CIRCULAR.
CALCULE O RAIO DESSA TRAJETÓRIA CIRCULAR, CHAMADA DE RAIO DE CÍCLOTRON.
A) R=m |B→|q|v→|
B) R=q |v→|m|B→|
C) R=m |v→|q|B→|
D) R=m q|v→||B→|
E) R=|B→||v→|q m
5. (ADAPTADA DE GRIFFITHS, 1999). UM CIRCUITO RETANGULAR DE CORRENTE ELÉTRICA,
SUPORTANDO UMA MASSA M, A SUSTENTA VERTICALMENTE COM UM DE SEUS LADOS EM
UMA REGIÃO DE CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME B→, QUE APONTA PARA DENTRO DA
REGIÃO HACHURADA DA FIGURA. CALCULE O VALOR DA CORRENTE ELÉTRICA I, NO
CIRCUITO DE LARGURA A, DE FORMA QUE A FORÇA MAGNÉTICA EQUILIBRE EXATAMENTE
A FORÇA GRAVITACIONAL SOBRE A MASSA M. 
 
A) I=a|g→|B→m
B) I=ma|g→|B→
C) I=mB→|g→|a
D) I=m|g→|B→a
E) I=maB→|g→|
6. CONSIDERE QUE VOCÊ TENHA SIDO CONTRATADO PARA PROJETAR UM EQUIPAMENTO
DE DETECÇÃO DA VELOCIDADE DE PARTÍCULAS CARREGADAS, COM CARGA ELÉTRICA
CONHECIDA Q E VELOCIDADE INICIAL V0→=V0 I^. UM FILTRO DE VELOCIDADES DE
PARTÍCULAS. O SEU DETECTOR DEVERÁ SER ALINHADO COM A DIREÇÃO INICIAL DAS
PARTÍCULAS QUEADENTRARÃO UMA REGIÃO DE CAMPOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO,
PERPENDICULARES ENTRE SI, DE TAL FORMA QUE, PARA SEGUIR A ESPECIFICAÇÃO DO
PROJETO CONTRATADO, E→=E0 J^ E B→=B0 K^. CONSIDERE QUE VOCÊ CONSIGA
ALTERAR OS VALORES DE E0 E B0 DESSES CAMPOS. CALCULE O MÓDULO DA
VELOCIDADE INICIAL DAS PARTÍCULAS COMO FUNÇÃO DAS MAGNITUDES DOS CAMPOS
ELÉTRICO E MAGNÉTICO.
A) v0=B0E0
B) v0=E02B0
C) v0=2E0B0
D) v0=E0B0
E) v0=E0B0
GABARITO
1. Uma partícula cósmica, carregada com q=-5 μC, e velocidade v→=(800 k^) km/s, adentra a magnetosfera
terrestre em uma região onde o campo pode ser representado por B→=(50 j^) μT, em um sistema de
representação de coordenadas xyz, com vetores unitários (i^, j^, k^). Calcule a força magnética que agirá sobre a
partícula carregada no exato instante que adentrar a região indicada no campo magnético.
A alternativa "B " está correta.
Vamos aplicar diretamente a definição de força magnética:
F→=q v→×B→
F→=-5 μC800 k^ Km/s×50 ȷ^ μT
F→=-5.10-6C800.103m/s k^×50.10-6 T ȷ^
F→=-0,0002 Nk^×ȷ^
F→=0,0002 N ı^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um fio retilíneo muito longo está alinhado verticalmente ao longo da direção Z, de um sistema coordenado xyz.
O fio conduz uma corrente elétrica I=20 A no sentido positivo de Z e um campo magnético externo, B→=(2 T) i^ ,
foi acionado onde o fio se encontra. Calcule a força magnética por unidade de comprimento que atuará sobre o
fio.
A alternativa "E " está correta.
Vamos aplicar diretamente a definição de força magnética para correntes elétricas e calcular a força por comprimento, ou
seja Fz→:
F→=I l→ × B→F→=(20A)(z k^)×(2T ı^)F→=40 z (k^×ı^)Nk^×ı^=j^Fz→=40 j^ N/m 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considere o Trabalho Mecânico de uma força magnética que atue sobre uma partícula de carga Q, com
velocidade v→(t), na presença de um campo magnético B→. Calcule esse trabalho ao longo de um deslocamento
l→.
A alternativa "A " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
4. Considere uma partícula de massa m, carregada com carga q e velocidade v→, inicialmente em um movimento
retilíneo uniforme. Quando a partícula adentra uma região de campo magnético B→, de magnitude constante e
perpendicular a v→, sobre ela passa a agir uma força magnética. Sendo, então, acelerada, a partícula passa a
descrever uma trajetória circular. Calcule o raio dessa trajetória circular, chamada de raio de Cíclotron.
A alternativa "C " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
5. (Adaptada de GRIFFITHS, 1999). Um circuito retangular de corrente elétrica, suportando uma massa m, a
sustenta verticalmente com um de seus lados em uma região de campo magnético uniforme B→, que aponta para
dentro da região hachurada da figura. Calcule o valor da corrente elétrica I, no circuito de largura a, de forma que
a força magnética equilibre exatamente a força gravitacional sobre a massa m. 
 
A alternativa "D " está correta.
A força magnética que atua sobre a linha de corrente superior e sustenta o sistema deverá ser igual, em módulo, à força
peso que atua sobre a massa, de forma a equilibrar as forças do sistema físico, como sabemos da Mecânica de Newton.
Assim,
Fmag→=I l→ × B→ e Fgrav→= m g→ 
|Fmag→|=I a |B→| e | Fgrav→|= m |g→|
I a B→=m |g→|
I =m |g→|B→a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere que você tenha sido contratado para projetar um equipamento de detecção da velocidade de
partículas carregadas, com carga elétrica conhecida q e velocidade inicial v0→=v0 i^. Um filtro de velocidades de
partículas. O seu detector deverá ser alinhado com a direção inicial das partículas que adentrarão uma região de
campos elétrico e magnético, perpendiculares entre si, de tal forma que, para seguir a especificação do projeto
contratado, E→=E0 j^ e B→=B0 k^. Considere que você consiga alterar os valores de E0 e B0 desses campos.
Calcule o módulo da velocidade inicial das partículas como função das magnitudes dos campos elétrico e
magnético.
A alternativa "D " está correta.
Vamos representar no sistema de coordenadas xyz o campo elétrico, o campo magnético e a velocidade, como atuam
vetorialmente sobre a partícula q. Ambos os campos resultarão em forças sobre a partícula carregada e, assim,
acelerações. As forças elétrica e magnética terão a mesma direção, mas sentidos opostos. A força resultante será a força
de Lorentz:
F→= q E→+ q (v0→ × B→) 
F→= q E0 j^+q v0 i^ × B0 k^ ⟹ F→= q E0 j^+q v0B0 (i^ × k^) 
F→= q E0 j^+ q v0B0 -j^ ⟹ F→=q E0- v0B0 j^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que se a força de Lorentz for nula, a aceleração resultante será zero e a partícula seguirá com a mesma
velocidade inicial em movimento retilíneo uniforme. Essa condição, de aceleração nula, responde ao problema. Assim,
para obter a velocidade inicial das partículas, basta ajustar as intensidades dos campos de maneira a preservar a
velocidade inicial das partículas. Portanto:
F→=q E0- v0B0 j^=0 ⟺ E0- v0B0 =0 ⟺ v0= E0B0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma espira de corrente elétrica na presença de um campo magnético. Como a força magnética atua sobre uma
espira que conduz uma corrente elétrica? No que resulta esse fenômeno?
RESOLUÇÃO
Para analisar o problema, vamos simplificar a geometria de uma espira que conduz uma corrente elétrica e depois vamos
generalizar o tratamento. Vamos considerar uma espira retangular, de lados a e b, conduzindo uma corrente elétrica I.
Vejamos na figura a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
Uma corrente elétrica percorre a espira no sentido anti-horário e o campo Magnético atua como representado na figura.
Perceba que a força Magnética 
→
F = I 
→
l × 
→
B atuará em cada segmento da espira onde há corrente elétrica, produzindo
forças perpendiculares ao campo. A soma resultante de todas essas forças é zero. No entanto, a atuação do campo
Magnético faz a espira alinhar-se com a orientação do campo. Como as forças nos segmentos laterais, de largura a,
formam um binário de forças, inclinado de um ângulo θ em relação à orientação do campo, o efeito é o de um torque
girando a espira de forma a alinhar-se ao campo magnético. As forças magnéticas que agem verticalmente nesta espira
também são perpendiculares à direção do campo, formam outro binário de forças, mas estão, as duas, na mesma
direção e, assim, cancelam-se mutuamente.
O torque do binário de forças magnéticas que age na espira será:
→
Τ =
→
R × 
→
F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde 
→
r é chamado de vetor braço-de-ação do torque, ou braço de alavanca com módulo b sen ( θ ) , sobre um ponto P,
e a força magnética é 
→
F = I 
→
l × 
→
B . O módulo desta força magnética é:
→
F = I A 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O torque será orientado na direção do eixo de rotação da espira, que, neste caso, faz uma linha imaginária onde estão
representadas as forças verticais e seu módulo será:
→
Τ = I A 
→
B B SEN ( Θ ) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ângulo θ é de inclinação do campo Magnético 
→
B com o vetor normal ao plano da espira, 
ˆ
n, como representado na
figura. Repare que o produto ab é a área A do plano da espira. Portanto, o torque do campo magnético sobre uma espira
pode ser definido como:
→
Τ = I A 
ˆ
N × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que reobtivemos aqui o momento magnético de uma espira de corrente elétrica, que podemos generalizar para N
espiras como:
→
M N = N I A 
ˆ
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, aqui, A é a área da espira.Assim, podemos definir o torque (vetor) do campo magnético sobre N espiras de qualquer geometria como:
→
Τ B = 
→
M N × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: SILVEIRA; MARQUES, 2012.
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TORQUE DO CAMPO MAGNÉTICO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM FIO DE COBRE, CONDUTOR DE CORRENTE ELÉTRICA, ESTÁ ALINHADO COM A
DIREÇÃO X E CONDUZ UMA CORRENTE I=50 A NO SENTIDO DE X POSITIVO. CONSIDERE
QUE, SOBRE UM TRECHO DE 0,50 M DESSE FIO RETILÍNEO, ATUE UM CAMPO MAGNÉTICO
CUJA INTENSIDADE É DE 1,2 T, ORIENTADO DA ESQUERDA PARA A DIREITA NO PLANO XY,
FAZENDO UM ÂNGULO DE 45º COM O SENTIDO POSITIVO DO EIXO X. CALCULE A FORÇA
MAGNÉTICA QUE AGE SOBRE ESSE TRECHO DO FIO.
A) F→=21,21 N 
B) F→=30 N
C) F→=30 N k^
D) F→=21,21 N k^
E) F→=42,42 N k^
2. CONSIDERE O ENROLAMENTO HELICOIDAL DE UM FIO CONDUTOR, CHAMADO DE
SOLENOIDE, COMPOSTO POR 50 ESPIRAS, AO LONGO DE UM COMPRIMENTO L= 10 CM E
COM DIÂMETRO D=2 CM. O SOLENOIDE ESTÁ APOIADO LONGITUDINALMENTE NO
PRIMEIRO QUADRANTE DO PLANO XY E FOI POSICIONADO COM ÂNGULO Θ=60O, ENTRE
SEU EIXO E A DIREÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME B→=1,5 I^ T. SE O
ENROLAMENTO CONDUZ UMA CORRENTE ELÉTRICA I=2 A, COM SENTIDO DAS
COORDENADAS POSITIVAS, CALCULE O VETOR TORQUE SOBRE O SOLENOIDE. 
 
A) τ→=-0,04081 k^ N.m
B) τ→=0,04081 i^ N.m
C) τ→=-0,04712 j^ N.m
D) τ→=0,03141 k^ N.m
E) τ→=-0,04081 N.m
GABARITO
1. Um fio de cobre, condutor de corrente elétrica, está alinhado com a direção x e conduz uma corrente I=50 A no
sentido de x positivo. Considere que, sobre um trecho de 0,50 m desse fio retilíneo, atue um campo magnético
cuja intensidade é de 1,2 T, orientado da esquerda para a direita no plano xy, fazendo um ângulo de 45º com o
sentido positivo do eixo x. Calcule a força magnética que age sobre esse trecho do fio.
A alternativa "D " está correta.
 
Vamos aplicar a definição de força magnética em elementos de corrente elétrica:
F→=Il→ × B→l→=0,50 m ı^B→=1,2 Tcos45∘ı^+sen45∘ȷ^F→=50 A⋅0,50 m⋅1,2 T⋅sen 45∘(ı^ × ȷ^)F→=21,21 N k^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o enrolamento helicoidal de um fio condutor, chamado de solenoide, composto por 50 espiras, ao
longo de um comprimento L= 10 cm e com diâmetro d=2 cm. O solenoide está apoiado longitudinalmente no
primeiro quadrante do plano xy e foi posicionado com ângulo θ=60o, entre seu eixo e a direção de um campo
magnético uniforme B→=1,5 i^ T. Se o enrolamento conduz uma corrente elétrica I=2 A, com sentido das
coordenadas positivas, calcule o vetor torque sobre o solenoide. 
 
A alternativa "A " está correta.
 
Vamos aplicar a definição de Torque sobre um conjunto de espiras, a partir do Momento Magnético. O eixo do solenoide,
que pertence ao plano xy, faz um ângulo de 60o com a direção x. O diâmetro do solenoide, em metros, é: d=0,02 m. A
área de seção reta do solenoide é: A= πd22.
B→=1,5 ı^ Tτ→=m→N × B→m→=N I A n^ =50⋅2⋅π0,0222n^ =0,0314159 n^τ→=0,0314159 n^ × 1,5 ı^τ→=0,04712 sen60∘ (-
k^)τ→=- 0,04081 k^ N⋅m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère
FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO — CORRENTES
ELÉTRICAS
Correntes elétricas são fonte de campos magnéticos. Já havíamos elencado esse fenômeno como uma das três fontes
dos campos magnéticos.
 
Autor: Ziro01 / Fonte: Shutterstock
 As primeiras evidências científicas da relação entre campos magnéticos e correntes elétricas datam de 1820, quando
Hans Christian Oersted identificou a relação entre o magnetismo e a movimentação de cargas elétricas em correntes
elétricas. Oersted percebeu que as agulhas das bússolas eram perturbadas quando próximas de linhas de correntes
elétricas.
 
Autor: molcay/ Fonte: Shutterstock
Um mês depois, Jean Baptiste Biot e Félix Savart mostraram qual era o comportamento da força magnética sobre polos
magnéticos de materiais magnéticos naturais, nas vizinhanças de correntes elétricas de um fio condutor, analisando
elementos de corrente elétrica como fontes do campo que geravam a interação. 
 
SILVA, Domiciano Correa Marques da. A Lei de Biot-Savart; Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/a-lei-biotsavart.htm. Acesso em 21 de novembro de 2020.
Além destes, André Ampère, Michael Faraday e Joseph Henry fizeram importantes contribuições aos princípios do
magnetismo gerado por linhas de corrente elétrica.
 
Autor: Fæ / Fonte: Wikipedia
Ampère nos apresentou, inclusive, o primeiro modelo da origem do magnetismo natural dos imãs, que seria gerado a
partir de pequenas circulações de correntes elétricas em espiras minúsculas dentro dos materiais. Atualmente sabemos
que essa origem é intrínseca dos materiais, na escala quântica. Mas seu modelo nos mostrou uma possibilidade para
explicar o magnetismo dos materiais pela primeira vez.
Do ponto de vista do fenômeno, sempre que tivermos correntes elétricas em condutores elétricos, ou fluxo de portadores
de cargas em quaisquer meios, teremos a geração de campo magnético no entorno desse fluxo de cargas.
Vamos analisar, por ora, os campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas estáveis e uniformes, ou seja, não
variáveis. 
Vamos elencar o que sabemos da fenomenologia dos campos magnéticos com fontes em correntes elétricas:
CONHECIMENTO 1
Os campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas têm estrutura rotacional no entorno das linhas de correntes.
Ou seja, linhas de correntes elétricas uniformes são fontes de campos magnetostáticos que circundam essas linhas de
correntes, com direção e orientação de acordo com a regra da mão direita.
A figura a seguir exemplifica essa estrutura de campo magnético rotacional às linhas de correntes. Repare que ao apontar
o polegar da mão direita na direção e sentido positivo da corrente elétrica, estaremos, com os demais dedos da mão
direita, indicando a orientação positiva do campo magnético no entorno da linha.
 
Autor: Fouad A. Saad / Fonte: Shutterstock
CONHECIMENTO 2
Correntes elétricas circulando em anéis condutores, ou espiras, produzem campos magnéticos que se assemelham aos
campos magnéticos naturais de imãs, com linhas circundando cada trecho de elemento de corrente elétrica. No centro do
anel de corrente, temos uma linha de campo magnético aparentemente linear, ao longo do eixo do anel, mas que também
se fechará em um grande arco. Diferentemente do campo magnético no entorno de uma linha retilínea de corrente elétrica
(figura anterior) as linhas de campo da figura a seguir não são simétricas em relação ao elemento de corrente, fonte do
campo.
 
Autor: Sergey Merkulov / Fonte: Shutterstock
CONHECIMENTO 3
Uma sucessão de anéis condutores de corrente elétrica, que chamamos de espiras, quando estão justapostos, mas sem
contato pois são isolados eletricamente (recobertos com material isolante) e em formato helicoidal, formam um
componente elétrico/eletrônico dos mais importantes: os solenoides, muitas vezes chamados de bobinas longas. 
Solenoides são acumuladores de energia magnética, como veremos mais tarde.
 
Autor: Amalakanti Satya Sarada / Fonte: Shutterstock
O campo magnético no interior de um solenoide, quando conduz uma corrente elétrica uniforme, é linear e quase
uniforme. No seu exterior, o campo assemelha-se a um magneto natural, como na figura anterior. 
Na figura a seguir, temos uma representação esquemática do campo magnético de um solenoide curto. O campo é quase
uniforme no interior e como o de um magneto natural externamente. Repare que no entorno das espiras há uma pequena
circulação de campo que vaza por entre elas. Temos também o efeito de borda que contribuirá ao campo externo. Mas os
solenoides ideais são muito longos, seu comprimento é muito maior que o seu raio, de maneira que esses vazamentos de
campo pelas bordas e por entre as espiras será fortemente reduzido e uma maior uniformidade docampo interno se
verificará.
 
Autor: Fouad A. Saad / Fonte: Shutterstock
Na figura seguinte, temos uma fotografia de um solenoide com corrente elétrica ligada, orientando a limalha de ferro no
seu interior. Repare que, externamente, o efeito sobre a limalha é muito reduzido. Assim, quando aumentamos a
densidade de espiras por comprimento do solenoide, e o construímos muito longo, o resultado é de campo magnético
quase zero em distâncias maiores do que raio do solenoide, na região externa.
 
Autor: Kim Christensen / Fonte: Shutterstock
LEI DE BIOT-SAVART E LEI DE AMPÈRE
A estrutura e cálculo do campo magnético, com fontes em correntes elétricas uniformes, será definida por meio da Lei
fenomenológica de Biot-Savart e a Lei fundamental de Ampère. Esta última caracteriza a estrutura do campo magnético
com sua fonte em correntes elétricas uniformes e nos permite o cálculo do campo em situações de alto grau de simetria.
DEMONSTRAÇÃO
A Lei de Biot-Savart é uma lei de campo fenomenológica que nos permite o cálculo do campo magnético em um ponto P
 qualquer do espaço a partir de sua fonte, que é um elemento de corrente elétrica uniforme. Foi obtida da análise
experimental da força magnética entre linhas retilíneas de corrente elétrica.
d
→
B = km
I d
→
l × 
ˆ
r
r2
 
 
km =
μ0
4π = 10 - 7
N
A2
 
μ0 = 4π km = 4π . 10 - 7
N
A2
 
d
→
B =
μ0
4π
I d
→
l × 
ˆ
r
r2
ou
→
B =
μ0
4π ∫
I d
→
l × 
ˆ
r
r2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que km é a constante magnética e μ0 a permeabilidade magnética do vácuo. Evidentemente, para cada meio de
condução, teremos um valor diferente dessas constantes.
De forma análoga à carga na Lei de Coulomb da Eletrostática, aqui a fonte do campo magnético é o elemento de
corrente elétrica Id
→
l .
LEI DE AMPÈRE
Na eletrostática, sabemos que o campo eletrostático é conservativo. Isto é, o trabalho, por unidade de carga elétrica,
efetuado pelo campo eletrostático sobre uma carga de prova, em uma circulação ou trajetória fechada, será zero. A
integral do campo eletrostático em uma circulação fechada será zero. O campo eletrostático é divergente.
∮
 
c
→
E ⋅ d
→
l = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde c é uma curva fechada qualquer.
Na magnetostática, podemos fazer a seguinte pergunta:
QUAL É O RESULTADO DA INTEGRAL DO CAMPO
MAGNETOSTÁTICO EM UMA CIRCULAÇÃO FECHADA NO
ENTORNO DE UMA LINHA DE CORRENTE ELÉTRICA?
 
Fonte: EnsineMe.
 RESPOSTA
Como o campo magnetostático tem estrutura rotacional, a resposta não será necessariamente zero. Os campos
magnéticos seguem trajetórias fechadas no entono de suas fontes. Não confunda com o fato de o trabalho das forças
magnéticas ser zero, por serem forças transversas à trajetória. Forças magnéticas não atuam na mesma direção do
campo magnético, pois são perpendiculares entre si.
AS LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO, A PARTIR DE UMA
FONTE MAGNÉTICA, NÃO SÃO LINHAS DE FORÇA
MAGNÉTICA, POIS A FORÇA MAGNÉTICA É PERPENDICULAR
AO CAMPO MAGNÉTICO.
Quando Ampère se fez essa pergunta, obteve o resultado de um dos fundamentos da teoria eletromagnética. Ao calcular
o campo magnético no entorno de uma linha retilínea de corrente elétrica, por meio da Lei de Biot-Savart, percebeu que a
integral deste campo magnético, em uma trajetória fechada, não é zero. Ou seja:
∮
 
C
→
B ⋅D
→
L = 4 Π KMIC OU ∮
 
C
→
B ⋅D
→
L = Μ0IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que μ0 = 4π km. A corrente I é a totalidade das correntes elétricas internas à curva de Ampère c.
Este é um dos resultados mais importantes da teoria eletrodinâmica clássica. É uma lei fundamental da natureza. Foi
chamada de Lei de Ampère e é válida para qualquer curva fechada c, que chamaremos de curva de Ampère, desde que
as correntes elétricas que são fontes do campo magnético sejam constantes. Essa integral é matematicamente chamada
de uma integral de linha, que é uma integral ao longo de uma trajetória.
Se a integral de linha do campo magnético em uma circulação fechada, ao longo de uma curva c qualquer, não é zero, o
campo tem estrutura rotacional.
Se a solução desta integral de linha é proporcional à corrente elétrica total interna à curva c, então esta corrente Ic é a
fonte do campo magnético.
Assim, na magnetostática, a Lei de Ampère é lei fundamental da natureza, que comporá uma das equações de Maxwell,
como veremos à frente. 
No entanto, mesmo sendo uma lei fundamental da natureza, seu uso prático para a obtenção do campo magnético nem
sempre será simples. Então, para esse fim, a usaremos em circunstâncias de alto grau de simetria e quando a fonte do
campo, a corrente elétrica, for constante. Nesses casos, seu uso aplicado é recomendável por sua simplicidade. Nos
demais casos, para o cálculo do campo magnético, recomenda-se o uso aplicado da Lei de Biot-Savart.
 SAIBA MAIS
Leia mais sobre a definição do Ampére, no Sistema Internacional, em termos da força de repulsão magnética entre duas
linhas de corrente elétrica.
Quando a corrente elétrica não for constante e for variável, não poderemos utilizar a Lei de Ampère para obter o campo
magnético. Nestes casos, teremos de utilizar as equações de Maxwell completas, pois envolvem a geração induzida de
campos eletromagnéticos, como veremos mais à frente em eletrodinâmica.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UMA LINHA DE CORRENTE ELÉTRICA, DE COMPRIMENTO INFINITO, CONDUZINDO
UMA CORRENTE CONSTANTE I. UTILIZE A LEI DE BIOT-SAVART E CALCULE, PARA UM
PONTO P LOCALIZADO PERPENDICULARMENTE À LINHA INFINITA E A UMA DISTÂNCIA Y,
QUAL É A CONTRIBUIÇÃO AO MÓDULO DO CAMPO MAGNÉTICO DEVIDO A UM TRECHO DA
LINHA DE CORRENTE ELÉTRICA DELIMITADA PELOS ÂNGULOS Θ1 E Θ2, COMO NA FIGURA. 
 
A) |B→|=kmIysenθ1- senθ2
B) |B→|=kmIysenθ1+senθ2
C) |B→|=kmIycosθ1+cosθ2
D) |B→|=kmIy2senθ1+senθ2
E) |B→|=kmIy2cosθ1+cosθ2
2. CONSIDERE QUE UMA ESPIRA CONDUTORA, DE RAIO R, CONDUZA UMA CORRENTE
ELÉTRICA I. CALCULE A O VETOR CAMPO MAGNÉTICO, DEVIDO À ESPIRA, EM UM PONTO
P, AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, A UMA DISTÂNCIA X DO CENTRO DA ESPIRA. 
 
A) B→x=μ02iR2x2+R23/2ı^
B) B→x=μ02ix2+R23/2ı^
C) B→x=μ02Rx2+R21/2
D) B→x=μ02iRx2+R2 j^
E) B→x=μ02iR2x2 ı^
3. DOIS CIRCUITOS SEMICIRCULARES SÃO CONDUTORES DE CORRENTE ELÉTRICA E
POSSUEM RAIOS R2 >R1, COM A MESMA ORIGEM RADIAL. ESTÃO CONECTADOS DE MODO
QUE SUA CORRENTE ELÉTRICA, I, CIRCULE EM SENTIDOS CONTRÁRIOS EM CADA
CIRCUITO, COMO NA FIGURA. CALCULE O CAMPO MAGNÉTICO RESULTANTE NO PONTO P,
CENTRO RADIAL DOS CIRCUITOS. CONSIDERE COMO SENTIDO POSITIVO DA DIREÇÃO
PERPENDICULAR AO PLANO DA ESPIRA O SENTIDO PARA FORA DA TELA. RESPONDA
QUAL É O MÓDULO, A DIREÇÃO E O SENTIDO DO CAMPO RESULTANTE. 
 
A) |B→P|=μ04I R1-R2 ; direção radial; sentido para cima da tela.
B) |B→P|=μ04I R2R1-R1R2 ; direção radial; sentido para baixo da tela.
C) |B→P|=μ04I 1R1-1R2 ; direção normal; sentido para dentro da tela.
D) |B→P|=μ04I 1R1-1R2 ; direção normal; sentido para fora da tela.
E) |B→P|=μ04I1R1+1R2 ; direção normal; sentido para fora da tela.
4. SEJA UMA LINHA DE CORRENTE ELÉTRICA, DE COMPRIMENTO INFINITO, CONDUZINDO
UMA CORRENTE ELÉTRICA CONSTANTE, I, COMO NA FIGURA. UTILIZE A LEI DE AMPÈRE E
CALCULE, PARA UM PONTO P LOCALIZADO PERPENDICULARMENTE À LINHA INFINITA, A
UMA DISTÂNCIA R EM COORDENADA CILÍNDRICAS, QUAL É O VETOR CAMPO MAGNÉTICO
GERADO POR ESSA LINHA DE CORRENTE, EM FUNÇÃO DA DISTÂNCIA RADIAL CILÍNDRICA,
COMO REPRESENTADO NA FIGURA? EXPRESSE SEU RESULTADO EM FUNÇÃO DA
CONSTANTE MAGNÉTICA KM. 
 
A) B→= 2 km Ir 
B) B→= 2 km Ir2 r^
C) B→= 2 km Ir2 θ^
D) B→= 2 km Ir r^
E) B→= 2 km Ir θ^
5. SEJAM DOIS FIOS CONDUTORES MUITO LONGOS E PARALELOS. AMBOS CONDUZEM
CORRENTES ELÉTRICAS DE MESMA INTENSIDADE I, NO MESMO SENTIDO E SEPARADOS
FISICAMENTE POR UMA DISTÂNCIA D. CALCULE A DENSIDADE LINEAR DE FORÇA
MAGNÉTICA QUE ATUA SOBRE CADA FIO E RESPONDA TAMBÉM SE ESSA FORÇA É
ATRATIVA OU REPULSIVA. 
 
A) F→l→=2kmI2d;A força é atrativa.
B) F→l→=2kmI2d; A força é repulsiva.
C) F→l→=2kmI2d; A força é atrativa.
D) F→l→=2kmI2d; A força é repulsiva.
E) F→l→=2kmI2d; A força é repulsiva.
6. UM SOLENOIDE DE COMPRIMENTO L, RAIO R E COMPOSTO POR N ESPIRAS
JUSTAPOSTAS, CONDUZ UMA CORRENTE ELÉTRICA UNIFORME I. CONSIDERE QUE
TENHAMOS UMA SITUAÇÃO IDEAL, OU SEJA, QUE O SEU COMPRIMENTO SEJA MUITO
MAIOR DO QUE SEU RAIO CILÍNDRICO, E QUE A DENSIDADE LINEAR DE ESPIRAS SEJA
SUFICIENTEMENTE ALTA. NESSAS CONDIÇÕES, CALCULE O CAMPO MAGNÉTICO NO
INTERIOR DO SOLENOIDE, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO AXIAL Z^. 
 
A) B→= μ0N I z^
B) B→= μ0Nl I z^
C) B→= μ0Nl I z^
D) B→= μ0Nl2 I z^
E) B→= 2kmIl z^
GABARITO
1. Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento infinito, conduzindo uma corrente constante I. Utilize a Lei
de Biot-Savart e calcule, para um ponto P localizado perpendicularmente à linha infinita e a uma distância y, qual
é a contribuição ao módulo do campo magnético devido a um trecho da linha de corrente elétrica delimitada pelos
ângulos θ1 e θ2, como na figura. 
 
A alternativa "B " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
2. Considere que uma espira condutora, de raio R, conduza uma corrente elétrica i. Calcule a o vetor campo
magnético, devido à espira, em um ponto P, ao longo do seu eixo axial, a uma distância x do centro da espira. 
 
A alternativa "A " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
3. Dois circuitos semicirculares são condutores de corrente elétrica e possuem raios R2 >R1, com a mesma
origem radial. Estão conectados de modo que sua corrente elétrica, I, circule em sentidos contrários em cada
circuito, como na figura. Calcule o campo magnético resultante no ponto P, centro radial dos circuitos. Considere
como sentido positivo da direção perpendicular ao plano da espira o sentido para fora da tela. Responda qual é o
módulo, a direção e o sentido do campo resultante. 
 
A alternativa "D " está correta.
O campo magnético será não nulo somente onde dl→ × r^ for não nulo. Vamos subdividir o circuito em quatro regiões de
elementos de corrente e calcular, via Lei de Biot-Savart, o campo em cada região. De A -> B, B -> C, C -> D, D -> A. As
regiões D -> A e B -> C, resultarão em campos magnéticos nulos, pois dl→ × r^=0, já que são paralelos. As regiões A -> B
e C -> D contribuirão ao campo magnético. O circuito de A -> B contribuirá com campo magnético para dentro da tela,
enquanto o circuito de menor raio, de C -> D, contribuirá com campo magnético para fora da tela, sendo ambas
contribuições perpendiculares ao plano da espira. Assim, já sabemos a direção do campo magnético, que será
perpendicular ao plano da espira. Vamos, então, calcular o módulo do campo e responder, ao final, sobre o vetor campo
magnético:
B→P=μ04π∫Idl→×r^r2
B→P=μ04πI ∫AB -dlr2+∫CD dlr2+∫DA dl→×r^r2+ ∫BC dl→×r^r2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os dois últimos termos da equação acima são nulos, pois dl→ × r^=0 nesses trechos.
|B→P|=μ0I4π -∫ABdlR22+∫CD dlR12 
B→P=μ0I4π -1 R22 2πR22+1R12 2πR12 B→P=μ04I -1R2+1R1 |B→P|=μ04I 1R1-1R2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebe-se que 1R1>1R2, pois na figuraR1< R2. Portanto, o campo B→(P) terá o módulo que calculamos, direção
normal ao plano da espira e sentido para fora da tela.
4. Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento infinito, conduzindo uma corrente elétrica constante, I,
como na figura. Utilize a Lei de Ampère e calcule, para um ponto P localizado perpendicularmente à linha infinita,
a uma distância r em coordenada cilíndricas, qual é o vetor campo magnético gerado por essa linha de corrente,
em função da distância radial cilíndrica, como representado na figura? Expresse seu resultado em função da
constante magnética km. 
 
A alternativa "E " está correta.
Este é um típico problema com simetria cilíndrica. A Lei de Ampère necessita do requisito do alto grau de simetria para o
cálculo do campo magnético. O campo magnético terá direção polar cilíndrica, como vimos na estrutura do campo
magnético de uma linha de corrente elétrica. Vamos traçar uma vista da seção reta transversalmente à linha de corrente,
para visualizar a direção do campo magnético orientado na direção polar cilíndrica θ^. Pense em um cilindro com três
dimensões espaciais: radial, polar e axial,r, θ, z, como na imagem a seguir:
Com o uso da regra da mão direita, percebe-se que o campo atuará na direção polar cilíndrica. Então, vamos representá-
lo, aplicar a Lei de Ampère e obter o campo magnético. 
Vista em corte de seção reta transversalmente à linha de corrente elétrica:
Lei de Ampère:
∮c B→⋅dl→=4 π kmI ⟹ B→=|B→|θ^ dl→=dl θ^ Ic=I
∮c B→ dl=4πkmI |B→|C∮c dl=4πkmI B→C 2π r=4πkmI ⟹ |B→|c=2kmIr B→=2kmIrθ^ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Sejam dois fios condutores muito longos e paralelos. Ambos conduzem correntes elétricas de mesma
intensidade I, no mesmo sentido e separados fisicamente por uma distância d. Calcule a densidade linear de força
magnética que atua sobre cada fio e responda também se essa força é atrativa ou repulsiva. 
 
A alternativa "A " está correta.
Para calcular a densidade linear de força que atua sobre os fios muito longos, que tendem à dimensão infinita
relativamente à distância de afastamento dos fios, d, devemos, primeiro, calcular o campo gerado por cada linha de
corrente. Esses campos atuarão sobre a linha de corrente elétrica vizinha, por meio de força magnética. As forças
magnéticas F→=I l→ × B→ serão atrativas, como na figura a seguir. A intensidade da força magnética que atua sobre
cada fio longo, dividido pelo comprimento do fio, será a densidade linear de força que procuramos.
Vamos calcular os campos magnéticos sobre cada fio longo e depois a densidade linear de força magnética. O cálculo do
campo foi executado no exercício anterior, mas vamos repeti-lo, por consistência e, em seguida, responder ao problema.
Cada linha de corrente elétrica gera um campo magnético:
Lei de Ampère:
∮c B→⋅dl→=4 π kmI ⟹ B→=|B→|θ^ dl→=dl θ^ Ic=I
∮c B→ dl=4πkmI |B→|C∮c dl=4πkmI B→C 2π r=4πkmI ⟹ |B→|c=2kmIr B→=2kmIrθ^ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, de acordo com o diagrama anterior de forças magnéticas sobre os dois fios, sabemos sua direção e sentido.
Precisamos do módulo dessas forças, lembrando que os elementos de corrente elétrica são perpendiculares aos campos
sobre cada linha de corrente:
F→=I l→ × B→ ⟹ F→=I l→ × B→ ⟹ |F→|=I |l→| |B→|
F→=l→ 2kmI2d ⟹ F→l→=2kmI2d 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Um solenoide de comprimento l, raio r e composto por N espiras justapostas, conduz uma corrente elétrica
uniforme I. Considere que tenhamos uma situação ideal, ou seja, que o seu comprimento seja muito maior do que
seu raio cilíndrico, e que a densidade linear de espiras seja suficientemente alta. Nessas condições, calcule o
campo magnético no interior do solenoide, ao longo de sua direção axial z^. 
 
A alternativa "C " está correta.
Vejamos a figura a seguir. Vamos escolher essa curva de Ampère retangular, com alto grau de simetria para a aplicação
da lei de Ampère, de forma que o campo no interior do solenoide tenha módulo constante. Vamos ainda considerar, como
já discutido antes, que o campo do lado de fora do solenoide seja pouquíssimo intenso e, em situação ideal, vamos
aproximá-lo a zero nessa região. A corrente elétrica total interna à curva de Ampère será igual à corrente em uma espira
multiplicada pelo número de espiras internas à curva de Ampère. O número de espiras internas à curva de Ampère é igual
ao produto da densidade linear de espiras pela largura da curva b:Ic=Nl b I. Então, na região 3, o campo será considerado
nulo,pela baixa intensidade. Nas regiões 2 e 4, o produto escalar no integrando da lei de Ampère, B→·dl→, será zero,
pois esses vetores são perpendiculares. E a única região onde o campo será não nulo é a região 1, na curva de Ampère
da figura a seguir. Portanto,
∮c B→⋅dl→=μ0 Ic ⟹ B→b= μ0 Nl b I ⟹ B→= μ0 Nl I 
B→= μ0 Nl I z^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este é o campo magnético interno ao solenoide ideal.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Cabos coaxiais são largamente usados em transmissões de dados e sinais de TV. Seu uso se deve à capacidade em
reduzir sensivelmente ruídos eletromagnéticos externos ao sinal transmitido. Um cabo coaxial é constituído de uma malha
condutora elétrica envolvendo um filamento condutor elétrico interno. Vamos considerar que a corrente elétrica tenha o
mesmo valor em magnitude nos dois condutores, o que geralmente ocorre, com a diferença que os sentidos das correntes
são opostos em cada condutor. Então, consideremos um cabo coaxial, ao longo da direção z de um sistema coordenado
cilíndrico, que conduz uma corrente elétrica I uniforme, no sentido positivo de z, pelo condutor interno de raio R1, e a
mesma corrente I, no condutor em forma de malha condutora com raio R2, no sentido negativo de z. Ou seja, R2 > R1. Os
condutores são separados mecanicamente por um material isolante elétrico. Vamos obter o campo magnético entre os
dois condutores e o campo magnético do lado de fora do cabo coaxial.
 
Autor: ra3rn / Fonte: Shutterstock
RESOLUÇÃO
Para o cálculo do campo magnético, vamos usar a lei de Ampère de forma aplicada.
∮
 
C
→
B ⋅D
→
L = Μ0 IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos fazer uma simplificação quanto à constante de permeabilidade magnética dos materiais e considerar que, neste
problema, as permeabilidades magnéticas sejam praticamente iguais a μ. Assim, a lei de Ampère será redigida como:
∮
 
C
→
B ⋅D
→
L = Μ IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos a representação dos campos magnéticos na figura a seguir. Repare que esses campos magnéticos atuam na
direção polar cilíndrica 
ˆ
θ, em sentidos opostos, pois as correntes elétricas são opostas. Vamos calcular a resultante dos
campos magnéticos.
 
Fonte: EnsineMe.
A aplicação da regra da Mão-Direita nos mostra o sentido de atuação dos campos magnéticos. Na figura, as correntes
elétricas foram representadas como diferentes para podermos calcular cada contribuição ao campo magnético de fontes
de correntes elétricas diferentes. Veremos que o campo representado como 
→
B2 na figura, que seria uma resultante dos
campos, a depender das fontes e suas orientações, mas será, neste problema, igual a zero. O campo magnético nulo no
exterior não gera interferências magnéticas na vizinhança. Além disso, temos o efeito de blindagem eletrostática que
também é verificado nesse tipo de cabo. No problema em questão, somente haverá campo não-nulo, na região entre os
condutores, descrito pela curva de Ampère C1. Externamente o campo será nulo.
Curva C1: (região R1 < r1 < R2)
∮
 
C1
→
B ⋅D
→
L = 4Π KM IC1 ⟹ 
→
B =
→
B
ˆ
Θ
 
D
→
L = DL 
ˆ
Θ 
 
IC1 = I1
∮
 
C1
→
B DL = 4ΠKMI1
 
→
B C1∮
 
C1DL = 4ΠKMI1
 
→
B C1 2Π R1 = 4ΠKMI1
 ⟹ 
→
B | C1 =
2KMI1
R1 
 
 
→
B1 =
2KMI1
R1
ˆ
Θ
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, há campo magnético descrito pela curva de Ampère C1 com raio R1 < r1 < R2 .
Curva C2: (região r2 ≥ R2)
{
| |
| |
| |
| |
|
∮
 
C2
→
B ⋅D
→
L = 4Π KM IC2 ⟹ 
→
B =
→
B
ˆ
Θ
 
D
→
L = DL 
ˆ
Θ 
 
IC2 = ( I1 - I2
∮
 
C2
→
B DL = 4ΠKM I1 - I2 
 
→
B C2∮
 
C2DL = 4ΠKM I1 - I2 
 
→
B C2 2Π R2 = 4ΠKM I1 - I2 
 ⟹ 
→
B | C2 =
2KM ( I1 - I2
R2 
 
 
→
B2 =
2KM ( I1 - I2
R2
ˆ
Θ
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as correntes elétricas do problema são iguais, ( I1 - I2 = 0, o campo magnético resultante 
→
B2 descrito pela curva de
Ampère C2, com raio r2 ≥ R2, será nulo. Ou seja, nessa situação ideal, o campo magnético externo ao cabo será zero, 
→
B2 = 0.
CAMPO MAGNÉTICO DE CABOS COAXIAIS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UM CONDUTOR RETILÍNEO QUE CONDUZ UMA CORRENTE ELÉTRICA I=15 A
E APRESENTA UM TRECHO COM FORMATO SEMICIRCULAR DE RAIO R=20 CM, COMO NA
FIGURA. CALCULE O CAMPO MAGNÉTICO NO PONTO P, CENTRO DO SEMICÍRCULO, E
RESPONDA: QUAL É O MÓDULO, A DIREÇÃO E O SENTIDO DO CAMPO MAGNÉTICO NO
{
| |
)
| | ( )
| | ( )
| | ( )
|
)
)
)
PONTO P? 
 
A) B→=23,56 ×10-6 T ; direção radial; sentido para dentro da tela.
B) B→=23,56 ×10-6 T ; direção normal; sentido para dentro da tela.
C) B→=47,12 ×10-6 T; direção normal; sentido para fora da tela.
D) B→=47,12 ×10-6 T ; direção normal; sentido para dentro da tela.
E) B→=23,56 ×10-8 T; direção normal; sentido para fora da tela.
2. UM SOLENOIDE EM ANEL COMPLETO, COMO O DA FIGURA, É CHAMADO DE TOROIDE DE
SEÇÃO TRANSVERSA CIRCULAR. CONSIDERE QUE UM DETERMINADO TOROIDE, COMO
ESTE DA FIGURA, CONTENHA N ESPIRAS AO LONGO DE UM ANEL COMPLETO. SE O
TOROIDE FOR LIGADO A UMA CORRENTE ELÉTRICA UNIFORME I, UM CAMPO MAGNÉTICO
NÃO UNIFORME SE ESTABELECERÁ EM SEU INTERIOR. CONSIDERE QUE AS ESPIRAS
TENHAM DIMENSÕES DE MENOR RAIO IGUAL A B E MAIOR RAIO IGUAL A C, OU SEJA,
HAVERÁ CAMPO MAGNÉTICO NÃO UNIFORME NA REGIÃOB≤R≤C. CALCULE O VETOR
CAMPO MAGNÉTICO PARA A DISTÂNCIA RADIAL R NO INTERIOR DO TOROIDE. USE Μ0
PARA A PERMEABILIDADE MAGNÉTICA. 
 
A) B→=μ0 N I2π r r^
B) B→=μ0 N I2π θ^
C) B→=μ0 I2π r θ^
D) B→=μ0 N I2π r θ^
E) B→=μ0 N I2π r 
GABARITO
1. Considere um condutor retilíneo que conduz uma corrente elétrica I=15 A e apresenta um trecho com formato
semicircular de raio r=20 cm, como na figura. Calcule o campo magnético no ponto P, centro do semicírculo, e
responda: Qual é o módulo, a direção e o sentido do campo magnético no ponto P? 
 
A alternativa "B " está correta.
 
Vamos usar a lei de Biot-Savart. Os elementos de corrente I dl→ serão tangentes ao trajeto da corrente elétrica. O vetor
unitário r^ é definido a partir da fonte do campo, I dl→, até o ponto de medida P. O uso da regra da mão direita, no produto
vetorial, nos diz que o campo no ponto P estará na direção normal ao plano da figura e no sentido para dentro da tela.
Agora, vamos calcular o módulo do campo:
dB→P=kmI dl→ × r^r2 ⟹ B→(P)=∫dB→(P)
dB→(P)= kmI dl→ × r^r2 ⟹ dB→P= kmI dl r2 ⟹ B→ (P)=∫ kmI dl r2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O raio r do semicírculo se mantém inalterado na integração e a integral no mesmo semicírculo resulta em ∫dl=2π r2.
Então:
B→P= kmI r22π r2= π kmI r
B→P=π . 10-7NA2 . 15A0,20m ⟹ B→P=23,56 × 10-6 T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um solenoide em anel completo, como o da figura, é chamado de toroide de seção transversa circular.
Considere que um determinado toroide, como este da figura, contenha N espiras ao longo de um anel completo.
Se o toroide for ligado a uma corrente elétrica uniforme I, um campo magnético não uniforme se estabelecerá em
seu interior. Considere que as espiras tenham dimensões de menor raio igual a b e maior raio igual a c, ou seja,
haverá campo magnético não uniforme na regiãob≤r≤c. Calcule o vetor campo magnético para a distância radial r
no interior do toroide. Use μ0 para a permeabilidade magnética. 
 
A alternativa "D " está correta.
 
Como temos alto grau de simetria, vamos aplicar a Lei de Ampère em uma curva de Ampère, c, em anel com simetria
polar. O campo magnético terá módulo constante ao longo de c.
∮c B→⋅dl→=μ0 Ic ⟹ B→=|B→|θ^ dl→=dl θ^ Ic=N I
∮c1 B→ dl=μ0 N I |B→|c∮c dl=μ0 N I B→c 2π r=μ0 N I ⟹ |B→|c=μ0 N I2π r B→=μ0 N I2π r θ^
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Calcular o fluxo de campo magnético, a indutância e a aplicação da Lei de Gauss da magnetostática
FLUXO DE CAMPO MAGNÉTICO
O fluxo de campo magnético é definido de forma semelhante à definição de fluxo de campo elétrico. É essencialmente a
contagem líquida do número de linhas de campo magnético que atravessam uma superfície.
A figura a seguir exemplifica diagramaticamente um elemento de área aberta dA com seu vetor unitário normal 
ˆ
n e as
linhas de campo magnético, tipicamente curvas, atravessando esse elemento de área.
 
Fonte: Autor
Consideremos uma superfície com elementos infinitesimais de área dA e seus vetores normais unitários 
ˆ
n a cada
elemento de área. O elemento de fluxo de campo magnético dΦm e a correspondente integral aberta desses elementos, 
Φm, serão definidos como
dΦm = 
→
B .
ˆ
n dA = 
→
B dA cosθ 
Φm = ∫ dΦm = ∫
→
B .
ˆ
n dA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que o ângulo θ entre o vetor campo magnético e o vetor normal 
ˆ
n ao elemento de área dA foi incorporado com o
produto escalar. Repare que usamos a mesma construção de fluxo de campo elétrico.
A unidade de fluxo de campo magnético no Sistema Internacional de unidades (S.I.) é o Weber (Wb).
1Wb = 1 T . m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se linhas de campo atravessarem superfícies sucessivas, como as superfícies definidas por diferentes espiras em um
solenoide ou bobina, contabilizaremos o fluxo por cada superfície. 
Portanto, duas superfícies iguais em uma bobina contabilizarão duas vezes ao fluxo de campo, pois a área será
duplicada, e assim sucessivamente para qualquer número de superfícies.
 
Fonte: Autor
LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
Quando lidamos com a Lei de Gauss da Eletrostática, ΦE = ∮
 
c
→
E .
ˆ
n dA = 4 π k q, compreendemos que a fonte do
campo eletrostático é a carga elétrica interna à superfície gaussiana, e que a estrutura desse campo é divergente, ou
seja, as linhas de campo eletrostático “nascem ou morrem” em cargas elétricas. No entanto, o campo magnetostático tem
estrutura rotacional, com linhas de campo fechadas, mesmo dentro dos materiais magnéticos naturais.
| |
SE ESTABELECERMOS UMA INTEGRAL DE FLUXO FECHADA
PARA O CAMPO MAGNETOSTÁTICO, QUAL SERÁ A
RESPOSTA DESSA INTEGRAL, JÁ QUE NÃO TEMOS CARGAS
PUNTUAIS MAGNÉTICAS NA TEORIA ELETRODINÂMICA
CLÁSSICA?
 RESPOSTA
Esta é a resposta exata: não há cargas magnéticas puntuais. Não há monopolos magnéticos. A integral de Gauss total do
campo magnetostático será zero. Esse resultado também nos mostra matematicamente a razão da estrutura do campo
magnetostático ser rotacional. A integral de Gauss é zero e assim a divergência desse campo é zero, ou seja, o campo é
rotacional.
Uma simples equação demonstra a beleza de todas as nossas discussões sobre a estrutura do campo magnetostático: a
Lei de Gauss do campo magnetostático.
ΦMTOTAL =
 
∮
C
→
B .
ˆ
N DA = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que Φmtotal é o fluxo de campo magnético total e c é a superfície gaussiana fechada de suporte dessa integração.
Significa que a totalidade das linhas de campo magnéticas, que chamamos de número líquido total de linhas que
atravessam uma superfície gaussiana fechada, será sempre zero. Como as linhas de campo magnetostáticas são
fechadas, rotacionais, todas as linhas que entram em uma superfície fechada sairão desta e não contabilizarão no fluxo
total.
 ATENÇÃO
A Lei de Gauss da magnetostática, somada à Lei de Ampère e à definição da força magnética, caracterizam toda a
magnetostática, pois explicam a estrutura rotacional do campo, a inexistência de monopolos magnéticos, a interação
magnética e a Lei de Biot-Savart pode ser extraída destas.
Vamos aplicar esses princípios na demonstração do conceito de Indutância.
DEMONSTRAÇÃO
INDUTÂNCIA
Quando ligamos uma corrente elétrica ou um fluxo de portadores de cargas, verificamos a geração de campo magnético,
descrito pela Lei de Ampère ou, alternativamente, pela Lei de Biot-Savart. Os campos magnéticos têm as correntes
elétricas como suas fontes. Vamos desconsiderar por um instante os campos magnéticos naturais.
Além disso, podemos calcular o fluxo aberto de campo magnético Φm que atravessa ou incide sobre uma superfície, que
nominamos de uma integral de Gauss aberta.
Vamos definir que o fluxo de campo magnético possa ser obtido direta e linearmente da corrente elétrica com uma
constante de proporcionalidade que chamaremos de indutância. Contudo, o fluxo pode alcançar a vizinhança ou atuar no
próprio sistema que o gera. Assim, temos duas classes de indutâncias: a indutância mútua ( M ) e a autoindutância ( L ) .
Pense em dois circuitos elétricos. Cada qual com sua corrente elétrica, I1 e I2. 
O fluxo de campo magnético que incidirá sobre o circuito Nº 1 será oriundo do campo magnético gerado pelo próprio
circuito Nº 1, que se somará à contribuição ao fluxo de campo oriundo do circuito Nº 2. 
Isto é, o campo magnético gerado pelo circuito Nº 2 contribuirá para o fluxo que atravessa o circuito Nº 1, assim com o
próprio campo do circuito Nº 1 contribuirá a esse fluxo. Da mesma forma, ocorrerá no circuito Nº 2.
 
Fonte: Autor
 ATENÇÃO
O campo magnético também satisfaz ao princípio de superposição e todas as contribuições ao campo magnetostático
serão somadas, mesmo que oriundas de fontes diversas. Assim, o fluxo também deverá satisfazer esse princípio.
Então, o fluxo de campo magnético sobre o circuito Nº 1 será:
ΦM1 = L I1 + M I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que L é a autoindutância do circuito Nº 1, que dependerá de sua geometria, como veremos, e M é a indutância Mútua,
que dependerá da geometria do circuito Nº 2 e das configurações geométricas relativas dos dois circuitos, Nº 1 e Nº 2. 
A unidade SI da indutância é o Henry (H):
1 H = 1 
WB
A = 1 
T . M2
A = 1 
V . S
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos definir a unidade física da constante de permeabilidade em termos da unidade de fluxo de campo magnético: 
μ0 = 4π × 10 - 7 H / m.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDEREMOS O PROBLEMA DO SOLENOIDE IDEAL. UM COMPONENTE ELETRÔNICO
COM N ESPIRAS JUSTAPOSTAS, GRANDE COMPRIMENTO L, ALTA DENSIDADE DE ESPIRAS
POR COMPRIMENTO E ÁREA DE SEÇÃO RETA A. VAMOS CONSIDERAR QUE ESSE
SOLENOIDE CONDUZA UMA CORRENTE ELÉTRICA UNIFORME I CONSTANTE E ESTEJA
ISOLADO DE OUTRAS FONTES DE CAMPOS MAGNÉTICOS. CALCULE O FLUXO DE CAMPO
MAGNÉTICO AO LONGO DO INTERIOR DESTE SOLENOIDE.
A) Φm= 0
B) Φm= μ0 Nl I
C) Φm= μ0 N2l I
D) Φm= μ0 Nl I A
E) Φm= μ0 N2l I A
2. CONSIDEREMOS NOVAMENTE O PROBLEMA DO SOLENOIDE IDEAL. UM COMPONENTE
ELETRÔNICO COM N ESPIRAS JUSTAPOSTAS, GRANDE COMPRIMENTO L, ALTA DENSIDADE
DE ESPIRAS POR COMPRIMENTO E ÁREA DE SEÇÃO RETA A. VAMOS CONSIDERAR QUE
ESSE SOLENOIDE CONDUZA UMA CORRENTE ELÉTRICA UNIFORME I CONSTANTE E
ESTEJA ISOLADO DE OUTROS CAMPOS MAGNÉTICOS. CALCULE SUA AUTOINDUTÂNCIA L.
A) L = μ0 N2l A
B) L = μ0 N2l I A
C) L = μ0 Nl I
D) L = μ0 N2A l
E) L = μ0 N
3. SEJA UM SOLENOIDE DE 10 CM DE COMPRIMENTO, 3 CM2 DE ÁREA E 150 ESPIRAS.
CALCULE SUA AUTOINDUTÂNCIA L.
A) L ≅0,848 H
B) L ≅0,0848 H
C) L ≅0,00848 H
D) L ≅0,000848 H
E) L ≅0,0000848 H
4. SEJA UM FIO CONDUTOR DISPOSTO VERTICALMENTE POR ONDE PERCORRE UMA
CORRENTE ELÉTRICA I UNIFORME, NO SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA. CALCULE A
INDUTÂNCIA MÚTUA, M, DA ESPIRA CONDUTORA RETANGULAR, LATERAL AO FIO COMO
NA FIGURA, CONSIDERANDO QUE TANTO A SUPERFÍCIE DA ESPIRA RETANGULAR COMO O
FIO CONDUTOR PERTENÇAM AO MESMO PLANO COORDENADO. AS DIMENSÕES DA
ESPIRA RETANGULAR SÃO DESCRITAS NA FIGURA. 
 
A) M= 2 km c (b-a)
B) M=2 km c lnba
C) M=2 kmI c lnba
D) M=2kmIr
E) M=2 km cba
5. DOIS SOLENOIDES, UM LONGO E OUTRO CURTO, COM COMPRIMENTOS L2>L1 E
RESPECTIVOS RAIOSR2>R1, SÃO ALINHADOS NO MESMO EIXO AXIAL Z, DE MANEIRA QUE
O SOLENOIDE CURTO E DE MENOR RAIO, R1, ESTEJA INSERIDO DENTRO DO SOLENOIDE
LONGO E DE MAIOR RAIO, R2. O SOLENOIDE INTERNO, CURTO E DE MENOR RAIO, POSSUI
N1 ESPIRAS, ENQUANTO O SOLENOIDE EXTERNO, LONGO E DE MAIOR RAIO, POSSUI N2
ESPIRAS. CONSIDERE QUE OS DOIS SOLENOIDES TENHAM GRANDE DENSIDADE LINEAR
DE ESPIRAS. A FIGURA A SEGUIR É APENAS ILUSTRATIVA. SE O SOLENOIDE LONGO E
EXTERNO CONDUZ UMA CORRENTE ELÉTRICA UNIFORME I2, CALCULE A INDUTÂNCIA
MÚTUA DO SOLENOIDE CURTO, INTERNO, DE RAIO R1. 
 
A) M= μ0 (N2)2l2 π (r2)2
B) M= 2 μ0 Ilnr2r1
C) M= μ0 N2 N1l2 I π (r1)2
D) M= μ0 N2 N1l2 π (r1)2
E) M= μ0 (N1)2l1 π (r1)2
6. VAMOS ABORDAR NOVAMENTE O PROBLEMA ANTERIOR, MAS COM OUTRO OLHAR.
ENTÃO, SEJAM DOIS SOLENOIDES, UM LONGO E OUTRO CURTO, COM COMPRIMENTOS
L2>L1 E RESPECTIVOS RAIOS R2>R1, ALINHADOS NO MESMO EIXO AXIAL Z, DE MANEIRA
QUE O SOLENOIDE CURTO E DE MENOR RAIO, R1, ESTEJA INSERIDO DENTRO DO
SOLENOIDE LONGO E DE MAIOR RAIO, R2. O SOLENOIDE INTERNO, CURTO E DE MENOR
RAIO, POSSUI N1 ESPIRAS, ENQUANTO O SOLENOIDE EXTERNO, LONGO E DE MAIOR RAIO,
POSSUI N2 ESPIRAS. CONSIDERE QUE OS DOIS SOLENOIDES TENHAM GRANDE
DENSIDADE LINEAR DE ESPIRAS. A FIGURA A SEGUIR É APENAS ILUSTRATIVA. SE O
SOLENOIDE LONGO E EXTERNO CONDUZ UMA CORRENTE ELÉTRICA UNIFORME I2, E O
SOLENOIDE CURTO E INTERNO CONDUZ UMA CORRENTE ELÉTRICA I1, CALCULE O FLUXO
DE CAMPO MAGNÉTICO TOTAL DO SOLENOIDE CURTO E INTERNO, DE RAIO R1. 
 
A) Φm1= μ0 (N1)2l1 π (r1)2 I1+μ0 N2 N1l2 π (r1)2 I2
B) Φm1= μ0 (N1)2l1 π (r1)2 I1
C) Φm1= μ0 N2 N1l2 π (r1)2 I2
D) Φm1= μ0 (N1)2l1 π (r1)2 I1+μ0 (N1)2l1 π (r1)2 I2
E) Φm1= μ0 N2 N1l2 π (r1)2 I1+μ0 N2 N1l2 π (r1)2 I2
GABARITO
1. Consideremos o problema do solenoide ideal. Um componente eletrônico com N espiras justapostas, grande
comprimento l, alta densidade de espiras por comprimento e área de seção reta A. Vamos considerar que esse
solenoide conduza uma corrente elétrica uniforme I constante e esteja isolado de outras fontes de campos
magnéticos. Calcule o fluxo de campo magnético ao longo do interior deste solenoide.
A alternativa "E " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
2. Consideremos novamente o problema do solenoide ideal. Um componente eletrônico com N espiras
justapostas, grande comprimento l, alta densidade de espiras por comprimento e área de seção reta A. Vamos
considerar que esse solenoide conduza uma corrente elétrica uniforme I constante e esteja isolado de outros
campos magnéticos. Calcule sua autoindutância L.
A alternativa "A " está correta.
Neste problema, devemos continuar a partir da questão anterior, quando expressamos o fluxo de campo magnético a
partir do campo magnético de um solenoide ideal nas mesmas configurações. Então, como n^ . z^=1,
B→= μ0 Nl I z^
Φm=∫B→.n^ dA
Φm= μ0 Nl I Atotal= μ0 Nl I NA 
Φm= μ0 N2l I A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, o fluxo de campo magnético do solenoide, isolado, pode ser definido em termos das constantes de indutância
e de correntes elétricas como:
Φm1= L I1+M I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o solenoide está isolado de outras fontes magnéticas, o segundo termo não se aplicará:
Φm1= L I
Φm1= L I= μ0 N2l I A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L = μ0 N2l A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que a autoindutância depende da geometria e configuração do indutor (solenoide), sua área de seção reta A,
comprimento l e o número de espiras N.
3. Seja um solenoide de 10 cm de comprimento, 3 cm2 de área e 150 espiras. Calcule sua autoindutância L.
A alternativa "E " está correta.
Para solucionar o problema, precisamos calcular o campo magnético e o fluxo de campo no interior de um solenoide.
Como já fizemos isso, podemos aproveitar esses resultados. Porém, é necessário tomar cuidado, pois esses cálculos não
devem ser tratados como “fórmulas” a serem memorizadas. É preciso exercitá-los, para que possamos responder a
qualquer problema. Vejamos:
B→= μ0 Nl I z^
Φm= μ0 N2l I A
L = μ0 N2l A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, como μ0=4π×10-7 H/m,
L =4π×10-7 H/m (150)2 3.10-4m2(10.10-2m)
L ≅0,0000848 H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja um fio condutor disposto verticalmente por onde percorre uma corrente elétrica I uniforme, no sentido de
baixo para cima. Calcule a indutância mútua, M, da espira condutora retangular, lateral ao fio como na figura,
considerando que tanto a superfície da espira retangular como o fio condutor pertençam ao mesmo plano
coordenado. As dimensões da espira retangular são descritas na figura. 
 
A alternativa "B " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
5. Dois solenoides, um longo e outro curto, com comprimentos l2>l1 e respectivos raios r2>r1, são alinhados no
mesmo eixo axial z, de maneira que o solenoide curto e de menor raio, r1, esteja inserido dentro do solenoide
longo e de maior raio, r2. O solenoide interno, curto e de menor raio, possui N1 espiras, enquanto o solenoide
externo, longo e de maior raio, possui N2 espiras. Considere que os dois solenoides tenham grande densidade
linear de espiras. A figura a seguir é apenas ilustrativa. Se o solenoide longo e externo conduz uma corrente
elétrica uniforme I2, calcule a indutância mútua do solenoide curto, interno, de raio r1. 
 
A alternativa "D " está correta.
Manteremos a mesma estratégia de resolução: calcular o campo magnético, o fluxo de campo e depois a indutância. O
campo magnético interno de um solenoide ideal já foi calculado. Vamos utilizar esse resultado. Se houver dúvidas, basta
retornar ao exercício 6 da seção Mão na massa do módulo 2. O cálculo de fluxo de campo deve seguir a definição de
fluxo de campo aberto, somando todas as N contribuições de área de cada espira. Assim, como nesse problema, teremos
n^=z^, então n^ . z^=1.
Eis o campo magnético gerado pelo solenoide longo, externo e de raio r2, com corrente I:
B2→= μ0 N2l2 I2 z^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo de campo magnético no solenoide curto, interno e de raio r1, com N1 espiras, considerando que o campo B2→ é
uniforme, será:
Φm1=∫B2→.n^ dA1
Φm1= μ0 N2l2 I2 N1A1 
Φm1= μ0 N2 N1l2 I2 A1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas A1=π (r1)2. Então, como Φm1= M I2,
M= μ0 N2 N1l2 π (r1)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: É muito comum expressar essa resposta em termos do número de enrolamentos por comprimento linear, n=N/l.
Nesse caso, a resposta seria M= μ0 n2 n1l1 π (r1)2.
6. Vamos abordar novamente o problema anterior, mas com outro olhar. Então, sejam dois solenoides, um longo e
outro curto, com comprimentos l2>l1 e respectivos raios r2>r1, alinhados no mesmo eixo axial z, de maneira que
o solenoide curto e de menor raio, r1, esteja inserido dentro do solenoide longo e de maior raio, r2. O solenoide
interno, curto e de menor raio, possui N1 espiras, enquanto o solenoide externo, longo e de maior raio, possui N2
espiras. Considere que os dois solenoides tenham grande densidade linear de espiras. A figura a seguir é apenas
ilustrativa. Se o solenoide longo e externo conduz uma corrente elétrica uniforme I2, e o solenoide curto e interno
conduz uma corrente elétrica I1, calcule o fluxo de campo magnético total do solenoide curto e interno, de raio r1.
 
A alternativa "A " está correta.
O fluxo de campo magnético é composto por duas contribuições, uma autoindutiva e outra de indutância mútua.
Φm1= L1 I1+M I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A contribuição de indutância mútua já foi calculada no problema anterior:
M= μ0 N2 N1l2 π (r1)2