Alfa Rosa Apostila 7

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ALFA
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ALFA 7
Matemática
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Benedicto AGUIAR Filho
ROBERTO Miguel El Jamal
Física
HARLEY Sato
Luís Ricardo ARRUDA de Andrade
Marcelo Rodrigues (PLAY)
Ronaldo CARRILHO
THALES Trigo
Química
Antonio LEMBO
Carlos Eduardo Lavor (CAÊ)
CELSO Lopes de Souza
GERALDO Camargo de Carvalho
João USBERCO
ROBSON Groto
Biologia
ARMÊNIO Uzunian 
HEITOR Willrich Santiago
JOÃO CARLOS R. Coelho
Nelson CALDINI Junior
NELSON Henrique Carvalho de Castro
RENATO Corrêa Filho
SEZAR Sasson
Língua Portuguesa
EDUARDO Antonio Lopes
Eduardo CalBUCCI
Fernando MARCÍLIO Lopes Couto
Francisco PLATÃO Savioli
HENRIQUE Santos Braga
MAURÍCIO Soares da Silva Filho
Paulo César de CARVALHO
PAULO Giovani de Oliveira
Sérgio de Lima PAGANIM
História
GIANpaolo Dorigo
José Carlos Pires de MOURA
RENAN Garcia Miranda
Geograf a
HELIO Carlos Garcia
MARCELO Ribeiro de Carvalho
MÁRCIO Castelan
PABLO López Silva
Paulo Roberto MORAES
Vagner AUGUSTO da Silva
Valdinei A. da Silva AXÉ
Língua Inglesa
PATRÍCIA Helena Costa Senne dos Santos
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Vice-presidência: Mário Ghio Júnior
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Ensino Médio: Livro integrado – Coleção Alfa – São Paulo: 
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 Vários autores.
 
 1. Ensino Médio 2. Apostila-caderno (Ensino Médio)
 
99–4425 CDD–373.19
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1. Ensino integrado: Ensino Médio 373.19
2015
ISBN 978 85 7598 706-6 (AL)
Código da obra 850120715
1ª edição
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Uma publicação
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GEOGRAFIA
GEOGRAFIA DO BRASIL 241
GEOGRAFIA GERAL 273
LÍNGUA PORTUGUESA
GRAMÁTICA 189
LITERATURA 207
LÍNGUA INGLESA 293
HISTÓRIA
HISTÓRIA DO BRASIL 217
HISTÓRIA GERAL 233
FÍSICA
SETOR A 51
SETOR B 65
SETOR C 81
BIOLOGIA
SETOR A 129
SETOR B 141
SETOR C 167
MATEMÁTICA
SETOR A 5
SETOR B 21
SETOR C 29
QUÍMICA
SETOR A 89
SETOR B 103
SETOR C 117
ÍNDICE
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ALFA 7 Matemática – Setor 1101 5
mAtemáticA
setor 1101
setor A
Prof.: ______________________________________
aula 51.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 06
aula 52.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 07
aula 53.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 08
aula 54.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 10
aula 55.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 11
aula 56.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 14
aula 57.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 15
aula 58.............. AD h.............. TM h.............. TC h.............. 18
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6 Matemática – Setor 1101 ALFA 7
AULA 51 poLinômios e eqUAções poLinomiAis: divisão por x 2 α e teoremA do resto
P(x) x 2 α
Q(x)
R
dividendo divisor
quociente
resto (constante)
Teorema do Resto: Seja α uma constante. Na 
divisão de um polinômio P(x) por x 2 α, o resto é 
igual a P(α).
Exemplo:
Seja P(x) 5 2x3 1 7x 1 3. Na divisão de P(x) por 
x 2 10, o resto é 2 073, pois P(10) 5 2 073.
Não é difícil justificar esse resultado. Vejamos. 
Sendo o divisor um polinômio de grau 1, podemos 
afirmar que o resto, ou é nulo, ou é um polinômio 
de grau 0; lembre-se de que o grau do resto, se 
houver, é menor que o grau do divisor. Resumindo, 
o resto é uma constante; digamos R. Sendo Q(x) o 
quociente da divisão e, lembrando que o dividendo 
é igual ao produto do divisor pelo quociente, temos: 
P(x) ≡ (x − 10)Q(x) 1 R.
Substituindo x por 10, temos:
P(10) 5 (10 2 10)Q(10) 1 R e, portanto, P(10) 5 R.
 Em aula, será apresentado o método prático de 
Briot-Ruffini; um método para obter o quociente e 
o resto da divisão de um polinômio por x − α, sendo 
α uma constante.
Exemplo: Divisão de 2x3 1 7x 1 3 por x 2 10.
2
10
0 7 3
1a linha: 2, 0, 7 e 3 são os coeficientes do dividendo.
2a linha: 10 é o zero de x 2 10.
2
1
2
10
3
0 7 3
20 207 2073
resto
2a linha (cont.): coeficientes do quociente e o resto, 2, 
o primeiro coeficiente do quociente é igual ao primeiro 
coeficiente do dividendo.
2 3 10 1 0 5 20
20 3 10 1 7 5 207
207 3 10 1 3 5 2 073
O quociente é 2x2 1 20x 1 207.
O resto é 2 073.
exercícios
1 Sendo P(x) 5 5x3 1 x 1 1, obtenha o resto da divi-
são de P(x) por:
a) x 2 2
b) x 1 1
c) x
2 Obtenha o quociente da divisão de 5x3 1 x 1 1 por:
a) x 2 2
b) x 1 1
c) 2x 1 2
orientAção de estUdo
 Leia o item 7, cap. 5 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 21 a 23, série 5.
 Livro 1 — Unidade IV 
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade I
tarefa mínima
tarefa complementar
 Faça os exercícios 24 a 27, série 5.
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ALFA 7 Matemática – Setor 1101 7
exercícios
1 Obtenha a constante a para que o polinômio
P(x) 5 x3 1 3x 1 a seja divisível por x 2 2.
2 Obtenha as constantes a e b para que o polinômio 
P(x) 5 x3 1 ax 1 b seja divisível por x2 2 x.
3 Os restos das divisões de um polinômio P(x) por 
(x 1 1) e por (x 2 1) são, respectivamente, 4 e 6. 
Dê o resto da divisão de P(x) por x2 2 1.
AULA 52 poLinômios e eqUAções poLinomiAis: divisão por x 2 α e teoremA do resto (exercícios)
orientAção de estUdo
 Leia o item 7 (“Teorema de D’Alamberte Divisão 
pelo Produto”), cap. 5 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 28 a 30, sŽrie 5.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa mínima
tarefa complementar
 Fa•a os exerc’cios 31 a 37, sŽrie 5.
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8 Matemática – Setor 1101 ALFA 7
AULA 53 poLinômios e eqUAções poLinomiAis: eqUAções ALgébricAs
Sabemos que há fórmulas resolutivas para equa-
ções do primeiro ou segundo grau, equações das for-
mas ax 1 b 5 0 ou ax2 1 bx 1 c 5 0, em que a, b e 
c são constantes, com a  0. No Renascimento, vá-
rios matemáticos destacaram-se com suas fórmulas 
resolutivas para equações do terceiro ou do quarto 
grau; equações que são da forma ax3 1 bx2 1 cx 1 
1 d 5 0 ou ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, em que x é 
a incógnita e as demais letras representam constantes 
quaisquer, com a  0. Abriu-se então a “temporada 
de caça” para uma fórmula resolutiva para equações 
do quinto grau. No início do século XIX, veio o fim 
dessa busca frenética: provou-se a impossibilidade 
da existência de tal fórmula. (Procure, na internet, 
artigos sobre os matemáticos Niels Henrik Abel e 
Évariste Galois.) Somente em casos particulares, é 
possível, por métodos algébricos, chegar às soluções 
de equações de grau maior do que quatro. 
Veremos, agora, alguns conceitos e teoremas que 
são importantes na resolução de equações da forma 
P(x) 5 0, em que P(x) é um polinômio de grau n, 
n  N*; são as equações polinomiais, também cha-
madas de equações algébricas.
Teorema de D’Alembert
Se o número α é raiz da equação P(x) = 0, então 
o polinômio P(x) é divisível por x 2 α, ou seja, existe 
um polinômio Q(x), tal que P(x) ≡ (x 2 α) ? Q(x).
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
Em ℂ, toda equação polinomial de grau n, n > 1, 
admite pelo menos uma raiz (Gauss). 
Com o teorema de D’Alembert, podemos con-
cluir que, em ℂ, uma equação polinomial de grau n 
tem exatamente n raízes.
Teorema da Decomposição
Seja P(x) 5 anx
n 1 an 2 1x
n 2 1 1 ... 1 a1x + a0 um 
polinômio de grau n, n > 1, e sejam r1, r2, ..., rn as 
n raízes da equação P(x) 5 0, então:
 P(x) 5 an(x 2 r1)(x 2 r2) ... (x 2 rn).
Multiplicidade de uma raiz
r é uma raiz de multiplicidade m, com m  N, 
da equação polinomial P(x) 5 0, se, e somente se, 
P(x) 5 (x 2 r)m ? Q(x), em que Q(x) é um polinômio 
com Q(r)  0; r não é um zero de Q(x).
Exemplo:
Sendo P(x) 5 (x 2 5)2(x3 1 x2 1 x 1 1), podemos 
afirmar que o número 5 é raiz dupla (raiz de multipli-
cidade 2) da equação P(x) 5 0. Note que 5 não é raiz 
da equação x3 1 x2 1 x 1 1 5 0.
Resolução de equações polinomiais
Na maioria dos casos, reduziremos uma equa-
ção algébrica de grau superior a 2, em equações 
do primeiro ou segundo grau. Para isso, usaremos 
técnicas de fatoração, mudança de variável, o teo-
rema de D’Alembert, o dispositivo de Briot-Ruffini, 
etc. Particularidades dos coeficientes do polinômio 
deverão ser exploradas.
exercícios
1 Considere o polinômio P(x) = x3 2 3x2 1 4x 2 2.
a) Calcule a soma dos coeficientes de P(x).
b) Resolva em ℂ a equação P(x) = 0.
2 Resolva em ℂ: x3 2 5x2 2 2x 1 10 5 0.
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ALFA 7 Matemática – Setor 1101 9
3 Considere, em ℂ, o polinômio P(x) 5 x9 2 3x7 2 4x5. 
Dê a sua forma fatorada.
4 Na figura, temos um esboço da função polinomial 
dada por f(x) 5 2x3 2 11x2 1 12x 1 9 e da reta dada 
pela equação y 5 2x 1 1.
x0
y 5 2x 1 1
y 5 f(x)
y
Obtenha:
a) o conjunto solução da inequação f(x) < 0, em ℝ;
b) os pontos de intersecção da reta y 5 2x 1 1 
com a curva y 5 f(x).
orientAção de estUdo
 Faça os exercícios 41, 43, 51 e 52, série 5.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa mínima tarefa complementar
 Leia os itens 1 a 8, cap. 6 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 42, 44, 47, 48, 56 e 57, série 5.
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10 Matem‡tica Ð Setor 1101 ALFA 7
AULA 54 poLinômios e eqUAções poLinomiAis: eqUAções ALgébricAs
1 EquaçõEs polinomiais dE 
coEficiEntEs rEais
Seja P(x) 5 0 uma equação polinomial de coefi-
cientes reais (não necessariamente inteiros). Se o nú-
mero imaginário z é raiz de multiplicidade m, m  N, 
dessa equação, então seu conjugado z também é raiz 
de multiplicidade m.
2 EquaçõEs polinomiais dE 
coEficiEntEs intEiros
Considere a equação ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, 
em que os coeficientes a, a  0, b, c e d são números 
inteiros. 
 se o número inteiro p é raiz da equação, então p 
é um fator de d;
 se 1
q
, em que q é um número inteiro não nulo, é 
raiz da equação, então q é um fator de a;
 se 
p
q
, uma fração irredutível de números intei-
ros e q  0, é raiz da equação, então p é um 
fator de d e q é um fator de a.
Essas proposições podem ser reformuladas para 
equações de qualquer grau, desde que seus coeficien-
tes sejam todos números inteiros.
Exemplos:
Consideremos a equação 7x3 1 bx2 1 cx 1 12 5 0, 
em que b e c são coeficientes inteiros.
a) em qualquer caso, 5 não é raiz, pois 5 não é um 
fator de 12;
b) em qualquer caso, 1
5
 não é raiz, pois 5 não é 
um fator de 7;
c) existem valores de b e c, para os quais 23
7
 é raiz, 
pois −3 é um fator de 12 e 7 é um fator de 7.
exercícios
1 Classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada 
uma das seguintes proposições.
a) ( ) Se 3 1 4i é raiz de uma equação algébrica, 
então 3 2 4i também é raiz desta equação.
b) ( ) Em toda equação algébrica de coeficientes 
reais, a quantidade de raízes imaginárias é 
um número par.
c) ( ) Toda equação algébrica de coeficientes 
reais e grau ímpar tem pelo menos uma raiz 
real.
d) ( ) Se 2 2 5i é raiz tripla de uma equação po-
linomial de coeficientes reais, então o grau 
desta equação é no mínimo 6.
e) ( ) O conjunto solução de x3 1 2ix2 1 x 1 2i 5 0 
é {i, 2i, 22i}.
2 Obtenha todas as raízes complexas (reais ou ima-
ginárias) da equação x3 5 1.
3 Encontre as raízes inteiras negativas da equação 
2x3 2 x2 2 13x 2 6 5 0.
orientAção de estUdo
 Faça os exercícios 60, 72 e 79, série 5.
 Livro 1 — Unidade IV
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade I
tarefa mínima
tarefa complementar
 Faça os exercícios 59, 74, 80 e 81, série 5.
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1101 11
rElaçõEs dE girard
 I. Consideremos uma equa•‹o do 2o grau ax2 1 bx 1 c 5 0 de ra’zes x
1
 e x
2
.
Pelo Teorema da Decomposi•‹o, podemos escrever:
ax2 1 bx 1 c ≡ a(x 2 x
1
) ? (x 2 x
2
)
ax2 1 bx 1 c ≡ a(x2 2 x ? x
1
 2 x ? x
2
 1 x
1
 ? x
2
)
x2 1 b
a 
x 1 c
a
 ≡ x2 2(x
1
 1 x
2
)x 1 x
1
 ? x
2
Igualando os coeficientes dos termos de mesma pot•ncia, temos:
2(x
1
 1 x
2
) 5 b
a
 e x
1
 ? x
2
 5 c
a
Ent‹o:
x x b
a
x x c
a
1 2x x1 2x x
1 2x x1 2x x
1 5x x1 5x x1 21 5x x1 21 5x x1 51 2 2
? 5x x? 5x x














Exemplo:
Sendo x
1
 e x
2
 as ra’zes da equa•‹o 2x2 2 8x 1 5 5 0, temos:
x
1
 1 x
2
 5 2 8
2
2 5 4 e x
1
 ? x
2
 5 5
2
 II. Analogamente, sendo x
1
, x
2
 e x
3
 as ra’zes da equa•‹o do 3o grau ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, tem-se:
x x x b
a
x x x x x x
1 2x x1 2x x 3
1 2x x1 2x x 1 3x x1 3x x 2 3x x2 3x x
1 1x x1 1x x1 21 1x x1 21 1x x1 11 2 5 2
? 1x x? 1x x1 2? 1x x1 2? 1? 11 2 ? 1x x? 1x x1 3? 1x x1 3? 1? 11 3 ? 5x x? 5x x
c
a
x x x d
a1 2
x x1 2x x 3? ?x x? ?x x 5 2






















 
Exemplo:
Sendo x
1
, x
2
 e x
3
 as ra’zes da equa•‹o 3x3 2 6x2 1 x 2 9 5 0, temos:
x x x 6
3
2
x x x x x x 1
3
x x x 9
3
3
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3







1 1 5 2
2
5
? 1 ? 1 ? 5
? ? 5 2
2
5
III. Analogamente, sendo x
1
, x
2
, x
3
 e x
4
 as ra’zes da equa•‹o do 4o grau ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, tem-se:
x x x x
b
a
x x x x x x x x x x x x
c
a
x x x x x x x x x x x x d
a
x x x x
e
a
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4










AULA 55 poLinômios e eqUAções poLinomiAis:reLAções entre coeFicientes e rAízes
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12 Matemática – Setor 1101 ALFA 7
Exercícios resolvidos
1. Obtenha a constante m, sabendo que a soma de 
duas ra’zes da equa•‹o x3 2 2x2 2 x 1 m 5 0 Ž 
igual a 3.
Resolução
Sejam x
1
, x
2
 e x
3
 as ra’zes.
Temos:
x
1
 1 x
2
 1 x
3
 5 2 b
a
ou seja: x
1
 1 x
2
 1 x
3
 5 2 22
1
, isto Ž:
x
1
 1 x
2
 1 x
3
 5 2
Do enunciado: x
1
 1 x
2
 5 3
Da’:
3 1 x
3
 5 2 ⇒ x
3
 5 21
se 21 Ž raiz, ent‹o:
(21)3 2 2 ? (21)2 2 (21) 1 m 5 0
Logo, m 5 2.
2. Obtenha a constante m, sabendo que a equa•‹o
x3 1 3x2 2 4x 1 m 5 0
admite duas ra’zes opostas (simŽtricas).
Resolução
Sejam x
1
, x
2
 e x
3
 as ra’zes.
Temos:
x
1
 1 x
2
 1 x
3
 5 2 b
a
ou seja: x
1
 1 x
2
 1 x
3
 5 2 3
1
isto Ž: x
1
 1 x
2
 1 x
3
 5 23
Do enunciado: x
2
 5 2x
1
Da’:
x
1
 1 (2x
1
) 1 x
3
 5 23 ⇒ x
3
 5 23
se 23 Ž raiz, ent‹o:
(23)3 1 3 ? (23)2 2 4 ? (23) 1 m 5 0
Logo, m 5 212.
3. Obtenha m, sabendo que na equa•‹o x3 2 4x2 1 
1 mx 2 2 5 0 uma das ra’zes Ž inversa (rec’proca) 
de outra.
Resolução
Sejam x
1
, x
2
 e x
3
 as ra’zes.
Temos:
x
1
 ? x
2
 ? x
3
 5 2d
a
ou seja: x
1
 ? x
2
 ? x
3
 2
1
5 2
2
isto Ž: x
1
 ? x
2
 ? x
3
 5 2
Do enunciado: x 1
x2
1
5
Da’:
x
1
 ? 1
x1
 ? x
3
 5 2 ⇒ x
3
 5 2
se 2 Ž raiz, ent‹o:
23 2 4 ? 22 1 m ? 2 2 2 5 0
Logo, m 5 5.
4. Dada a equa•‹o x4 1 3x3 1 5x2 1 x 1 5 5 0, obtenha 
a soma e o produto das ra’zes.
Resolução
x x x x b
a
3
1
3
x x x
1 2 2 4
1 2 1
1 1 1 5 2 5 2 5 2
? 1 ?? 1 5
? ? 1 ? ? 1
x ... c
a
x x x x x x .
3
1 2 3 1 2 4 ...
d
a
x x x x e
a
5
1
51 2 3 4
5 2
? ? ? 5 5 5









Logo, soma 5 23 e produto 5 5.
exercícios
1 Dada a equa•‹o 2x3 Ð 4x2 + 6x Ð 1 = 0, de ra’zes x
1
, 
x
2
 e x
3
, calcule:
a) x
1
 + x
2
 + x
3
b) x
1
 ? x
2
 1 x
1
 ? x
3
 1 x
2
 ? x
3
c) x
1
 ? x
2
 ? x
3
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ALFA 7 Matemática – Setor 1101 13
d) 1
x
1
x
1
x1 2 3
1 1
e) 
1
x x
1
x x
1
x x1 2 1 3 2 3?
1
?
1
?
orientAção de estUdo
 Leia o item 9, cap. 6 do Livro-texo.
 Faça os exercícios 61, 62 e 49, série 5.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa mínima tarefa complementar
 Faça os exercícios 66, 67, 63 e 64, série 5.
2 Resolver a equa•‹o x3 2 9x2 1 23x 2 15 5 0, saben-
do que uma raiz Ž mŽdia aritmŽtica das outras duas.
005a020_1101_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 13 7/23/14 9:53 AM
14 Matemática – Setor 1101 ALFA 7
exercícios
1 Obtenha a constante m e resolva a equação
2x3 1 mx2 1 7x 2 2 5 0,
sabendo que as raízes são positivas e uma delas é 
o produto das outras duas.
AULA 56 poLinômios e eqUAções poLinomiAis: exercícios
2 Considere a equação x3 2 4x2 1 cx 1 d 5 0, em 
que c e d são constantes reais, tal que o número 
1 1 i seja raiz.
a) Obtenha o conjunto solução da equação.
b) Obtenha as constantes c e d.
orientAção de estUdo
 Leia o item 9, cap. 6 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 71 e 79, sŽrie 5.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa mínima
tarefa complementar
 Fa•a os exerc’cios 73, 82, 74 e 75, sŽrie 5.
005a020_1101_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 14 7/23/14 9:53 AM
ALFA 7 Matemática – Setor 1101 15
Em várias ocasiões, lidamos com um conjunto de 
números apresentados mediante tabelas. Uma ma-
triz do tipo m 3 n (leia-se m por n) é um “ente” 
algébrico representado por uma tabela de números 
dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas 
(filas verticais).
Exemplo:
,
,
,
,
,
130 0 7
9 9 3
6 8 9
7 0 13
3 9 18












é uma matriz do tipo 5 3 2
(5 linhas, 2 colunas, 10 elementos)
Para representar uma matriz, podemos usar parên-
teses, colchetes ou barras duplas.
Exemplo:
1 1
0,3 2
2
2





 , 
1 1
0,3 2
2
2




 e 
1 1
0,3 2
2
2
 repre-
sentam a mesma matriz.
1 tipos dE matrizEs
Uma matriz Am 3 n é chamada de:
 matriz linha, se m 5 1; ela possui apenas uma 
linha.
 matriz coluna, se n 5 1; ela possui apenas 
uma coluna.
 matriz quadrada, se m 5 n; o número de 
linhas é igual ao número de colunas. Nesse 
caso, dizemos que se trata de uma matriz de 
ordem n. O último exemplo acima refere-se a 
uma matriz de ordem 2.
2 rEprEsEntação dos ElEmEntos dE 
uma matriz
É comum indicar cada elemento de uma matriz 
A por aij, em que os índices i e j indicam, nessa 
ordem, a linha e a coluna às quais o elemento per-
tence. 
Assim, por exemplo, com A 5 
1 1
0,3 2
2
2



 , temos 
a11 5 1, a12 5 21, a21 5 20,3 e a22 5 2 .
Numa matriz quadrada A de ordem n, o conjunto 
{a11, a22, …, ann} é chamado de diagonal principal e 
o conjunto {a1n, …, aij, …, an1}, com i 1 j 5 1 1 n, é 
chamado de diagonal secundária.
AULA 57 mAtrizes: conceitos básicos – Adição
Exemplo:
diagonal secund‡ria: {a
31
, a
22
, aa
13
}
diagonal principal: {a
11
, a
22
, aa
33
}
A
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
5








3 matriz nula
Chamamos de matriz nula qualquer matriz cujos 
elementos são todos nulos. As matrizes quadradas nu-
las de ordem n são representadas por 0n. Assim, temos, 
como exemplos, 01 5 [0] e 02 5 
0 0
0 0




.
4 matriz idEntidadE (ou matriz 
unidadE)
Chamamos de matriz identidade, ou matriz 
unidade, de ordem n, denotada por In, toda matriz 
quadrada de ordem n em que os elementos da diagonal 
principal são todos iguais a 1 e os demais elementos 
são todos nulos.
Exemplos: 
I1 5 [1]; I2 5 
1 0
0 1




; I3 5 
1 0 0
0 1 0
0 0 1








5 matriz transposta
Para cada matriz A 5 (aij)m 3 n, definimos a matriz 
At 5 (aji)n 3 m, chamada de transposta de A. 
Exemplo:
A 5 




1 2 3
4 5 6
 ⇔ At 5 
1 4
2 5
3 6








Também é muito comum o uso da notação At em 
vez de At.
6 igualdadE dE matrizEs
Num universo de matrizes do tipo m 3 n, duas 
matrizes A 5 (aij) e B 5 (bij) são iguais se, e somente 
se, aij 5 bij, para todo i e todo j, com 1 < i < m e 
1 < j < n.
Exemplo:
1 1
0,3 2
2
2




 5 
x y
u v



 ⇔ x 5 1, y 5 21, 
u 5 20,3 e v 5 2.
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16 Matem‡tica Ð Setor 1101 ALFA 7
7 adição dE matrizEs
Num universo de matrizes do tipo m 3 n, da-
das as matrizes A 5 (a
ij
) e B 5 (b
ij
), definimos a 
matriz S 5 A 1 B 5 (s
ij
) tal que s
ij
 5 a
ij
 1 b
ij
, para 
todo i e j.
 Chamamos de matriz nula aquela em que to-
dos os elementos s‹o nulos. Nota•‹o: 0
 Para cada matriz A 5 (a
ij
), definimos a matriz 
oposta de A, denotada por 2A, tal que:
 A 1 (2A) 5 0
Exemplos:
Com A = 




1 2 3
4 5 6
2
2
 e B = 




7 8 9
10 11 12
, temos:
A 1 B 5 



8 10 6
14 16 6
2A 5 
2 2
2 2
1 2 3
4 5 6




A 1 (2A) 5 




0 0 0
0 0 0
 Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, temos 
as propriedades:
1) A 1 B 5 B 1 A (comutativa)
2) A 1 (B 1 C) 5 (A 1 B) 1 C (associativa)
3) (A 1 B)
t
 5 A
t
 1 B
t
8 multiplicação dE uma matriz por 
um númEro
Num universo de matrizes do tipo m × n, dada a 
matriz A 5 (a
ij
) e sendo r um nœmero qualquer, temos 
rA 5 (r ? a
ij
).
Exemplo:
Com A 5 
1 2 3
4 5 6




, temos:
2A 5 
2 4 6
8 10 12




 Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e r e s 
nœmeros quaisquer, temos as propriedades:
1) r(sA) 5 (rs)A
2) r(A 1 B) 5 rA 1 rB
3) (r 1 s)A 5 rA 1 sA
4) (rA)
t
 5 r ? A
t
exercícios
1 Considere as seguintes tabelas encontradas nas 
embalagens de dois produtos aliment’cios.
Leite em p—
porção de 26 g 
(2 colheres de sopa)
* % vd
Valor energŽtico 130 kcal 7%
Carboidratos 9,9 g 3%
Prote’nas 6,8 g 9%
Gorduras totais 7,0 g 13%
Gorduras saturadas 3,9 g 18%
Gorduras trans 0 g Ð
Fibra alimentar 0 g 0%
C‡lcio 246 mg 25%
Vitamina A 225 µg 38%
Vitamina D 1,8 µg 36%
Vitamina C 17 mg 38%
Ferro 5,2 mg 37%
S—dio 95 mg 4%
Complemento alimentar
porção de 40 g 
(4 colheresde sopa)
* % vd
Valor energŽtico 153 kcal 8%
Carboidratos 25 g 8%
Prote’nas 9,7 g 13%
Gorduras totais 1,5 g 3%
Gorduras saturadas 0,9 g 4%
Gorduras trans 0 g Ð
Fibra alimentar 0 g 0%
C‡lcio 341 mg 34%
Vitamina A 342 µg 57%
Vitamina D 0,85 µg 17%
Vitamina C 40 mg 89%
Ferro 7,2 mg 51%
S—dio 118 mg 5%
 
* % Valores di‡rios com base em uma dieta de 2 000 Kcal 
ou 8 400 kj. Seus valores di‡rios podem ser maiores ou 
menores dependendo de suas necessidades.
005a020_1101_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 16 7/23/14 9:53 AM
ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1101 17
Toda manh‹, Natan toma dois copos de leite, 
cada copo com uma por•‹o de leite em p—, sen-
do que, apenas no segundo copo, ele adiciona 
uma por•‹o de complemento alimentar. Com-
plete as 10 cŽlulas em branco na tabela abaixo.
porção matinal de natan * % vd
Valor energético
Carboidratos
Proteínas
Gorduras totais
Gorduras saturadas
Gorduras trans 0 g Ð
Fibra alimentar 0 g 0%
Cálcio 833 mg 84%
Vitamina A 792 µg 133%
Vitamina D 4,45 µg 89%
Vitamina C 74 mg 165%
Ferro 17,6 mg 125%
Sódio 308 mg 13%
2 Represente na forma de tabela a matriz dada por 
(a
ij
)
2 3 3
, com a
ij
 5 i 1 j 2 3.
3 Obtenha a matriz A, dado que A 1 B 5 
1 2
3 5




 e 
A 2 B 5 
1 2
3 3
2
2 2



 .
4 Qual Ž o elemento da 2a linha e 3a coluna da matriz 
A 1 A
t
, se A 5 (a
ij
)
3 3 3
 com a
ij
 5 ij?
orientAção de estUdo
 Leia os itens 1 a 10 e os exemplos 1 a 8, cap. 1 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 3, 5 e 6, série 16.
 Livro 1 — Unidade IV
 Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
tarefa mínima
tarefa complementar
 Faça os exercícios 1, 7, 9 e 10, série 16.
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18 Matem‡tica Ð Setor 1101 ALFA 7
Multiplicar matrizes n‹o Ž t‹o imediato quanto som‡-las; situa•›es pr‡ticas e te—ricas levaram os matem‡ticos 
a conceituar a multiplica•‹o de matrizes de um modo peculiar. Vamos apresentar esse conceito mediante exemplos.
Exemplo 1:
Com A 5 (2 3) e B 5 
6 7
8 9



 , temos A ? B 5 (2 ? 6 1 3 ? 8 2 ? 7 1 3 ? 9), ou seja, AB 5 (36 41). Nesse 
caso, temos A
1 3 2
 ? B
2 3 2
 5 (AB)
1 3 2
. O elemento da primeira linha e primeira coluna de AB Ž obtido multiplicando-
-se os elementos da primeira linha de A respectivamente pelos elementos da primeira coluna de B, somando-se 
os produtos obtidos.
A 5 (2 3) e B 5 
6 7
8 9




, temos A ? B 5 (2 ? 6 1 3 ? 8 2 ? 7 1 3 ? 9)
Do mesmo modo, o elemento da primeira linha e segunda coluna de AB Ž obtido multiplicando-se os elementos 
da primeira linha de A respectivamente pelos elementos da segunda coluna de B, somando-se os produtos obtidos.
A 5 (2 3) e B 5 
6 7
8 9



 , temos A ? B 5 (2 ? 6 1 3 ? 8 2 ? 7 1 3 ? 9)
Exemplo 2:
Com A 5 






2 3
4 5
 e B = 






6 7
8 9
, temos AB 5 






2 6 3 8 2 7 3 9
4 6 5 8 4 7 5 9
? 1 ? ? 1 ?
? 1 ? ? 1 ?
 , ou seja, 












2 3
4 5
6 7
8 9
 = 






36 41
64 63
.
Consideremos, em particular, o elemento da segunda linha e primeira coluna de AB. Ele Ž obtido 
multiplicando-se os elementos da segunda linha de A respectivamente pelos elementos da primeira coluna de B, 
somando-se os produtos obtidos.
Exemplo 3:


















6 7
8 9
2 3
4 5
40 53
52 69
5
Os exemplos 2 e 3 mostram que podemos ter AB  BA, ou seja, a multiplica•‹o de matrizes n‹o Ž 
uma opera•‹o comutativa.
Sendo A e B matrizes, o produto de A por B, nessa ordem, Ž definido se, e somente se, o nœmero de colunas 
de A for igual ao nœmero de linhas de B.
Com A
m 3 k
 e B
k 3 n
, o produto de A por B, nessa ordem, Ž do tipo m por n.
Exemplos:
 Com matrizes A
3 3 2
 e B
2 3 3
, temos as matrizes (AB)
3 3 3
 e (BA)
2 3 2
.
 Com matrizes A
2 3 2
 e B
2 3 2
, temos as matrizes (AB)
2 3 2
 e (BA)
2 3 2
.
Mesmo neste caso, n‹o podemos afirmar que AB seja igual a BA.
propriedades
Sendo os tipos de matrizes A, B e C, tais que as opera•›es indicadas abaixo existam, temos:
 A(BC) 5 (AB)C (associativa)
 A(B 1 C) 5 AB 1 AC (distributiva pela esquerda)
 (A 1 B)C 5 AC 1 BC (distributiva pela direita)
 A ? I
n
 5 A, em que A do tipo m 3 n
 I
m
 ? A 5 A, em que A do tipo m 3 n
 (A ? B)
t
 5 B
t
 ? A
t
 (aten•‹o com as ordens)
 r(AB) 5 (rA)B 5 A(rB) (em que r Ž um nœmero)
AULA 58 mAtrizes: mULtipLicAção
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1101 19
exercício
Em cada caso, obtenha o produto de A por B.
a) A 5 
2 0
1 3
0 1








 e B 5 
1 2
3 4




b) A 5 
1 1
1 1



 e B 5 
6 7
8 9




c) A = 
1 0
0 1



 e B = 
6 7
8 9




Considerando os sistemas de equa•›es 
S
1
: {A 2u 3vB 4u 5v5 15 1 e S2: {u 6x 7yv 8x 9y5 15 1 , podemos 
afirmar que os valores de A e B dependem dos 
valores de u e v. Como os valores de u e v de-
pendem dos valores de x e y, podemos concluir, 
ainda, que os valores de A e B dependem dos 
valores de x e y.
Dos primeiro e segundo sistemas, temos:



A 2(6x 7y) 3(8x 9y)
B 4(6x 7y) 5(8x 9y)
5 1 1 1
5 1 1 1
{A 26x 27y 38x 39yB 46x 47y 58x 59y5 1 1 15 1 1 1



A (26 38)x (27 39)y
B (46 58)x (47 59)y
5 1 1 1
5 1 1 1
N‹o Ž dif’cil perceber que esse tipo de c‡lculo 
deve ser muito frequente em estudos quantitativos. 
Este Ž um dos motivos que justificam o conceito 
de multiplica•‹o de matrizes, como mostram os 
c‡lculos a seguir.
2 3
4 5
6 7
8 9







? 5 
2 6 2 8 2 7 3 9
4 6 5 8
? 1 ? ? 1 ?
? 1 ? 44 7 5 9? 1 ?




2 3
4 5
6 7
8 9







?
 5 
36 41
64 63




{A 36x 41yB 64x 63y5 15 1
AtividAde extrA
orientAção de estUdo
 Leia os itens 11 e 13 e os exemplos 9 a 12, cap. 1 
do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 15 a 17, sŽrie 16.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 1 Ñ Unidade I
tarefa mínima
tarefa complementar
 Fa•a os exerc’cios 18 a 20, sŽrie 16.
 Leia o texto da Atividade extra a seguir.
005a020_1101_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 19 7/23/14 9:53 AM
20 Matemática – Setor 1101 ALFA 7
AnotAções
005a020_1101_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 20 7/23/14 9:53 AM
ALFA 7 Matemática – Setor 1102 21
MateMÁtiCa
setor 1102
setor B
Prof.: ___________________________________
aula 26 .............AD h .............TM h .............TC h .............. 22
aula 27 .............AD h .............TM h .............TC h .............. 24
aula 28 .............AD h .............TM h .............TC h .............. 25
aula 29 .............AD h .............TM h .............TC h .............. 26
021a028_1102_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 21 7/23/14 9:55 AM
22 Matemática – Setor 1102 ALFA 7
auLa 26 COMBinaçÕes siMPLes
1 introduÇÃo
Consideremos os subconjuntos de 2 elementos que podemos formar com os elementos do conjunto I 5 {1, 2, 3}. 
Esses subconjuntos s‹o as combina•›es simples dos 3 elementos de I tomados 2 a 2:
{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
3 combinações simples
11 2444 3444
O nœmero de combina•›es simples de 3 elementos tomados 2 a 2, que indicamos por C
3, 2
, Ž igual a 3.
Como esses agrupamentos s‹o conjuntos, eles diferem entre si somente pelos elementos componentes.
Observe ainda que, com I 5 {1, 2, 3}, temos os seguintes arranjos simples dos elementos de I tomados 2 a 2:
(1, 2) e (2, 1), (1, 3) e (3, 1), (2, 3) e ((3, 2)
6 arranjos simples
1 244444444 3444444444
Ou seja, como C
3, 2
 5 3, A
3, 2
 5 6 e nas sequ•ncias de 2 elementos temos 2! trocas de ordem poss’veis, temos:
C 2! A C
A
2!
3 2
2!
33, 2 3, 2 3, 2
3, 2
∴? 5 5 5 ? 5
2 dEFiniÇÃo
Seja I 5 {a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
} um conjunto de n elementos. Chama-se combinação simples dos n elementos 
de I, tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do conjunto I. 
Indica-se o nœmero de combina•›es simples por:
C
n, p
 ou ( )n( )p( )
Podemos afirmar que C
n, p
 ? p! 5 A
n, p
, e, assim:
C
A
p!
, ou ainda: C n!
p! (n p)!
, (p n)n,p
n, p
n, p <p n<p n5 55 5, o5 5u a5 5inda5 5: C5 5
n,
5 5
p
5 5
? 2(n? 2
exerCíCiOs
1 Quantos subconjuntos de 3 elementos possui um conjunto de 8 elementos?
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1102 23
2 A diretoria de uma firma Ž formada por 6 diretores brasileiros e 4 japoneses. Pergunta-se:
a) Quantas comissões de 5 diretores podem ser formadas?
b) Quantas comissões de 3 brasileiros e 2 japoneses podem ser formadas?
c) De todas as comissões de 5 diretores, quantas delas cont•m pelo menos um diretor japon•s?
OrientaçãO de estudO
 Leia o item 5 e os exemplos 9 a 12, 
cap. 10 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 46 a 51, série 7.
 Livro 1 — Unidade IV
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade I
tarefa Mínima tarefa Complementar
 Faça os exercícios 52 a 55, série 7.
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24 Matemática – Setor 1102 ALFA 7
Nesta aula resolveremos aplicações mais complexas envolvendo combinações simples.
exerCíCiOs
1 Em uma diretoria, existem 7 diretores, sendo um deles de nome Paulo. De quantos modos poderá ser escolhida 
uma comiss‹o de 4 pessoas, em que:
a) Paulo esteja presente na comiss‹o.
b) Paulo n‹o esteja presente na comiss‹o.
2 Considere duas retas paralelas e distintas. Sobre a primeira, marcam-se 5 pontos e, sobre a segunda, 4 pon-
tos. Quantos tri‰ngulos podem ser formados com vŽrtices em tr•s quaisquer desses pontos?
auLa 27 COMBinaçÕes siMPLes (exerCíCiOs)
OrientaçãO de estudO
 Faça os exercícios 57 a 59, série 7.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa Mínima tarefa Complementar
 Faça os exercícios 60 a 63, série 7.
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ALFA 7 Matemática – Setor 1102 25
Nesta aula resolveremos aplicações que envolvem an‡lise combinat—ria.
exerCíCiOs
1 Quantos s‹o os divisores inteiros e positivos de 72?
2 Um pequeno clube possui 8 conselheiros. Em sua elei•‹o anual devem ser escolhidos entre eles 1 presidente, 
1 vice-presidente e 3 membros para o conselho fiscal. Sabendo que n‹o Ž permitida a acumula•‹o de cargos, 
de quantos modos Ž possível fazer essa escolha?
auLa 28 COMBinaçÕes siMPLes e situaçÕes Gerais
OrientaçãO de estudO
 Faça os exercícios 67 a 69, série 7.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa Mínima tarefa Complementar
 Faça os exercícios 70 a 73, série 7.
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26 Matem‡tica Ð Setor 1102 ALFA 7
Se você derruba seu pãozinho, sem querer, será que ele chega no chão com a manteiga para cima?
Jogando 12 números, será que você acerta os 6 números necessários para ganhar na Mega-Sena?
Será que você consegue acertar, no mínimo, cinco dos dez testes de uma prova de Matemática, sem ter es-
tudado os assuntos a serem cobrados?
Vamos estudar agora Probabilidade, um tópico da Matemática que possibilita quantificar a resposta à per-
gunta “será que...?”.
1 EsPaÇo amostral, EvEnto, EvEnto ElEmEntar E EvEntos mutuamEntE EXclusivos
Suponhamos que, num certo experimento, haja exatamente n (n  1) resultados possíveis: x
1
, x
2
, ... e x
n
. O conjunto 
E 5 {x
1
, x
2
, ..., x
n
} é chamado de espaço amostral e qualquer subconjunto de E é chamado de evento.
Assim, por exemplo, no lançamento de um dado, o espaço amostral é E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e, como exemplos 
de eventos, podemos citar os conjuntos {2, 4, 6}, correspondente ao resultado ser um número par, e {4, 5, 6}, 
correspondente ao resultado não ser menor que 4. Os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6} são os eventos ele-
mentares. O espaço amostral E corresponde ao evento certo e o conjunto  corresponde ao evento impossível.
Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A  B 5 .
Com A 5 {2, 4, 6} “resulta um número par” e B 5 {1, 3, 5} “resulta um número ímpar”, temos um exemplo 
de eventos mutuamente exclusivos.
2 ProbabilidadE
Seja E um espaço amostral associado a um experimento aleatório e seja P uma função cujo domínio é o 
conjunto dos eventos (subconjuntos) de E. Dizemos que P é uma função probabilidade se, e somente se, são 
verificadas as três propriedades a seguir.
P
1
: A todo evento A, A ⊂ E, é associado um número real P(A), com 0  P(A)  1.
P
2
: A probabilidade do espaço amostral é 1: P(E) 5 1
P
3
: Para quaisquer eventos A e B em E, se A  B 5 , então P(A  B) 5 P(A) 1 P(B).
Exemplo 1
No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é E 5 {c, k}, isto é, os resultados possíveis são cara (c) e 
coroa (k). Portanto, os eventos elementares são {c} e {k}. Temos:
P
1
: A probabilidade de resultar cara P({c}) e a probabilidade de resultar coroa P({k}) são números reais de 0 a 1. 
Isto é, 0  P({c})  1 e 0  P({k})  1.
P
2
: A probabilidade de resultar cara ou coroa é 100%. Isto é, P(E) 5 1.
P
3
: Como {c} e {k} são mutuamente exclusivos, temos:
P({c}  {k}) 5 P({c}) 1 P({k})
P({c, k}) 5 P({c}) 1 P({k})
1 5 P({c}) 1 P({k})
Se essas duas probabilidades não são iguais, dizemos que a moeda é viciada.
3 EsPaÇo amostral EquiProvávEl
Um espaço amostral finito E 5 {x
1
, x
2
, ..., x
n
} é dito equiprovável se, e somente se, seus n eventos ele-
mentares têm a mesma probabilidade:
P({x
1
}) 5 P({x
2
}) 5 P({x
3
}) 5 ... 5 P({x
n
}) 5 
1
n
auLa 29 PrOBaBiLidade
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1102 27
Exemplo 2
Consideremos E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} o espaço amostral no lançamento de um dado. No caso de um espaço 
amostral equiprovável, temos:
P({1}) 5 P({2}) 5 P({3}) 5 P({4}) 5 P({5}) 5 P({6}) 5 1
6
A probabilidade de obter um número par é dada por P({2, 4, 6}) 5 3
6
1
2
5 ; a probabilidade de obter um nú-
mero menor que 6 é dada por P({1, 2, 3, 4, 5}) 5 5
6
 e a probabilidade de obter um número menor que 7 é dada 
por P(E) 5 1.
Exemplo 3
Seja E 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, com seus 11 elementos, um espaço amostral. Se esses números 
forem correspondentes às somas (dos números das faces superiores) que podem ser obtidas com o lançamento de 
dois dados honestos, podemos representar E pela tabela a seguir.
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
Note que E não é um espaço equiprovável; temos, por exemplo, P({2}) 1
36
5 , P({3}) 2
36
5 e P({7}) 6
36
5 .
4 ProbabilidadE com EvEntos ElEmEntarEs EquiProvávEis
Seja E um espaço amostral finito e equiprovável e seja A um evento qualquer de E. Sendo n(A) e n(E), nessa 
ordem, o número de elementos de A e o número de elementos de E, a probabilidade de A é dada por:
P(A)
n(A)
n(E)
número de casos favoráveis
5
número total de casos possíveis
5 ProbabilidadE do EvEnto comPlEmEntar
Se A é o complementar de A, A 5 {x  E | x  A}, então P(A) 5 1 2 P(A).
Por exemplo, se no lançamento de uma moeda viciada a probabilidade de obter cara é 70%, então a probabi-
lidade de obter coroa é 30%. A probabilidade de ocorrer cara ou coroa é 100% e a probabilidade de não ocorrer 
cara nem coroa é 0.
Note que, em todos os casos, P() 5 0.
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28 Matemática Ð Setor 1102 ALFA 7
exerCíCiOs
1 Jogamos dois dados. 
a) Qual Ž a probabilidade de obtermos nas faces voltadas para cima soma igual a 8?
b) Qual Ž a probabilidade de obtermos nas faces voltadas para cima soma diferente de 8?
2 (UFRGS-RS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, tr•s pessoas s‹o escolhidas ao 
acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres Ž de:
a) 25%
b) 30%
c) 33%
d) 50%
e) 60%
OrientaçãO de estudO
 Leia os itens 1 a 8 e os exemplos 1 a 9, 
cap. 12 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 1 a 6, sŽrie 9.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade I
tarefa Mínima tarefa Complementar
 Fa•a os exerc’cios 7 a 12, sŽrie 9.
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ALFA 7Matem‡tica Ð Setor 1103 29
MATEMÁTIcA
Setor 1103
Prof.: ___________________________________
aula 51 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 30
aula 52 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 33
aula 53 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 36
aula 54 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 38
aula 55 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 40
aula 56 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 42
aula 57 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 43
aula 58 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 47
Setor c
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30 Matemática – Setor 1103 ALFA 7
1 Noções primitivas 
(ou coNceitos primitivos)
Com as noções (conceitos) de ponto, de reta e 
de plano, damos início ao estudo da Geometria do 
Espaço.
Por não terem definição, essas noções são chama-
das noções primitivas.
Esses elementos geométricos podem ser represen-
tados pelos modelos gráficos seguintes:
Ponto: 
A
Reta: 
r
Plano: 
α
Pontos que pertencem a uma mesma reta são cha-
mados colineares; pontos que pertencem a um mes-
mo plano são chamados coplanares.
2 postulados
Postulados são proposições (afirmações) aceitas 
sem demonstrações. Veja a seguir dois postulados que 
empregaremos em nosso estudo:
 I. Dois pontos distintos determinam uma única 
reta à qual eles pertencem.
A
B
r
r = AB
Esse postulado garante que todas as retas que pas-
sam por esses pontos A e B são coincidentes.
Nota: coincidentes significa “serem o mesmo”.
 II. Três pontos não colineares determinam um único 
plano ao qual eles pertencem.
α = (ABC)
α
A B
C
Observação: três pontos não colineares são ne-
cessariamente distintos.
3 retas paralelas
Duas retas, r e s, são chamadas paralelas se, 
e somente se, são coincidentes ou são coplanares e 
não têm ponto comum.
As retas paralelas r e s são indicadas por: r // s
r // s
r // s
r = s
r
s
Se duas retas, r e s, são paralelas, então: r 5 s ou 
r ∩ s 5 ∅.
4 retas coNcorreNtes
Duas retas, r e s, são chamadas concorrentes 
se, e somente se, têm um único ponto em comum.
As retas concorrentes r e s são indicadas por: r × s.
P
r
s
r ∩ s = {P}
AULA 51 GEOMETRIA DO ESPA‚O: INTRODU‚ÌO
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ALFA 7 Matemática – Setor 1103 31
5 determiNação de um plaNo
Há quatro modos de se determinar um plano.
 Pelo postulado já visto: 
 I. Três pontos não colineares
A B
C
 Pelos três teoremas a seguir:
 II. Uma reta e um ponto fora dela
A
r
III. Duas retas concorrentes
P
r
s
IV. Duas retas paralelas distintas
r
s
6 retas reversas
Duas retas, r e s, são chamadas reversas se, 
e somente se, não existe um plano que as contém.
r
s
r ∩ s = ∅
Exemplo:
A figura desta caixa (bloco retangular) ABCDEFGH 
ilustra a situação:
A
E
H G
C
B
s
r
F
D
Observe que as retas r e s não são paralelas nem 
concorrentes: elas são reversas.
Atenç‹o: note que, se duas retas, r e s, são tais 
que r ∩ s 5 ∅, então elas são paralelas distintas ou 
reversas.
7 retas perpeNdiculares
Duas retas são chamadas perpendiculares 
quando são concorrentes e formam ângulo reto.
As retas perpendiculares são indicadas por: r ⊥ s.
s
r
r ⊥ s
8 retas ortogoNais
Duas retas, r e s, são chamadas ortogonais 
quando são reversas e formam ângulo reto.
As retas ortogonais são indicadas por: r s.
s
s'
r
(s' // s)
Exemplo:
A figura desta caixa (bloco retangular) ABCDEFGH 
ilustra a situação:
s
A
E
H
D
B
F
G
C
r
Observe que as retas r e s são ortogonais.
Atenç‹o: duas retas, r e s, que formam ângulo 
reto podem ser perpendiculares (se concorrentes) ou 
ortogonais (se reversas).
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32 Matem‡tica Ð Setor 1103 ALFA 7
ExERcícIOS
1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
a) ( ) Tr•s pontos distintos determinam um plano.
b) ( ) Existe um plano que contŽm duas retas reversas.
c) ( ) Se duas retas formam um ‰ngulo reto, elas s‹o perpendiculares ou ortogonais.
d) ( ) Se duas retas n‹o t•m ponto comum, elas s‹o paralelas distintas.
e) ( ) Se as retas, r e s, s‹o perpendiculares ˆ reta t, ent‹o r e s s‹o paralelas entre si.
2 Na figura, temos a representa•‹o de um cubo ABCDEFGH.
A B
C
D
E
F
GH
a
b
c
u
r s
v
Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) As retas r e s s‹o paralelas.
b) ( ) As retas b e c s‹o perpendiculares.
c) ( ) As retas r e v s‹o reversas.
d) ( ) As retas a e b s‹o ortogonais.
e) ( ) As retas u e v s‹o ortogonais.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Leia os itens 1 a 3, cap. 1, e os itens 1 a 6, 
cap. 2 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 4, série 1.
 Livro 3 Ñ Unidade II
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade III
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Faça os exercícios 5 a 8, série 1.
ANOTAÇÕES
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ALFA 7 Matemática – Setor 1103 33
1 posições relativas eNtre uma 
reta e um plaNo
Uma reta r e um plano α podem ter em comum:
I. Dois pontos distintos: a reta est‡ contida no 
plano.
A
B
r ⊂ α
r
α
II. Um único ponto: a reta é secante ao plano.
A
r ∩ α = {A}
r
α
III. Nenhum ponto comum: a reta é paralela ao 
plano.
r // α
r ∩ α 5 ∅
r
α
Aten•‹o: retas coincidentes são paralelas. No 
entanto, uma reta e um plano são paralelos apenas 
quando não têm ponto em comum.
2 posições relativas eNtre 
dois plaNos
Dois planos, α e b, podem ser:
I. Secantes (ou concorrentes)
Isso ocorre quando há uma única reta comum aos 
planos.
α ∩ β = r
r
α
β
II. Paralelos
a) Coincidentes (α ∩ b 5 α 5 b)
α 5 β
α // β
b) Distintos (α ∩ b 5 ∅) 
α
β
α ∩ β = ∅
Aten•‹o: retas coincidentes são paralelas. Planos 
coincidentes também são paralelos. No entanto, uma 
reta e um plano são paralelos somente quando não têm 
ponto comum.
AULA 52 PARALELISMO E PERPENDIcULARIDADE
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34 Matem‡tica Ð Setor 1103 ALFA 7
3 reta e plaNo perpeNdiculares
Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e 
somente se, é secante a α e é perpendicular a todas 
as retas de α que passam pelo ponto de intersecção.
α
r ⊥ α 
r
P
O ponto P é chamado pé da perpendicular.
condição suficiente
Se uma reta r forma ângulo reto (perpendicular 
ou ortogonal) com duas retas concorrentes de um 
plano α, ela é perpendicular a α.
α
r ⊥ α
r
a
b
α
r ⊥ α
r
b
a
Atenção: as retas a e b são concorrentes.
4 plaNos perpeNdiculares
Um plano α é perpendicular ao plano b se, e 
somente se, α contém uma reta r perpendicular a b.
β
α
α ⊥ β
r
a
b
ExERcícIO
A figura representa uma caixa (bloco retangular) 
ABCDEFGH.
B
D
E
H G
F
A
C
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
a) ( ) Os planos (ABC) e (EFG) s‹o paralelos.
b) ( ) A reta EG Ž paralela ao plano (ABC).
c) ( ) A reta FB Ž perpendicular ao plano (ADC).
d) ( ) Os planos (ABC) e (EHB) s‹o secantes e a 
intersec•‹o Ž a reta BC .
e) ( ) Os planos (FBC) e (ADC) s‹o perpendiculares.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Leia os itens 1 a 5, cap. 3, e os itens 1, 2 e 4, 
cap. 4 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 9 a 12, série 1.
 Livro 3 — Unidade II 
Caderno de Exercícios 2 — Unidade III
Tarefa Mínima
Tarefa complementar
 Faça os exercícios 13 a 16, série 1.
 Leia o texto da Atividade extra a seguir.
ATIvIDADE ExTRA
Distância entre ponto e plano
Consideremos um ponto P e um plano α, tal que 
P  α. Chama-se distância entre o ponto P e α 
o segmento PP', perpendicular a α, em que P'  α.
P
P'
α
Se P pertence a α, a distância é nula.
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ALFA 7 Matemática – Setor 1103 35
Ângulo entre dois planos
Consideremos dois planos secantes, α e b, não per-
pendiculares entre si e que se intersectamem uma reta r.
Sendo P um ponto de r, chama-se ângulo entre 
α e b o ângulo agudo formado pelas retas a  α e 
b  b, perpendiculares à reta r no ponto P.
r
α
β
θ
a
P
b
Na figura, θ é o ângulo entre α e b.
Em particular, se α ⊥ b, então, θ 5 90°.
exercícios resolvidos
1. (Fuvest-SP) O ângulo θ formado por dois planos, 
α e b, é tal que tg θ 5 5
5
. O ponto P pertence a 
α, e a distância de P a b vale 1. Então a distância 
de P à reta intersecção de α e b é igual a:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resolu•‹o
Sejam α e b os dois planos que se intersectam 
em r e que formam o ângulo θ.
r
α
β
θ
Sendo d a distância pedida, do enunciado temos:
aA
r
1
d
P
P'
α
β
θ
nAPP': tg θ 5 1
a
 ⇒ 5
5
 5 1
a
 ⇒ a 5 5
Ainda:
d2 5 12 1 a2 ⇒ d2 5 12 1 ( 5 )2 ⇒ d 5 6
2. (Fuvest-SP) O triângulo ACD é isósceles de base 
CD, e o segmento OA é perpendicular ao plano 
que contém o triângulo OCD, conforme a figura:
A
O
C
D
Sabendo-se que AO 5 3, AC 5 5 e sen O
∧
CD 5 1
3
, 
então a área do triângulo OCD vale:
a) 16 2
9
b) 32 2
9
c) 48 2
9
d) 64 2
9
e) 80 2
9
Resolu•‹o
Do enunciado, temos:
A
D
5
5
3
O
C
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos AOC 
e AOD: OC 5 4 e OD 5 4
Sendo med (O
∧
CD) 5 α, temos a seguinte figura:
O
4
4
C
D
CM = CD
Mα
nOCM: sen α 5 1
3
OM
4
1
3
OM 4
3
⇒ ⇒5 5
Ainda:
(CM)2 1 4
3
2
( ) 5 42 ∴ CM 5 8 23
Como CD 5 2 ⋅ CM ⇒ CD 5 16 2
3
.
A área A do triângulo OCD é:
A 5 1
2
 ⋅ CD ⋅ OM ⇒ A 5 1
2
16 2
3
4
3
? ? 
∴ A 5 32 2
9
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36 Matemática – Setor 1103 ALFA 7
1 superfície poliédrica coNvexa
Consideremos um conjunto de n, n . 4, regiões 
poligonais convexas de modo que:
 I. Duas regiões poligonais quaisquer não estejam 
contidas num mesmo plano.
 II. Um lado qualquer de uma região poligonal é 
comum a uma outra região e, somente uma.
 III. O plano de cada região poligonal deixa as de-
mais num mesmo semiespaço.
Nestas condições, a união dessas regiões poli-
gonais, é chamada superfície poliédrica convexa fe-
chada.
A figura, ilustra uma superfície poliédrica convexa.
aresta
vértice
face
B
A
As faces são os polígonos; as arestas são os la-
dos dos polígonos e os vŽrtices são os vértices dos 
polígonos.
Nota: as semirretas suportes das arestas que concor-
rem num mesmo vértice, de uma superfície poliédrica 
convexa determinam um ‰ngulo poliŽdrico.
Assim, no vértice A temos um ângulo triédrico; em 
B, um ângulo tetraédrico.
2 poliedro coNvexo
É a união de uma superfície poliédrica convexa 
com o seu interior.
3 relação de euler
Para todo poliedro convexo vale a relação
V 1 F 5 A 1 2
em que:
V é o número de vértices;
F é o número de faces;
A é o número de arestas.
4 soma dos âNgulos das faces
A soma dos ângulos de todos os polígonos (faces) 
de um poliedro convexo é dada por:
S 5 (V 2 2) ? 360°
Assim, por exemplo, se o poliedro convexo ilustra-
do na figura tiver 18 vértices, a soma dos ângulos de 
suas faces será
 
S 5 (18 2 2) ? 360°
∴ S 5 7 200°
ExERcícIOS
1 Um poliedro convexo tem 15 arestas e 9 faces. 
O nœmero de vŽrtices Ž:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
2 Um poliedro convexo tem 12 faces e o nœmero de 
arestas Ž o dobro do nœmero de vŽrtices. Quantos 
vŽrtices tem esse poliedro?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 18
AULA 53 POLIEDROS cONvExOS
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1103 37
3 Um poliedro convexo Ž formado por 20 faces trian-
gulares. Quantos vŽrtices tem esse poliedro?
a) 8
b) 12
c) 15
d) 18
e) 24
4 Qual Ž o nœmero de faces de um poliedro convexo 
que tem 16 ‰ngulos triŽdricos Ž:
a) 8
b) 10
c) 16
d) 18
e) 20
5 Um poliedro convexo de forma piramidal tem 
6 vŽrtices. A soma dos ‰ngulos das faces desse 
poliedro Ž:
a) 1 240¡
b) 1 360¡
c) 1 400¡
d) 1 440¡
e) 1 640¡
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Leia os itens 1 a 4, cap. 6 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 1 a 5, sŽrie 2.
 Livro 3 — Unidade II
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade III
Tarefa Mínima
Tarefa complementar
 Fa•a os exerc’cios 6 a 9 e 11, sŽrie 2.
029a050_1103_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 37 7/23/14 9:58 AM
38 Matemática – Setor 1103 ALFA 7
AULA 54 PRISMA RETO
1 prisma
Prisma Ž todo s—lido convexo limitado por 
duas faces (pol’gonos) congruentes situadas em 
planos paralelos e cujas demais faces s‹o parale-
logramos.
E'
D'
A'
D
E
A B
C
B'
C'
h
Na figura:
 ABCDE e A'B'C'D'E' s‹o as bases.
 Os paralelogramos s‹o as faces laterais.
 AB, A B' ', ..., s‹o as arestas das bases.
 AA', BB', ..., s‹o as arestas laterais.
 A dist‰ncia h entre os planos que cont•m as ba-
ses Ž a altura do prisma.
E mais:
çrea lateral Ž a soma das ‡reas das faces 
laterais.
çrea total Ž a soma da ‡rea lateral com as ‡reas 
das bases.
Volume Ž o produto da ‡rea de uma base pela 
medida da altura.
Nota: s—lidos que t•m volumes iguais s‹o ditos 
equivalentes.
2 prisma reto
Prisma reto Ž aquele em que as faces laterais 
s‹o ret‰ngulos.
h
A
A'
No prisma reto, a altura Ž igual ˆ medida de uma 
aresta lateral. Assim: 
h 5 AA'
3 prisma regular
Prisma regular Ž um prisma reto em que as 
bases s‹o pol’gonos regulares.
h
4 NomeNclatura
Conforme o nœmero de lados do pol’gono das 
bases, os prismas s‹o chamados triangulares, qua-
drangulares, pentagonais, e assim por diante. Ent‹o, 
o prisma do item 2 Ž pentagonal, e o do item 3, 
hexagonal.
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1103 39
5 RESUMO (GEOMETRIA PLANA)
Quadrado
a
a
d
 
Área 5 a2
d 5 a 2a 2
Área de um triângulo
b
h
 
Área 5 1
2
 ? b ? h
b
c
α
 
Área 5 12 ? b ? c ? sen α
Triângulo equilátero
60º
a a
a
h 5
a 3
2
 
Área 5 12 ? a ? a ? sen 60°
Área 5 
a 3a 3
4
2a 32a 3
Hexágono regular
a
a
a
a
a
a
a a
 
Área 5 6 ? 1
2
 ? a ? a ? sen 60°
Área 5 3a 32
2
Unidades
 1 cm3 equivale a 1 mL.
 1 dm3 equivale a 1 L.
 1 m3 equivale a 1 000 L.
 1 L 5 1 000 mL
Vale lembrar que: 
1 m 5 10 dm 5 100 cm
EXERCêCIOS
1
 A figura ilustra um peda•o de chocolate com for-
ma de prisma reto e com dimens›es em cent’me-
tros. Calcule seu volume:
4
4
12
45¼
2
 A figura representa uma piscina cujas dimens›es 
internas est‹o indicadas.
1 m
2 m
6 m
4 m
Calcule o volume de ‡gua que essa piscina pode 
conter.
ORIENTA‚ÌO DE ESTUDO
 Leia os itens 1 e 2c, cap. 7 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 4, série 3.
 Livro 3 Ñ Unidade II
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade III
Tarefa M’nima
Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 5 a 8, série 3.
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40 Matem‡tica Ð Setor 1103 ALFA 7
AULA 55 PARALELEPíPEDO RETO-RETÂNGULO
Paralelep’pedo reto-ret‰ngulo (ou paralelep’pedo ret‰ngulo) Ž um prisma reto cujas bases s‹o ret‰ngulos.
Neste caso, todas as faces laterais tambŽm s‹o ret‰ngulos.
a
c
d
b
Na figura:
 a, b e c representam as dimens›es, da’:
Diagonal: d 5 a b c2 2a b2 2a b 21 1a b1 1a b2 21 1a b2 21 1a b1 12 2
çrea total: A
t
 5 2 ? (ab 1 ac 1 bc)
Volume: V 5 a ? b ? c
ExERcícIOS
1 As dimens›es de um paralelep’pedo ret‰ngulo s‹o proporcionais a 4, 3 e 2. Se uma diagonal desse s—lido 
mede 116 m, calcule:
a) a ‡rea total;
b) o volume.
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ALFA 7 Matemática Ð Setor 1103 41
2 As dimens›es de um bloco retangular s‹o inversamente proporcionais a 1, 2 e 4. Se o volume desse bloco Ž 
64 cm3, calcule a medida de uma diagonal desse s—lido.
3 Let’cia quer construir uma caixinha de cartolina, sem tampa, com 10 cm de comprimento, 6 cm de largura e 
4 cm de altura. Se ela quiser pintar o interior dessa caixinha, quantos mililitros de tinta gastará, sabendo que 
com 1 mL de tinta consegue pintar 4 cm2 de papel?
a) 28 b) 32 c) 38 d) 47 e) 52
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Leia o item 3, cap. 7 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 1 a 5, sŽrie 4.
Livro 3 — Unidade II
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade III
Tarefa MínimaTarefa complementar
 Fa•a os exerc’cios 6 a 9, 11 e 12, sŽrie 4.
029a050_1103_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 41 7/23/14 9:59 AM
42 Matemática – Setor 1103 ALFA 7
AULA 56 CUBO
Cubo Ž um paralelep’pedo ret‰ngulo que tem 
as tr•s dimens›es com medidas iguais. Nessas con-
di•›es, as seis faces s‹o quadrados.
a
a
d
a
Na figura:
 a representa a aresta, e d representa a diago-
nal, da’:
Diagonal: d 5 a 3a 3
Área total: A
t
 5 6 ? a2
Volume: V 5 a3
Nota: a diagonal de uma face mede a 2.
EXERCêCIOS
1 Para construir um cubo de cartolina, foram gastos 
150 cm2 de papel. Sabendo que não houve sobras, 
qual é o volume desse cubo em cm3?
a) 75 b) 100 c) 125 d) 150 e) 175
2 Para que um cubo tenha volume equivalente ao 
de um paralelepípedo retângulo de arestas 2 cm, 
6 cm e 18 cm, sua aresta deve medir:
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 8 2 cm
3 A figura ilustra um cubo ABCDEFGH de aresta 2 cm.
F
C
BA
D
E
GH
Calcule:
a) a distância x entre duas faces opostas;
b) a distância y entre os centros de duas faces 
adjacentes;
c) a distância z do vértice E até o centro da face 
ABCD.
ORIENTA‚ÌO DE ESTUDO
 Leia o item 4, cap. 7 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 6, série 5.
 Livro 3 — Unidade II
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade III
Tarefa Mínima
Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 7 a 10, 12 e 13, série 5.
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1103 43
ƒ um prisma reto em que as bases s‹o pol’gonos 
regulares. A figura ilustra um prisma hexagonal regular.
Base
1 Área lateral
Sendo n o nœmero de lados da base do prisma, a área 
lateral Ž o produto de n pela área de uma face lateral.
2 Área total
çrea total Ž a soma da área lateral com as áreas 
das bases.
3 volume
Como já vimos, volume Ž o produto da área da 
base pela altura.
ExERcícIOS
1 As figuras ilustram um prisma triangular regular 
com a aresta da base medindo 4 cm e altura 10 cm 
e a planificação da sua superfície total.
4
10
10
4 4
4
44
Calcule:
a) a área da base (A
b
);
b) a área de uma face lateral (A
f
); 
c) a área lateral (A
,
);
d) a área total (A
t
);
e) o volume (V).
AULA 57 PRISMA REGULAR
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44 Matem‡tica Ð Setor 1103 ALFA 7
2 A figura ilustra um prisma hexagonal regular de altura 10 cm e aresta da base 6 cm.
10 cm
6 cm
D
A B
E
F
C
Calcule:
a) a área da sec•‹o ACFD;
b) o volume do prisma ABCDEF.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Leia o item 5, cap. 7 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 1 a 4, sŽrie 6.
 Livro 3 Ñ Unidade II
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade III
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Fa•a os exerc’cios 5 a 8, sŽrie 6.
 Leia o texto da Atividade extra a seguir.
029a050_1103_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 44 7/23/14 9:59 AM
ALFA 7 Matemática – Setor 1103 45
volume de um prisma
A regi‹o que um s—lido ocupa no espa•o Ž 
uma grandeza denominada volume.
A unidade de volume adotada Ž o volume 
de um cubo de aresta unit‡ria. Ent‹o, o volu-
me de um cubo de aresta 1 dm Ž V = 1 dm3.
1 dm
1 dm
1 dm
volume de um paralelepípedo
Assim sendo, o cubo e o paralelep’pedo reto-
-ret‰ngulo das figuras seguintes t•m, respectiva-
mente, 27 dm3 e 24 dm3.
3 dm
3 dm
3 dm
V = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 dm3
3 dm
4 dm
2 dm
V = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 dm3
Pode-se provar que o volume de um paralelep’-
pedo reto-ret‰ngulo ABCDEFGH, com dimens›es 
a, b e c, Ž dado por:
ATIvIDADE ExTRA
G
C
F
BA
E
H
D
a
b
c
V = a ⋅ b ⋅ c
Tomando-se as faces paralelas ABCD e EFGH 
como bases, e a aresta CG como altura do parale-
lep’pedo, temos:
•	A
b
 = a ⋅ b (‡rea de uma base)
•	h	=	c	(altura)
Logo, V = A
b
 ⋅ h, ou seja:
O volume de um paralelep’pedo Ž igual ao 
produto da ‡rea de base pela medida 
 de altura.
princípio de cavalieri
Se dois s—lidos, S
1
 e S
2
, de mesma altura, est‹o 
colocados sobre um mesmo plano α e todo plano b 
paralelo ao plano α determina, nos dois s—lidos, se•›es 
de ‡reas iguais, ent‹o esses dois s—lidos t•m volumes 
iguais.
S1
A1
S2
A2
β
α
Se A
1
 5 A
2
, para qualquer plano b paralelo 
a α, os s—lidos S
1
 e S
2
 t•m volumes iguais, isto Ž: 
V
1
 5 V
2
.
029a050_1103_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 45 7/23/14 9:59 AM
46 Matem‡tica Ð Setor 1103 ALFA 7
volume de um prisma
Consideremos um prisma e um paralelep’pedo de mesma altura h e cujas bases t•m ‡reas iguais a 
A
b
 e estejam contidas num mesmo plano α. 
Qualquer plano b paralelo a α, que secciona esses s—lidos, determina neles sec•›es congruentes ˆs 
respectivas bases.
Ab
Ab
β
α
h
Assim, pelo Princ’pio de Cavalieri, esses s—lidos t•m volumes iguais, ou seja: V
prisma
 = V
paralelep’pedo
.
Como o volume do paralelep’pedo Ž A
b
 ⋅ h, segue que:
V
prisma
 = A
b
 ⋅ h
Portanto:
O volume de um prisma Ž igual ao produto da ‡rea da base pela medida da altura.
 
ANOTA‚ÍES
029a050_1103_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 46 7/23/14 9:59 AM
ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1103 47
1 pirâmide
ƒ todo s—lido convexo em que uma face Ž um po-
l’gono convexo e as demais s‹o tri‰ngulos que possuem 
um vŽrtice comum.
V
A
C
h
D
B
E
Na figura:
 ABCDE Ž a base da pir‰mide; 
 VAB, VBC, ... s‹o as faces laterais;
 AB, BC, ... s‹o arestas da base;
 VA, VB, ... s‹o arestas laterais;
 V Ž o vértice da pir‰mide.
E mais:
A dist‰ncia h do vŽrtice V ao plano da base Ž 
a altura da pir‰mide.
Área lateral Ž a soma das ‡reas das faces 
laterais.
Área total Ž a soma da ‡rea lateral com a ‡rea 
da base.
Volume Ž um ter•o do produto da ‡rea da base 
pela medida da altura.
2 pirâmide regular
ƒ uma pir‰mide em que a base Ž um pol’gono 
regular e a proje•‹o ortogonal do vŽrtice sobre o plano 
da base Ž o centro da base.
V
A
C
B
M
O
Na figura:
 ponto O Ž o centro da base;
 VO Ž a altura da pir‰mide;
 OM Ž um ap—tema da base (BM = MC);
 VM Ž um apótema da pirâmide.
Da’:
(VO)2 1 (OM)2 5 (VM)2
(VM)2 1 (MC)2 5 (VC)2
3 NomeNclatura
Conforme o nœmero de lados da base, as pir‰mides 
s‹o chamadas triangulares, quadrangulares, pentago-
nais, e assim por diante. Portanto, a pir‰mide do item 
2 Ž hexagonal.
4 resumo (geometria plaNa)
triângulo equilátero
O
aa
a
R
r
h 5
a 3
2
O ponto O Ž o centro do tri‰ngulo.
r 5 13 ? h
 e R 5 23 ? h
Observação: essas rela•›es s‹o v‡lidas somente 
para um tri‰ngulo equil‡tero.
AULA 58 PIRÂMIDE REGULAR
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48 Matemática Ð Setor 1103 ALFA 7
exercício resolvido
Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base 
6 cm e altura 1 cm, como mostra a figura:
1
C
A
B
M
6
O
α
V
Determine:
a) apótema da base (OM);
 A pirâmide é triangular regular. Portanto, a base 
ABC é um triângulo equilátero.
 Com base no resumo de geometria plana, temos:
 OM 5 1
3
 ? CM
 OM 5 1
3
 ? 
6 3
2
 OM 5 3 cm
b) apótema da pirâmide (VM);
 (VM)2 5 (OM)2 1 (VO)2
 (VM)2 5 3( )
2
 1 12
 (VM)2 5 4 ∴ VM 5 2 cm
c) área de uma face lateral (A
f
);
 A
f
 5 1
2
 ? (AB) ? (VM)
 A
f
 5 1
2
 ? 6 ? 2 ∴ A
f
 5 6 cm2
d) área lateral (A
,
);
 A
,
 5 3 ? A
f
 A
,
 5 3 ? 6 ∴ A
,
 5 18 cm2
e) área da base (A
b
);
 A
b
 5 1
2
 ? 6 ? 6 ? sen 60°
 A
b
 5 1
2
 ? 6 ? 6 ? 
3
2
 5 ∴ A
b
 5 9 3 cm2
f) área total (A
t
);
 A
t
 5 A
,
 1 A
b
 A
t
 5 18 1 9 3 ∴ At 5 9 2 31( ) cm2
g) volume (V);
 V 5 1
3
 ? A
b
 ? h
 V 5 1
3
 ? 9 3 ? 1 ∴ V 5 3 3 cm3
h) medida do ângulo α.
 Na figura, α é a medida do ângulo que uma face 
lateral forma com a base. Assim:
 tg α 5 VO
OM
 5 1
3
 5 3
3
 Portanto: α 5 30° 
ExERcícIO
A figura mostra uma pirâmide quadrangular regular 
de aresta de base 8 cm e altura de 3 cm.
3
D
A
C
B
M
4
4
8
O
α
V
Calcule:
a) a medida do apótema da base (OM); 
b) a medida do apótema da pirâmide (VM);
c) a área da base (A
b
);
d) a área de uma face lateral (A
f
);
e) a área lateral (A
,
);
f) a área total (A
t
);
g) o volume (V);
h) a tangente do ângulo que uma face lateral for-
ma como plano da base (tg α).
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ALFA 7 Matem‡tica Ð Setor 1103 49
volume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide triangular é um 
terço do produto da área da base pela medida 
da altura.
Seja ABCD uma pirâmide triangular de base 
ABC, vértice D e altura h.
Considere um prisma triangular ABCDEF 
com base ABC e de mesma altura h da pirâmide.
C
D
B
A
F
h
D
BC
A
E
Vamos decompor o prisma em três pirâmides, 
(a), (b) e (c):
D
C B
A
F
E
D
D
B
F
C
B
EF
D
C B
(a)
(b)
(c)
F
D
B
E
C
A
As três pirâmides − (a), (b) e (c) − têm volumes 
iguais. De fato:
1. As pirâmides (a) e (b) têm volumes iguais 
porque têm bases ABC e DEF congruentes e mes-
ma altura h.
V
a
 5 V
b
2. As pirâmides (b) e (c) têm mesmo volume, 
pois as bases BEF e BFC têm áreas iguais à me-
tade da área do paralelogramo BEFC e mesma 
altura (distância do ponto D ao plano do parale-
logramo BEFC).
V
b
 5 V
c
Conclusão:
Se V é o volume do prisma ABCDEF, então o 
volume da pirâmide ABCD é:
V
a
 5 1
3
 ? V (c. q. d.)
Por extensão:
O volume de uma pirâmide em que a base 
é um polígono de n lados é um terço do produto 
da área da base pela medida da altura.
De fato, pois, sendo P a pirâmide:
1. Pode-se decompor a pirâmide P em n pirâ-
mides triangulares, todas com a mesma altura da 
pirâmide P.
2. O volume da pirâmide P será a soma dos 
volumes das pirâmides triangulares.
3. Conclui-se, daí, que o volume de uma pirâ-
mide qualquer é um terço do produto da área da 
sua base pela medida da altura.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Leia os itens 1 e 2, cap. 8 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 5, série 7.
 Livro 3 Ñ Unidade II
 Caderno de Exercícios 2 Ñ Unidade III
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Faça os exercícios 6 e 9 a 12, série 7.
 Leia o texto da Atividade extra a seguir.
ATIvIDADE ExTRA
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50 Matemática – Setor 1103 ALFA 7
ANOTA‚ÍES
029a050_1103_MATEMATICA_CA7_ROSA.indd 50 7/23/14 9:59 AM
ALFA 7 Física – Setor 1201 51
FísicA
setor 1201
Prof.: ___________________________________
aula 51 .............AD h .............TM h .............TC h ...............52
aula 52 .............AD h .............TM h .............TC h ...............52
aula 53 .............AD h .............TM h .............TC h ...............54
aula 54 .............AD h .............TM h .............TC h ...............54
aula 55 .............AD h .............TM h .............TC h ...............58
aula 56 .............AD h .............TM h .............TC h ...............58
aula 57 .............AD h .............TM h .............TC h ............... 61
aula 58 .............AD h .............TM h .............TC h ...............62
setor A
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 51 7/23/14 10:08 AM
52 Física – Setor 1201 ALFA 7
AULAs 51 e 52 ApLicAções do teoremA de stevin
exercícios
1 O recipiente em forma de U, mostrado na figura, tem o ramo A fechado e o ramo B aberto para a atmosfera 
e está parcialmente cheio de água, como mostra a figura. A pressão do ar contido no ramo A é p. A pressão 
atmosférica local é p
at
 5105 Pa 5 1 atm.
Determine a pressão p se h 5 3 m. (Dê a resposta em Pa e em atm.)
Dados: densidade da água: d
a
 5 103 kg/m3; g 5 10 m/s2
h
çgua
A B
p
2 Determine a pressão p do gás aprisionado no recipiente, sabendo que a pressão atmosférica local é 750 mm 
de Hg.
200 mm
Hgp
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ALFA 7 Física – Setor 1201 53
3 Um tubo em U apresenta as medidas indicadas na figura (fora de escala). Coloca-se água no interior do tubo. 
Em cada ramo, é instalado um êmbolo de peso desprezível. Sobre o êmbolo B, coloca-se um corpo de massa 
M
B
 5 100 kg. 
a) Determine a massa M
A
 para que a água fique no mesmo nível nos dois ramos (Figura A).
b) Acrescentando-se, ao êmbolo A, outro corpo de massa m 5 8,8 kg, esse êmbolo desce y enquanto o 
êmbolo B sobe x. O desnível entre os êmbolos passa a ser h (Figura B). Determine h, x e y (em cm).
y
h
M
B
M
B
x
m
Figura A Figura B
S
A
 5 4 cm2 S
B
 5 40 cm2 S
A
 5 4 cm2 S
B
 5 40 cm2
M
A
M
A
orientAção de estUdo
AULA 51
 Leia os itens 9 a 20, cap. 4 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 10 a 13, sŽrie 2.
AULA 52
 Fa•a os exerc’cios 23 a 27, sŽrie 2.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade III
tarefa mínima tarefa complementar
AULA 51
 Fa•a os exerc’cios 14 a 17, sŽrie 2.
AULA 52
 Fa•a os exerc’cios 21, 22, 42, 46 e 47, sŽrie 2.
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 53 7/23/14 10:08 AM
54 Física – Setor 1201 ALFA 7
1 densidade
A densidade d de um corpo de massa m e volume V é dada por:
d m
V
5
Observa•›es:
1. Unidade de densidade no SI: kg/m3
2. Se o corpo é constituído por uma única substância homogênea, a densidade é também chamada de massa 
espec’fica da substância. 
3. Se o corpo é constituído por diferentes substâncias, de densidades d
1
, d
2
, ..., d
n
 e de volumes V
1
, V
2
, ..., V
n
 
(veja figura a seguir), a densidade do corpo vale:
d
m m ... m
V V ... V
d V d V ..1 2m m1 2m m n
1 2V V1 2V V nVnV
1 1d V1 1d V 2 2d V2 2d V
5
1 1m m1 1m m1 21 1m m1 21 1m m1 11 2 1
1 1V V1 1V V1 21 1V V1 2V V1 1V V1 11 2 1
5
1 1d V1 12 21 1d V2 2d V1 12 2 . d.. d. V
V V ... V
n nVn nV
1 2V V1 2V V nVnV
. d1. d
1 1V V1 1V V1 21 1V V1 2V V1 1V V1 11 2 1
4. Se o corpo é feito de uma substância de densidade d
1
 e tem um vazio (oco) preenchido com ar, sua den-
sidade é: 
d
m m
V
d V d v
V
1 om m1 om m co
totaVtotaV l
1 1d V1 1d V ard vard var
totaVtotaV l
5
1m m1m mm m1 o1m m11 o
5
1
V
1
; d
1
V
2
; d
2
V
3
; d
3
V
4
; d
4 V
oco
; d
ar
V
1
; d
1
Pode acontecer (e, na realidade, é a situação mais comum) de a densidade do ar ser muito menor que a den-
sidade da substância de que o corpo é feito. Neste caso:
d
m
V
d V
V
1
totaVtotaV l
1 1d V1 1d V
totaVtotaV l
5 55 5
1
5 5
d V?d V
densidade (kg/m3) observações
çgua pura 1 000 A 4 °C
çgua do mar 1 028 Valor médio
Ar
1,225
(cuidado com a vírgula)
Ao nível do mar e a 25 °C
Planeta Terra 5 515
Ouro 19 300
Ferro 7 500 Valor médio (depende da composição)
Buraco negro 4 ? 1017
AULAs 53 e 54 teoremA de ArQUimedes
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 54 7/23/14 10:08 AM
ALFA 7 F’sica Ð Setor 1201 55
2 teoreMa de arquiMedes
Todo corpo mergulhado (total ou parcialmente) em um l’quido em equil’brio recebe deste uma for•a, deno-
minada empuxo (E), com as seguintes caracter’sticas:
 Dire•‹o: vertical
 Sentido: para cima
 Intensidade: E 5 peso do fluido deslocado 
E 5 d
L
 ? V
LD
 ? g
(Lembre-se de que: P
C
 5 d
C
 ? V
C
 ? g)
Em nosso estudo, empregaremos a seguinte conven•‹o para identificar os elementos envolvidos nos fen™menos 
de corpos mergulhados em l’quido em equil’brio:
Convenção
d
L
Densidade do líquido
d
C
Densidade do corpo
V
C
Volume do corpo
V
LD
Volume do líquido deslocado
V
i
Volume imerso
V
e
Volume emerso
P
C
Peso do corpo
P
LD
Peso do líquido deslocado
E Empuxo
Corpo totalmente imerso: v
ld
 5 v
C
P
C
E
P
C
E
P
C
E
d
C
 . d
L
 ⇒ P
C
 . P
LD
 5 E
O corpo tende a afundar. Para 
ficar em equil’brio totalmente 
imerso, h‡ necessidade de ou-
tra for•a para cima.
d
C
 , d
L
 ⇒ P
C
 , P
LD
 5 E
O corpo tende a flutuar. Para 
ficar em equil’brio totalmente 
imerso h‡ necessidade de outra 
for•a para baixo.
d
C
 5 d
L
 ⇒ P
C
 5 P
LD
 5 E
O corpo fica em equil’brio sem 
a necessidade de outra for•a.
Corpo parcialmente imerso: v
ld
 5 v
i
 , v
C
E 5 d
L
 ? V
LD
 ? g 5 d
L
 ? V
i
 ? g e P
C
 5 d
C
 ? V
C
 ? g
Condi•‹o de equil’brio:
E 5 P
C
Substituindo, obtemos:
V
V
d
d
Fra•‹o imersai
ViV
CVCV
C
L
5 55 5
C
5 5 (com d
C
 , d
L
)
Volume emerso (V
e
)
Volume imerso (V
i
)
P
C
E
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56 F’sica Ð Setor 1201 ALFA 7
exercícios
1 Umacaixa tem formato de um cubo de 0,1 m de 
lado (medidas externas) e volume interno 0,9 L. 
As paredes, o fundo e a tampa da caixa s‹o feitas 
de ferro (densidade 5 7,5 ? 103 kg/m3) e a caixa Ž 
preenchida totalmente com ‡gua (densidade 5 
5 1,0 ? 103 kg/m3). A caixa Ž colocada no interior de 
um tanque com ‡gua e mantida em equil’brio com 
aux’lio de um fio no qual se intercala um dinam™-
metro, como mostrado na montagem esquemati-
zada na figura. Determine:
a) a densidade do corpo formado pela caixa e a 
‡gua contida;
b) a indica•‹o do dinam™metro (ver figura).
2 Ainda sobre a quest‹o anterior, considere que a 
‡gua que est‡ no interior da caixa seja retirada e 
que a caixa seja novamente fechada e mantida 
totalmente imersa na ‡gua com o aux’lio de um 
fio preso ao fundo do tanque (veja a figura). De-
termine:
a) a densidade da caixa. Despreze a massa de ar 
em seu interior;
b) a intensidade da for•a de tra•‹o no fio. 
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 56 7/23/14 10:08 AM
ALFA 7 Física – Setor 1201 57
3 (Mack-SP) Um bloco com as dimens›es indicadas na figura (fora de escala) e material de densidade 0,2 g/cm3 
flutua em ‡gua pura, servindo como ponte. Quando um caminh‹o passa sobre ele, o volume da parte submersa 
Ž 25% do volume do bloco. 
10 m
2 m
4 m
Desse modo, podemos afirmar corretamente que a massa do caminh‹o Ž:
a) 2 000 kg
b) 4 000 kg
c) 1 6000 kg
d) 20 000 kg
e) 36 000 kg
orientAção de estUdo
AULA 53
 Leia os itens 22 a 25, cap. 4 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 5 e 6, série 1.
 Faça os exercícios 3 a 6, série 3.
AULA 54
 Faça os exercícios 8 a 11, série 3.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade III
tarefa mínima tarefa complementar
AULA 53
 Faça os exercícios 14, 15, 18, 20 e 25, série 3.
AULA 54
 Faça os exercícios 1, 23, 36, 38, 40, 42 e 53, série 3.
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 57 7/23/14 10:08 AM
58 F’sica Ð Setor 1201 ALFA 7
1 MoMento de uMa força
O momento de uma for•a pode ser calculado destes dois modos:
F: for•a aplicada
P: ponto de aplica•‹o da for•a
O (polo): ponto arbitrariamente 
escolhido
LA: linha de a•‹o da for•a
F
y
: componente de F na dire•‹o 
perpendicular a OP
b (bra•o do momento): passa pelo 
polo e Ž perpendicular a LAP
F
y
LA
O
F
P
LA
O
b
F
(M
F
)
O
 5 6 F ? b(M
F
)
O
 5 6 F
y
 ? OP
Convenção
Se, sob a•‹o exclusiva de F, o corpo adquirir movimento de rota•‹o: 
 no sentido anti-hor‡rio, o momento ser‡ identificado pelo sinal (1);
 no sentido hor‡rio, o momento ser‡ identificado pelo sinal (2).
2 rotação de uM Corpo eM torno de uM eixo fixo (perpendiCular ao plano 
da figura) sob a ação de várias forças
Estas s‹o as condi•›es de equil’brio para um corpo sob a a•‹o de v‡rias for•as (F, G, H, T, ...):
F
O
H
T
G
ΣF 5 0 (para n‹o haver transla•‹o)
ΣM 5 0 (para n‹o haver rota•‹o)
A soma dos momentos Ž nula em rela•‹o 
a qualquer ponto.
AULAs 55 e 56 momento de UmA ForçA e eQUiLíBrio de Um sÓLido
AnotAções
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ALFA 7 F’sica Ð Setor 1201 59
exercícios
1 A barra da figura Ž homog•nea e prism‡tica, tem massa 40 kg, comprimento 50 cm e pode girar livremente 
em torno da articula•‹o S. Na extremidade da barra, est‡ pendurado um corpo de massa M = 100 kg, e a 
barra Ž mantida em equil’brio na posi•‹o horizontal por meio de fio vertical ao qual se intercala um dinam™-
metro. Dado: g = 10 m/s2
Determine:
a) a indica•‹o do dinam™metro;
b) a for•a exercida pela articula•‹o na barra.
10 cm
50 cm
S
Detalhe da barra e
da articula•‹o S
2 (UFPE) Uma menina de 50 kg (peso 500 N) caminha sobre uma prancha com 10 m de comprimento e massa 
desprez’vel. A prancha est‡ apoiada em suas extremidades, nos pontos A e B, como mostra a figura. Pede-se 
construir os gr‡ficos das for•as verticais exercidas sobre a barra pelos apoios A e B em fun•‹o da dist‰ncia 
x entre a menina e o ponto A.
BA
x
10 m
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 59 7/23/14 10:08 AM
60 Física – Setor 1201 ALFA 7
orientAção de estUdo
AULA 55
 Leia os itens 1 a 5, cap. 3 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 4, 5, 10, 11, 22 e 30, sŽrie 1.
AULA 56
 Leia os itens 6 a 12, cap. 3 do Livro-texto.
 Fa•a os exerc’cios 12, 14, 15, 16, 18 e 19, sŽrie 1.
 Livro 1 Ñ Unidade IV
 Caderno de Exerc’cios 2 Ñ Unidade IV
tarefa mínima tarefa complementar
AULA 56
 Fa•a os exerc’cios 43, 45, 60 e 61, sŽrie 1.
AnotAções
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ALFA 7 F’sica Ð Setor 1201 61
AULA 57 exercício de estÁticA do corpo ríGido 
exercício
Sobre uma barra homog•nea, de sec•‹o constante, comprimento 80 cm e massa 100 kg, Ž colocado um 
corpo de massa 40 kg a uma dist‰ncia 60 cm da articula•‹o. Se a barra Ž mantida em equil’brio por um fio 
como indicado na figura, determine:
a) a intensidade da for•a de tra•‹o no fio;
b) a intensidade da for•a que a articula•‹o exerce na barra.
orientAção de estUdo
 Faça os exercícios 31 e 39, série 1.
 Livro 1 — Unidade IV
 Caderno de Exercícios 2 — Unidade IV
tarefa mínima tarefa complementar
 Faça os exercícios 49, 52 e 54, série 1.
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 61 7/23/14 10:08 AM
62 Física – Setor 1201 ALFA 7
AULA 58 cAmpo mAGnÉtico devido A ímãs 
1 polos MagnétiCos
Polos magnéticos de mesmo nome se repe-
lem e polos magnéticos de nomes diferentes se 
atraem.
S N S N
N S S N
S N N S
Caso um ímã seja dividido em duas partes, na re-
gião de corte surgem polos contrários às extremidades 
das partes. Conclusão: os polos norte e sul de um imã 
são indivisíveis.
S N S N S N
2 o CaMpo MagnétiCo ( b ) e suas 
linhas
Podemos mapear o campo magnético por meio de 
suas linhas, denominadas de linhas de campo magné-
tico ou linhas de indução. 
Em cada ponto pertencente a uma linha de indução, 
o campo magnético (B) tem direção tangente à linha 
de indução no ponto considerado e mesmo sentido da 
orientação da linha, conforme indica a figura a seguir.
Linha de indu•‹o ou do
campo magnŽtico
Reta tangente ˆ
linha de indu•‹o
Campo
magnŽtico
Ponto
analisado
B
As figuras a seguir mostram alguns exemplos 
de mapeamento do campo magnético. Note que as 
linhas de indução magnética são orientadas do polo 
norte para o polo sul do ímã. Observe também o 
campo magnético associado a certos pontos dessa 
região.
N S
(2)
B
2
(1)
B
1
(2)
B
2
(1)
B
1
N S
3 CoMportaMento de íMãs 
ColoCados eM loCais nos quais há 
CaMpo MagnétiCo ( b )
Suponha que um ímã, na forma de barra, seja 
introduzido em uma região em que há campo mag-
nético. Nessa circunstância, uma vez em equilíbrio, 
o ímã apresentará:
1. O eixo magnético alinhado na mesma direção 
de B naquele ponto;
2. O polo norte no mesmo sentido de B naquele 
ponto.
N S
S N
S
T
E
P
H
E
N
 O
L
IV
E
R
/D
O
R
L
IN
g
 k
IN
D
E
R
S
L
E
y
/g
E
T
T
y
 I
M
A
g
E
S
051a064_1201_FISICA_CA7_ROSA.indd 62 7/23/14 10:08 AM
ALFA 7 F’sica Ð Setor 1201 63
4 MagnetisMo terrestre
Experimentos indicam que a Terra apresenta um 
comportamento magnético semelhante ao de um gi-
gantesco ímã. Dessa forma, nas vizinhanças do pla-
neta, existe um campo B
Terra
, cujo comportamento é 
descrito conforme a figura a seguir.
Polo Norte geográ�co
ou
polo sul magnético
Polo Sul geográ�co
ou
polo norte magnético
5 a experiênCia de oersted
Hans Christian Oersted (1771-1851), físico e quí-
mico dinamarquês, verificou experimentalmente que 
dispositivos percorridos por corrente elétrica apresen-
tam, na região ao redor desses dispositivos, campo 
magnético (B). De forma simplificada, podemos dizer 
que corrente elŽtrica gera campo magnŽtico. 
exercício
Em uma experiência, foram colocados dois ímãs, 
cujos eixos magnéticos coincidem com seus ei-
xos longitudinais, próximos entre si como indica 
a figura.
S
(1)
N
N
(2)
Eixo longitudinal
do ímã (2)
S
Eixo longitudinal
do ímã (1)
Ponto P
Admitindo que o campo magnético (B) em pontos 
do eixo longitudinal dos ímãs da