Alfa Rosa Apostila 3

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ALFA
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ALFA 3
Matemática
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Benedicto AGUIAR Filho
ROBERTO Miguel El Jamal
Física
HARLEY Sato
Luís Ricardo ARRUDA de Andrade
Marcelo Rodrigues (PLAY)
Ronaldo CARRILHO
THALES Trigo
Química
Antonio LEMBO
Carlos Eduardo Lavor (CAÊ)
CELSO Lopes de Souza
GERALDO Camargo de Carvalho
João USBERCO
ROBSON Groto
Biologia
ARMÊNIO Uzunian 
HEITOR Willrich Santiago
JOÃO CARLOS R. Coelho
Nelson CALDINI Junior
NELSON Henrique Carvalho de Castro
RENATO Corrêa Filho
SEZAR Sasson
Língua Portuguesa
EDUARDO Antonio Lopes
Eduardo CalBUCCI
Fernando MARCÍLIO Lopes Couto
Francisco PLATÃO Savioli
HENRIQUE Santos Braga
MAURÍCIO Soares da Silva Filho
Paulo César de CARVALHO
PAULO Giovani de Oliveira
Sérgio de Lima PAGANIM
História
GIANpaolo Dorigo
José Carlos Pires de MOURA
RENAN Garcia Miranda
Geograf a
HELIO Carlos Garcia
MARCELO Ribeiro de Carvalho
MÁRCIO Castelan
PABLO López Silva
Paulo Roberto MORAES
Vagner AUGUSTO da Silva
Valdinei A. da Silva AXÉ
Língua Inglesa
PATRÍCIA Helena Costa Senne dos Santos
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Vice-presidência: Mário Ghio Júnior
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Ensino Médio: Livro integrado – Coleção Alfa – São Paulo: 
Sistemas de Ensino Abril Educação S. A., 2014
 
 Vários autores.
 
 1. Ensino médio 2. Apostila-caderno (Ensino Médio)
 
99–4425 CDD–373.19
Índices para catálogo sistemático:
1. Ensino integrado: Ensino Médio 373.19
2015
ISBN 978 85 7598 706-6 (AL)
Código da obra 850120315
1ª edição
1ª impressão
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Uma publicação
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GEOGRAFIA
GEOGRAFIA DO BRASIL 265
GEOGRAFIA GERAL 303
LÍNGUA PORTUGUESA
GRAMÁTICA 201
LITERATURA 225
LÍNGUA INGLESA 325
HISTÓRIA
HISTÓRIA DO BRASIL 239
HISTÓRIA GERAL 251
FÍSICA
SETOR A 47
SETOR B 59
SETOR C 77
BIOLOGIA
SETOR A 131
SETOR B 143
SETOR C 175
MATEMÁTICA
SETOR A 5
SETOR B 19
SETOR C 29
QUÍMICA
SETOR A 87
SETOR B 103
SETOR C 117
ÍNDICE
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 5
MATEMÁTICA
setor 1101
Prof.: ___________________________________
aula 21 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 6
aula 22 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 6
aula 23 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 9
aula 24 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 10
aula 25 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 12
aula 26 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 12
aula 27 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 14
aula 28 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 14
aula 29 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 16
aula 30 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 18
setor A
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6 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
AULAs 21 e 22 FUNÇÕEs: FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função quadrática, ou função polinomial do segundo grau, é uma função da forma: 
f: R R, com f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são constantes reais, com a  0. 
 O número b2 2 4ac é chamado de discriminante (D) do trinômio. 
 O gráfico de f é uma parábola.
 Em todos os casos, o gráfico intersecta o eixo y (eixo das ordenadas) no ponto (0, c).
 Em todos os casos, o vértice da parábola é o ponto V(x
V
, y
V
), com x
V
 5 
2b
2a
 e y
V
 5 
4a
.
 a . 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido do eixo y. O vértice corresponde ao ponto de mínimo 
da função.
2a
2b
4a
2Δ
V ,
a � 0
 a , 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido oposto do eixo y. O vértice corresponde ao ponto de 
máximo da função.
2a
2b
4a
2Δ
V ,
a � 0
 D . 0 ⇔ a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos, (x
1
, 0) e (x
2
, 0), com x b
2a1, 2
5
2 ∆± . 
Nesses casos, temos f(x) 5 a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
).
a � 0
x
a � 0
xx1 x1x2 x2
 D 5 0 ⇔ a parábola é tangente ao eixo x no ponto V(x
V
, 0), com x
V
 5 2b
2a
. 
Nesses casos, temos f(x) 5 a(x 2 x
V
)2.
a � 0
x
a � 0
xx
V
x
V
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 7
 D , 0 ⇔ a parábola não intersecta o eixo x. 
Nesse caso, para todo x real, f(x) tem o mesmo sinal que a constante a.
a � 0
x
a � 0
x
ExERCíCIOs
1 Considere a função f: R R, f(x) 5 x2 2 2x 2 3.
a) Calcule f(0).
b) Resolva a equação f(x) 5 0.
c) Obtenha as coordenadas, no plano cartesiano 
xOy, do vértice da parábola de equação y 5 f(x).
d) Esboce o gráfico de f.
1
1
2
2
3 421
21
22
22
23
24
0
0
x
y
e) Dê o conjunto imagem de f.
f) Determine, em R, o conjunto solução da ine-
quação x2 2 2x 2 3 . 0.
2 (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada 
pela rotação de uma parábola em torno de um 
eixo z, conforme mostra a figura.
y (cm)
x (cm)
Eixo de rotação (z)
C
V
A função real que expressa a parábola, no 
plano cartesiano da figura, é dada pela lei 
f(x) 3
2
x 6x C25 2 1 , em que C é a medida da al-
tura do líquido contido na taça, em centímetros. 
Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vér-
tice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas 
condições, a alturado líquido contido na taça, em 
centímetros, é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
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8 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
3 Sabendo que f(x) 5 22x2 1 40x, com x [ R, obtenha:
a) um esboço do gráfico de f;
b) o valor de x para o qual f(x) é máximo;
c) o valor máximo de f(x).
4 O dono de um sítio dispõe de 80 metros de tela de arame. Ele deseja cercar com esta tela uma região re-
tangular R, dentro de uma grande área de pastagem, e também quer subdividir essa região R em três áreas 
retangulares equivalentes, puxando duas telas de arame paralelas a uma das suas fronteiras. Com base nessas 
informações, faça o que se pede:
a) Esboce uma possível planta da região R, com as subdivisões.
b) Sendo x o comprimento, em metros, de cada uma das cercas que subdividem R, obtenha a área A(x) da 
região R em função de x. Determine o domínio dessa função.
c) Para que valor de x a área de R é máxima?
AULA 21
 Faça os exercícios 1 e 2, série 8.
AULA 22
 Faça o exercício 12, série 8.
 Livro 1 — Unidade III 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 3 a 5 e 13 a 15, série 8.
ORIENTAÇÃO DE EsTUDO
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 9
Esta aula será dedicada à resolução de exercícios que envolvem funções quadráticas.
ExERCíCIOs
1 O gráfico da função quadrática f passa pelos pontos (2, 0), (8, 0) e (10, 28). Obtenha f(x). 
2 Obtenha f(x) sabendo que o gráfico da função f é a parábola que passa pelos pontos (2, 5), (8, 5) e (10, 21). 
AULA 23 FUNÇÕEs: FUNÇÃO QUADRÁTICA (ExERCíCIOs)
 Leia o exemplo 5, item 2, cap. 4 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 6 e 8, série 8.
 Livro 1 — Unidade III 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 7, 9 e 10, série 8.
ORIENTAÇÃO DE EsTUDO
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10 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
Nesta aula, veremos como resolver, em R, inequações da forma f(x) . 0, f(x) > 0, f(x) , 0, ou f(x) < 0, com 
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são constantes reais, com a  0. 
Podemos destacar os seguintes casos.
 D . 0 ⇔ a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos, (x
1
, 0) e (x
2
, 0), com x
1
 , x
2
, e 
x
1, 2
 5 2 ∆b
2a
± . 
Nesse caso, temos f(x) 5 a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
).
a � 0
x
a � 0
xx1 x1x2 x2
a (in)equação conjunto solução
a  0 f(x) 5 0 {x
1
, x
2
}
a . 0 f(x) . 0 {x [ R | x , x
1
 ou x . x
2
}
a . 0 f(x) , 0 {x [ R | x
1
 , x , x
2
}
a , 0 f(x) . 0 {x [ R | x
1
 , x , x
2
}
a , 0 f(x) , 0 {x [ R | x , x
1
 ou x . x
2
}
 D 5 0 ⇔ a parábola é tangente ao eixo x no ponto V(x
V
, 0), com x
V
 5 2b
2a
. 
Nesse caso, temos f(x) 5 a(x 2 x
V
)2.
a � 0
x
a � 0
xx
V
x
V
a (in)equação conjunto solução
a  0 f(x) 5 0 {x
V
}
a . 0 f(x) . 0 {x [ R | x  x
V
}
a . 0 f(x) , 0 
a , 0 f(x) . 0 
a , 0 f(x) , 0 {x [ R | x  x
V
}
AULA 24 FUNÇÕEs: INEQUAÇÃO DO 2O GRAU
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 11
 D , 0 ⇔ a parábola não intersecta o eixo x. 
Nesse caso, para todo x real, f(x) tem o mesmo sinal que a constante a.
a � 0
x
a � 0
x
a (in)equação conjunto solução
a  0 f(x) 5 0 
a . 0 f(x) . 0 R
a . 0 f(x) , 0 
a , 0 f(x) . 0 
a , 0 f(x) , 0 R
ExERCíCIO
Resolva em R:
a) x2 2 x 2 2 > 0 c) x2 . 4
 
b) x2 2 x 2 2 < 0 d) 2x2 1 x 2 2 , 0
 
 Livro 1 — Unidade III
 Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 19
 Faça os exercícios 1, 2a e 2b, série 9.
 Faça os exercícios 3 a 9, série 9.
ORIENTAÇÃO DE EsTUDO
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12 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
Nesta aula, veremos um método para resolver, em R, inequações da forma f(x) . 0, f(x) > 0, f(x) , 0 ou 
f(x) < 0, em que f(x) é um produto ou um quociente de expressões do primeiro ou do segundo grau.
Tomemos como exemplo:
f(x) 5 
(x 2)(x 9)
x 6
2 2
2
 O numerador tem duas raízes: 2 e 9. 
 O denominador tem apenas uma raiz: 6
f(x) 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 5 9
� f(x) ⇔ x 5 6
x
sinal de f(x)0 0
2 6 9
ó
Para qualquer outro valor de x (diferente de 2, 6 e 9), os valores de f(x) são positivos ou negativos. Podemos 
obter o sinal de f(x) em cada um dos intervalos determinados pelas raízes, substituindo x por um número per-
tencente ao intervalo.
Assim, podemos considerar x 5 10, no intervalo ]9, 1∞[: 
 f(10) 5 
(10 2)(10 9)
10 6
2 2
2
 . 0 \ para x . 9, f(x) é positivo;
x
sinal de f(x)0 0
2 6 9
ó �
 f(7) 5 
(7 2)(7 9)
7 6
2 2
2
 , 0 \ para 6 , x , 9, f(x) é negativo;
 f(3) 5 
(3 2)(3 9)
3 6
2 2
2
 . 0 \ para 2 , x , 6, f(x) é positivo;
 f(0) 5 
(0 2)(0 9)
0 6
2 2
2
 , 0 \ para x , 2, f(x) é negativo.
Concluindo:
x
sinal de f(x)0 0
2 6 9
ó �2�2
Desta forma, temos o seguinte resumo para resolver inequações:
 Localize, na reta real, todas as raízes da equação f(x) 5 0; no caso de f(x) ser um quociente, obtenha 
também as raízes do denominador.
 Obtenha o sinal de f(x) em cada um dos intervalos formados, substituindo x por um elemento qualquer 
do intervalo.
 Selecione os valores de x que satisfaçam a inequação dada, para obter o conjunto solução.
Considerando, por exemplo, a inequação 
(x 2)(x 9)
x 6
2 2
2
 > 0, em R, cujos intervalos estudamos anterior-
mente, temos:
x
sinal de f(x)0 0
2 6 9
ó �2�2
O conjunto solução é {x [ R | 2 < x , 6 ou x > 9}.
Lembre-se de que, em R, com b2 2 4ac , 0, a expressão ax2 1 bx 1 c não muda de sinal, e, para todo valor 
real de x, a expressão tem o mesmo sinal que a constante a.
AULAs 25 e 26 FUNÇÕEs: INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 13
ExERCíCIOs
1 Resolva em R:
a) (x 2 1)(x 2 3)(x 2 6) , 0
b) (x 1)(x 6)
x 3
2 2
2
 < 0
c) (x 1 2)(x 2 3)(x2 1 x 1 1) > 0
2 Faça o que se pede nos itens a seguir:
a) Fatore, em R, a expressão x3 2 3x2 2 9x 1 27.
b) Resolva em R: x3 2 3x2 2 9x 1 27 < 0.
AULA 25
 Faça o exercício 11, série 9.
AULA 26
 Faça os exercícios 2c, 2d e 2e, série 9.
 Livro 1 — Unidade III 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 10 e 12 a 15, série 9.
ORIENTAÇÃO DE EsTUDO
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14 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
Na Física, apresenta-se o conceito de energia cinética E
c
 associada a um corpo em movimento como “o produto 
da massa m do corpo pelo quadrado da velocidade escalar v desse corpo”, que pode ser expresso algebricamente 
pela seguinte expressão:
E
c
 5 1
2
m ? v2
Consideremos, como exemplo inicial, o caso em que m 5 5 e suponhamos ainda que, no instante t, a veloci-
dade seja dada por v 5 2 1 10t, no SI. Nesse caso, a energia cinética será dada por E
c
 5 5
2
 ? v2 (J).
Temos a energia cinética em função da velocidade e, por sua vez, a velocidade em função do tempo. Sendo 
assim, podemos expressar a energia cinética em função do tempo:
E
c
 5 5
2
(2 1 10t)2
Obtemos uma composição das duas funções acima; ela é a função composta das funções dadas por 
E
c
 5 5
2
v2 e v 5 2 1 10t. 
Vamos abstrair, considerando as funções dadas por f(x) 5 5
2
x2 e g(x) 5 2 1 10x. Temos:
 f(...) 5 5
2
(...)2
 f(g(x)) 5 5
2
(g(x))2
 f(g(x)) 5 5
2
(2 1 10x)2
A função dada por essa equação é chamada de função composta de f e g, nessa ordem. Usaremos a notação 
 para indicar a composição. Assim, temos: f  g(x) 5 
5
2
(2 1 10x)2.
AULAs 27 e 28 FUNÇÕEs: COMPOsIÇÃO
ExERCíCIOs
1 Dado que f e g são funções reais de variável real, 
tais que f(x) 5 1
2
x2 e g(x) 5 2 1 5x, obtenha:
a) f(g(2))
b) f(g(x))
c) g(f(2))
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 15
2 Sendo f(x) 5 3x e g(x) 5 2x 1 1, obtenha:
a) f(g(x)) 
b) g(f(x))
c) g(g(x))
3 Sabendo que f e g são funções reais de variável 
real, tais que f(x) 5 2x1 3 e f  g(x) 5 6x 1 12, 
obtenha:
a) g(x) 
b) g  f(x)
4 Sendo f(2x 2 1) 5 x2, calcule f(5) e f(9).
5 Na figura, temos um esboço do gráfico de uma 
função periódica f; temos f(x) 5 f(x 1 3h), para 
todo real x e todo inteiro h.
f(x)
0 1 2 3 4 x21
1
Obtenha f(2 015).
AULA 27
 Fa•a o exerc’cio 1, sŽrie 10.
AULA 28
 Fa•a os exerc’cios 4 e 5, sŽrie 10.
 Livro 1 Ñ Unidade III 
Caderno de Exerc’cios 1 Ñ Unidade II
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 27
 Fa•a os exerc’cios 2 e 3, sŽrie 10.
AULA 28
 Fa•a os exerc’cios 6 a 15, sŽrie 10. 
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
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16 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
Até agora, lidamos com números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais – todos 
eles elementos do conjunto R, dos números reais. Existe ainda o conjunto C, dos números complexos. 
Todo número complexo z pode ser expresso na forma a 1 bi, em que a e b são números reais quaisquer e i 
é a unidade imaginária, definida de tal modo que i2 5 21.
Exemplos:
1) z 5 3 1 4i
2) z 5 21 1 i 3
3) z 5 12 (z 5 12 1 0i)
4) z 5 21 (z 5 21 1 0i)
5) z 5 5i (z 5 0 1 5i)
 Nas condições acima, com z 5 a 1 bi, dizemos que a é a parte real de z e b é a parte imaginária. 
 Note que z é um número real se, e somente se, a sua parte imaginária é igual a 0 (exemplos 3 e 4). O con-
junto C contém uma “cópia” do conjunto R.
R R
C
 Os números complexos não reais, isto é, aqueles em que a parte imaginária não é nula, são chamados nú-
meros imaginários (exemplos 1, 2 e 5). 
 Em particular, os números imaginários com parte real nula são chamados números imaginários puros 
(exemplo 5).
 Sendo x, y, a e b números reais, temos:
x 1 yi 5 a 1 bi ⇔ x 5 a e y 5 b
 Algumas equações em R e em C.
a equação em R em C
x2 5 1 {1, 21} {1, 21}
x2 5 21  {i, 2i}
x4 5 1 {1, 21} {1, 21, i, 2i}
(x 2 1)2 5 24  {1 1 2i, 1 2 2i}
Com (x 2 1)2 5 24, em C, temos:
(x 2 1)2 5 4i2
(x 2 1)2 5 (2i)2
x 2 1 5 ±2i \ x 5 1 ± 2i
 Algumas identidades que também se verificam em C.
(a 2 b)(a 1 b) 5 a2 2 b2
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3
(a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) 5 a3 1 b3
(a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) 5 a3 2 b3
AULA 29 NÚMEROs COMPLExOs: INTRODUÇÃO
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ALFA 3 Matemática – Setor 1101 17
ExERCíCIOs
1 Resolva em C: 
a) x2 5 21 
b) x2 5 29
2 Resolva em R: x4 1 8x2 2 9 5 0.
 Faça o exercício 1, série 11.
 Livro 1 — Unidade IV 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Leia os itens 1 a 5, cap. 13 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 2 a 4, série 11.
ORIENTAÇÃO DE EsTUDO
005a018_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 17 2/28/14 5:59 PM
18 Matemática – Setor 1101 ALFA 3
 Sendo x, y, a e b números reais, temos:
x 1 y ? i 5 a 1 b ? i ⇔ x 5 a e y 5 b
 Sendo a e b números reais, chama-se conjugado complexo de a 1 bi o número a 2 bi. 
Obtém-se o conjugado de um número dado trocando apenas o sinal da parte imaginária. 
Notação: a bi1 5 a 2 bi. 
Exemplos:
1) 3 4i1 5 3 2 4i
2) 3 4i2 5 3 1 4i
3) i 5 2i
4) 12 5 12
 O conjugado de um número real é o próprio número real.
 O conjugado de uma soma de números complexos é igual à soma dos conjugados desses números.
 O conjugado de um produto de números complexos é igual ao produto dos conjugados desses números.
AULA 30 NÚMEROs COMPLExOs: IGUALDADE E CONJUGADO
 Leia o item 7, cap. 13 do Livro-texto.
 Faça o exercício 6, série 11.
 Livro 1 — Unidade IV 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 7 e 8, série 11.
ORIENTAÇÃO DE EsTUDO
ExERCíCIOs
1 Obtenha os pares ordenados (x, y) de números 
reais, tais que:
a) 2x 1 3 1 (y 2 5)i 5 7 1 6i
b) x 1 2y 1 (2x 2 y)i 5 3 1 11i
c) x 2 yi 1 2y 1 2xi 5 3 1 11i
d) (x2 1 y2)i 5 x 2 3 1 25i
2 Resolva em C: z 2 z 1 z ? z 5 5 1 4i
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ALFA 3 Matemática – Setor 1102 19
MaTEMÁTica
setor 1102
Prof.: ___________________________________
aula 11 .............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 20
aula 12 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 22
aula 13 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 24
aula 14 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 26
aula 15 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 26
setor B
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 19 2/28/14 3:24 PM
20 Matemática – Setor 1102 ALFA 3
auLa 11 aPLicação dos rEais soBrE os PonTos da circunFErÊncia TriGonoMÉTrica
 Se α é um número real associado ao ponto M,
M
1
0
α
então todos os reais associados a M são representados por:
x 5 α 1 h ? 2p, h [ Z
 Se α é um número real associado aos pontos M ou N,
M
N
10
α
então todos os reais associados a M ou N são representados por:
x 5 α 1 h ? p, h [ Z
 De maneira geral, se α é um número real associado a um dos pontos M
1
, M
2
, M
3
, M
4
, …, M
n
 que dividem 
a circunferência trigonométrica em n partes iguais,
M
1
M
2
M
3
M
4
M
n
1
então todos os reais associados a M
1
 ou M
2
 ou M
3
 ou … ou M
n
 são representados por:
x h
2
n , hx h5 1x h ?αx hαx hx h5 1αx hα5 1
π
[ Z
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 20 2/28/14 3:24 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1102 21
ExErcícios
1 Considere o quadrado da figura:
MN
P Q
4
π
Dê a expressão geral dos números reais x associados aos pontos:
a) M b) M ou P c) M, N, P ou Q
2 Considere o retângulo da figura:
MN
P Q
6
π
Dê a expressão geral dos números reais x associados aos pontos:
a) M ou N b) M ou Q c) M, N, P ou Q
3 Dada a equação sen3 x 2 sen x 5 0, resolva-a:
a) no intervalo 0 < x < 2p b) em R
 Leia os itens 4 a 6 e o exemplo 5, cap. 5 do Livro-
-texto.
 Faça os exercícios 9 a 11, série 5.
 Livro 2 — Unidade 1 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Faça os exercícios 12 a 15, série 5.
oriEnTação dE EsTudo
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 21 2/28/14 3:25 PM
22 Matemática – Setor 1102 ALFA 3
Esta aula será dedicada à resolução de exercícios que envolvem equações trigonométricas em vários conjuntos 
domínio. Observe o exercício a seguir:
Exercício resolvido
Resolva a equação sen (2x) 5 1 no intervalo 0 < x , 2p.
Resolução
1o modo: 
Podemos obter primeiro a solução geral e depois extrair dela as respostas que estão no intervalo 0 < x , 2p.
1
2
π
1 h ? 2π
2x
2
h 25 1 ?
p
p \ x
4
h , h5 1 ?p p [ Z 
No intervalo 0 < x , 2p, temos:
 h 5 0 x
4
5
p 
 h 5 1 x
4
5
4
5 1 5
p
p
p 
 h 5 2 x
4
25 1
p
p (não convém)
S
4
, 5
4
5
π π{ }
 
2o modo: 
Para encontrarmos todas as soluções x que estão no intervalo 0 < x , 2p, devemos procurar na circunferência 
trigonométrica todos os valores para a expressão (2x) que estão no intervalo 0 < 2x , 4p.
Nesse intervalo, temos resposta nas duas primeiras voltas:
1
2
π
1 2π
2
π ,
2x 5 p
2
 \ x 5 p
4
ou
2x 5 p
2
 1 2p \ 2x 5 5
2
p \ x 5 5
4
p
S
4
, 5
4
5
π π{ } 
auLa 12 EQuaçÕEs TriGonoMÉTricas
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 22 2/28/14 3:25 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1102 23
ExErcícios
1 Resolva a equação cos x
6
1
π( ) 5 1, no intervalo 0 < x , 2p.
2 Uma empresa prevê que a quantidade demandada de um produto para os próximos 24 meses pode ser de-
terminada por Q(t) 500 240 sen t
6
5 1 ?
?π( ), em que t é dado em meses a partir deste em que estamos (t 5 0) 
e Q(t) é o número de unidades demandadas. Para que valores de t, com 0 < t < 15, a quantidade demandada 
é igual a 620 unidades?
 
 
 
 Leia o exemplos 6 e 7, cap. 5 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 20 a 23, série 5.
 Livro 2 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Faça os exercícios 24 a 27, série 5.
oriEnTação dE EsTudo
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 23 2/28/143:25 PM
24 Matemática – Setor 1102 ALFA 3
Nesta aula, vamos explorar as rela•›es que possibilitam, a partir dos valores de sen a, cos a, sen b e cos b, 
encontrar os valores do seno e do cosseno de (a 1 b) e de (a 2 b).
Observe os exemplos e considere os resultados a seguir:
I. sen (60¡ 1 30¡) 5 sen 90¡ 5 1
 sen 60¡ 1 sen 30¡ 5 
3
2 1 
1
2  1
O seno da soma de dois arcos não é igual à soma dos senos desses arcos.
II. cos (60¡ 1 30¡) 5 cos 90¡ 5 0
 cos 60¡ 1 cos 30¡ 5 
1
2
 1 
3
2  0
O cosseno da soma de dois arcos não é igual à soma dos cossenos desses arcos.
Conhecidos os valores de sen a, cos a, sen b e cos b, s‹o v‡lidas as seguintes rela•›es:
 sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
 sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a
 cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
 cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b
Por exemplo, 
 sen (60¡ 1 30¡) 5 sen 60¡ ? cos 30¡ 1 sen 30¡ ? cos 60¡
 5 
3
2
 ? 
3
2
 1 1
2
 ? 1
2
 
 5 3
4
1
4
1 
 5 1
 cos (60¡ 1 30¡) 5 cos 60¡ ? cos 30¡ 2 sen 60¡ ? sen 30¡ 
 5 1
2
 ? 
3
2
 2 
3
2
 ? 1
2
 
 5 
3
4
 2 
3
4
 5 0
AULA 13 SENO E COSSENO DE (a 1 b) E DE (a 2 b)
EXERCÍCIOS
1 Calcule sen 75°.
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 24 02/02/15 10:59
ALFA 3 Matemática – Setor 1102 25
2 (Vunesp) Para todo x [ R, a expressão cos
2
x sen ( x)π π1 2 2( ) é equivalente a: 
a) cos x
b) zero
c) 2sen x 2 cos x
d) 2 sen x
e) 22sen x
3 Resolvendo em R a equação sen x
4
sen x
4
2
2
1 1 2 5
π π( ) ( ) , obtemos:
a) S x | x
6
h 2 ou x 5
6
h5 5 1 ? 5 1 ?[ R π π π 22 , com hπ [ Z{ } 
b) S x | x
3
h 2 , com h5 5 1 ?[ [R Z± π π{ } 
c) S x | x
6
h 2 , com h5 5 1 ?[ [R Zπ π{ } 
d) S x | x
3
h 2 , com h5 5 1 ?[ [R Zπ π{ } 
e) S x | x
4
h
2
, com h5 5 1 ?[ [R Zπ π{ }
 Leia o item 1 e os exemplos 1 a 4, cap. 6 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 4, série 6.
 Livro 2 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
Tarefa Mínima Tarefa complementar
 Faça os exercícios 8 a 11, série 6.
oriEnTação dE EsTudo
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 25 2/28/14 3:25 PM
26 Matemática – Setor 1102 ALFA 3
Nesta aula, vamos explorar as relações que possibilitam relacionar senos e cossenos de arcos com seus dobros 
ou com suas metades.
Observe os exemplos e considere os resultados a seguir:
I. sen (2 ? 30°) 5 sen 60° 5 
3
2
 
 2 ? sen 30° 5 2 ? 
1
2
 5 1  
3
2
 O seno do dobro de um arco não é igual ao dobro do seno desse arco.
II. cos (2 ? 30°) 5 cos 60° 5 
1
2
 
 2 ? cos 30° 5 2 ? 
3
2
 5 3  
1
2
 O cosseno do dobro de um arco não é igual ao dobro do cosseno desse arco.
Para calcularmos o seno de 2x, temos a seguinte identidade:
sen 2x 5 2 ? sen x ? cos x
De fato, 
 sen 2x 5 sen (x 1 x) 
 5 sen x ? cos x 1 sen x ? cos x 
 5 2 ? sen x ? cos x
Exemplos:
 sen (2 ? 30°) 5 2 ? sen 30° ? cos 30°
 5 2 ? 
1
2
 ? 
3
2
 5 
3
2
 sen 20° 5 2 ? sen 10° ? cos 10°
 sen x 5 2 ? sen x
2
 ? cos x
2
 
Para calcularmos o cosseno de 2x, temos a seguinte identidade:
cos 2x 5 cos2 x 2 sen2 x 
De fato,
 cos 2x 5 cos (x 1 x) 
 5 cos x ? cos x 2 sen x ? sen x 
 5 cos2 x 2 sen2 x
Exemplos:
 cos (2 ? 30°) 5 cos2 30° 2 sen2 30°
 5 3
2
1
2
2 2


 ( )2 
 5 2 5
3
4
1
4
1
2
 cos 20° 5 cos2 10° 2 sen2 10° 
 cos x 5 cos2 x
2
 2 sen2 x
2
auLas 14 e 15 sEno E cossEno dE 2x
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 26 2/28/14 3:25 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1102 27
ExErcícios
1 Sendo sen x 5 3
5
 e 0 , x , p
2
, calcule:
a) sen 2x
b) cos 2x
2 Calculando 2sen3 15° ∙ cos 15° 1 2sen 15° ∙ cos3 15°, 
obtemos:
a) 1 b) c) d) e) 1
2
1
4
3
2
3
4
3 (Unifor-CE) O número de soluções da equação 
sen 2x 5 2sen x, no intervalo 0 < x < 2p, é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4 (Fuvest-SP) O número de raízes da equação 
cos 2x 2 sen x 5 0, no intervalo 0 < x < 2p, é:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
auLa 14
 Leia o item 2 e os exemplos 5 a 7, cap. 6 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 21 a 24, série 6.
auLa 15
 Faça os exercícios 31 a 34, série 6.
auLa 14
 Faça os exercícios 25 a 28, série 6.
auLa 15
 Faça os exercícios 35 a 38, série 6.
 Livro 2 — Unidade 1 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
Tarefa Mínima Tarefa complementar
oriEnTação dE EsTudo
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28 Matemática – Setor 1102 ALFA 3
anoTaçÕEs
019a028_1102_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 28 2/28/14 3:25 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 29
MATEMÁTiCA
Setor 1103
Prof.: ___________________________________
aula 21 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 30
aula 22 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 32
aula 23 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 34
aula 24 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 37
aula 25 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 38
aula 26 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 39
aula 27 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 41
aula 28 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 41
aula 29 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 44
aula 30 ............. AD  ............. TM  .............TC  ............. 45
Setor C
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 29 2/28/14 3:36 PM
30 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
AULA 21 ÁREA DE POLÍGONOS
1 Superfície poligonal
Chama-se superfície poligonal ou região de 
um polígono a união do polígono com seu interior. 
Polígono Superfície poligonal
2 Área de uma Superfície
Chama-se área um número real positivo que mede 
uma superfície em uma determinada unidade. Assim, 
por exemplo, nas figuras seguintes, a área da superfície 
A é maior que a área da superfície B.
A
B
Observe que dois polígonos podem ter perímetros 
iguais, no entanto, suas áreas podem ser diferentes.
5
5
8
8
4 4 1 1
Região A Região B
Percebe-se que a área da região A é maior que a 
área da região B, porém os perímetros dos dois polígo-
nos são iguais a 18.
3 cÁlculo da Área
Para obtermos a área de uma superfície, devemos 
compará-la com outra, tomada como unidade de medida. 
Assim, sendo u a unidade de medida, a área da 
região é igual a 6 u.
4 polígonoS equivalenteS
Dois polígonos são chamados equivalentes quan-
do têm áreas iguais.
5 cÁlculo de ÁreaS
quadrado
a
a
A 5 a2
a: medida do lado
retângulo
b
h
A 5 b ? h
b: medida da base
h: medida da altura
paralelogramo
b
h
A 5 b ? h
b: medida da base
h: medida da altura
Observe que h é a distância entre os lados pa-
ralelos.
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 30 2/28/14 3:36 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 31
triângulo
h h h
b b
b
A
1
2
b h5 ?5 ? b h?b h
b: medida da base
h: medida da altura
trapézio
b
B
h
A
h
2
5
1 ?( )B b( )1 ?( )1 ?B b1 ?B b( )( )1 ?
B: medida da base maior
b: medida da base menor
h: medida da altura
Observe que h é a distância entre as duas bases.
ExERCÍCiOS
1 Na figura, ABCD e EFGH são retângulos. Obtenha 
o valor de x para que o retângulo ABCD seja equi-
valente à região sombreada.
G
FE
H
A B
CD
x
x
x
x x
x
x
x
8 cm
6 cm
2 Na figura abaixo, o ponto O é o centro da circun-
ferência de raio 5 cm. Se AC 5 8 cm, calcule a área 
do triângulo ABC.
A B
C
O
3 Calcule a área do paralelogramo ABCD, sabendo 
que AB 5 2 cm e BC 4 3 cm.5
60°
A B
D C
ORiENTAçãO DE ESTUDO
 Leia o resumo da aula.
 Faça os exercícios 1 a 6, série 13.
 Livro 3 — Unidade I
Caderno de Exercícios 1 — Unidade IV
Tarefa Mínima
Tarefa Complementar
 Leia os itens 2 e 3, cap. 13 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 7 a 14, 16 e 22, série 13.
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 31 2/28/14 3:36 PM
32 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
Se em um triângulo tivermos as medidas de dois lados e a medida do ângulo por eles compreendido, obtemos:
A C
Bc
b
α
A
1
2
b c sen5 ?5 ? ? ?b c? ?b c a
De fato, sendo h a medida da altura relativa ao lado AC, temos:
A C
B
c
b
α
h
H
A
1
2
b h5 ? ? (I)
Mas: nAHB sen
h
c
a 5 \ h 5 c ? sen a	(II)
Substituindo (II) em (I), temos:
A
1
2
b c sen5 ? ? ? a
ExERCÍCiOS
1 Calcule a área do triângulo ABC.
45°
B C
A
4 m
2 m2
AULA 22 ÁREA DE UM TRiÂNGULO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 32 2/28/14 3:36 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 33
2 Calcule a área de um triângulo equilátero de lado ,.
3 Calcule a área de um hexágono regular de lado ,.
4 Calcule a área do triângulo AOB, sabendo que o 
raio da circunferência de centro O mede 4 cm.
15°
A
B
O
 Faça os exercícios 23 a 29, série 13.
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade IV
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Leia o item 4.1, cap. 13 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 30 a 37, série 13.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 33 2/28/14 3:37 PM
34 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
1 Área de um círculo
R
O
A 5 pR2
2 Área de uma coroa circular
R
O
r
A 5 p(R2 2 r2)
3 Área de um Setor circular
Podemos fazer o cálculo por regra de três simples:
1o caso: medida de AB em graus
R
R
O
A
B
α°
Área Arco
	pR2 360°
 A a°
Daí:
A
360
R
2
5 ?5 ?
α
π
2o caso: medida de AB em radianos
R
R
O
A
B
α rad
Área Arco
pR2 2p rad
 A a rad
Daí:
A
R
2
2
5
α
4 Área de um Segmento circular
1o caso: medida de AB menor que 180°
R
R
O
A
B
A 5 Asetor 2 Atriângulo
2o caso: medida de AB maior que 180°
R
R
O
A
B
A 5 Asetor 1 Atriângulo
AULA 23 ÁREA DO CÍRCULO E DE SUAS PARTES
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 34 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 35
exercício resolvido
Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado 
2 3 cm e o ponto O é o centro do círculo inscrito 
e do círculo circunscrito ao triângulo ABC.
A
B C
M
O
a) Calcule a medida da altura AM.
Resolução
A
B C
M
O
32
60°
nABM: sen 60¡ AM
AB
5
3
2
AM
2 3
5
 \ AM 5 3 cm
b) Calcule a área A da região sombreada.
A
B C
M
O
Resolução
Temos:
OM
1
3
AM5 ? \ OM 5 1 cm
A área pedida é a área do triângulo menos a área 
do círculo inscrito.
A
1
2
2 3 2 3 sen 60¡ 1
2
5 ? ? ? 2 ?p
\ A 3 3 cm25 2 π( )
c) Calcule a área A' da região sombreada.
A
B C
M
O
Resolução
Temos:
AO
2
3
AM5 ? \ AO 5 2 cm
A área pedida é a área da circunferência menos a 
área do triângulo.
A' 2
1
2
2 3 2 3 sen 60°
2
5 ? 2 ? ? ?π
∴ A' 4 3 3 cm25 2π( )
ExERCÍCiOS
1 Calcule a área do setor circular sombreado.
6 cm
6 cm
O 60¡
A
B
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 35 2/28/14 3:37 PM
36 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
2 Calcule a área do segmento circular sombreado. 
(Use p 5 3.)
66
O
120°
A B
 Leia os itens 6 a 9, cap. 13 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 39 a 43, série 13.
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade IV
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 44 a 47, série 13.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
3 A figura mostra duas circunferências concêntricas. 
A corda AB da maior mede 8 e é tangente à me-
nor. A área da coroa determinada é:
A
O 8
B
a) 64p
b) 32p
c) 16p
d) 8p
e) 4p
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 36 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 37
ExERCÍCiOS
1 (Mack-SP) No setor circular da figura, a 5 60° e M, 
N e P são pontos de tangência. Se o raio do setor 
é 12, a área do círculo de centro O é:
A B
M
N P
C
O
α
a) 18p
b) 16p
c) 9p
d) 4p
e) 12p
2 Na figura, a circunferência de centro O tem raio r. 
Calcule a área da região sombreada em função de 
r e da medida a em radianos.
A B
C
Or r
α
AULA 24 ÁREA DE UM CÍRCULO E DE SUAS PARTES (ExERCÍCiOS)
 Faça os exercícios 48 a 50, série 13.
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade IV
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 51 a 54, série 13.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 37 2/28/14 3:37 PM
38 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
exercício resolvido
Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado 
2 3 21( ) cm e as circunferências têm raios iguais. 
Se cada uma é tangente às outras duas e a dois 
lados do triângulo, calcule a área de um círculo.
A
B C
Resolução
Observe a figura:
A
B C
30° 30°
M N
r
r r
r
r r
3 1 22
tg 30° r
BM
3
3
r
BM
5 5[
\ BM 3r
3
BM r 3 NC5 5 5[
Então:
r 3 r r r 3 2 3 21 1 1 5 1
2r 3 2r 2 3 21 5 1
2r 3 1 2 3 11 5 1( ) ( ) \ r 5 1
Logo, a área do círculo é p ? 12, ou seja, p cm2.
ExERCÍCiO
A figura mostra uma semicircunferência de centro 
C e um círculo de centro O, tal que M e C são pon-
tos de tangência. Se a área da região sombreada 
é p cm2, o raio do círculo mede, em cm:
a) 1 
b) 1
2
c) 1
4
d) 2
e) 2
A
C
B
M
O
AULA 25 ÁREAS: POLÍGONOS E CÍRCULOS 
 Faça os exercícios 55 a 58, série 13.
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade IV
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 59 a 61 e 65, série 13.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 38 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 39
AULA 26
RAZãO ENTRE ÁREAS DE FiGURAS PLANAS 
SEMELHANTES
razão entre aS ÁreaS de doiS triânguloS SemelhanteS
Como já sabemos, a razão entre as medidas de segmentos homólogos (correspondentes) de dois triângulos 
semelhantes é constante.
Consideremos os triângulos semelhantes ABC e A'B'C' e seja k a razão de semelhança do primeiro para o 
segundo.
h
h'
A A'
b'
C'
B'
B
C
b
Temos: b
b'
h
h'
k5 5
Sendo A
1
 a área do primeiro e A
2
 a área do segundo, a razão entre essas áreas é:
A
A
1
2
b h
1
2
b' h'
1
2
5
? ?
? ?
\ 
A
A
b h
b' h'
1
2
5
?
?
 5 b
b'
h
h'
?
\ 
A
A
k k
1
2
5 ?
\ 
A
A
k
1
2
2
5
Nota: Como consequência, pode-se provar que, se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre as 
suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.
A
B
C
D
E E'
D'
C'B'
A'
Se a razão de semelhança do polígono ABCDE para o polígono A'B'C'D'E' é k, então:
Área (ABCDE)
Área (A'B'C'D'E')
k25
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40 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
ExERCÍCiOS
1 Se a razão entre as áreas de dois octógonos regulares é 1
25
 e a medida de um lado do octógono maior é 10 cm, 
então a medida de um lado do menor é:
a) 1 cm b) 2 cm c) 5 cm d) 2,5 cm e) 50 cm
2 A figura ilustra um terreno plano ABC com forma triangular, tal que a distância de A até a reta BC
s ruu
 é 40 metros. A 
que distância de A devemos traçar uma divisória retilínea r paralela à BC
s ruu
 para que a área do lote ADE seja a terça 
parte da área do lote DECB?
A
D E
B C
40
r
 Leia o item 10, cap. 13.
 Faça os exercícios 67 a 70, série 13.
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade IV
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 71 a 74, série 13.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 40 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 41
1 definição e termo geral
A sequência (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) é uma progressão aritmética (PA) se cada termo, a partir do segundo, é igual 
ao anterior somado a uma constante chamada razão (r).
Assim, dados a
1
 e r, temos:
a
n
 5 a
n 2 1
 1 r
ou ainda,
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1) ? r
Também podemos concluir que:
a
n
 5 a
p
 1 (n 2 p) ? r
Assim, por exemplo: 
a
10
 5 a
3
 1 7 ? r
2 propriedadeS
P
1
. Média aritmética
Se (a, b, c) é PA, então:
2b 5 a 1 c
De fato, pois b 2 a 5 c 2 b (razão) e, assim, 2b 5 a 1 c.
P
2
. Termos equidistantes dos extremos
Se (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n 2 2
, a
n 2 1
, a
n
) é PA, então:
a
1
 1 a
n
 5 a
2
 1 a
n 2 1
 5 a
3
 1 a
n 2 2
 5 …
De fato, basta transferir uma razão de um termo para outro.
a
1
 1 a
n
 5 a
1
 1 a
n 2 1
 1 r 5 a
2
 1 a
n 2 1
, etc.
3 notaçõeS eSpeciaiS
pa de 3 termos
(x 2 r, x, x 1 r) 
pa de 5 termos
(x 2 2r, x 2 r, x, x 1 r, x 1 2r) 
AULAS 27 e 28 PROGRESSãO ARiTMÉTiCA (PA)029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 41 2/28/14 3:37 PM
42 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
ExERCÍCiOS
1 No mês de férias, Pedro resolveu melhorar seu condicionamento físico. Para isso, decidiu correr 200 metros 
no primeiro dia e 100 metros a mais a cada dia seguinte. Se ele for capaz de cumprir esse treino, no trigésimo 
dia, ele correrá:
a) 3 000 metros b) 3 100 metros c) 3 200 metros d) 3 300 metros e) 2 900 metros
2 Obtenha o valor de x para que a sequência (x 2 5, x2 1 x, 2x2 2 7) seja uma progressão aritmética.
3 Em uma progressão aritmética, a soma do sétimo termo com o décimo segundo é igual a 37, e a soma do 
quarto termo com o oitavo é igual a 16. A razão dessa progressão é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 42 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 43
4 Determine o número de múltiplos de 2 e 3 que estão compreendidos entre 100 e 200.
5 Três números em PA têm soma igual a 21, e o produto do primeiro pelo terceiro é igual a 24. A diferença 
entre o maior e o menor é:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
AULA 27
 Leia os itens 1 e 2 e os exemplos 1 a 3, cap. 11 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 5, série 14.
AULA 28
 Faça os exercícios 11 a 13, série 14.
 Livro 1 — Unidade III 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 27
 Faça os exercícios 6 a 10, série 14.
AULA 28
 Faça os exercícios 14 a 16, série 14.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 43 2/28/14 3:37 PM
44 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
AULA 29 SOMA DOS n PRiMEiROS TERMOS DE UMA PA
Seja S
n
 a soma dos n primeiros termos de uma PA:
S
n
 5 a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 … 1 a
n 2 2 
1 a
n 2 1
 1 a
n
Podemos escrever:
S
n
 5 a
n
 1 a
n 2 1
 1 a
n 2 2
 1 … 1 a
3
 1 a
2
 1 a
1
Somando as duas igualdades membro a membro:
2 ? S
n
 5 (a
1
 1 a
n
) 1 (a
2
 1 a
n 2 1
) 1 (a
3
 1 a
n 2 2
) 1 … 1
1 (a
n
 1 a
1
)
Pela propriedade dos termos equidistantes dos 
extremos, temos:
2 ? S
n
 5 (a
1
 1 a
n
) ? n \ 
S
n
2
n
5
1 ?( )a a( )
1 n
( )a a
1 n
a a( )( )
1 n
1 ?( )1 ?a a1 ?a a( )1 ?
1 n
1 ?( )( )1 ?a a
1 n
1 ?a a1 ?
1 n
( )
1 n
a a1 ?1 ?
1 n
ExERCÍCiOS
1 Na PA (25, 21, 17, …), a soma dos 10 primeiros 
termos é igual a:
a) 70
b) 80
c) 120
d) 140
e) 160
2 Calcule a soma dos n primeiros números pares não 
negativos.
3 Em uma PA, a soma dos n primeiros termos é
n2 1 3n, n [ N*.
a) Obtenha a
1
 e r.
b) Obtenha a
5
.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
 Leia o item 4 e os exemplos 4 a 6, cap. 11 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 25 a 28, série 14.
 Livro 1 — Unidade III
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima
Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 29 a 33, série 14.
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 44 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Matemática – Setor 1103 45
AULA 30 PROGRESSãO GEOMÉTRiCA (PG)
1 definição e termo geral
A sequência (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) é uma progressão geométrica (PG) se cada termo, a partir do segundo, é 
igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão (q).
Assim, dados a
1
 e q, temos:
a
n
 5 a
n 2 1
 ? q
ou ainda,
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1
Também podemos concluir que:
a
n
 5 a
p
 ? qn 2 p
Assim, por exemplo: a
10
 5 a
9
 ? q, a
10
 5 a
1
 ? q9, a
10 
5 a
3
 ? q7, etc.
2 propriedadeS
P
1
. Média geométrica
Se (a, b, c) é PG, então:
b2 5 a ? c
De fato, pois b
a
c
b
5 (razão) e, assim, b2 5 a ? c.
P
2
. Termos equidistantes dos extremos
Se (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n 2 2
, a
n 2 1
, a
n
) é PG, então:
a
1
 ? a
n
 5 a
2
 ? a
n 2 1
 5 a
3
 ? a
n 2 2
 5 …
De fato, basta transferir uma razão de um termo para outro.
a
1
 ? a
n
 5 a
1
 ? a
n 2 1
 ? q 5 a
2
 ? a
n 2 1
, etc.
3 notaçõeS eSpeciaiS
pg de 3 termos
x
q
, x, x q?
pg de 5 termos
x
q
, xq , x, x q, x q2
2
? ?q,? ?x q? ?x q
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46 Matemática – Setor 1103 ALFA 3
ExERCÍCiOS
1 O oitavo termo da PG (3, 6, 12, …) é igual a:
a) 512
b) 1 024
c) 384
d) 256
e) 768
2 Qual é a razão da PG (a
1
, a
2
, …) em que a 1
4
1
5 e 
a
5
 5 4, sendo que todos os seus termos são reais?
a) 2
b) 1
2
c) 22
d) ±2
e) ± 1
2
3 Em uma PG, o quinto termo é 3 e razão é 3 . O 
nono termo vale:
a) 6
b) 27
c) 18
d) 81
e) 24
4 Determine x de modo que 2x, 2x 1 2, 22x 1 1 constituam, 
nesta ordem, uma PG.
 Leia o item 7 e os exemplos 9 e 10, cap. 11 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 4, série 15.
 Livro 1 — Unidade III 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
 Faça os exercícios 5 a 10, série 15.
ORiENTAçãO DE ESTUDO
029a046_1103_MATEMATICA_CA3_ROSA.indd 46 2/28/14 3:37 PM
ALFA 3 Física – Setor 1201 47
FíSICA
Setor 1201
Prof.: ___________________________________
aula 21 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 48
aula 22 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 48
aula 23 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 51
aula 24 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 51
aula 25 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 53
aula 26 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 53
aula 27 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 55
aula 28 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 55
aula 29 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 57
aula 30 .............AD h .............TM h .............TC h ............. 57
Setor A
047a058_1201_FISICA_CA3_ROSA.indd 47 2/28/14 6:37 PM
48 Física – Setor 1201 ALFA 3
AULAS 21 e 22 O PROBLEMA DO ELEVADOR E SUAS CONSEQUÊNCIAS
PESO E NORMAL
 O peso de um corpo é a força de campo com que a Terra ou outro astro o atrai. Depende da massa do 
corpo e da aceleração local da gravidade.
 O peso é resultado da interação entre o corpo e a Terra.
 A normal é a força de contato trocada entre o corpo e o apoio.
 A normal é a interação entre o corpo e o apoio.
 Apesar destas diferenças, é a normal que nos dá a sensação de peso.
ExERCíCIOS
1 Num local onde g 5 10 N/kg, um corpo de massa M 5 50 kg está apoiado no piso do elevador. Determine 
a intensidade da força que o corpo troca com o piso nos seguintes casos:
O elevador está
a) em repouso. 
b) subindo, em movimento uniforme, com velocidade 2 m/s.
c) descendo, em movimento uniforme, com velocidade 2 m/s.
d) subindo, em movimento acelerado, com aceleração 2 m/s2.
e) descendo, em movimento retardado, com aceleração 2 m/s2.
f) subindo, em movimento retardado, com aceleração 2 m/s2.
g) descendo, em movimento acelerado, com aceleração 2 m/s2.
h) descendo, em movimento acelerado, com aceleração |a| 5 g 5 10 m/s2.
M
047a058_1201_FISICA_CA3_ROSA.indd 48 2/28/14 6:37 PM
ALFA 3 Física – Setor 1201 49
2 Se a indicação do dinamômetro de grande sensibilidade, graduado em newtons, que está no piso de um 
foguete, é nula quando colocamos sobre ele um corpo de massa 4 kg, estão corretas as afirmações:
 I. O foguete pode estar se movimentando em um local sem gravidade em qualquer tipo de movimento.
 II. Se o foguete está se movimentando em um local sem gravidade, seu movimento é certamente retilíneo 
uniforme.
III. Se o foguete está se movimentando em um local com gravidade (não nula) seu movimento é certamente 
retilíneo uniforme.
IV. Se o foguete está se movimentando em um local com gravidade (não nula) sua aceleração é igual ao 
campo gravitacional local.
ORIENtAçãO DE EStUDO
AULA 21
 Leia o exercício resolvido 3 do item 8, cap. 6 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 25, 30, 32 e 35, série 5
AULA 22
 Leia o Texto extra.
 Faça os exercícios 27, 31, 33 e 38, série 5.
 Livro 1 — Unidade II 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
tarefa Mínima tarefa Complementar
AULA 22
 Faça os exercícios 28, 29, 34, 37, 40 e 41, série 5.
047a058_1201_FISICA_CA3_ROSA.indd49 2/28/14 6:37 PM
50 Física – Setor 1201 ALFA 3
tExtO ExtRA
Imponderabilidade e sensação de peso
Todos já viram fotos de pessoas e objetos flutuando no interior de uma sala, como se estivessem sem 
peso. Quando essas fotos são tiradas na superfície da Terra, é comum a explicação de que o fenômeno 
ocorreu em um laboratório da Nasa, no qual a gravidade é nula.
Essa não é a explicação correta.
As pessoas estão no interior de um avião temporariamente em queda livre. Como em queda livre os 
corpos adquirem a mesma aceleração (g), não apresentam tendência de aproximação ou de separação 
entre si, podendo permanecer em qualquer ponto do avião sem precisar se apoiar no piso ou em qual-
quer outro corpo, parecendo estar em um local sem gravidade. Tudo se passa como se o corpo estivesse 
flutuando num local onde não existisse gravidade. Esse estado denomina-se imponderabilidade.
Uma pessoa em estado de imponderabilidade se sente sem peso. Sente seus órgãos internos flutuan-
do, como se também não tivessem peso. Pode encolher as pernas, virar de cabeça para baixo, erguer 
um objeto de grande peso, enfim, realizar qualquer proeza que realizaria em um lugar sem gravidade.
Se deixar um objeto cair, o objeto adquire uma aceleração g, que é a mesma da pessoa. Portanto 
em relação a ela, o objeto não cai, como se estivesse em um local sem gravidade.
Em estado de imponderabilidade, duas pessoas com diferentes pesos têm exatamente a mesma 
sensação: de falta de peso. Portanto, não é o peso que dá a sensação de peso.
Não vivemos em queda livre, e sim apoiados em um plano horizontal.
No caso do corpo apoiado, a única força que age além do peso é a normal. Logo, deve ser ela que 
dá a sensação de peso. O fato de nos sentirmos grudados no apoio, tentando penetrar nele, é que dá 
a sensação de achatamento, que classificamos como a sensação de peso. Vejamos com detalhes o que 
acontece.
Sabemos que o corpo apoiado sobre um plano horizontal troca com o apoio uma força normal. O 
corpo recebe do apoio uma normal e aplica no apoio uma normal.
Suponha que sua mão esteja entre um objeto pesado e o apoio. Você vai senti-la achatada pela ação 
conjunta de duas normais: a que é aplicada pelo apoio e a aplicada pelo objeto pesado. Esse achatamento 
dá a sensação de peso do objeto.
Podemos associar uma pessoa a uma pilha de corpos. A cabeça está apoiada no pescoço, que por 
sua vez está apoiado no tronco, que está apoiado nas pernas, que estão apoiadas no piso. Cada corpo 
da pilha fica sob ação de duas normais: uma aplicada pelo corpo de cima e outra aplicada pelo corpo 
de baixo. Por exemplo, o pescoço está sob a ação de uma normal aplicada pela cabeça e outra aplicada 
pelo tronco. Esse par de normais comprime o pescoço dando a sensação de cabeça pesada.
A normal aplicada pelo apoio pode causar achatamento na região de contato. É comum a reclama-
ção do achatamento das nádegas quando se passa sentado um tempo muito grande. Essa deformação 
é causada pela normal aplicada pelo assento na nádega. Em tempo: isso não pode servir de desculpa 
para não estudar. A deformação é passageira.
Conclusões:
 Não temos a sensação de nosso próprio peso.
 Sentir-se pesado é sentir-se achatado.
 Quem dá a sensação de achatamento e, portanto, de peso é a normal.
ANOtAçÕES
047a058_1201_FISICA_CA3_ROSA.indd 50 2/28/14 6:37 PM
ALFA 3 Física – Setor 1201 51
AULAS 23 e 24 PLANO INCLINADO
Recordando o que já foi estudado: se, em uma determinada situação, a direção e o sentido da aceleração de 
um corpo são conhecidos, então:
 A soma das forças – ou de suas componentes – na direção e no sentido da aceleração é igual ao produto da 
massa pela aceleração.
 A soma das forças – ou de suas componentes – na direção perpendicular à da aceleração é nula.
ExERCíCIOS
1 Um corpo de massa m escorrega por um plano inclinado sem atrito. O ângulo entre o plano inclinado e o 
plano horizontal é θ e a intensidade do campo gravitacional local é g.
a) Assinale as forças que agem sobre o corpo;
b) Determine a intensidade da força normal aplicada pelo apoio sobre o corpo;
c) Determine a aceleração do corpo.
θ
30ºa
b
c d
e
Aquecimento:
Sendo: a//e; c'a; d'b
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52 Física – Setor 1201 ALFA 3
2 Sobre um bloco prismático de massa M repousa um corpo de massa m de pequenas dimensões. Despre-
zando-se eventuais atritos e resistência do ar, determine:
a) A aceleração horizontal a que deve ter o prisma para que o corpo apoiado se mantenha em repouso em 
relação a ele.
b) a intensidade da força F para que se consiga o proposto no item a.
60º
90º
30º
M
m
F
→
ORIENtAçãO DE EStUDO
AULA 23
 Faça os exercícios 26, 28, 31 e 23, série 6.
AULA 24
 Faça os exercícios 22, 30, 33 e 34, série 6.
 Livro 1 — Unidade II 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
tarefa Mínima tarefa Complementar
AULA 24
 Faça os exercícios 27, 29, 32, 35 e 36, série 6.
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ALFA 3 Física – Setor 1201 53
AULAs 25 e 26 CinemátiCA do mCU: Corpo rígido em rotAção e ACopLAmento de poLiAs
Grandezas Definições e fórmulas
Período (T) Tempo gasto em uma volta
Frequência (f) Número de voltas na unidade de tempo
Velocidade angular (ω) ω 5 
Dw
Dt
, sendo φ a posição angular
Velocidade angular em rad/unidade de tempo ω 5 2
T
π 5 2πf
Relação entre velocidade escalar (V) e angular (ω) ω 5 V
r
, sendo r o raio da curva
exerCíCios
1 (Ufscar-SP) No site <www.agespacial.gov.br>, da Agência Espacial Brasileira, aparece a seguinte informação:
O Centro de Lançamento de Alcântara (CLA) vem sendo construído desde a década de 80 e está atualmente prepa-
rado para lançar foguetes de sondagem e veículos lançadores de satélites de pequeno porte. Localizado na costa do 
Nordeste brasileiro, próximo ao Equador, a posição geográfica do CLA aumenta as condições de segurança e permite 
menores custos de lançamento.
Polo Norte
Polo Sul
θ
Um dos fatores determinantes dessa redução de custos se deve à inércia do movimento de rotação da Terra. 
Graças a essa inércia, o veículo lançador consome menos energia para fazer com que o satélite adquira a 
sua velocidade orbital.
Isso ocorre porque, nas proximidades do Equador, onde se encontra o CLA,
a) a velocidade tangencial da superfície da Terra é maior do que em outras latitudes.
b) a velocidade tangencial da superfície da Terra é menor do que em outras latitudes.
c) a velocidade tangencial da superfície da Terra é igual à velocidade orbital do satélite.
d) a aceleração da gravidade na superfície da Terra é menor do que em outras latitudes.
e) a aceleração da gravidade na superfície da Terra é maior do que em outras latitudes.
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54 Física – Setor 1201 ALFA 3
2 (Fuvest-SP) Duas polias de raios a e b estão acopladas entre si por meio de uma correia, como mostra a figura. 
A polia maior, de raio a, gira em torno de seu eixo levando um tempo T
A
 para completar uma volta.
P
a
b
Supondo que não haja deslizamento entre as polias e a correia, calcule:
a) a velocidade angular da polia de raio a.
b) o módulo V da velocidade do ponto P da correia.
c) a velocidade angular da polia de raio b.
d) o tempo T
B
 que a polia menor leva para dar uma volta completa.
ORIENtAçãO DE EStUDO
AULA 25
 Leia o item 1 até “Propriedades dos Gráficos”, 
cap. 3 do Livro-texto.
 Leia os itens 3 e 4, cap. 3 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 1, 4 a 6 e 8, série 4.
AULA 26
 Faça os exercícios 9, 10, 12 e 13, série 4.
 Livro 1 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade I
tarefa Mínima tarefa Complementar
AULA 26
 Faça os exercícios 11, 14 a 16 e 18, série 4.
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ALFA 3 Física – Setor 1201 55
A resultante das forças que agem sobre um corpo 
de massa m que percorre uma trajetória de raio r com 
velocidade escalar V apresenta as seguintes caracte-
rísticas:
R
intensidade:
mV
r
m r
Direção: PerpC
2
2
ur
5 ? ?ω
eendicular a V. Radial.
Sentido: Para o centro
ur
da curva








ExErcícios
1 Um corpo de massa m 5 0,2 kg está apoiado sobre 
um plano horizontal sem atrito e preso por meio 
de um fio a um corpo de massa M como se indica 
na figura. Observa-se que o fio passa por um furo 
feito no apoio. O corpo de massa m é colocado 
para se movimentar, de modo a percorrer uma tra-
jetória circular de raio 0,50 m, com uma frequência 
de 600 rpm.
Determinar a massa (M) do corpo pendurado de 
modo que ele se mantenha em equilíbrio enquan-
to o corpo de massa 0,2 kg mantém-se em traje-
tória circular. Desprezar eventuais atritos. Adotar 
π
2 5 10.
M
AULAs 27 e 28 DiNÂMicA Do McU No PLANo HoriZoNTAL
2 Um pêndulo de massa 2 kg efetua um movimento 
circular e uniforme em torno do centro C, suspen-
so por um fio ideal de comprimento 2 m. Sendo a 
aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e o ângulo 
que o fio forma com a vertical igual a α (sen α 5 
5 0,6; cos α 5 0,8), determine:
α
a) o raio da curva descrita.
b) a intensidade da força de tração.
c) a intensidade da resultante.
d) a velocidade escalar do corpo.
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56 Física – Setor 1201 ALFA 3
3 Um carro percorre uma pista com a forma de um tronco de cone com raio r e inclinação constante θ em relação à 
horizontal. O motorista declara que existe uma certa velocidade V que permite que o carro faça a curva sem que 
ele, o motorista, vire a direção.
a) Se você não acredita que isso seja possível, escreva: o motorista mentiu.
b) Se você acredita que isso seja possível, determine V em função de r, g e θ.
c) Supondo que o carro, percorrendo a pista com a velocidade calculada no item anterior, passasse por uma 
mancha de óleo na pista, podemos garantir que:
 I. o carro escorregaria para fora da curva;
 II. o carro escorregaria para dentro da curva;
 III. o carro não escorregaria nem para fora nem para dentro da curva.
r
θ
ORIENtAçãO DE EStUDO
AULA 27
 Leia o exercício resolvido 5 do item 8, cap. 6 do 
Livro-texto.
 Faça os exercícios 28 a 33, série 7.
AULA 28
 Faça os exercícios 34, 39 e 40, série 7.
 Livro 1 — Unidade II 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
tarefa Mínima tarefa Complementar
AULA 28
 Faça os exercícios 41 a 44, série 7.
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ALFA 3 Física – Setor 1201 57
AULAS 29 e 30
DINÂMICA DO MOVIMENtO CIRCULAR 
NO PLANO VERtICAL
ExERCíCIOS
1 Uma esfera de massa m presa por um fio a um ponto fixo (0) é abandonada em uma posição na qual o fio está 
inclinado de um ângulo α em relação à vertical. Considere o instante em que o corpo passa pela posição na qual 
o fio está inclinado de um ângulo θ em relação à vertical (0 < θ < α) mostrada nas figuras, vindo da esquerda. 
Pede-se:
a) representar na figura a todas as forças que agem no corpo, desprezando-se a resistência do ar.
b) representar na figura b a velocidade do corpo e classificar o movimento.
c) representar na figura c a resultante das forças que agem sobre o corpo.
d) representar na figura d a aceleração bem como suas componentes tangencial e centrípeta.
a) 
c) 
b) 
α
θ
O
d) 
2 Uma esfera de massa m presa por um fio a um ponto fixo (O) é abandonada em uma posição na qual o fio está 
horizontal e esticado. Determinar, desprezando-se a resistência do ar, a intensidade da força de tração no instante 
em que o fio fica vertical.
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58 Física – Setor 1201 ALFA 3
3 A pista da figura, mostrada em corte por um plano vertical, é constituída de um trecho retilíneo (A
T
) em 
concordância com um trecho circular (T
F
) de raio r. Não há atritos a considerar e despreza-se a resistência 
do ar. Adotar g 5 10 m/s2. Nessas condições,
a) se um corpo é abandonado em C podemos garantir que ele atinge o ponto E?
b) se um corpo é abandonado em B podemos garantir que ele atinge o ponto F?
c) Se você respondeu negativamente à pergunta anterior, determine a mínima altura do ponto A da qual 
deve ser abandonado o corpo para que atinja o ponto F.
A
B
C
D
E
F
T
h
ORIENtAçãO DE EStUDO
AULA 29
 Faça os exercícios 47, 49, 53 e 55, série 7.
AULA 30
 Faça os exercícios 50, 58 e 61, série 7.
 Livro 1 — Unidade II 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade II
tarefa Mínima tarefa Complementar
AULA 30
 Faça os exercícios 62, 63, 67, 69 e 72, série 7.
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ALFA 3 Física – Setor 1202 59
FíSICA
Setor 1202
Prof.: ___________________________________
aula 21 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 60
aula 22 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 60
aula 23 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 63
aula 24 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 63
aula 25 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 66
aula 26 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 66
aula 27 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 69
aula 28 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 69
aula 29 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 73
aula 30 ............. AD h ............. TM h .............TC h ............. 73
Setor B
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60 Física – Setor 1202 ALFA 3
AULAS 21 e 22 GERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
1 balanço de energia em uma usina de geração de energia elétrica
Energia não elétrica Usina
Energia elétrica
Energia dissipada
2 exemplos de usinas de geração de energia elétrica
Usinas de geração de energia elétrica
Exemplos de Usinas
Energia total ou 
consumida
Solar
Térmica
Mecânica dos 
ventos (eólica)
T
o
m
 G
r
u
n
d
y
/s
h
u
T
T
e
r
s
T
o
c
k
m
ik
h
a
il
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b
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c
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T
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p
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h
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T
T
e
r
s
T
o
c
k
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ALFA 3 Física – Setor 1202 61
3 geração de energia no brasil
Fonte: Atlas de energia elétrica no Brasil – Aneel
Empreendimentos em operação
Tipo Quantidade Potência outorgada (kW) %
Central geradora hidrelétrica 227 120 009 0,11
Central geradora eolétrica 17 272 650 0,26
Pequena central hidrelétrica 320 2 399 598 2,29
Central geradora solar fotovoltaica 1 20 0
Usina hidrelétrica de energia 159 74 632 627 71,20
Usina termelétrica de energia 1 042 25 383 920 24,22
Usina termonuclear 2 2 007 000 1,92
Total 1 768 104 815 824 100
4 esquemas das principais usinas de geração de energia elétrica
usina hidrelétrica
Potência hidráulica (total ou consumida)

hidráulica
 5 d ? Z ? g ? h
d: densidade da água ([d] 5 kg/m3)
Z: Vazão ([Z] 5 m3/s)
g: intensidade do campo gravitacional local ([g] 5 m/s2)
h: desnível ([h] 5 m)
usina termelétrica 
Bomba
Turbina
Condensador
Gerador
Torre de
resfriamento
 
usina termonuclear
Bomba
Bomba
Turbina
Condensador
Gerador
Estrutura de contenção
Reator
Caldeira
Torre de
resfriamento
h
Turbina
Gerador
Reservatório
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62 Física – Setor 1202 ALFA 3
ExERCíCIOS
1 No Brasil, cerca de 74% de toda energia elétrica 
é devida às usinas hidrelétricas. A maior delas, a 
usina de Itaipu, possui 20 turbinas geradoras de 
energia e um desnível de 120 m. A vazão em cada 
um das turbinas é de 700 m3/s. Para se ter ideia da 
grandiosidade da obra, em Itaipu foi utilizado con-
creto equivalente ao que seria utilizado em 210 es-
tádios de futebol como o Maracanã. Em 2012, Itaipu 
gerou 82 milhões de megawatt-hora e desenvol-
veu potência útil média de 11 200 MW. Admitindo 
g 5 10 N/kg e a densidade da água 103 kg/m3, 
pede-se:
a) a potência hidráulica total de Itaipu em MW.
b) o rendimento de Itaipu utilizando-se os dados 
fornecidos do ano de 2012.ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
AULA 21
 Faça os exercícios 27 e 29, série 4.
AULA 22
 Faça o exercício 5, série 4.
 Caderno de Exercícios 1 — Unidade III
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 21
 Faça os exercícios 30 a 32, série 4.
AULA 22
 Faça os exercícios 6 e 7, série 4.
2 Painéis fotovoltaicos podem transformar energia 
radiante do Sol em energia elétrica. Considere um 
painel com 10 m² de área operando com rendimen-
to de 12%, num local onde a incidência solar média 
é de 1 000 W/m².
a) Qual a quantidade de energia elétrica, em kWh, 
disponibilizada pelo painel numa exposição de 
1 h, sob a incidência solar média mencionada?
b) Sendo esse painel utilizado como fonte de ali-
mentação de energia elétrica residencial, qual 
sua contribuição, em kWh, num mês de 30 dias 
com exposição de 5 h por dia, sob a insolação 
solar média mencionada?
059a076_1202_FISICA_CA3_ROSA.indd 62 2/28/14 1:47 PM
ALFA 3 Física – Setor 1202 63
1 TEMPERATURA
Grandeza escalar relacionada à energia cinética 
média das partículas que compõem o corpo. Quanto 
maior a energia cinética média das partículas, maior a 
temperatura do corpo.
2 ESCALAS TERMOMÉTRICAS USUAIS
Ponto de
vapor
Ponto de
gelo
K°C °F
100
θ
C
0
212
θ
F
32
373
T
273
p 5 1 atm
θ θ
C F
5
32
9
T 273
5
∆θ 5 1 °C 5 1 K 5 1,8 °F
3 ENERGIA TÉRMICA DE UM CORPO (ε
T
)
Corresponde ao total de energia cinética das par-
tículas que compõem o corpo.
ε
T
 5 Σ ε
C
4 CALOR
É a energia térmica trocada entre sistemas (con-
junto de corpos), devido, exclusivamente, ao fato de 
esses sistemas apresentarem temperaturas diferentes.
Espontaneamente, o calor se transfere do siste-
ma com maior temperatura para o sistema de menor 
temperatura.
θ
A
θ
B 
� θ
A
Calor
A B
5 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR
Irradiação
Convecção
Condução
Condução
É a transferência de calor por meio de colisões entre 
as partículas. No interior dos sólidos, a transferência de 
calor ocorre, preferencialmente, por condução.
Calor
Na condução de calor, não há transporte de matéria.
Convecção
É a transferência de energia térmica que ocorre 
devido à movimentação de um fluido (gás ou líquido), 
provocada pela diferença de densidades. Em geral, a 
porção mais quente do fluido apresenta menor densi-
dade, tendendo a ocupar a região superior.
Porção quente sobe
Porção fria desce
auLas 23 e 24
teMPeratura e esCaLas terMOMÉtriCas. 
CaLOr e seus MeCanisMOs de transFerÊnCia
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64 Física – Setor 1202 ALFA 3
Irradia•‹o
É a transferência de calor por meio de ondas eletromagnéticas.
Como n‹o h‡ corpos abaixo de zero kelvin, pode-se afirmar que qualquer corpo troca calor com o ambiente por irradia•‹o.
eXerCÍCiOs
1 (AFA-SP Ð Adaptada) Dois term™metros idênticos, cuja subst‰ncia termométrica é o ‡lcool et’lico, um deles 
graduado na escala Celsius e o outro graduado na escala Fahrenheit, est‹o sendo usados simultaneamente 
por um aluno para medir a temperatura de um mesmo sistema f’sico no laborat—rio de sua escola.
Nessas condi•›es, pode-se afirmar corretamente que:
a) os dois term™metros nunca registrar‹o valores numéricos iguais.
b) quando o term™metro graduado em Celsius mostrar uma varia•‹o de 5 unidades, o term™metro em 
Fahrenheit indicar‡ uma varia•‹o de 9 unidades.
c) a altura da coluna l’quida ser‡ igual nos dois term™metros, porém com valores numéricos sempre 
diferentes.
d) a altura da coluna l’quida ser‡ diferente nos dois term™metros.
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ALFA 3 Física – Setor 1202 65
2 (UFMG) Atualmente, a energia solar está sendo muito utilizada em sistemas de aquecimento de água. Nesses 
sistemas, a água circula entre um reservatório e um coletor de energia solar. Para o perfeito funcionamento 
desses sistemas, o reservatório deve estar em um nível superior ao do coletor, como mostrado nesta figura:
Reservat—rio
Coletor de
energia solar
No coletor, a água circula através de dois canos horizontais ligados por vários canos verticais. A água fria sai 
do reservatório, entra no coletor, onde é aquecida, e retorna ao reservatório por convecção.
A seguir, nas quatro alternativas, estão representadas algumas formas de se conectar o reservatório ao co-
letor. As setas indicam o sentido de circulação da água.
Assinale a alternativa em que estão corretamente representados o sentido da circulação da água e a forma 
mais eficiente para se aquecer toda a água do reservatório.
 a) b) c) d)
Reservatório
Coletor
Reservatório
Coletor
Reservatório
Coletor
Reservatório
Coletor
OrientaçãO de estudO
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 – Unidade VI
tarefa Mínima tarefa Complementar
auLa 23
 Leia os itens 1 e 2, cap. 1 do Livro-texto.
 Leia os itens 1 a 6, cap. 2 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 3, série 1.
auLa 24
 Leia a introdução e o item 3 até a Leitura Comple-
mentar (inclusive), cap. 3 do Livro-texto.
 Faça os exercícios 9 a 12, série 1.
auLa 23
 Faça os exercícios 4 a 6, série 1.
auLa 24
 Faça os exercícios 14, 15, 16, 20 e 21, série 1.
059a076_1202_FISICA_CA3_ROSA.indd 65 2/26/15 11:06 AM
66 Física – Setor 1202 ALFA 3
1 Para os sólidos
Temperatura: θ
Temperatura: θ
0
Área: S
0
Área: S
Volume: V
0
Volume: V
,
0
,
2 Para os líquidos
Temperatura: θ
0 Temperatura: θ
Volume transbordado
DV
líquido
 5 DV
recipiente
 1 DV
transbordado
DV
real
 5 DV
recipiente
 1 DV
aparente
3 dilatação anômala da água
V
0
V
min
0 4 θ (°C)
V (cm3)
Gelo
Gelo
0,0097
0
0,0096
0,0098
0,0099
1,0000
2 864 10 θ (°C)
d (g/cm3)
b 5 2 ? a e g 5 3 ? a
Superficial
DS 5 S
0
 ? b ? Dq
Linear
D, 5 ,
0
 ? a ? Dq
Volumétrica
DV 5 V
0
 ? g ? Dq
AULAs 25 e 26 DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO TÉRMICA
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ALFA 3 Física – Setor 1202 67
ExERCíCIOS
1 (UFPB) Os materiais utilizados na construção civil são escolhidos por sua resistência a tensões, durabilidade 
e propriedades térmicas como a dilatação, entre outras. Rebites de metal (pinos de formato cilíndrico), de 
coeficiente de dilatação linear 9,8 ? 1026 °C21, devem ser colocados em furos circulares de uma chapa de ou-
tro metal, de coeficiente de dilatação linear 2,0 ? 1025 °C21. Considere que, à temperatura ambiente (27 °C), 
a área transversal de cada rebite é 1,00 cm2 e a de cada furo, 0,99 cm2. A colocação dos rebites, na chapa 
metálica, somente será possível se ambos forem aquecidos até, no mínimo, a temperatura comum de: 
a) 327 °C
b) 427 °C
c) 527 °C
d) 627 °C
e) 727 °C
2 (UFOP-MG) Um recipiente, cujo volume é exatamente 1 000 cm3, à temperatura de 20 °C, está completamente 
cheio de glicerina a essa temperatura. Quando o conjunto é aquecido até 100 °C, são entornados 38,0 cm3 
de glicerina.
Dado: coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina 5 0,5 ? 1023 ºC21
Calcule:
a) a dilatação real da glicerina;
b) a dilatação do frasco;
c) o valor do coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente. 
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68 Física – Setor 1202 ALFA 3
3 O gráfico a seguir mostra como varia o volume interno de um recipiente de vidro e o volume de uma porção 
de água, em função da temperatura.
0 4 10 Temperatura (°C)
Volume
Água
Recipiente
Considere que 200 mL de água, a 4 °C, foram colocadas no recipiente de vidro, também a 4 °C, de capaci-
dade 200 mL.
Com relação a essa situação, são feitas algumas afirmações.
 I. Se aquecermos o conjunto a 14 °C e 0,4 mL de água transbordar, o coeficiente de dilatação volumétrica 
da água será maior que 2 ? 1024 °C21.
 II. Ao resfriar o conjunto a 2 °C, sobrará um espaço vazio entre o limite superior do recipiente e a superfície 
livre da água.
 III. Para água líquida, a qualquer outra temperatura diferente de 4 °C, a água transbordará do recipiente.
 IV. Para temperaturas superiores a 4 °C, o coeficiente de dilatação volumétrica da água é constante.
Assinale a opção correta.
a)Nenhuma afirmação é correta.
b) Todas as afirmações são corretas.
c) Apenas as afirmações I e III são corretas.
d) Apenas as afirmações III e IV são corretas.
e) Apenas a afirmação I é incorreta.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 Livro 3 — Unidade I 
Caderno de Exercícios 1 — Unidade VI
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 25
 leia o item 1, cap. 4 do livro-texto.
 Faça os exercícios 1 a 4, série 2.
AULA 26
 leia o item 2, cap. 4 do livro-texto.
 Faça os exercícios 12, 13 e 16, série 2.
AULA 25
 Faça os exercícios 7, 10 e 11, série 2.
AULA 26
 Faça os exercícios 20 a 22 e 24, série 2.
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ALFA 3 Física – Setor 1202 69
1 Quantidade de calor sensível (Q)
θ
0(A)
θ
0(B).
A B A B
θ
A 
� θ
B
 �
 
θ
EQ
Calor
Equil’brio tŽrmico
Q 5 C ? Dθ ou Q 5 m ? c ? Dθ
 C é a capacidade térmica do corpo (C 5 m ? c).
 c é o calor específico da substância.
 m é a massa do corpo.
interpretação dos sinais
Q > 0 → O corpo recebe calor.
Q < 0 → O corpo cede calor.
unidades
SI Usual
Massa (m) kg g
Quantidade de calor (Q) joule (J) caloria (cal)
Varia•‹o de temperatura (Dθ) K °C
Capacidade tŽrmica (C) J/K cal/°C
Calor espec’fico (c) J/(kg ? K) cal/(g ? °C)
Calor espec’fico da ‡gua c 5 4,19 ? 103 J/(kg ? K) c 5 1 (cal/g ? °C)
2 eQuivalente em água de um corpo
É a massa de água que apresenta a mesma capacidade térmica do corpo.
Por exemplo: 
m 5 250 g
são termicamente
equivalentes
C
A
 5 250 cal/g
A
AULAS 27 e 28 TROCAS DE CALOR CAUSANDO ALTERAÇÕES DE TEMPERATURA
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70 Física – Setor 1202 ALFA 3
ExERCíCIOS
1 Dois corpos A e B, com massas 200 g e 50 g, respectivamente, são aquecidos, separadamente, por uma fonte 
de calor de potência constante igual a 40 W. O gráfico a seguir mostra o comportamento das temperaturas 
desses corpos em função do tempo. Considere que toda energia liberada pela fonte seja absorvida pelos 
corpos e que não haja perdas significativas de calor desses corpos para o ambiente. Adote 1 cal 5 4 J.
0
10
40
30
20
3010 20 t (s)
θ (°C)
A
B
Determine:
a) as capacidades térmicas dos corpos A e B, em cal/°C.
b) o calor específico do corpo A e o calor específico do corpo B, em cal/(g ? °C).
c) o instante que o corpo A atinge a temperatura de 50 °C.
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ALFA 3 Física – Setor 1202 71
2 (Unicamp-SP) A boa ventilação em ambientes fechados é um fator importante para o conforto térmico em 
regiões de clima quente. Uma chaminé solar pode ser usada para aumentar a ventilação de um edifício. Ela 
faz uso da energia solar para aquecer o ar de sua parte superior, tornando-o menos denso e fazendo com 
que ele suba, aspirando assim o ar dos ambientes e substituindo-o por ar vindo do exterior.
a) A intensidade da radiação solar absorvida por uma placa usada para aquecer o ar é igual a 400 W/m2. 
A energia absorvida durante 1,0 min por uma placa de 2 m2 é usada para aquecer 6,0 kg de ar. O calor 
específico do ar é c 1000 J
kg °C
.5 Qual é a variação de temperatura do ar nesse período?
b) A densidade do ar a 290 K é ρ 5 1,2 kg/m3. Adotando-se um número fixo de moles de ar mantido a 
pressão constante, calcule a sua densidade para a temperatura de 300 K. Considere o ar como um 
gás ideal. 
 
3 (Enem) O Sol representa uma fonte limpa e inesgotável de energia para o nosso planeta. Essa energia 
pode ser captada por aquecedores solares, armazenada e convertida posteriormente em trabalho útil. 
Considere determinada região cuja insolação – potência solar incidente na superfície da Terra – seja de 
800 watts/m2.
Uma usina termossolar utiliza concentradores solares parabólicos que chegam a dezenas de quilômetros de 
extensão. Nesses coletores solares parabólicos, a luz refletida pela superfície parabólica espelhada é foca-
lizada em um receptor em forma de cano e aquece o óleo contido em seu interior a 400 °C. O calor desse 
óleo é transferido para a água, vaporizando-a em uma caldeira. O vapor em alta pressão movimenta uma 
turbina acoplada a um gerador de energia elétrica.
e
n
e
m
/s
h
u
T
T
e
r
s
T
o
c
k
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72 Física – Setor 1202 ALFA 3
Considerando que a distância entre a borda inferior e a borda superior da superfície refletora tenha 
6 m de largura e que focaliza no receptor os 800 watts/m2 de radiação provenientes do Sol, e que o calor 
específico da água é 1 cal ? g21 ? ºC21 5 4 200 J ? kg21 ? ºC21, então o comprimento linear do refletor parabó-
lico necessário para elevar a temperatura de 1 m3 (equivalente a 1 t) de água de 20 °C para 100 °C, em uma 
hora, estará entre:
a) 15 m e 21 m.
b) 22 m e 30 m.
c) 105 m e 125 m.
d) 680 m e 710 m.
e) 6 700 m e 7 150 m.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
AULA 27
 leia os itens 1 e 2, cap. 3 do livro-texto.
 Faça os exercícios 1, 2, 4 e 5, série 3.
AULA 28
 Faça os exercícios 3, 6 e 7, série 3.
 Livro 3 — Unidade I
 Caderno de Exercícios — Unidade VI
Tarefa Mínima Tarefa Complementar
AULA 28
 Faça os exercícios 9, 11, 13, 22 e 23, série 3.
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ALFA 3 Física – Setor 1202 73
1 nomenclatura
Sublimação
Solidificação Liquefação
Fusão Ebulição
A substância recebe calor.
A substância cede calor.
VaporSólido
Líquido
observações
 A dada pressão, a temperatura em que ocorre a fusão (ou solidificação) ou vaporização (ou liquefação) de 
uma substância pura é constante e determinada.
 A mudança de estado de líquido para vapor pode ocorrer por evaporação (passagem lenta que ocorre a qualquer 
temperatura) ou por ebulição (passagem rápida que só ocorre a certa pressão e a certa temperatura).
2 gráfico do aquecimento da água
ab: aquecimento do gelo
bc: fusão do gelo
cd: aquecimento da água
de: vaporizção da água
eF: aquecimento do vapor
b: início da fusão
c: término da fusão
d: início da vaporização
e: término da vaporização
0
θ
0
θ
100
B C
D
E
F
Tempo
θ (°C)
A
3 quantidade de calor (q) recebida ou cedida pelo corpo durante 
a mudança de estado
Q 5 m ? L
 m é a massa do corpo que efetivamente muda de estado físico.
 L é o calor latente de mudança de estado.
interpretação de sinais
Q > 0: o corpo recebe calor.
Q < 0: o corpo cede calor.
unidades
No SI: [L] 5 J/kg
 
Usual: [L] 5 cal/g
 
1 cal/g  4,2 ? 103 J/kg
AULAS 29 e 30
TROCAS DE CALOR CAUSANDO 
MUDANÇAS DE ESTADO
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74 Física – Setor 1202 ALFA 3
ExERCíCIOS
1 (Fuvest-SP – Adaptada) Em um recipiente termicamente isolado e mantido a pressão constante, são coloca-
dos 138 g de etanol líquido. A seguir, o etanol é aquecido e sua temperatura T é medida como função da 
quantidade de calor Q a ele transferida. A partir do gráfico de T 3 Q, apresentado na figura abaixo, pode-se 
determinar o calor específico molar para o estado líquido (c
L
), o calor específico molar para o estado de vapor 
(c
V
) e o calor latente molar de vaporização do etanol (L
V
) como sendo, respectivamente, próximos de:
220
120
100
80
60
40
20
0
140
0 15010050
Q (kJ)
T
 (
°C
)
Dados: Fórmula do etanol 5 C
2
H
5
OH; Massas molares: C (12 g/mol); H (1 g/mol); O (16 g/mol)
c
L
 (kJ/mol °C) c
V
 (kJ/mol °C) L
V 
(kJ/mol)
a) 0,10 0,17 37
b) 0,20 0,17 37
c) 0,10 0,17 48
d) 0,20 0,37 48
e) 0,15 0,17 68
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ALFA 3 F’sica Ð Setor 1202 75
2 (Unicamp-SP) Nas regiões mais frias do planeta, camadas de gelo podem se formar rapidamente sobre 
um volume de água a céu aberto. A figura a seguir mostra um tanque cilíndrico de água cuja área da base 
é A 5 2,0 m2, havendo uma camada de gelo de espessura L na superfície da água. O ar em contato com 
o gelo está a uma temperatura T
ar
 5 -10 °C, enquanto a temperatura da água em contato com o gelo é 
T
ag
 5 0,0 °C.
A 5 2,0 m2
Ar
GeloGelo
ÁguaÁgua
L
a) O calor é conduzido da água ao ar