@import url(https://fonts.googleapis.com/css?family=Source+Sans+Pro:300,400,600,700); Números complexos Questão 1Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?a) 2 + 3i e 1 \u2013 ib) 3 + 2i e -4 \u2013 ic) 4 + 3i e 2 \u2013 id) 1 + 2i e -3 \u2013 iVer RespostaReposta correta: c) 4 + 3i e 2 \u2013 i.Operação de soma:z1 + z2 = (a + c, b + d)Na forma algébrica, temos:(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iPortanto:Operação de subtração:z1 \u2013 z2 = (a \u2013 c, b \u2013 d)Na forma algébrica, temos:(a + bi) \u2013 (c + di) = (a \u2013 c) + (b \u2013 d)iPortanto:Sendo assim, a soma e a subtração dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i são, respectivamente, 4 + 3i e 2 - i.Questão 2Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?a) z = 4 \u2013 2ib) z = 4 \u2013 3ic) z = 2 \u2013 2id) z = 1 \u2013 2iVer RespostaReposta correta: b) z = 4 \u2013 3i.A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:z = x + yiOnde:x é a parte real de zy é a parte imaginária de zPortanto:Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 \u2013 3i.Questão 3O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i? (Lembre-se que i2 = -1).a) z1 + z2b) z1 \u2013z2c) z1z2Ver RespostaResposta correta: c) z1z2.Para encontrar a resposta correta, vamos realizar as operações apresentadas nas alternativas.a) z1 + z2b) z1 -z2c) z1z2Sendo assim, o resultado -5 - 5i é obtido pela multiplicado de z1 e z2.Questão 4O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)a) 3024b) 4096c) 5082d) 1294Ver RespostaResposta correta: b) 4096.Podemos representar z8 como (z2)4, pois 2.4 = 8.Portanto, vamos começar encontrando o valor de z2.Agora, calculamos (z2)4.Portanto, se z = 2 - 2i então z8 é igual a 4096.Questão 5Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5? (Lembre-se que i2 = -1).a) -2 + i e -2 \u2013 ib) -1 + i e -1 \u2013 ic) -2 + i e -1 + id) -1 + 2i e -1 + iVer RespostaResposta correta: a) -2 + i e -2 - i.Para resolver a equação x2 + 4x + 5 utilizaremos a fórmula de Bhaskara.Como a = 1, b = 4 e C = 5, temos:Portanto, os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5 são -2 + i e -2 - i.Questão 6Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x2 - 1)i seja um número real?a) x = 1b) x = 3c) x = 4d) x = 2Ver RespostaResposta correta: a) x = 1.Um número complexo é formado por:Portanto, para um número complexo ser real é necessário que a parte imaginária seja nula. Sendo assim, para z = x + (x2 - 1)i ser um número real x2-1 deve ser igual a 0.x2 - 1 = 0 \u21d2 x2 = 1 \u21d2 x = 1Questão 7Quais os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y \u2013 1)i = 8 + 5i seja verdadeira?a) x = 4 e y = 6b) x = 2 e y = 6c) x = 4 e y = 7d) x = 5 e y = 9Ver RespostaResposta correta: a) x = 4 e y = 6.Sendo dois números complexos z1 = (a, b) e z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:a + bi = c + di quando a = c e b = dEntão, para 2x + (y \u2013 1)i = 8 + 5i, temos:Portanto, os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y \u2013 1)i = 8 + 5i seja verdadeira devem ser 4 e 6, respectivamente.Questão 8Qual o resultado da divisão? (Lembre-se que i2 = -1).a) 2 \u2013 4ib) 3 \u2013 5ic) 5 \u2013 2id) 2 \u2013 iVer RespostaResposta correta: b) 3 - 5i.Para efetuar a divisão de dois números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a \u2013 bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.Então, se z = a + bi, logo z = a \u2013 biPortanto, o resultado da divisão é 3 - 5i, conforme a letra b.Questão 9(UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.Ver RespostaResposta correta: \u2013 2 + 18iPrimeiro, devemos calcular o valor de a.cAgora, calculamos a.c + bPortanto, se a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , então o valor de a.c + b é igual a \u2013 2 + 18i.Questão 10(FURG) Se u = 1 \u2013 2i é um número complexo e , seu conjugado, então z = u2 + 3 é igual a:a) \u2013 6 \u2013 2ib) 2ic) \u2013 6d) 8 + 2ie) \u2013 6 + 2iVer RespostaResposta correta: b) 2i.Primeiramente, devemos calcular o valor de u2.Se u = 1 \u2013 2i então o seu conjunto é = 1 + 2i e 3 = 3.(1+2i) = 3+6iAgora, calculamos z = u2 + 3Portanto, o resultado é 2i, conforme a letra b.Questão 11(UECE - 2011) Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações e . Se X = W \u222a V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual aNota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a \u20131.a) 20.b) -20.c) 4i.d) \u20134i.Ver RespostaResposta correta: b) -20.ResoluçãoPasso 1: determinar WUtilizando a fórmula de Bhaskara.a = 1b = -2c = -1Passo 2: determinar VA equação é um polinômio de quarto grau e, para resolvê-lo, podemos fazer , reduzindo para uma equação do segundo grau.a = 1b = 13c = 36Como , temos:Para y1Para y2Passo 3: determinar XX é a união de W e V.Passo 4: elevar cada elemento de X ao quadrado.Passo 5: somar os quadrados dos elemento de XConclusãoA resposta é a letra b, -20Questão 12(UFRGS - 2019)Dados os números complexos z1 = (2, -1) e z2 = (3 , x), sabe-se que z1 \u22c5 z2 \u2208 R. Então x é igual aa) \u2212 6.b) \u2212 3/2.c) 0.d) 3/2.e) 6.Ver RespostaResposta correta: d) 3/2.Colocamos os números complexos na sua forma algébrica.Z1 = 2 - iZ2 = 3 - xiRealizando o produto Z1 . Z2Para que o produto Z1 . Z2 seja um número real, o coeficiente de i deve ser igual a zero.
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