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NÚMEROS COMPLEXOS (FORMA TRIGONOMÉTRICA) 1) (UNB 2019) A figura seguinte mostra a tela, em determinado instante, de um antigo video game: os foguetes, representados pelas letras de A a G, deveriam ser destruídos por tiros disparados a partir do controle remoto. Na tela, foi inserido um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. Para cada foguete, foi estabelecida a sua posição no sistema, conforme as coordenadas mostradas na tabela seguinte. Cada ponto (x, y) desse sistema de coordenadas é identificado com o número complexo x + iy, em que a unidade imaginária i é tal que i2 = -1. Tendo como referência a situação precedente, julgue o item. O número complexo √1250 &𝑐𝑜𝑠 * 𝜋 4- + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 * 𝜋 4-3 está associado à posição do foguete B. ( ) Certo ( ) Errado 2) (IFAL 2019) A forma trigonométrica do número complexo 𝑍 = −2𝑖 é: 𝑎) 𝑍 = 2 '𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 20 𝑏) 𝑍 = 2(cos 𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋) 𝑐) 𝑍 = 26𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 8 𝑑) 𝑍 = 2(cos 2𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 2𝜋) 𝑒) 𝑍 = 2 6𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 + 𝑖𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 8 3) (UFRGS) O argumento do número complexo z é 𝜋 6# , e o seu módulo é 2. Então, a forma algébrica de z é a) -i b) i c) Ö3i d) Ö3 - i e) Ö3 + i 4 a 7. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). 4. ( ) (UFSC 2020) Se 𝑧! = −2 + 2𝑖 e 𝑧" = − √2 2 + √6 2 𝑖 são números complexos, então a forma polar do número 𝑧! 𝑧"> pode ser representada por 2(cos 45° + isen 45°). 5. ( ) (UFSC 2019/2) Se o número complexo 𝑧 = 2 + 𝑖 3 + 𝑥𝑖 é um imaginário puro, então x2 é divisor de 72. 6. ( ) (UFSC 2019/2) O conjunto 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ; |𝑧 + 3𝑖| = 1} possui dois elementos. 7. ( ) (UFSC 2019/2) Se i é a unidade imaginária, então (1 + 𝑖)!# (1 − 𝑖)!$ é um número real negativo. LISTA DE EXERCÍCIOS 8) Determine o valor de 𝑧% onde 𝑧 = √2'cos 𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 60. 9) (UEPG) Sobre o número complexo 𝑧 = 2(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃), assinale o que for correto. 01. 1 𝑧 = 1 2 (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 02. 𝑧" = 4(𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 04. | z5 | = 10. 08. Se 𝜃 = 60° o argumento de z vale 300°. 16. | z-1 | = 1/2. 10) Calcule (1 − 𝑖)!&. 11) (UFRGS) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo '𝑐𝑜𝑠 𝜋 8 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 80 ' é negativa é a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 12) Se um número complexo z tem módulo 1 e argumento 5𝜋 3# , 𝑧 (!" vale a) 1 b) 1 - i c) -1 d) i e) -i 13) Resolva a equação 𝑥) + 16 = 0 no conjunto dos números complexos. 14) (AFA) Resolva a equação 𝑧$ − 1 = 0 no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. ( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 3Ö3 / 2 unidades de área. ( ) Duas das raízes são conjugadas. ( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. A sequência correta é a) V – F – V – V b) V – V – F – V c) F – F – V – F d) V – F – V – F 15) (ITA 2019) Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a a) 4(Ö3 + 1) b) 6Ö3 c) 8(Ö3 – 1) d) 10Ö3 e) 12Ö3 GABARITO: 1) Certo 2-c) 3-e) 4 5) V 6) F 7) V 8) -8 9) 27 10) -32i 11-e) 12-a) 13) x = Ö2 ± Ö2i ou x = -Ö2 ± Ö2i 14-a) 15-e)
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