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Exercícios - Números complexos (lista 2)

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NÚMEROS COMPLEXOS 
(FORMA TRIGONOMÉTRICA) 
 
 
1) (UNB 2019) A figura seguinte mostra a tela, 
em determinado instante, de um antigo video 
game: os foguetes, representados pelas letras de 
A a G, deveriam ser destruídos por tiros 
disparados a partir do controle remoto. 
 
Na tela, foi inserido um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais xOy. Para cada foguete, 
foi estabelecida a sua posição no sistema, 
conforme as coordenadas mostradas na tabela 
seguinte. 
 
 
 
Cada ponto (x, y) desse sistema de coordenadas 
é identificado com o número complexo x + iy, em 
que a unidade imaginária i é tal que i2 = -1. 
 
Tendo como referência a situação precedente, 
julgue o item. 
 
O número complexo 
√1250 &𝑐𝑜𝑠 *
𝜋
4- + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 *
𝜋
4-3 
está associado à posição do foguete B. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
2) (IFAL 2019) A forma trigonométrica do número 
complexo 𝑍 = −2𝑖 é: 
 
𝑎)	𝑍 = 2 '𝑐𝑜𝑠
𝜋
2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
20 
𝑏)	𝑍 = 2(cos 𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛	𝜋) 
𝑐)	𝑍 = 26𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2 8 
𝑑)	𝑍 = 2(cos 2𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛	2𝜋) 
𝑒)	𝑍 = 2 6𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2 + 𝑖𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2 8 
 
 
 
3) (UFRGS) O argumento do número complexo z 
é 𝜋 6# , e o seu módulo é 2. Então, a forma 
algébrica de z é 
 
a) -i 
b) i 
c) Ö3i 
d) Ö3 - i 
e) Ö3 + i 
 
 
 
4 a 7. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
4. ( ) (UFSC 2020) Se 𝑧! =	−2	 + 	2𝑖 e 
𝑧" = −
√2
2 +
√6
2 𝑖 
são números complexos, então a forma polar 
do número 𝑧! 𝑧"> pode ser representada por 
2(cos 45° + isen 45°). 
 
5. ( ) (UFSC 2019/2) Se o número complexo 
𝑧 =
2 + 𝑖
3 + 𝑥𝑖 
é um imaginário puro, então x2 é divisor de 72. 
 
6. ( ) (UFSC 2019/2) O conjunto 
𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ; |𝑧 + 3𝑖| = 1} possui dois 
elementos. 
 
7. ( ) (UFSC 2019/2) Se i é a unidade 
imaginária, então 
(1 + 𝑖)!#
(1 − 𝑖)!$ 
é um número real negativo. 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
8) Determine o valor de 𝑧% onde 
𝑧 = √2'cos
𝜋
6 + 𝑖𝑠𝑒𝑛	
𝜋
60. 
 
 
 
9) (UEPG) Sobre o número complexo 
𝑧 = 2(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃), assinale o que for 
correto. 
 
01.
1
𝑧 =
1
2 (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 
02. 𝑧" = 4(𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 
04. | z5 | = 10. 
08. Se 𝜃 = 60° o argumento de z vale 300°. 
16. | z-1 | = 1/2. 
 
 
 
10) Calcule (1 − 𝑖)!&. 
 
 
 
11) (UFRGS) O menor número inteiro positivo n 
para o qual a parte imaginária do número 
complexo 
'𝑐𝑜𝑠
𝜋
8 + 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
80
'
 
é negativa é 
 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 
 
 
 
12) Se um número complexo z tem módulo 1 e 
argumento 5𝜋 3# , 𝑧
(!" vale 
 
a) 1 
b) 1 - i 
c) -1 
d) i 
e) -i 
 
 
 
13) Resolva a equação 𝑥) + 16 = 0 no conjunto 
dos números complexos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) (AFA) Resolva a equação 𝑧$ − 1 = 0 no 
conjunto dos números complexos. Considerando 
as raízes encontradas, analise as proposições 
abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou 
F (FALSA). 
 
( ) A equação possui três raízes de 
multiplicidade 1. 
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo 
equilátero cuja área é 3Ö3 / 2 unidades de área. 
( ) Duas das raízes são conjugadas. 
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
 
A sequência correta é 
 
a) V – F – V – V 
b) V – V – F – V 
c) F – F – V – F 
d) V – F – V – F 
 
 
 
15) (ITA 2019) Sabe-se que -2 + 2i é uma das 
raízes quartas de um número complexo z. Então, 
no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, 
cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual 
a 
 
a) 4(Ö3 + 1) 
b) 6Ö3 
c) 8(Ö3 – 1) 
d) 10Ö3 
e) 12Ö3 
 
 
 
GABARITO: 
 
1) Certo 
2-c) 
3-e) 
4 
5) V 
6) F 
7) V 
8) -8 
9) 27 
10) -32i 
11-e) 
12-a) 
13) x = Ö2 ± Ö2i ou x = -Ö2 ± Ö2i 
14-a) 
15-e)