Números Complexos (Resumo)

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Obs.: 𝑖 → unidade imaginária 
𝑖1 = i 
𝑖2 = −1 
𝑖3 = −i 
𝑖4 = 1 
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NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 Forma Algébrica 
Def.: 𝑧 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑖2 = −1 (𝑖 = √−1) 
 
 Igualdade 
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 
Adição 
 (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) 
• Associativa: (𝑧 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑧 + (𝑣 + 𝑤) 
• Comutativa: 𝑧 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑧 
• Elem. Neutro: ∃𝑧0 = (0,0) ∈ ℂ; 𝑧 + 𝑧0 = 𝑧 
• Oposto: 
 ∀𝑧 ∈ ℂ,  ∃𝑧′ ∈ ℂ;  𝑧 + 𝑧′ = 𝑧′ + z = 𝑧0 
 
Multiplicação 
 (𝑎, 𝑏) ∙ (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 
• Associativa: (𝑧 ∙ 𝑣) ∙ 𝑤 = 𝑧 ∙ (𝑣 ∙ 𝑤) 
• Comutativa: 𝑧 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑧 
• Elem. Neutro: ∃𝑧1 = (1,0) ∈ ℂ; 𝑧 ∙ 𝑧1 = 𝑧 
• Inverso: 
∀𝑧 ≠ (0,0) ∈ ℂ,  ∃𝑧′ ∈ ℂ;  𝑧 ∙ 𝑧′ = 𝑧′ ∙ z = 𝑧1 
• Distributiva:𝑧 ∙ (𝑣 + 𝑤) = 𝑧 ∙ 𝑣 + 𝑤 ∙ 𝑣 
 Conjugado 
Def.: 𝑧̅ = (𝑎, −𝑏) = 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑖 é o conjugado do número 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖. 
Propriedades 
i. z ∙ 𝑧̅ = 𝑎2 + 𝑏2 
ii. z = 𝑧̅ ⇔ 𝑧 ∈ ℝ 
iii. 𝑧1 + 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅ 
iv. 𝑧1 ∙ 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅ ∙ 𝑧2̅ 
Divisão 
 
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
∙
𝑧2̅
𝑧2̅
 
 
 
 Módulo 
Def.: |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑎 = |𝑧| ∙ cos 𝜃 𝑏 = |𝑧| ∙ sen 𝜃 
 
 Forma trigonométrica 
Def.: 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜃 + 𝑖 ∙ sen 𝜃) Forma polar 
 
Multiplicação 
𝑧1 ∙ 𝑧2 = |𝑧1| ∙ |𝑧2| ∙ [cos(θ1 + θ2) + 𝑖 ∙ sin(θ1 + θ2)] 
 
Divisão 
 
𝑧1
𝑧2
=
|𝑧1|
|𝑧2|
∙ [cos(θ1 − θ2) + 𝑖 ∙ sin(θ1 − θ2)] 
 
Potência (Equação de Moivre) 
𝑧𝑛 = |𝑧𝑛| ∙ [cos(𝑛 ∙ θ) + 𝑖 ∙ sin(𝑛 ∙ θ)]