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ENG01156 – MECÂNICA – ÁREA 1 
AULA 7 – ESTÁTICA DE CORPO RÍGIDO PLANAR 
1. Sistemas de equações de equilíbrio 
Quando o sistema de forças atuantes sobre um corpo rígido se situa em um plano ou pode 
ser projetado sobre um plano, os graus de liberdade do corpo se reduzem a 3, os quais 
descrevem movimentos bidimensionais envolvendo translações sobre o plano e a rotação 
em torno de um eixo normal a este plano. Com isso, o sistema de equações de equilíbrio 
pode ser definido por um conjunto de 3 equações escalares: duas equações de força em 
relação aos eixos x e y do plano e uma equação de momento em relação ao eixo normal z. 
Embora tal sistema de equações seja necessário e suficiente para demonstrar a condição de 
equilíbrio em um corpo rígido, sistemas alternativos podem ser também utilizados, porém 
estes exigem que certas condições de utilização sejam satisfeitas para evitar uma 
dependência linear entre as equações. 
1.1 Equações de equilíbrio básicas 
Condições de equilíbrio básicas: 
0
0
0
x
y
O
z
F
F
M






 
Nenhuma condição de utilização é exigida neste caso. 
1.2 Equações de equilíbrio alternativas 
1º conjunto de condições de equilíbrio alternativas: 
1
2
0
0
0
a
p
z
p
z
F
M
M






 
 Exigência: a direção a (a = x, a = y ou qualquer direção no plano) escolhida para o 
equilíbrio de forças não pode ser perpendicular à linha que une os pontos p1 e p2. 
2º conjunto de condições de equilíbrio alternativas: 
1
2
3
0
0
0
p
z
p
z
p
z
M
M
M






 
 Exigência: os pontos p1, p2 e p3 não podem ser colineares. 
 
 
1.3 Apoios planos 
Como foi dito anteriormente, os apoios são dispositivos usados para ajudar no 
estabelecimento da condição de equilíbrio, uma vez que raramente um corpo encontra-se 
submetido a um sistema de forças ativas autoequilibradas. Os apoios exercem sua ação 
sobre os corpos através de forças ou momentos, os quais representam a ação do dispositivo 
de apoio no intuito de evitar deslocamentos em determinadas direções. Estas forças ou 
momentos são chamados de forças ou momentos de reação, já que têm natureza reativa. 
Uma regra geral que deve ser lembrada para a avaliação do tipo de reação de apoio que um 
dispositivo apresenta é a seguinte: 
 apoios que restringem translações (deslocamentos lineares) produzem reações de 
força; 
 apoios que restringem rotações (deslocamentos angulares) produzem reações de 
momento. 
Na figura abaixo são mostrados alguns casos práticos de dispositivos de apoio no plano com 
suas respectivas reações. 
 
Apoio de 1ª classe: 
 
 
 
 
 
 
Apoio de 2ª classe: 
 
 
 
 
Apoio de 3ª classe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Determine as reações no vínculo A da estrutura abaixo. Use primeiramente um conjunto 
de equações de equilíbrio básicas e, posteriormente, resolva novamente o problema com 
o seguinte sistema de equações alternativas: 
0
0
0
x
A
z
B
z
F
M
M






 
Comente os resultados. 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
a) empregando o sistema de equações de equilíbrio básicas: 
0; 300 0 300x A AF H H N      
0; 400 200 0 600y A AF V V N      
0; 300.3 400.1 200.2 0 1700 .Az A AM M M N m       
b) empregando o sistema de equações de equilíbrio alternativas: 
0; 300 0 300x A AF H H N      
0; 300.3 400.1 200.2 0 1700 .Az A AM M M N m       
0; .3 400.1 200.2 0 1700 1700Bz A xM M A       
Para o primeiro conjunto de equações de equilíbrio, a solução foi obtida tranquilamente. No 
entanto, para o sistema de equações de equilíbrio alternativas, a condição de utilização foi 
violada, já que a reta que contém os pontos A e B é perpendicular à direção escolhida para o 
equilíbrio de forças (direção x). Neste caso, o sistema fica indeterminado. 
2. Obtenha as reações de apoio para a viga abaixo de 100 kg de massa. 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
0; 0 0x x xF A A     
0; 1220.2 981.3 0 5383 .Az A AM M M N m      
0; 1200 981 0 2181y y yF A A N      
 
 
 
 
 
3. Para o pórtico abaixo, calcule as reações nos vínculos. 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
Adotando um sistema de equações de equilíbrio alternativo, tem-se: 
0; 200 200.cos60º .cos30º 0 0,866. 100 (1)x A F A FF H R H R        
0; 2. 4. 500.1 200.1 0 2. 150 (2)Dz A A A AM V H V H         
   
 
0; 2 2.cos30 4 2.sen30 200.2.sen30
 500 1 2.cos30 200.1 0
3,732. 3. 1366,025 (3)
F
z A A
A A
M V H
V H
        
   
    

 
Substituindo (2) em (3), obtém-se: 
7,464. 559,8 3. 1366,025 180,6A A AH H H N       
Logo: 
511,2 ; 324A FV N R N  
Observe que o sistema de equações levou à solução do problema porque a condição de 
utilização foi satisfeita, ou seja, a direção x escolhida para o equilíbrio de forças não é 
perpendicular à linha que une os pontos D e F, escolhidos para o equilíbrio de momentos. 
4. Um guindaste fixo tem massa igual a 1000 kg e é usado para levantar uma caixa de 2400 
kg. Ele é mantido no lugar por um pino articulado em A e um balancim (apoio simples) em 
B. O centro de gravidade do guindaste é o ponto G. Determine as componentes das 
reações em A e B. 
 
Na condição de equilíbrio estático, a força que atua no cabo que suspende a massa de 2400 
kg é igual à força peso desta massa. O apoio A é um pino (apoio de 2ª classe), com duas 
reações de força, e o apoio B é um balancim (apoio simples), com apenas uma reação de 
força na direção horizontal. Assim, obtém-se o seguinte diagrama de corpo livre: 
 
0; .1,5 9,81.2 23,5.6 0 107AzM B B kN      
0; 0 107x x xF A B A kN      
0; 9,81 23,5 0 33,3y y yF A A kN      
A configuração de forças atuantes e reativas na 
condição de equilíbrio é mostrada ao lado: 
O resultado pode ser verificado observando que a 
soma de forças nas duas direções do plano é nula. 
Além disso, a soma de momentos em relação a 
qualquer ponto deve ser nula. Como foi considerada a 
soma de momentos no ponto A durante a solução, 
toma-se agora o ponto B: 
0; 9,81.2 23,5.6 107.1,5 0BzM      
5. Um vagonete está em repouso sobre trilhos que formam um ângulo de 25° com a 
vertical. O peso bruto do vagonete e sua carga é de 27,5 kN e está aplicado em um ponto a 
0,75 m dos trilhos e a igual distância dos dois eixos das rodas. O vagonete é seguro por um 
cabo atado a 0,6 m dos trilhos. Determine a tração no cabo e a reação em cada par de 
rodas. 
 
Para facilitar a solução do problema, adota-se aqui um sistema de eixos coordenados tendo 
os eixos x e y nas direções paralela e perpendicular aos trilhos, respectivamente. Neste caso, 
deve-se decompor a força peso, atuante no ponto G, segundo estas direções. 
 
Decomposição da força peso: 
27,5.cos 25 24,9
27,5.sen25 11,62
x
y
P kN
P kN
  
   
 
Para a solução do problema, adota-se aqui um sistema de equações de equilíbrio alternativo 
da seguinte forma: 
2 20; 11,6.0,625 24,9.0,15 .1,25 0 8,79
A
zM R R kN       
1 10; 11,6.0,625 24,9.0,15 .1,25 0 2,81
B
zM R R kN      
0; 24,9 0 24,9xF T T kN     
Observe que a solução satisfaz a condição de equilíbrio na direção y, ou seja: R1 + R2 = 11,6 
kN. 
6. A estrutura da figura abaixo suporta parte do telhado de um pequeno edifício. Sabendo 
que a tração no cabo é de 150 kN, determine a reação no extremo fixo E. 
 
O apoio E é do tipo engaste e a força de tração exercida pelo cabo no ponto F se dá na 
direção do eixo do cabo, como indicado no diagrama de corpo livre abaixo: 
 
Primeiramente, calcula-se a distância DF: 
2 24,5 6 7,5DF m   
Impondo o equilíbrio, obtém-se: 
4,5
0; 150.cos 0 150. 0 90
7,5x x x x
F E E E kN         
6
0; 4.20 150.sen 0 4.20 150. 0 2
7,5y y y y
F E E E kN          
6
0; 20.7,2 20.5,4 20.3,6 20.1,8 150. .4,5 0
7,5
180 .
E
z E
E
M M
M kN m
      
 

 
 
 
 
7. Determineas reações de apoio sobre o colar A e o rolete B. 
 
A presença do colar permite que em A só haja deslocamentos verticais, enquanto que o 
rolete B restringe apenas os deslocamentos verticais em B. Assim, o diagrama de corpo livre 
fica definido como: 
 
Equações de equilíbrio: 
0; 0x xF A  
0; 900 0 900y B BF N N N     
 0; 900.1,5 3 1.cos 45 500 0 1486,3 .Az A B AM M N M N m          
Observe que o sinal negativo indica que o sentido verdadeiro do momento MA é inverso ao 
adotado no diagrama de corpo livre. 
8. Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a reação do colar 
liso B sobre a barra. 
 
Considerando que o pino em A é um apoio de 2ª classe e que a barra está articulada ao colar 
liso em B, obtém-se o seguinte diagrama de corpo livre: 
 
Impondo o equilíbrio sobre a barra, chega-se a: 
0; 1500 2250 0 3750y y yF A A N      
0; .1,2.sen30 1500.0,3 2250.0,9 0 4125Az B BM N N N      
0; 4125 0 4125x x xF A A N   