3 prova- Mecânica dos sólidos

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RESOLUÇÃO DA LISTA DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS
 Yldmaira Grazielle Barbosa Santos, 20230002255
 Universidade Estadual do Maranhão(UEMA)
Resumo: A mecânica dos sólidos é o ramo da engenharia que estuda o comportamento dos materiais sólidos sujeitos a forças externas. Ela é fundamental para a análise e dimensionamento de estruturas, máquinas e componentes mecânicos. Os principais tópicos abordam conceitos como tensão, deformação, elasticidade, resistência dos materiais, torção, flexão e flambagem. Neste trabalho, é aplicado os conceitos fundamentais da mecânica dos sólidos para resolver exercícios práticos, utilizando equações clássicas da resistência dos materiais. São apresentados exemplos envolvendo deformações, energia de deformação e deslocamentos em vigas, com ênfase na aplicação dos teoremas de trabalho virtual, Clayperon e Castigliano.
Palavras-chave: Tensão, Deformação, Vigas, Energia de Deformação, Aplicação.
1. INTRODUÇÃO
A mecânica dos sólidos trata do estudo do comportamento dos corpos sob a ação de forças. Ela é essencial para projetar estruturas seguras e eficientes, permitindo entender como os materiais reagem a diferentes tipos de carregamento, como tração, compressão, flexão e torção. Ao aplicar leis da física e princípios da resistência dos materiais, é possível prever a deformação e ruptura dos corpos. Este trabalho busca aplicar esses conhecimentos na resolução de exercícios práticos, reforçando a compreensão teórica por meio de exemplos aplicados.
2. MÉTODO
2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1.1 DEFORMAÇÃO DE UMA VIGA SOB CARREGAMENTO TRANSVERSAL
As vigas estão entre os elementos estruturais mais importantes e frequentemente utilizados na engenharia. Quando uma viga é submetida a carregamentos transversais, ela sofre flexão, o que resulta em tensões normais e deformações ao longo do seu comprimento. A relação entre a força aplicada e a deformação resultante é descrita pela equação da linha elástica, baseada na hipótese de pequenas deformações. Para analisar o comportamento das vigas, consideramos o momento fletor, a rigidez flexional e o carregamento aplicado.
2.1.2 EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
A equação da linha elástica descreve o deslocamento vertical de uma viga em função do carregamento. A forma geral da equação é:
Integrando duas vezes e aplicando as condições de contorno, obtemos a função de deslocamento. Essa equação permite determinar a flecha máxima e a inclinação da viga sob diferentes tipos de carga.
2.1.3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
A energia de deformação em uma viga submetida a flexão é a energia armazenada no material devido à sua deformação elástica. Essa energia pode ser expressa por:
Ela é útil para a aplicação de teoremas energéticos como o de Castigliano e Clayperon, que permitem calcular deslocamentos e rotações em pontos específicos de estruturas, sem resolver diretamente a equação da linha elástica.
2.1.4 TEOREMA DE CLAYPERON
O Teorema de Clayperon estabelece uma relação entre a força aplicada e o deslocamento produzido em uma estrutura, a partir da energia de deformação. Ele é usado principalmente para obter deslocamentos em estruturas lineares e elásticas:
Ou seja, o deslocamento em uma direção é igual à derivada da energia de deformação em relação à força aplicada naquela direção. É uma ferramenta poderosa para análise de vigas e estruturas hiperestáticas.
2.1.5 TEOREMA DE CASTIGLIANO
O Teorema de Castigliano é amplamente utilizado na mecânica dos sólidos para determinar deslocamentos e rotações em estruturas. Ele afirma que:
onde U é a energia de deformação, δ é o deslocamento linear na direção da força P, e θ é a rotação devido ao momento M. Esse teorema é particularmente útil na análise de sistemas isostáticos e hiperestáticos.
3. PROBLEMAS PROPOSTOS
Para o primeiro exercício, temos a aplicação da equação da linha elástica.
Para o segundo exercício, temos a aplicação da deflexão em uma viga.
Para o terceiro exercício, temos a aplicação do teorema de clayperon.
Para o quarto exercício, temos a aplicação da energia e densidade de deformação das determinadas barras.
Para o quinto exercício, temos a aplicação de um gráfico do deslocamento da viga AB.
4. RESULTADOS
Para o primeiro exercício, imagem 1, temos os seguintes dados:
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-Resposta da imagem 1:
Para o primeiro exercício, imagem 2, temos os seguintes dados:
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Resposta da imagem 2:
- Gráficos:
1. Deflexão em B × a (Alumínio) — curva azul no canto superior esquerdo.
2. Deflexão em B × a (Aço) — curva verde no canto superior direito.
3. Inclinação em B × a (Alumínio) — curva vermelha no canto inferior esquerdo.
4. Inclinação em B × a (Aço) — curva roxa no canto inferior direito.
Observações:
· A deflexão e a inclinação crescem rapidamente com a⁴ e a³, respectivamente.
· O alumínio apresenta valores muito maiores de deflexão e inclinação do que o aço, devido ao seu módulo de elasticidade ser menor (mais deformável).
Para o segundo exercício, temos os seguintes dados:
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Para o terceiro exercício, temos os seguintes dados:
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- Gráficos:
(a) Energia de Deformação × L (Alumínio)
· A energia cresce com L3L3.
· O alumínio, por ter menor módulo de elasticidade, acumula mais energia de deformação.
(b) Energia de Deformação × L (Aço)
· Também cresce com L3L3, mas os valores são menores que no alumínio, devido ao EE maior.
(c) Deslocamento em C × L (Alumínio)
· O deslocamento cresce com L3L3, como esperado.
· No alumínio, os deslocamentos são significativamente maiores.
(d) Deslocamento em C × L (Aço)
· Com aço, o deslocamento é menor, o que indica maior rigidez.
Resposta às perguntas:
· Qual dos dois materiais possui maior energia de deformação, e por quê?
→ O alumínio, pois tem módulo de elasticidade E menor, o que resulta em maior deformação e, consequentemente, maior energia armazenada para o mesmo carregamento.
· Se o material A (alumínio) possui maior energia do que o B (aço), como alterar o perfil para reduzir isso?
→ Para que o alumínio tenha menor energia que o aço, aumente o momento de inércia II da viga de alumínio, escolhendo um perfil mais robusto (maior Ix).
Energia de Deformação × L:
· Alumínio com perfil antigo (I310x60,7): possui a maior energia de deformação (linha azul).
· Aço com perfil I310x60,7: intermediário (linha verde).
· Alumínio com perfil I610x180: apresenta agora a menor energia de deformação (linha vermelha), devido ao momento de inércia muito maior.
Deslocamento em C × L:
· O deslocamento do alumínio com o novo perfil (vermelho) também é significativamente reduzido.
· Ele se torna mais rígido que o aço com I310x60,7, como desejado.
Conclusão:
· Novo perfil para o alumínio (I610x180) resolve o problema: agora ele apresenta menor energia de deformação e menor deslocamento que o aço com perfil original.
· Isso comprova que o momento de inércia II é determinante no controle da rigidez da viga, compensando até mesmo um módulo de elasticidade menor.
Para o quarto exercício, temos os seguintes dados:
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Para o quinto exercício, temos os seguintes dados:
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-Gráfico:
5. REFERÊNCIAS
[1] BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica dos Materiais. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1992. 
[2] BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2021. 881 p.
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