Velocidade e Energia de Ondas em Cordas

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Aula 18 - Fis. III C
� Velocidade da onda em uma corda esticada
� Energia e potência de uma onda em uma corda
A. Velocidade da onda em uma corda esticada
Para estudar a velocidade de uma onda produzida em
uma corda, devemos analisar o elemento de corda local-
izado na crista da onda.
A componente vertical é dada por
τv = τsen(θ) .
As componentes horizontais da tensão se cancelam. As
componentes verticais se somam. Logo, a força sentida
pelo elemento de corda é
F = 2τsen(θ) .
Considerando que sen(θ) ≈ θ, temos
F = τ2θ .
Para ângulos pequenos vale a relação 2θ = ∆l/R.
Logo
F = τ
∆l
R
.
Podemos obter ∆l da expressão µ =
∆m
∆l
. Com isso
F = τ
∆m
µR
.
2
Sendo que o pulso viaja a velocidade v para a es-
querda, sabemos que o elemento de corda viaja para
a direita com velocidade v. A força centŕıpeta sentida
pelo elemento de corda é dada por
F = ∆m
v2
R
.
Igualando as duas expressões, obtemos
v =
√
τ
µ
.
A velocidade da onda só depende da tensão e da
massa espećıfica linear da corda. A frequência é de-
terminada pelo agente externo.
Exemplo 1: Qual é a velocidade de uma onda
transversal em uma corda que mede 2 m, pesa 60 g e
está sujeita a uma tensão de 500 N?
v =
√
τ
µ
=
√
√
√
√
500
0.06
2
= 129, 1 m/s .
B. Energia e potência de uma onda em uma corda
A onda transporta energia ao se propagar.
A energia de uma onda progressiva é dividida em en-
ergia cinética e energia potencial elástica.
� Observe que em uma onda na corda, para um
mesmo dx qualquer temos mais corda esticada em
y = 0.
O máximo da energia se dá em y = 0 pois temos o
máximo de energia cinética e energia potencial.
Para obter a energia cinética do elemento de corda cal-
culamos a velocidade transversal
vy(x, t) =
dy(x, t)
dt
= −ωymcos(kx− ωt) .
3
A energia cinética ∆K de um elemento de corda ∆m
fica
∆K =
∆mv2
y
2
=
∆mω2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
.
∆K =
µ∆lω2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
.
∆K
∆t
=
∆l
∆t
µω2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
.
∆K
∆t
=
µvω2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
.
〈
∆K
∆t
〉
=
µvω2y2
m
〈
cos2(kx− ωt)
〉
2
.
〈
∆K
∆t
〉
=
µvω2y2
m
4
.
A energia potencial elástica pode ser calculada através
do trabalho ao se esticar a corda de dx até ds, sendo dx
o tamanho de repouso.
� Considere um triângulo retângulo com dx, dy e ds
ds2 = dx2 + dy2 → ds =
√
dx2 + dy2.
ds = dx
√
1 +
dy2
dx2
.
ds ≈ dx
[
1 +
1
2
(
dy
dx
)2
]
.
ds− dx ≈
[
dx
2
(
dy
dx
)2
]
.
Sendo
y(x, t) = ymsin(kx− ωt) .
dy
dx
= kymcos(kx− ωt)
4
ds− dx ≈
[
dxk2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
]
.
O trabalho fica
∆W = τ(ds − dx) =
dxτk2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
.
∆W
∆t
=
vτk2y2
m
cos2(kx− ωt)
2
.
〈
∆W
∆t
〉
=
vτk2y2
m
〈
cos2(kx− ωt)
〉
2
.
〈
∆W
∆t
〉
=
vτk2y2
m
4
.
Mas v =
√
τ
µ
=
ω
k
→ τ = µ
ω2
k2
.
〈
∆W
∆t
〉
=
µvω2y2
m
4
.
A potência total média transmitida em uma onda na
corda fica então
P =
〈
∆K
∆t
〉
+
〈
∆W
∆t
〉
=
µvω2y2
m
2
.
Os dois termos são iguais, mostrando que a energia
é igualmente distribúıda entre o termo cinético e o
potencial.
Exemplo 3: Uma corda tem massa espećıfica
µ = 525 g/m e está submetida a uma tensão
τ = 45 N. Uma onda senoidal de frequência
f = 120 Hz e amplitude ym = 8, 5 mm é produzida
na corda. Com que taxa média a onda transporta
energia?
P =
µvω2y2
m
2
=
µ
√
τ
µ
(2πf)2y2
m
2
.
P = 100 W .