19-Movimento_Ondulatorio

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 – Ondas I 
1 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 17 – ONDAS I 
 
06. Escreva a equação para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e que tenha uma 
amplitude de 0,010 m, uma frequência de 550 Hz e uma velocidade de 330 m/s. 
 (Pág. 131) 
Solução. 
A equação geral de uma onda progressiva que se propaga no sentido −x é: 
 ( ) ( ), senmx ty y kx t= + 
Para compor a equação, é preciso apenas determinar o valor da amplitude da onda (ym), do número 
de onda angular (k) e da frequência angular (). A amplitude foi dada no enunciado. A frequência 
angular pode ser calculada a partir da frequência (f): 
 ( )2 2 550 Hz 3.455,7519 rad/s 3.460 rad/sf  = = =  
O número de onda angular está relacionado com a velocidade de propagação da onda: 
 
( )
( )
3.455,7519 rad/s
10,4719 rad/m 10,5 rad/m
330 m/s
k
v

= = =  
Logo: 
 ( ) ( ) ( ) ( ), 0,010 m sen 10,5 rad/m 3.460 rad/sx ty x t = +  
 
11. A equação de uma onda transversal se propagando numa corda é dada por 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
,
2,0 mm sen 20 m 600 s
x t
y x t− − = −
 
 
(a) Ache a amplitude, frequência, velocidade e o comprimento de onda. 
(b) Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda. 
 (Pág. 131) 
Solução. 
(a) Comparando-se a função de onda fornecida pelo enunciado com a função de onda geral de uma 
onda transversal progressiva: 
 ( ) ( ), senmx ty y kx t= − 
Podemos identificar imediatamente a amplitude ym: 
 2,0 mmmy = 
A frequência f vale: 
 
( )600 rad/s
95,4929 Hz
2 2
f

 
= = = 
 95,5 Hzf  
A velocidade de propagação da onda v vale: 
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( )
( )
600 rad/s
20 rad/m
v
k

= = 
 30 m/sv = 
O comprimento de onda  vale: 
 ( )
( )1
30 m/s
0,3141 m
95,4929 s
v
f

−
= = = 
 0,31 m  
(b) A velocidade de uma partícula da corda u, localizada na coordenada x é dada por: 
 ( )
( ) ( ),
,
senx t m
x t
y y kx t
u
t t
   − = =
 
 
 ( ) ( ), cosmx tu y kx t = − − 
A velocidade u será máxima (umax) quando a função cosseno for  1. 
 max mu y= 
 ( )( )1max 2,0 mm 600 su −= 
 max 1,2 m/su = 
 
15. Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo de uma corda, então a 
inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente igual à razão entre a velocidade escalar 
da partícula e a velocidade escalar da onda naquele ponto. 
 (Pág. 131) 
Solução. 
Considere a seguinte onda transversal progressiva: 
 ( ) ( ), senmx ty y kx t= − 
O gráfico da função acima, no instante t e intervalo 0  x 4/k, está representado na figura abaixo: 
 
A inclinação da corda (declividade da função) em x = x1 é dada por 
1x
y
x
 
 
 
, que é a derivada parcial 
de y(x,t) em relação a x, no ponto x = x1. 
y
ym
−ym
x1 x
v
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3 
 ( )
1
cosm
x
y
ky kx t
x

 
= − 
 
 (1) 
A razão entre a velocidade escalar transversal, u, e a velocidade escalar da onda, v, no ponto x = x1 
vale: 
 ( )1 1 cosx x m
y
u t y
kx t
v v v


 
 
 
= = − 
Como: 
 k
v

= 
Temos: 
 ( )1 cos
x
m
u
ky kx t
v
= − (2) 
Comparando-se (1) e (2): 
 1
1
x
x
uy
x v
 
= 
 
, 
que é o que queríamos provar. 
 
16. Uma onda de frequência 500 Hz tem uma velocidade de 350 m/s. (a) Quão afastados estão dois 
pontos que têm uma diferença de fase de /3 rad? (b) Qual é a diferença de fase entre dois 
deslocamentos, num determinado ponto, em tempos separados de 1,00 ms? 
 (Pág. 131) 
Solução. 
Seja y(x,t) uma onda transversal que progride no sentido positivo de x: 
 ( ) ( ), senmx ty y kx t = − + 
Sendo conhecidas a frequência f e a velocidade de propagação v, podemos determinar k e , que 
serão usados adiante. 
 2 f = 
 
2 f
k
v v
 
= = (1) 
(a) Deseja-se determinar a distância, sobre o eixo x, que corresponda a uma diferença de fase  = 
/3. Considere o seguinte esquema: 
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Há pelo menos duas maneiras de calcular x. A primeira é por comparação: 
 
2 / 3
x
 
= 
 
6
x

= 
Como: 
 
2 2
2
v
fk f
v
 


= = = 
Na equação acima, k foi substituído por (1): 
 
( )
( )
350 m/s
0,1166 m
6 6 500 Hz
v
x
f
= = = 
 0,117 mx  
A segunda forma de calcular x é considerando-se a existência de duas ondas, y1 e y2, defasadas de 
/3: 
 ( ) ( )1 , senmx ty y kx t= − 
 ( )2 , sen 3
mx t
y y kx t


 
= − − 
 
 
As funções y1 e y2 estão representadas no gráfico abaixo: 
 
Como os pontos x1 e x2 correspondem a y1 = 0 e y2 = 0, respectivamente, temos: 
 1 2 0y y= = 
y
x ( /3)
x
 (2 )
y
x
y1
y2
x1 x2
x
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 ( )1 2sen sen
3
m my kx t y kx t

 
 
− = − − 
 
 
 
1 2
3
kx t kx t

 − = − − 
 ( )2 1
3
k x x

− = 
 
2 1
3
x x x
k

− = = 
Utilizando-se (1): 
 
2 1 2
3
x x x
f
v


− = = 
 
6
v
x
f
= 
(b) Vamos utilizar o primeiro método usado no item (a) para o cálculo de . 
 
2
T t
 

=

 
 
1
2
tf
 

=

 
 ( )( )1 32 2 500 s 1,00 10 s radf t   − − =  =  = 
 3,14 rad  
 
20. A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança 
considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais 
nesse fio, antes e depois do aumento de tensão? 
 (Pág. 131) 
Solução. 
Vamos utilizar o índice 1 para a situação inicial e 2 para a final. As velocidades v1 e v2 valem: 
 1
1v


= 
 1
2
2
v


= 
Nas equações acima,  é a tensão e  é a densidade linear de massa das cordas. A razão pedida é: 
 
1
1
2 12
v
v




= 
 
1
2
1
2
v
v
= 
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25. Uma corda esticada tem uma massa por unidade de comprimento de 5,0 g/cm e uma tensão de 
10 N. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude de 0,12 mm e uma frequência de 100 
Hz e se propaga no sentido de x decrescente. Escreva uma equação para essa onda. 
 (Pág. 132) 
Solução. 
A equação geral para uma onda transversal que se propaga no sentido de x decrescente é: 
 ( ) ( ), senmx ty y kx t= + 
A amplitude ym foi dada no enunciado. Vamos calcular o número de onda angular k. 
 ( )
( )
( )
0,50 kg/m2 2 2 2
2 2 100 Hz 140,4962 rad/m
10 N
f f
k f
v v
f
    
 
 

= = = = = = = 
 140 rad/mk A frequência angular  vale: 
 ( )2 2 100 Hz 628,3185 rad/sf  = = = 
 630 rad/s  
Logo: 
 ( ) ( ) ( ) ( ), 0,12 mm sen 140 rad/m 630 rad/sx ty x t = +  
 
27. Uma onda senoidal transversal senoidal está se propagando ao longo de uma corda no sentido 
de x decrescente. A Fig. 17-24 mostra um gráfico do deslocamento como função da posição, no 
instante t = 0. A tensão na corda é 3,6 N e sua densidade linear é 25 g/m. Calcule (a) a 
amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e, (d) o período da onda. (e) 
Ache a velocidade máxima de uma partícula da corda. (f) Escreva uma equação descrevendo a 
onda progressiva. 
 
 (Pág. 132) 
Solução. 
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A análise do gráfico mostra que: 
(a) Amplitude: 
 5,0 cmmy = 
(b) Comprimento de onda: 
 40 cm = 
(c) Velocidade de propagação: 
 
( )
( )2
3,6 N
2,5 10 kg
v

 −
= =

 
 12 m/sv = 
(d) Período: 
 
( )
( )
0,40 m
0,0333 s
12 m/s
T
v

= = = 
 33 msT  
(e) A velocidade máxima umax de um elemento de corda é dada por (ver Probl. 11 - Item (b)) 
 max mu y= 
 
( )
( )max
2 2
0,050 m 9,4247 m/s
0,0333 s
mu y
T
 
= = = 
 max 9,4 m/su  
(f) Para compor a função de onda, precisamos determinar a frequência angular , 
 
( )
2 2
188,4955 rad/s
0,0333 sT
 
 = = = 
 190 rad/s  
o número de onda angular k, 
 
( )
2 2
15,7079 rad/m
0,40 m
k
 

= = = 
 16 rad/mk  
e a constante de fase . No instante t = 0, o deslocamento vertical da onda é y(5,0) = 4,0 cm. Ou seja: 
ym
y (cm)
x (cm)

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 (5,0) 0,040 my = 
 ( )(5,0) senmy y kx = + 
 ( ) ( ) ( )( )0,040 m 0,050 m sen 15,7079 rad/m 0,050 m  = +  
 ( )( )sen 15,7079 rad/m 0,050 m 0,80 + =  
Há dois ângulos entre 0 e 2 rad cujo seno é igual a 0,80: 1 = 0,9272... rad e 2 = 2,2142... rad. A 
análise da velocidade vertical do elemento de onda em x = 0 é capaz de indicar o valor correto. A 
velocidade vertical do elemento de onda em x no instante t, u(x,t), vale: 
 ( )
( ) ( )
( )
,
,
sen
cos
x t m
mx t
y y kx t
u y kx t
t t
 
  
   − + = = = − +
 
 
Para 1 = 0,9272... rad, no instante t =0, a velocidade vertical do elemento de onda em x = 0, u(0,0) 
vale: 
 ( ) ( )( ) ( )1 0,0 190 rad/s 0,050 m cos 0 0 0,9272 rad 5,7 m/su  = − +   
Para 2 = 2,2142... rad: 
 ( ) ( )( ) ( )2 0,0 190 rad/s 0,050 m cos 0 0 2,2142 rad 5,7 m/su  = − +  −  
Segundo o enunciado, a onda movimenta-se no sentido −x, ou seja, para a esquerda. Isto implica em 
que, no instante t = 0 (que é o instante retratado na Fig. 17-24), o elemento de corda que cruza o 
eixo y esteja se movendo no sentido +y, ou seja, para cima (u  0). Portanto, a constante de fase 
correta é  = 1 = 0,9272... rad. 
Finalmente: 
 ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 0,050 m sen 16 rad/m 190 rad/s 0,93 radx ty x t = + +  
 
30. Um fio de 10,0 m de comprimento e de massa 100 g é tracionado por uma tensão de 250 N. Se 
dois pulsos, separados no tempo de 30,0 ms, são gerados, um em cada extremidade do fio, onde 
eles se encontrarão pela primeira vez? 
 (Pág. 132) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
O pulso 1 foi gerado no instante t01 = 0, enquanto que o pulso 2 em t02 = t =30,0 ms. A velocidade 
escalar dos pulsos é a mesma e dada por: 
L
v
x0
−v
v −v
d
v
t01 = 0
t t02 = 
t1 = t2
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L
v
m
 

= = 
onde  é a tensão no fio,  é a densidade linear de massa do fio, m é a sua massa e L o seu 
comprimento. Vamos analisar o movimento, com velocidade constante, do pulso 1: 
 ( )1 01 1 1 01xx x v t t= + − 
 ( )10 0
L
d t
m

= + − 
 1
m
t d
L
= (1) 
Agora vamos analisar o movimento do pulso 2: 
 ( )2 02 2 2 02xx x v t t= + − 
 ( )2
L
d L t t
m
 
= + − −  
 
 
 
2
L m
t L d t
m L


 
= − +   
 
 (2) 
Como os pulsos deverão encontrar-se no ponto d no mesmo instante de tempo, conclui-se que t1 = 
t2. Igualando-se (1) e (2): 
 m L md L d t
L m L

 
 
= − +   
 
 
 ( ) ( )
( )( )
( )
3
250 N 10,0 m1 1
10,0 m 30,0 10 s 7,3717 m
2 2 0,100 kg
L
d L t
m
 −
  
 = +  = +  =  
    
 
 7,37 md  
 
33. A potência P1 é transmitida por uma onda de frequência f1 numa corda sob tensão 1. Qual é a 
potência transmitida P2 em termos de P1 (a) se a tensão da corda for aumentada para 2 = 4 1 e 
(b) se, ao invés, a frequência for diminuída para f2 = f1/2? 
 (Pág. 132) 
Solução. 
A situação 1 é caracterizada pelos seguintes parâmetros: P1, f1 e 1. 
(a) P2 = ? para 2 = 4 1 
A potência transmitida na situação 1 é dada por: 
 2 2
1 1 1 1
1
2
mP v y = 
Onde: 
 1
1v


= 
 1 12 f = 
Logo: 
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10 
 2 2 21
1 1 1
1
4
2
mP f y

 

= (1) 
Na situação 2, teremos: 
 2 2 21
2 1 1
41
4
2
mP f y

 

= (2) 
Dividindo-se (2) por (1): 
 2 1
1 1
4P
P


= 
 2 12P P= 
(b) P2 = ? para f2 = f1/2 
Agora, na situação 2, teremos: 
 
2
2 21 1
2 1
1
4
2 4
m
f
P y

 

= (3) 
Dividindo-se (3) por (1): 
 
2
1
2
2
1 1
4
f
P
P f
= 
 1
2
4
P
P = 
 
35. Uma onda senoidal transversal é gerada numa extremidade de uma longa corda horizontal, por 
uma barra que se move para cima e para baixo entre extremos que distam 1,00 cm. O 
movimento é contínuo e repetido regularmente 120 vezes por segundo. A corda tem uma 
densidade linear de 120 g/m e é mantida sob uma tensão de 90,0 N. Ache (a) o valor máximo da 
velocidade transversal u e (b) o valor máximo da componente transversal da tensão. (c) Mostre 
que os dois valores máximos, calculados acima, ocorrem para os mesmos valores de fase da 
onda. Qual é o deslocamento transversal y da corda nessas fases? (d) Qual é a máxima potência 
transferida ao longo da corda? (e) Qual é o deslocamento transversal y quando esta transferência 
máxima de potência acontece? (f) Qual é a transferência mínima de potência ao longo da corda? 
(g) Qual é o deslocamento transversal y quando esta transferência mínima de potência ocorre? 
 (Pág. 132) 
Solução. 
(a) A velocidade máxima umax de um elemento de corda é dada por (ver Probl. 11 - Item (b)) 
 ( )( )1 3max 2 2 120 s 5,00 10 m 3,7699 m/sm mu y fy   − −= = =  = 
 max 3,77 m/su  
(b) A componente transversal da tensão (y) é dada, para pequenas amplitudes, por: 
 ( , )x t
y
y
x
 
 
=  
 
 
Note que se / 0y x  = (corda na horizontal, tal como na parte superior de um pulso), teremos 
0y = . Logo, para uma função de onda transversal progressiva do tipo: 
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11 
 ( ) ( ), senmx ty y kx t= −A componente transversal da tensão será: 
 ( ). cosy mky kx t  = − 
O valor máximo de y (y,max) ocorrerá quando ( )cos 1kx t− =  . 
 ,max . . . 2y m m mky y fy
v
 
    

= = = 
 ( )( ) ( )( )1 3,max 2 2 120 s 5,00 10 m 0,120 kg/m 90,0 N 12,3891 Ny mfy    − −= =  = 
 ,max 12, 4 Ny  
(c) Como foi demonstrado nos itens (a) e (b), umax e y,max ocorrem quando cos (kx − t) =  1. O 
deslocamento transversal (y) é zero quando cos (kx − t) =  1, pois sen (kx − t) = 0. 
(d) A potência máxima é dada por: 
 ( )
2
2max
2 2 2 2 2 2 2max max
max
1
22 2 2 4 4m m m
dmu
dK dxu
P v fy vf y f y
dt dt dt
 
     

= = = = = = 
 
2 2 2
max 4 mP f y = 
 ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 1 3
max 4 120 s 5,00 10 m 0,120 kg/m 90,0 N 46,7061 WP 
− −=  = 
 max 46,7 WP  
(e) A potência máxima Pmax ocorre quando a velocidade transversal e a deformação da corda forem 
máximos (energias cinética e potencial máximas). Isso ocorre no mesmo deslocamento transversal 
em que umax ocorre (cos (kx − t) =  1), ou seja, em y = 0. 
(f) A transferência mínima de potência ocorre quando a velocidade transversal e a deformação da 
corda forem mínimas. Como em y = ym a velocidade transversal é zero, a energia cinética também é 
zero. Em y = ym a energia potencial também é zero. Logo, a potência mínima também é zero. 
(g) A potência P é mínima quando y = ym = 0,500 cm. 
 
38. Uma fonte S e um detector de ondas de rádio D estão localizados ao nível do solo a uma 
distância d (Fig. 17-26). Ondas de rádio de comprimento  chegam a D, pelo caminho direto ou 
por reflexão, numa certa camada da atmosfera. Quando a camada está numa altura H, as duas 
ondas chegam em D exatamente em fase. À medida que a camada sobe, a diferença de fase 
entre as duas ondas muda, gradualmente, até estarem exatamente fora de fase para uma altura de 
camada H + h. Expresse  em termos de d, H, e h. 
 
 (Pág. 133) 
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12 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
Se as ondas que chegam ao detector (D) pelos caminhos SD e SAD estão em fase, a diferença entre 
as distâncias percorridas deve ser igual a n, onde n é um número inteiro: 
 SAD SDd d n− = 
 
1/ 2
2
22
4
d
H d n
 
+ − = 
 
 
 ( )
1/ 2
2 24d H d n+ − = (1) 
A perda de sinal observada em D quando a onda percorre o caminho SBD é devida à interferência 
destrutiva que ocorre quando esta encontra a onda que percorreu o caminho SD. Isto significa que o 
caminho SBD é maior do que SAD em apenas /2. Ou seja: 
 
2
SBD SDd d n

− = + (2) 
Substituindo-se o valor de n de (1) em (2): 
 ( ) ( )
1/ 2 1/ 222 2 24 4
2
d H h d d H d
 + + − = + − +
 
 
 ( ) ( )
1/ 2 1/ 222 2 22 4 2 4d H h d H  = + + − +
 
 
 
41. Determine a amplitude de uma onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se 
propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência, têm amplitudes de 3,0 cm e 4,0 cm e 
diferença de fase de /2 rad. 
 (Pág. 133) 
Solução. 
Sejam y1 e y2 as equações das ondas transversais que se propagam no sentido de x crescente: 
 ( ) ( )1 11 , sen cos2m mx t
y y kx t y kx t

 
 
= − + = − 
 
 
 ( ) ( )22 , senmx ty y kx t= − 
A combinação (sobreposição) das duas ondas resulta em: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, 1 , 2 , cos senm mx t x t x ty y y y kx t y kx t = + = − + − (1) 
A determinação da amplitude ym da função y(x,t) pode ser feita por meio da localização dos seus 
pontos de máximo, y = ym, ou mínimo, y = −ym. 
S D
A
B
d
d/2 d/2
H
h
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13 
 
( ) ( ) ( )
,
1 2sen cos 0
x t
m m
y
ky kx t ky kx t
x
 

= − − + − =

 
 ( ) ( )1 2sen cosm my kx t y kx t − = − 
 ( ) 2
1
tan m
m
y
kx t
y
− = 
 1 2
1
tan m
m
y
kx t
y
 −
 
− =  
 
 
 (2) 
Isto significa que sempre que kx − t assumir o valor tan−1(ym2/ym1), o valor de y(x,t) será um ponto 
de máximo ou mínimo. Substituindo-se (2) em (1): 
 
( )
1 12 2
1 2,
1 1
cos tan sen tanm mm m mx t
m m
y y
y y y y
y y
− −
      
= = +      
         
 
 ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
4,0 cm 4,0 cm
3,0 cm cos tan 4,0 cm sen tan
3,0 cm 3,0 cm
my
− −
         
= +      
            
 
 5,0 cmmy = 
 
46. Uma corda de violão, de náilon, tem uma densidade linear de 7,2 g/m e está sob uma tensão 
igual a 150 N. Os suportes fixos estão distanciados 90 cm. A corda está oscilando de acordo 
com o padrão de onda estacionária mostrado na Fig. 17-27. Calcule (a) a velocidade escalar, (b) 
o comprimento de onda e (c) a frequência das ondas cuja superposição origina essa onda 
estacionária. 
 
 (Pág. 133) 
Solução. 
(a) A velocidade escalar da onda vale: 
 
( )
( )3
150 N
144,3375 m/s
7,2 10 kg/m
v

 −
= = =

 
 140 m/sv  
(b) A Fig. 17-27 mostra que a vibração ocorre no terceiro harmônico (n = 3), logo o comprimento 
de onda vale: 
 
( )2 0,90 m2
3
L
n
 = = 
 0,60 m = 
(c) A frequência vale: 
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14 
 
( )
( )
144,3375 m/s
240,5626 Hz
0,60 m
v
f

= = = 
 240 Hzf  
 
49. Uma corda de comprimento igual a 125 cm tem massa 2,00 g. Ela é esticada sob uma tensão de 
7,00 N entre dois suportes fixos. (a) Qual é a velocidade da onda nessa corda? (b) Qual é a mais 
baixa frequência de ressonância para essa corda? 
 (Pág. 133) 
Solução. 
(a) A velocidade escalar de propagação da onda vale: 
 
( )( )
( )3
7,00 N 1,25 m
66,1437 m/s
2,00 10 kg
L
v
m
 
 −
= = = =

 
 66,1 m/sv  
(b) Uma corda ressonante fixa em ambas as extremidades é capaz de acomodar um número inteiro 
de meios comprimentos de onda: 
 
2
L n

= , n = 1, 2, 3, ... 
Como: 
 
v
f
 = 
Logo: 
 
2
nv
L
f
= 
 
2
n
nv
f
L
= 
Onde f1, f2, f3, etc. são as frequências de ressonância para n =1, 2, 3, etc. A mais baixa frequência de 
ressonância é f1: 
 
( )
( )1
66,1437 m/s1
26,4575 Hz
2 2 1,25 m
v
f
L
= = = 
 1 26,5 Hzf  
 
51. Um fio de 1,50 m tem massa 8,70 g e é mantido sob uma tensão de 120 N. O fio é rigidamente 
seguro em ambas as extremidades e levado a vibrar. Calcule (a) a velocidade das ondas nesse 
fio, (b) os comprimentos de onda que produzem ondas estacionárias, com um e dois meios 
comprimentos de onda, nesse fio e (c) as frequências das ondas que produzem ondas 
estacionárias, nas mesmas condições do item anterior. 
 (Pág. 133) 
Solução. 
(a) A velocidade escalar de propagação da onda vale: 
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15 
 
( )( )
( )3
120 N 1,50 m
143,8389 m/s
8,70 10 kg
L
v
m
 
 −
= = = =

 
 144 m/sv  
(b) A onda estacionária com um meio comprimento de onda deve satisfazer à seguinte condição: 
 
 
2
L

= 
 ( )2 2 1,50 mL = = 
 3,00 m = 
A onda estacionária com dois meios comprimentos de onda deve satisfazer à seguinte condição: 
 
 2
2
L

= 
 L = 
 1,50 m = 
(c) A frequência de uma ondaestacionária pode ser calculada por meio de: 
 
v
f

= 
Para  = 3,00 m: 
 
( )
( )
143,8389 m/s
47,9463 m
3,00 m
f = = 
 47,9 mf  
Para  = 1,50 m: 
 
( )
( )
143,8389 m/s
95,8926 m
1,50 m
f = = 
 95,9 mf  
 
53. A corda A está esticada entre dois grampos separados por uma distância l. A corda B, de mesma 
densidade linear e submetida à mesma tensão que a corda A, está esticada entre dois grampos 
separados por uma distância 4l. Considere os primeiros oito harmônicos da corda B. Qual deles 
- se algum - tem uma frequência de ressonância igual a alguma frequência de ressonância de A? 
 (Pág. 134) 
Solução. 
Pelo fato de ambas as cordas terem a mesma densidade linear de massa e estarem sujeitas à mesma 
tensão, a velocidade escalar das ondas transversais produzidas nessas cordas devem ser iguais, ou 
L
L
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16 
seja, vA = vB = v. Para uma corda que tem suas extremidades fixas, temos as seguintes frequências 
de ressonâncias (veja a solução Probl. 49, item b): 
 
2
n
nv
f
l
= , n = 1, 2, 3, etc. 
As oito primeiras frequências da corda B são: 
 n = 1 
( )1
1
2 4 8
B
v v
f
l l
= = n = 5 
5
5
8
B
v
f
l
= 
 n = 2 
( )2
2
2 4 4
B
v v
f
l l
= = n = 6 
6
3
4
B
v
f
l
= 
 n = 3 
3
3
8
B
v
f
l
= n = 7 7
7
8
B
v
f
l
= 
 n = 4 
4
2
B
v
f
l
= n = 8 8B
v
f
l
= 
Analisando-se as possíveis frequências de ressonância da corda A, temos: 
 n = 1 
( )1
1
2 2
A
v v
f
l l
= = n = 5 
5
5
2
A
v
f
l
= 
 n = 2 
( )2
2
2
A
v v
f
l l
= = n = 6 
6
3
A
v
f
l
= 
 n = 3 
3
3
2
A
v
f
l
= etc. 
 n = 4 
4
2
A
v
f
l
= etc. 
Vemos que apenas duas frequências de ressonância de B coincidem com as frequências de A. São 
elas: 
 1 4A Bf f= 
 2 8A Bf f= 
 
54. Duas ondas estão se propagando na mesma corda, muito comprida. Um vibrador no extremo 
esquerdo da corda gera uma onda dada por 
 ( ) ( ) ( )1 11 6,0 cm cos 2,0 m 8,0 s
2
y x t
 − − = +
 
 
enquanto um outro no extremo direito da corda gera a onda 
 ( ) ( ) ( )1 11 6,0 cm cos 2,0 m 8,0 s
2
y x t
 − − = −
 
 
(a) Calcule a frequência, o comprimento de onda e a velocidade escalar de cada onda. (b) 
Determine os pontos onde não existe movimento (os nós). (c) Em quais pontos o movimento da 
corda é máximo? 
 (Pág. 134) 
Solução. 
(a) Comparando-se as funções das ondas fornecidas no enunciado com uma função geral da onda 
transversal progressiva: 
 ( ) ( ), cosmx ty y kx t= − 
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17 
Vemos que as frequências das duas ondas são idênticas e valem: 
 
( ) ( )
1
18,0 s 8,0 s
2
2 2 4
f


 
−
−
= = = 
 
12,0 sf −= 
Da mesma forma, os comprimentos de onda são iguais: 
 
( )
( )
1
2 2
4 2,0 m
2,0 m
2
k
 

 −
= = = 
 2,0 m = 
Idem para a velocidade escalar das duas ondas: 
 ( )( )12,0 m 2,0 sv f −= = 
 4,0 m/sv = 
(b) Vamos construir a onda resultante da sobreposição das duas ondas dadas, que corresponde à 
soma das duas funções de onda: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 16,0 cm cos 2,0 m 8,0 s cos 2,0 m 8,0 s
2 2
y x t x t
 − − − −    = + + −     
 
A expressão acima pode ser representada por: 
 ( )( )6,0 cm cos cosy  = + 
Aplicando-se a identidade trigonométrica: 
 ( ) ( )
1 1
cos cos 2cos cos
2 2
     + = + + − 
Teremos: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
1 1
6,0 cm 2cos 2,0 m 2,0 m cos 8,0 s 8,0 s
2 2 2 2 2 2
y x x t t
   − − − −      = + +      
      
 
 ( ) ( ) ( )1 112 cm cos 2,0 m cos 8,0 s
2 2
y x t
 − −   =    
   
 
Uma representação geral para a onda estacionária acima pode ser: 
 ( )( ) cosm xy y t= 
Onde ym(x) é a amplitude da onda estacionária em cada ponto x da corda. Os nós da onda 
estacionária correspondem aos pontos da corda onde ym(x) =0, ou seja: 
 ( )1 nócos 2,0 m 0
2
x
 −  = 
 
 
Isto implica em: 
 ( )1 nó
1
2,0 m
2 2
x n

−
 
= + 
 
, n = 0, 1, 2, 3, etc. 
 ( )nó
1
1,0 m
2
x n
 
= + 
 
, n = 0, 1, 2, 3, etc. 
(c) Os antinós ocorrerão em: 
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18 
 ( )1 antinócos 2,0 m
2
x n

−
 
= 
 
, n = 0, 1, 2, 3, etc. 
 ( )antinó 1,0 mx n= , n = 0, 1, 2, 3, etc. 
Veja o esquema da onda estacionária: 
 
 
56. Uma corda está esticada entre suportes fixos separados por 75,0 cm. Observou-se que tem 
frequências ressonantes em 420 e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual é a 
frequência de ressonância mais baixa dessa corda? (b) Qual é a velocidade de onda para essa 
corda? 
 (Pág. 134) 
Solução. 
(a) A fórmula geral para as frequências ressonantes numa corda esticada com ambas as 
extremidades fixas é (veja a solução Probl. 49, item b): 
 
2
n
nv
f
l
= , n = 1, 2, 3, etc. 
Como não há outras frequências ressonantes entre as duas frequências dadas, conclui-se que essas 
frequências são harmônicos consecutivos. ou seja: 
 315 Hz
2
n
nv
f
l
= = 
 
( )
1
1
420 Hz
2
n
n v
f
l
+
+
= = 
Fazendo-se a diferença entre essas frequências: 
 
( )
1 1
1 1
2 2 2
n n
n v nv v
f f f
l l l
+
+
− = − = = 
Logo: 
 ( ) ( )1 1 420 Hz 315 Hzn nf f f+= − = − 
 1 105 Hzf = 
(b) Para o primeiro harmônico, o comprimento de onda é: 
 1 2L = 
Veja o esquema: 
x (m)
0 1 2 3 4 5
nós antinós
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19 
 
Logo, a velocidade escalar da onda será: 
 ( )( )11 1 12 2 0,750 m 105 s 157,5 m/sv f Lf −= = = = 
 158 m/sv  
 
58. Dois pulsos se propagam ao longo de uma corda em sentidos opostos, como na Fig. 17-29. (a) 
Se a velocidade de onda v é 2,0 m/s e os pulsos estão a uma distância de 6,0 cm em t = 0, 
esboce os padrões resultantes para t = 5,0, 10, 15, 20 e 25 ms. (b) O que aconteceu com a 
energia em t = 15 ms? 
 
 (Pág. 134) 
Solução. 
(a) Após um intervalo de tempo t, o pulso da esquerda (pulso 1) terá executado um deslocamento: 
 1x v t =  
Enquanto que o pulso da direita (pulso 2): 
 2x v t = −  
Após t, a posição de cada pulso será: 
 1 1,0 1 1,0x x x x v t= +  = +  
 2 2,0 2 2,0x x x x v t= +  = −  
Portanto, a distância d entre os pulsos será: 
 ( ) ( )2 1 2,0 1,0 2,0 1,0d x x x v t x v t x v t x v t= − = −  − +  = −  − −  
 2,0 1,0 02 2d x x v t d v t= − −  = −  
 ( ) ( )0,060 m 4,0 m/sd t= −  
Nas equações acima, representamos d0 como a distância original entre os pulsos. Portanto, após t 
= 5,0 ms: 
 ( ) ( )( )30,060 cm 4,0 m/s 5,0 10 s 0,04 md −= −  = 
 40 cmd = 
 
Após t = 10 ms: 
L = /2
−v
v
t = 5,0 ms
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20 
 ( ) ( )( )30,060 cm 4,0 m/s 10 10 s 0,02 md −= −  = 
 20 cmd = 
 
Após t = 15 ms: 
 ( ) ( )( )30,060 cm 4,0 m/s 15 10 s 0,0 md −= − = 
 0 cmd = 
 
Após t = 20 ms: 
 ( ) ( )( )30,060 cm 4,0 m/s 20 10 s 0,2 md −= −  = 
 20 cmd = 
 
Após t = 25 ms: 
 ( ) ( )( )30,060 cm 4,0 m/s 25 10 s 0,4 md −= −  = 
 40 cmd = 
 
(b) Quando os pulsos estão viajando, transportam energia cinética (devido à velocidade transversal 
das partículas de corda) e energia potencial (devido ao estiramento da corda para formar o pulso). 
Quando os pulsos se tocam, seus deslocamentos transversais, de sinais opostos, anulam-se, até 
desaparecerem quando da sobreposição total. Como não há mais deslocamento transversal nesse 
instante, não haverá energia potencial armazenada na onda. Devido à conservação da energia 
mecânica do sistema, toda a energia transportada estará na forma de energia cinética. 
 
61. A vibração de um diapasão a 600 Hz estabelece ondas estacionárias numa corda presa nas duas 
extremidades. A velocidade escalar da onda na corda é 400 ms. A onda estacionária tem dois 
comprimentos de onda e uma amplitude de 2,0 mm. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) 
Escreva uma equação para o deslocamento da corda em função da posição e do tempo. 
 (Pág. 134) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
−v
v
t = 10 ms
t = 15 ms
−v
v
t = 20 ms
−v
v
t = 25 ms
L

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21 
(a) O comprimento da corda vale: 
 
( )
( )
400 m/s
2 2 2 1,3333 m
600 Hz
v
L
f
= = = = 
 1,33 mL  
(b) A equação de uma onda estacionária pode ser representada por: 
 ( ) ( )'( , ) 2 sen cos sen cosx t m my y kx t y kx t = = 
Na equação acima, ym é a amplitude das ondas que originaram a onda estacionária e 
'
my é a 
amplitude da onda estacionária. Para compor a função da onda estacionária, precisamos apenas 
determinar k e . A frequência angular vale: 
 ( )2 2 600 Hz 3.769,91 rad/sf  = = = 
O número de onda angular vale: 
 
( )
( )
3.769,91 rad/s
9,4247 rad/m
400 m/s
k
v

= = = 
Logo: 
 ( ) ( ) ( )( , ) 2,0 mm sen 9,42 rad/m cos 3.770 rad/sx ty x t   =     
 
62. Numa experiência com ondas estacionárias, uma corda de 90 cm de comprimento está 
conectada ao terminal de um diapasão elétrico e oscilando perpendicularmente ao seu 
comprimento, na frequência de 60 Hz. A massa da corda é 0,044 kg. (a) A que tensão deve ser a 
corda submetida (pesos estão presos na outra ponta) para ela vibrar com dois comprimentos de 
onda? (b) O que aconteceria se o diapasão fosse girado de forma a vibrar paralelamente ao 
comprimento da corda? 
 (Pág. 134) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
(a) A tensão na corda pode ser obtida por meio da manipulação de alguns parâmetros envolvidos na 
composição da onda, tais como a densidade linear de massa , a velocidade escalar da onda v, a 
massa da corda m, o comprimento da corda L e a frequência de vibração f: 
 ( )
2
22 2
2
m m L
v f f
L L
  
   
= = =   
   
 
 
( )( )( )
22 0,044 kg 0,90 m 60 Hz
35,64 N
4 4
mLf
 = = = 
 36 N  
 
L

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22 
63. Considere uma onda estacionária que é a soma de duas ondas idênticas se propagando em 
sentidos opostos. Mostre que a energia cinética máxima em cada meio comprimento de onda 
dessa onda estacionária é 22 ym2f v. 
 (Pág. 134) 
Solução. 
Seja a equação de onda estacionária: 
 ( )( , ) 2 sen cosx t my y kx t= 
A velocidade transversal de um elemento do meio que conduz a onda é: 
 ( )
( ),
,
2 sen sen
x t
mx t
y
u y kx t
t
 

= = −

 
A velocidade transversal máxima é atingida quando sen t = 1, ou seja, em y(x,t) = 0. Logo: 
 max( ) 2 senx mu y kx= (1) 
Considerando-se meio comprimento de onda transversal, como no esquema que segue: 
 
A energia cinética máxima de um elemento de massa dm da corda é dado por: 
 2 2
max( ) max( ) max( )
1 1
2 2
x x xdK dmu dxu= = (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 ( ) ( )
2 2 2 2
max( )
1
2 sen 2 sen
2
x m mdK dx y kx y kx dx  = = 
A energia cinética máxima em meio comprimento de onda será dado pela integral: 
 ( )
/ 2
2 2 2 2 2
max, / 2
0
1
2 sen 2 sen
4 4
m mK y kx dx y k
k



  
 
= = − 
 
 
Como k = 2 (verifique!), teremos: 
 
2 2 2 2
max, / 2
1
2
4 2
m mK y y

 
 
= = 
 
 (3) 
Da relação v =/k: 
 2 2 2v k = 
 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
4 4 4v v
v k v
v
f
  
   
 
 
= = = = 
 
 
 
2 24 vf  = (4) 
Substituindo-se (4) em (3): 
 
2 2
max, / 2 2 mK y vf  = 
L
umax(x)
x
dx dm
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23 
 
65. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no 
segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por 
 ( )( )0,10 m sen / 2 sen12y x t = 
onde x = 0 numa das pontas da corda, x é dado em metros e t em segundos. Quais são (a) o 
comprimento da corda, (b) a velocidade escalar das ondas na corda e (c) a massa da corda? (d) 
Se a corda oscilar num padrão de onda estacionária referente ao terceiro harmônico, qual será o 
período de oscilação? 
 (Pág. 134) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema, que mostra uma onde estacionária que vibra em seu segundo 
harmônico: 
 
Comparando-se a equação da onda estacionária fornecida no enunciado com a equação geral de 
uma onda estacionária: 
 ( ) ( )( , ) 2 sen cos 2 sen sen
2
x t m my y kx t y kx t

 
 
= = + 
 
 
Podemos concluir que o número de onda angular k vale: 
 1 m
2
k
 −= 
E que a velocidade angular  vale: 
 112 sk  −= 
(a) Como a onda estacionária vibra no segundo harmônico, isto significa que há dois meios 
comprimentos de onda (meio comprimento de onda para cada harmônico) no comprimento L da 
corda. 
 
1
2 2
2
2
 m
2
L
k
  

 −
 
= = = = 
  
 
 
 
 4,0 mL = 
(b) A velocidade de propagação da onda transversal vale: 
 
( )1
1
12 s
 m
2
v
k


−
−
= =
 
 
 
 
 24 m/sv = 
(c) A massa da corda vale: 
 
L
v
m
 

= = 
 
( )( )
( )
22
200 N 4,0 m
1,3888 kg
24 m/s
L
m
v

= = = 
L
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24 
 1,4 kgm  
(d) O esquema a seguir mostra uma onda estacionária vibrando em seu terceiro harmônico: 
 
Quando a onda vibra em seu terceiro harmônico, temos: 
 3
2
L
 
=  
 
 
 
2
3
L
 = 
O período da onda estacionária será: 
 
( )
( )
2 4,0 m2
1,1111 s
3 3 24 m/s
L
T
v v

= = = = 
 1,1 sT  
 
67. Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por 
 ( )1 0,050cos 4y x t = − 
 ( )2 0,050cos 4y x t = + 
onde x, y1 e y2 estão em metros e t em segundos. (a) Qual é o menor valor positivo de x que 
corresponde a um nó? (b) Em quais instantes no intervalo 0  t  0,50 s a partícula em x = 0 terá 
velocidade zero? 
 (Pág. 134) 
Solução. 
A onda estacionária resultante y da sobreposição de y1 e y2 corresponde à soma dessas duas ondas: 
 ( ) ( )1 2 0,050 cos 4 cos 4y y y x t x t   = + = − + +  
Aplicando-se a identidade trigonométrica: 
 ( ) ( )
1 1
cos cos 2cos cos
2 2
     + = + + − 
Teremos: 
 ( ) ( )
1 1
0,050.2cos 4 4 cos 4 4
2 2
y x t x t x t x t       
   
= − + + − − −   
   
 
 ( )0,10cos cos 4y x t = − 
 ( )0,10cos cos4y x t = (1) 
Uma representação geral para a onda estacionária acima pode ser: 
 ( )( ) cosm xy y t= 
(a) Os nós da onda estacionária ocorrerão sempre que cos x = 0, ou seja, quando: 
L

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25 
 
1
2
x n 
 
= + 
 
, n = 0, 1, 2, 3, etc. 
O menor valor positivo de x onde há nó corresponde ao valor de n = 0: 
 
1
0
2 2
x

 
 
= + = 
 
 
 
1
 m
2
x = 
O esquema a seguir mostra a onda estacionária y no instante t = 0, em 0  x  5: 
 
(b) A velocidade transversal da corda u é dada por: 
 
( )
( )
0,10cos cos 4
0,10.4 cos sen 4
x ty
u x t
t t
 
  

= = = −
 
 
 0,40 cos sen4u x t  = − 
Em x = 0, a velocidade transversal será zero sempre que sen 4t = 0. ou seja: 
 4 t n = , n = 0, 1, 2, 3, etc. 
 
4
n
t = 
Entre 0,0 e 0,5 s, inclusive, a partícula da corda em x = 0 terá velocidade zero nos seguintes 
instantes: t = 0 s, t = ¼ s e t = ½ s. 
 
x
y
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26 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 19 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 
 
18. Na Fig. 27a, a corda n.o 1 tem densidade linear de massa 3,31 g/m, e a corda n.o 2 é 4,87 g/m. 
Elas estão esticadas devido ao peso de um bloco cuja massa é M = 511 g. (a) Calcule a 
velocidade de onda em uma corda. (b) O bloco agora é dividido em dois (com M1 + M2 = M) e o 
aparelho é rearranjado como aparece na Fig. 27b. Determine M1 e M2 para que as velocidades 
de onda nas duas cordas sejam iguais. 
 
 (Pág. 119) 
Solução. 
(a) A figura abaixo mostra o diagrama das forças que agem na polia central da Fig. 27a, onde F é a 
tensão na corda e P é o peso da massa M: 
 
A partir do diagrama é fácil concluir que: 
 2F P Mg= = 
 
2
Mg
F = 
A velocidade de uma onda transversal numa corda é dada por: 
 
F
v

= 
Logo, a velocidade da onda na corda 1 vale: 
F
x
y
z
F
P
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27 
 
( )( )
( )
2
1
1 1
511 g 9,81 m/s
27,5179 m/s
2 2 3,31 g/m
F Mg
v
 
= = = = 
 1 27,5 m/sv  
A velocidade da onda na corda 2 vale: 
 
( )( )
( )
2
1
2
511 g 9,81 m/s
22,6863 m/s
2 2 4,87 g/m
Mg
v

= = = 
 1 22,7 m/sv  
(b) O enunciado agora exige que as velocidades em ambas as cordas sejam iguais: 
 1 2v v= 
 
1 2
1 2
F F
 
= 
 
1 2
1 2
M g M g
 
= 
 
2
2 1
1
M M


= (1) 
Mas existe a seguinte restrição: 
 1 2M M M+ = 
 2 1M M M= − 
 (2) 
Igualando-se (1) e (2): 
 
( )( )
( ) ( )
1
1
1 2
3,31 g/m 511 g
206,7738
3,31 g/m 4,87 g/m
M
M g

 
= = =
+ +
 
 1 207 M g 
Logo: 
 2 304 M g 
 
21. O tipo de borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obedece a lei de Hooke numa 
para ampla faixa de alongamentos. Uma tira desse material tem comprimento L e massa m. 
Quando uma força F é aplicada, a tira aumenta de L. (a) Qual é a velocidade (em termos de m, 
L e constante de força k) para ondas transversais nessa tira? (b) Usando sua resposta à parte 
(a), mostre que o tempo necessário para um pulso transversal percorrer o comprimento da tira 
de borracha é proporcional a 1/ L se l  L e é constante se l  L. 
 (Pág. 119) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
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28 
 
(a) A velocidade da onda transversal na tira é dada por: 
 
F
v

= (1) 
A força F aplicada na tira produz uma deformação que é proporcional ao módulo da força (lei de 
Hooke), sendo que no equilíbrio, F corresponde à tensão na tira: 
 F k L=  
A densidade linear da tira, , é a razão entre a sua massa, que é constante, e seu comprimento, que 
depende do grau de estiramento: 
 
m
L L
 =
+ 
 
Substituindo F e  em (1): 
 
k L
v
m
L L

=
+ 
 
 
2
1
k L L
v
m L
  
= + 
 
 
(b) A velocidade de um pulso que percorre a tira vale: 
 
x
v
t

=

 
Para um deslocamento x L L = +  , o intervalo de tempo vale: 
 
L L
t
v
+ 
 = (2) 
Substituindo-se a expressão de v obtida no item (a) em (2): 
 
( )
( )
( )
2
m L LL L
t
k L L Lk L
L L
m
+ + 
 = =
 + 
+ 
 
 
( )m L L
t
k L
+ 
 =

 
Para l  L, teremos: 
 
1mL
t
k L L
  
 
 
Para l  L, teremos: 
F
L
L
Elásticom, k
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29 
 constante
m
t
k
  = 
 
22. Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está dependurada do teto. (a) Mostre que a 
velocidade de uma onda transversal nessa corda é uma função de y, a distância a partir do 
extremo inferior, e é dada por v gy= . (b) Mostre que o tempo necessário para uma onda 
transversal percorrer o comprimento da corda é 2 /t L g= . (c) A massa da corda afeta os 
resultados de (a) e (b)? 
 (Pág. 119) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
(a) A tensão na corda é variável. Num dado ponto da corda, a tensão é igual ao peso da porção da 
corda abaixo daquele ponto. No esquema acima, a tensão no ponto P, localizado a uma altura y da 
extremidade inferior da corda, vale: 
 ( ) ( )y yF m g gy= = 
Logo, a velocidade da onda transversal na corda vale: 
 ( )
( )
y
y
F gy
v

 
= = 
 ( )yv gy= 
(b) O tempo que a onda leva para percorrer o comprimento da corda pode ser obtido da seguinte 
forma: 
 
( )y
dy
v gy
dt
= = 
 
dy
dt
gy
= 
 
0 0
t L dy
dt
gy
=  
 
0
2
L
gy
t
g
= 
y
L
v( )y
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30 
 2
L
t
g
= 
(c) A massa da corda não interfere nos resultados dos itens (a) e (b). 
 
23. Um fio não uniforme de comprimento L e massa M tem densidade linear de massa variável, 
dada por  = kx, onde x é a distância a uma extremidade do fio e k uma constante. (a) Mostre 
que M = kL2/2. (b) Mostre que o tempo t necessário para que um pulso gerado em uma das 
extremidades do fio chegue à outra extremidade é 8 / 9t ML F= , onde F é a tração no fio. 
 (Pág. 119) 
Solução. 
(a) A massa da corda pode ser calculada a partir da definição da densidade linear de massa: 
 
( )x
dm
kx
dx
 = = 
 
0 0
M L
dm kxdx=  
 
2
2
kL
M = 
(b) O tempo que a onda leva para percorrer a extensão da cordapode ser calculado a partir da 
definição da velocidade: 
 
( )
( )
x
x
dx F F
v
dt kx
= = = 
 
kx
dx dt
F
= 
 
0 0
t Lk
dt xdx
F
=  
 
3
32 4
3 9
k kL
t L
F F
= = 
Do item (a), temos: 
 
2
2M
k
L
= 
Logo: 
 
8
9
ML
t
F
= 
 
27. Uma onda progride uniformemente em todas as direções, a partir de uma fonte puntiforme. (a) 
Justifique a seguinte expressão para o deslocamento y do meio a qualquer distância r da fonte: 
 ( )sen
Y
y k r vt
r
= − . 
Considere a velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais 
são as dimensões da constante Y. 
 (Pág. 119) 
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31 
Solução. 
(a) No esquema abaixo, a uma distância r1 da fonte sonora F, a intensidade da onda é I1 e a área da 
frente de onda é A1. Pode-se afirmar que a potência transmitida P é a mesma para cada frente de 
onda. 
 
Logo: 
 
21 PP = 
 
2211 AIAI = (1) 
Mas: 
 
222/1 myvI = (2) 
Ou seja: 
 
2
myI  
Substituindo-se (2) em (1) e simplificando-se: 
 2
2
21
2
1 AyAy mm = 
 
2
2
2
2
2
1
2
1 44 ryry mm  = 
 
2222
2
2
2
2
1
2
1 YCteryryry mmm ==== 
O termo constante foi arbitrariamente chamado de Y. A amplitude de deslocamento ym da onda 
sonora vale: 
 
r
Y
ym = (3) 
A equação geral de uma onda sonora progressiva, em termos de deslocamento é: 
 )sen(),(  +−= tkxyy mtx 
Considerando-se que a constante de fase  = 0 (arbitrário) e que a coordenada x é r: 
 )sen(),( tkryy mtr −= (4) 
Multiplicando-se e dividindo-se o argumento da função seno de (4) por k, o número de onda 
angular, e substituindo-se o valor de ym dado por (3): 
 )(sen),( vtrk
r
Y
y tr −= (5) 
Em (5), foi usada a identidade v = /k. 
(b) Como ym e r devem ter dimensão L, cuja unidade SI é o metro, a constante Y deverá ter 
dimensão L2. 
F
r1
y
I1
r2
I2
A2
r
v
A
I
A1
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