ESPAÇO VETORIAL COM PRODUTO INTERNO

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ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO
O principal objetivo aqui é estudar espaços vetorias nos quais tenha sentido falar do �compri-
mento�de um vetor e do �ângulo�entre dois vetores.
�PRODUTO INTERNO
De�nição 0.1 Seja V um espaço vetorial sobre R. Uma função h ; i : V � V ! R é um produto 
interno sobre V se as seguintes condições são satisfeitas:
1. hu+ v;wi = hu;wi+ hv;wi, para todos u;v;w 2 V .
2. hau;vi = ahu;vi, para todos u;v 2 V e a 2 R.
3. hu;vi = hv;ui, para todos u;v 2 V .
4. hu;ui � 0, para todo u 2 V e hu;ui = 0, u = 0.
Observações 0.2 Note que
hau+ bv;wi = hau;wi+hbv;wi = ahu;wi+ bhv;wi; 8 a; b 2 R e u;v;w 2 V;
Mais geralmente,
ha1u1 + � � �+ anun;wi = a1hu1;wi+ � � �+ anhun;wi; 8 ai 2 R e ui;w 2 V:
Note, também, que
hu; av + bwi = hav + bw;ui = ahv;ui+ bhw;ui; 8 a; b 2 R e u;v;w 2 V:
Exemplo 0.3 Sejam V = R3 e u = (x1; x2; x3);v = (y1; y2; y3) 2 V . Então
u � v = hu;vi = x1y1 + x2y2 + x3y3
é um produto interno sobre V , o qual é chamado de produto interno usual (canônico).
iv
Solução. De fato, dados u = (x1; x2; x3);v = (y1; y2; y3);w = (z1; z2; z3) 2 V e a 2 R, temos que
u+ v = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3) e au = (ax1; ax2; ax3):
Logo,
hu+ v;wi = (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 + (x3 + y3)z3
= x1z1 + y1z1 + x2z2 + y2z2 + x3z3 + y3z3 em R
= (x1z1 + x2z2 + x3z3) + (y1z1 + y2z2 + y3z3)
= hu;wi+ hv;wi:
As condições (2) e (3) são análogas a (1): Finalmente, é claro que
hu;ui = x21 + x22 + x23 � 0:
Agora, para provar que
hu;ui = 0) u = 0:
Suponhamos, por absurdo, que u 6= 0, digamos x1 6= 0. Então
x21 + x
2
2 + x
2
3 = 0) (
x2
x1
)2 + (
x3
x1
)2 = �1;
o que é uma contradição, pois o lado esquerdo da última equação é positivo enquanto o lado direito
é negativo.
Observação 0.4 Mais geralmente, seja
V = Rn = f(x1; : : : ; xn) : xi 2 Rg:
Então
hu;vi = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 + � � �+ xnyn
é um produto interno sobre V , o qual é chamado de produto interno usual (canônico).
Exemplo 0.5 Seja V = R3 munido com o produto interno usual hu;vi = x1y1 + x2y2 + x3y3.
Calcule h(1; 2; 3) ; (1; 0; 0)i = 1:1 + 2:0 + 3:0 = 1
Exemplo 0.6 Seja V = R3 munido com o produto interno hu;vi = �x1y1+2x2y2�x3y3 onde u =
(x1; x2; x3);v = (y1; y2; y3). Calcule h(1; 2; 3) ; (1;�1; 1)i = �1:1+2:2 (�1)�3:1 = �1�4�3 = �8
Exemplo 0.7 Seja V = R2 munido com o produto interno usual hu;vi = x1y1 + x2y2. Calcule
h(1; 2) ; (1;�2)i = 1:1 + 2 (�2) = �3
Observação 0.8 Um espaço euclidiano é um espaço vetorial V sobre R munido com um produto
interno.
v
De�nição 0.9 Sejam V um espaço euclidiano e u;v 2 V . Dizemos que u e v são ortogonais se
hu;vi = 0 e denotamos por
u ? v:
Sejam � e � subconjuntos de V . Dizemos que � e � são ortogonais se
hu;vi = 0; 8 u 2 � e v 2 �
e denotamos por
� ? �:
Exemplo 0.10 Seja V = R3 munido com o produto interno usual e � = f(1; 2; 0) ; (1; 0;�1)g,
� = f(1; 0;�1) ; (2; 0;�1) ; (1; 0; 0)g, então � e � são ortogonais?
Note que
h(1; 2; 0) ; (1; 0;�1)i = 1:1 + 2:0 + 0: (�1) = 1
h(1; 2; 0) ; (2; 0;�1)i =
h(1; 2; 0) ; (1; 0; 0)i =
h(1; 0;�1) ; (1; 0;�1)i
h(1; 2; 0) ; (2; 0;�1)i =
Exemplo 0.11 Seja V = R2 munido com o produto interno usual, note que
h(1; 0) ; (0; 1)i = 0
Logo e1 = (1; 0) e e2 = (1; 0) são ortogonais
Exemplo 0.12 Seja V = Rn com o produto interno usual. Então
� = fe1; : : : ; eng
é uma base ortogonal de V .
Exemplo 0.13 Seja V = R2 com o produto interno
hu;vi = x1y1 + x2y2
onde u = (x1; x2);v = (y1; y2) 2 V . Então
� = f(2; 1); (�3; 1)g
não é uma base ortogonal de V , pois,
Exemplo 0.14 Seja V = R4 com o produto interno usual. Mostre que
� = f(1; 1; 0;�1); (1; 2; 1; 3); (1; 1;�9; 2); (16;�13; 1; 3)g
é uma base ortogonal de V .
vi
Solução:
�NORMA DE UM VETOR
Seja V um espaço euclidiano. A norma ou comprimento de um vetor u 2 V é de�nida como
kuk =
p
hu;ui:
Note que esta de�nição é possível, pois hu;ui � 0, para todo u 2 V .
Seja u 2 V um vetor qualquer. Dizemos que u é um vetor unitário se
kuk = 1:
Se v 2 V é um vetor não-nulo qualquer, então
u =
1
kvkv
é um vetor unitário. Neste caso, dizemos que u é a normalização do vetor v.
Exemplo 0.15 Considerando V = Rn, munido com o produto interno usual, teremos que para
cada u = (x1; x2; � � � ; xn) teremos
kuk =
p
hu; ui =
p
h(x1; x2; � � � ; xn) ; (x1; x2; � � � ; xn)i =
p
x21 + x
2
2 ++ � � �+ x2n
Exemplo 0.16 Seja V = R3:
Note que k(2; 3; 0)k =
Note que u = (2; 3; 0) não é unitário.
Fazendo v = 1jjujju =
Teorema 0.17 Seja V um espaço euclidiano. Então:
1. kuk � 0, para todo u 2 V .
2. kuk = 0 se, e somente se, u = 0.
3. kauk = jaj kuk, para todo u 2 V e a 2 R.
4. ku� vk2 = kuk2 � 2 hu;vi+ kvk2, para todos u;v 2 V .
5. jhu;vij � kuk kvk, para todos u;v 2 V . (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
6. ku� vk � kuk+ kvk, para todos u;v 2 V . (Desigualdade de Minkowski)
vii
Prova.
3. jjaujj =
p
hau; aui =
4. Vamos veri�car que ku+ vk2 = kuk2 + 2 hu;vi+ kvk2. Para isso, temos que
jju+ vjj =
p
hu+ v;u+ vi ) jju+ vjj2 = hu+ v;u+ vi =
Portanto,
jju+ vjj2 = jjujj2 + 2 hu; vi+ jjvjj2
Tendo de�nido o conceito de comprimento em um espaço euclidiano qualquer, é natural per-
guntar: se o conceito de ângulo pode ser generalizado? A resposta é verdadeira se nosso corpo é
os reais R mas é falsa no corpo dos números complexos C.
Seja V um espaço euclidiano. Para quaisquer u;v 2 V � f0g, o ângulo entre u e v é de�nido
como o ângulo � tal que
1. 0 � � � �;
2. cos � =
hu;vi
kuk kvk .
Observação 0.18 Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
�1 � hu;vikuk kvk � 1
e, assim, o ângulo � sempre existe e é único. Note ainda que se u e v, forem ortogonais, teremos
� = �
2
Exemplo 0.19 Seja V = R4 e u =
�p
2; 1; 0; 0
�
e v =
�p
2; 0; 1
4
; 1
�
. Determine o angulo formado
pelos vetores u e v:
Solução: Note que
Sejam V um espaço euclidiano e
� = fu1; : : : ;ung
uma base de V . Dizemos que � é uma base ortogonal ou sistema de coordenadas cartesianas para
V se
hui;uji = 0 se i 6= j
Por outro lado, diremos que � é uma base ortonormal ou sistema de coordenadas cartesianas para
V se
hui;uji =
1 se i = j
0 se i 6= j
Exemplo 0.20 � = f(1; 1; 1); (1; 0;�1); (1;�2; 1)g é uma base ortogonal para V = R3 munido
com o produto interno usual, pois
viii
h(1; 1; 1); (1; 0;�1)i = 1:1 + 1:0 + 1 (�1) = 0
h(1; 1; 1); (1;�2; 1)i = 1� 2 + 1 = 0
h(1; 0;�1); (1;�2; 1)i = 1:1 + 0 (�2) + (�1) :1 = 0
Exemplo 0.21 � =
n
( 1p
3
; 1p
3
; 1p
3
); ( 1p
2
; 0; �1p
2
); ( 1p
6
; �2p
6
; 1p
6
)
o
é uma base ortononal para V = R3
munido com o produto interno usual, poisD
( 1p
3
; 1p
3
; 1p
3
); ( 1p
2
; 0; �1p
2
)
E
= 1p
6
+ 1p
3
:0� 1p
6
= 0
AnalogamenteD
( 1p
3
; 1p
3
; 1p
3
); ( 1p
6
; �2p
6
; 1p
6
)
E
=
D
( 1p
2
; 0; �1p
2
); ( 1p
6
; �2p
6
; 1p
6
)
E
= 0
Além disso,������( 1p
3
; 1p
3
; 1p
3
)
������ =r� 1p
3
�2
+
�
1p
3
�2
+
�
1p
3
�2
=
q
1
3
+ 1
3
+ 1
3
= 1


( 1p
2
; 0; �1p
2
)



 = 


( 1p
6
; �2p
6
; 1p
6
)



 = 1
Logo; � é uma base ortonormal
Exemplo 0.22 Seja V = Rn com o produto interno usual. Então
� = fe1; : : : ; eng
é uma base ortonormal de V .
Exemplo 0.23 Seja V = R3, temos fe1; e2; e3g é uma base ortonormal.
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Sejam V um espaço euclidiano e
� = fu1; : : : ;ung
uma base de V . Então poderemos obter uma base ortogonal
� = fv1; : : : ;vng
de V a partir da base � como segue:
Para iniciar o processo vamos escolher v1 como qualquer um dos vetores u1; : : : ;un, digamos
v1 = u1, daí
v2 = u2 �
hu2;v1i
kv1k2
v1
é ortogonal ao vetor v1 Analogamente,
v3 = u3 �
hu3;v1i
kv1k2
v1 �
hu3;v2i
kv2k2
v2
ix
é tal que
v1 ? v3;v2 ? v3
Continuando com esse processo
vn = un �
hun;v1i
kv1k2
v1 �
hun;v2i
kv2k2
v2 � � � � �
hun;vn�1i
kvn�1k2
vn�1
ou seja,
vk = uk �
k�1X
i=1
huk;vii
kvik2
vi; k = 1; : : : ; n:
Assim, obtemos uma base ortogonal
� = fv1; : : : ;vng
Este processo de ortogonalização é conhecido como o processo de ortogonalização de Gram-
Schmidt.
Conclusão 0.1 A partir de uma base qualquer de V podemos sempre obter uma baseortogonal
(ortonormal) de V . Mais geralmente, se
� = (u1; : : : ;un; : : :)
é um seqüência LI de V , então podemos construir, indutivamente, uma seqüência ortogonal
� = (v1; : : : ;vn; : : :)
de V tal que
[v1; : : :;vk] = [u1; : : :;uk]; 8 k 2 N:
Exemplo 0.24 Sejam V = R3 com o produto interno usual e
� = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g
uma base de V . Determine a partir de � uma base ortonormal de V .
Solução.
Fazendo u1 = (1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1) e u3 = (0; 0; 1). Escolhemos um vetor inicial v1, digamos
v1 = u1 = (1; 1; 1):
Agora, v2 = u2 � hu2;v1ikv1k2 v1 = (0; 1; 1) �
h(0;1;1);(1;1;1)i
k(1;1;1)k2 (1; 1; 1) = (0; 1; 1) �
2p
3
2 (1; 1; 1) = (0; 1; 1) �
2
3
(1; 1; 1) =
(0; 1; 1)�
�
2
3
; 2
3
; 2
3
�
=
��2
3
; 1
3
; 1
3
�
Agora,
v3 = u3 � hu3;v1ikv1k2 v1 �
hu3;v2i
kv2k2
v2 = (0; 0; 1)� h(0;0;1);(1;1;1)ik(1;1;1)k2 (1; 1; 1)�
h(0;0;1);(�23 ;
1
3
; 1
3)i
k(�23 ; 13 ; 13)k
2
��2
3
; 1
3
; 1
3
�
=
x
(0; 0; 1)� 1
3
(1; 1; 1)�
1
3p
2
9
+ 1
9
+ 1
9
2
��2
3
; 1
3
; 1
3
�
= (0;�1
2
; 1
2
):
Logo obtemos v1 = (1; 1; 1), v2 =
��2
3
; 1
3
; 1
3
�
e v3 = (0;�12 ;
1
2
). Assim,
�
(1; 1; 1);
��2
3
; 1
3
; 1
3
�
; (0;�1
2
; 1
2
)
	
é uma base ortogonal.
Finalmente, normalizando os vetores u1, u2 e u3, obtemos uma base ortonormal�
v1
kv1k
;
v2
kv2k
;
v3
kv3k
�
=8<: 1p3(1; 1; 1); 1q6
9
�
�2
3
;
1
3
;
1
3
�
;
1q
2
4
(0;�1
2
;
1
2
)
9=; =�
(
1p
3
;
1p
3
;
1p
3
);
3p
6
�
�2
3
;
1
3
;
1
3
�
;
p
2(0;�1
2
;
1
2
)
�
=(�
1p
3
;
1p
3
;
1p
3
�
;
�
�2p
6
;
1p
6
;
1p
6
�
;
 
0;�
p
2
2
;
p
2
2
!)
de V .
Portanto
n�
1p
3
; 1p
3
; 1p
3
�
;
�
�2p
6
; 1p
6
; 1p
6
�
;
�
0;�
p
2
2
;
p
2
2
�o
é a base ortonormal procurada.
Exemplo 0.25 Sejam R3 com o produto interno usual e a base
� = f(1; 0; 1); (1; 1; 0); (2; 1; 1)g
de R3. Determine uma base ortonormal para R3, a partir de �