Considere o espaço vetorial ℝ???? , com produto interno ⟨ , ⟩ usual. Verifique se a base ???? = {(????, ????, ????), (−????, ????, ???? ), (????, −????, ????) } é ortogo...

Para verificar se a base é ortogonal, precisamos verificar se o produto interno entre cada par de vetores da base é igual a zero. Assim, temos: ⟨(x1, y1, z1), (-x2, y2, z2)⟩ = -x1x2 + y1y2 + z1z2 ⟨(x1, y1, z1), (x3, -y3, z3)⟩ = x1x3 - y1y3 + z1z3 ⟨(-x2, y2, z2), (x3, -y3, z3)⟩ = -x2x3 - y2y3 + z2z3 Se o produto interno entre cada par de vetores for igual a zero, então a base é ortogonal. Caso contrário, não é ortogonal. Assim, temos: ⟨(x1, y1, z1), (-x2, y2, z2)⟩ = -x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0, pois a base é ortogonal. ⟨(x1, y1, z1), (x3, -y3, z3)⟩ = x1x3 - y1y3 + z1z3 = 0, pois a base é ortogonal. ⟨(-x2, y2, z2), (x3, -y3, z3)⟩ = -x2x3 - y2y3 + z2z3 = 0, pois a base é ortogonal. Portanto, a base é ortogonal.